勾股定理应用之立体图形中的最短距离 (2)
勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题教案
《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学过程分析第一环节：情境引入创设情景：如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是上底面的直径。
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到C点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。
意图：创设引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：引导学生分析题意，明确已知信息，明确题目问题，引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论汇总方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，四种方案：A A A（1）（2）（3）（4）通过具体分析，得出最短路线，并计算出最短路线长。
让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念．就此问题的解决进行思路小结：将立体图形问题转化为平面图形问题，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，渗透了建模思想。
练习：1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？第三环节：拓展一：正方体内容：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到BBA渗透解题思路：即 1、展 -----（立体图形转为平面图形）2、找-----起点A，终点B或B′3、连-----最短路线AB和AB ′4、算-----利用勾股定理总结：对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。
「初中数学」勾股定理与最短距离问题.doc
「初中数学」勾股定理与最短距离问题勾股定理与最短路径问题最短路径问题的核心理论是：两点之间线段最短，但在不同情形中，会以不同的方式出现，也就会涉及到不同的思路和方法，比如在【几何模型】“将军饮马”问题——作一首小诗这一讲中，主要利用到两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边(三角形的三边关系本质上还是两点之间线段最短)，而这一讲，我们主要涉及到立体图形的最短路径问题。
一、立体图形的最短路径问题的解决思路对于立体图形的最短路径问题，我们一般是利用横切或展开等手段，将其转换到平面图形中解决，而这种情形不免会在直角三角形中解决，也自然会和勾股定理扯上关系二、利用横切，转换成平面图形【例】如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一只14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？(注：内径即底面直径)【分析】若使吸管露出杯口最短，自然留在杯中最长，而最长莫过于下列情况：这样，按照上图将圆柱横切，就可以将其转换到RT△ACB 中解决，而AB可有勾股定理解得：AB=13cm，所以吸管露出杯口的最短长度AD=BD-AB=1cm【练习题】如图，将一根25cm长的细木棒，放入长、宽、高分别为8cm、6cm、10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少？(保留1位小数)。
三、利用展开，转换成平面图形这类问题又可以细分为两种情形：直面(正方体或长方体)和曲面(圆柱)，但无论直面或曲面，一般都是展开为矩形，进而利用勾股定理解决【例】直面(正方体或长方体）【分析】研究在表面从点M到点C的最短路径，可以将正方体表面局部展开：根据“两点之间线段最短，可知最短路径，即为线段MC。
进而，在RT△CGM中，利用勾股定理，可求MC 【练习题】【例】曲面(圆柱)如图，圆柱高15cm,底面半径为8/兀cm，一蚂蚁从B点爬到A点的最短路径为多少?【分析】请注意：此题的易错点是，很多同学直接连接AB，认为此时线段AB即为最短路径。
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路问题1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( )A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( )A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：(1) 解：l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2；∵l12−l22=．(2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1:l1=；路线2:l2=．②选择哪条路线较短？试说明理由．答案1. 【答案】答图略，将圆柱展开，侧面为矩形，∴AB=√(6π)2+102≈21.3(cm)．答：蚂蚁从点A爬到点B的最短路程约是21.3cm．2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】256. 【答案】(1) 96−16π2(2) ① 8；2√4+π2② ∵l12−l22=82−(16+4π2)=48−4π2=4(12−π2)>0．∴l12>l22，即l1>l2．所以选择路线2较短．【解析】(1) l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2，∵l12−l22=102−(4+16π2)=96−16π2=16(6−π2)<0，∴l12<l22，即l1<l2，所以选择路线1较短．。
勾股定理的应用十种最常考类型(解析版) 八年级数学下册专题训练
专题05勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）类型一大树折断问题【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部8m处．【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．类型二水杯中的筷子问题及类似问题【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，∵下底面半径是5，高是12，∴AB＝12，BC＝5，∴AC=B2+B2=122+52=13，∴a的长度的取值范围是12≤a≤13，故选A．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2022秋•安阳县期末）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43，竖着比城门高23，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为103．【思路引领】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：设竹竿的长为x米，由题意得：(−43)2+(−23)2=2，解得：1=103，2=23（舍去），故答案为：103．【总结提升】本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．类型三梯子滑动问题【典例3】（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【思路引领】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=82+62=10（米），故选：A．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023秋•新泰市期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐．则梯子的长度为（）A．13m B．12m C．15m D．172【思路引领】设梯子的长度为x m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：设梯子的长度为x m，根据勾股定理得，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，答：梯子的长度为13m，故选：A．【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•北京期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．【思路引领】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和Rt △DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，解得：x＝1.5，答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．3．（2023秋•宝丰县期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 3.2米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．【思路引领】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝2.4米，PA＝NB＝0.7米，即可求出AB＝PA+PB；（3）①根据平角的定义即可求出∠MPN＝60°；②根据PM＝PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM=B2+B2=1．62+1．22=2，∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案为：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，∠B =∠B ∠B =∠B =90°B =B，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝2.4，∵PA =B2−B 2=0.7，∴AB ＝PA +PB ＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．设AB ＝x ，且AB ＝ND ＝x ．∵梯子的倾斜角∠BPN 为45°，∴△BNP 为等腰直角三角形，△PNM 为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND ＝15°．∵∠APM ＝75°，∴∠AMP ＝15°．∴∠DNM ＝∠AMP ，∵△PNM 为等边三角形，∴NM ＝PM ．∴△AMP ≌△DNM （AAS ），∴AM ＝DN ，∴AB ＝DN ＝AM ＝2.8米，即丙房间的宽AB 是2.8米．【总结提升】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．类型四立体图形中的最短距离问题【典例4】（2021春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要13cm．【思路引领】把立体图形转化为平面图形解决即可．【解答】解：将长方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，AB=52+122=13cm；故答案为：13【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式训练】1．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，圆柱形容器中，高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为20cm．（容器厚度忽略不计）【思路引领】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝16cm，BD＝12cm，∴在直角△A′DB中，A′B=162+122=20（cm）．故答案为：20．【总结提升】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．（2022春•桦甸市期末）如图，是一块长，宽，高分别为6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是85cm．【思路引领】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是AB=92+42=97（cm）．第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是AB=72+62=85（cm）．第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是AB=102+32=109（cm）．∴它需要爬行的最短路径是85cm．故答案为：85cm．【总结提升】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．3．（荆州中考）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．42dm B．22dm C．25dm D．45dm【思路引领】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝22dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝42dm．故选：A．【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．类型五选址满足条件问题【典例5】（2023春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=213km，A、B两村到河的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）．【思路引领】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可．【解答】解：如图所示，作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，此时AO+BO最小，∵AC＝2km，BD＝6km，∴BF＝4km，DE＝2km，∵AB＝213km，∴AF=(213)2−42=6（km），在Rt△BA'E中，由勾股定理得：A'B=′2+B2=62+(6+2)2=10（km），∴AO+BO＝10（km），∴铺设水管的总费用W＝10×2000＝20000（元）．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求AE＝13.3km．【思路引领】设AE＝x km，即可得到EB＝（20﹣x）km，结合DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B根据勾股定理列式求解即可得到答案．【解答】解：设AE＝x km，则EB＝（20﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，∵C、D两村到E站的距离相等，∴x2﹣40x+596＝x2+64，解得：x＝13.3，故答案为：13.3．【总结提升】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．类型六航海问题【典例6】（2023春•黄陂区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点Q，R处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．【思路引领】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．【解答】解：由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，∵162+122＝202，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，∴∠RPN＝40°，∴“海天”号沿北偏西40°方向航行．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．【变式训练】1．（2023秋•泰山区期末）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？【思路引领】由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面积求出BE=485海里，然后由勾股定理得CE=645海里，即可解决问题．【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°，∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∵MN⊥AC，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，=12AB•BC=12AC•BE，∵S△ABC∴BE=B⋅B B=12×1620485（海里），∴CE=B2−B2==645（海里），∴645÷8=85（小时）＝96分，∴9时30分+96分＝11时6分．答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．类型七受台风或噪声影响问题【典例7】（2022秋•清水县月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？【思路引领】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．【解答】解：（1）A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB＝300，∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；（2）如图，∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD=A2−B2=507，∴DE＝1007，则t===10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．【总结提升】本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．【变式训练】1．（2022春•紫云县期末）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【思路引领】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，∴AH=12OA＝40米，∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=B2−B2=502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意，构造出直角三角形是解题的关键．类型八求旗杆（大树）高度问题【典例8】（2023秋•开封期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（）A．14m B．15m C．16m D．17m【思路引领】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．【变式训练】1．（2023春•岳阳楼区期末）小华和小侨合作，用一块含30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆AB的高度为（）A．6.5米B．(63+0.5)米C．12.5米D．(65+0.5)米【思路引领】根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC＝BC，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：由题意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，∴BC＝2CD＝12米，A=63米，∵AD＝0.5米，∴B=(63+0.5)米，故选：B．【总结提升】本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•岱岳区期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则旗杆的高度为214米．【思路引领】在Rt△ABC中，由勾股定理得出关于AB的方程求解即可．【解答】解：如图，由题意可知，BD＝2米，BC＝5米，AC＝AB+BD＝（AB+2）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，即AB2+52＝（AB+2）2，解得AB=214，∴旗杆的高度为214米．故答案为：214．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．3．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为15米．【思路引领】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故这棵树高15m．【总结提升】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．类型九小鸟飞行距离问题【典例9】（2022秋•嵩县期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6B．8C．10D．12【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10m．故选：C．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．【变式训练】1．（2023秋•青羊区期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C 点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．（1）求出BC的长度；（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．【思路引领】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可求解；（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）由题意知∠B＝90°，∵AB＝20米，AC＝25米．∴BC=252−202=15米，（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝20﹣x，在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，∴x2＝（20﹣x）2+152，解得x=1258，∴小鸟下降的距离为1258米．【总结提升】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．类型十利用勾股定理表示无理数【典例10】（2022春•武昌区期末）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（）A．2B．4C．23D．25【思路引领】利用勾股定理计算可得结论．【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：42+22=20=25．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【思路引领】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可解决问题．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB=B2+B2=12+22=5，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB=5，∴OC＝AC+OA=5+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（5+1，0）．故答案为：5+1．【总结提升】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022秋•芗城区月考）用尺规作图在数轴上作出表示实数=10的点P（保留作图痕迹，不写作法）．【思路引领】过表示1的点A作数轴的垂线AB，在垂线上截取AB＝3，连接OB，以O为圆心，OB为半径作弧交数轴于P，则P即为所求的点．【解答】解：如图：点P表示的数即为10．【总结提升】此题主要考查了勾股定理以及作图，关键是掌握10是两直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长．3．（2023•长阳县一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（）A．3B．3−3C．3+12D．3−12【思路引领】如图：连接AE，则AE＝2、AD＝1，由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．【解答】解：如图：连接AE，则AE＝2，AD＝1，∴DE=B2−A2=22−12=3，∴CE＝CD﹣DE=3−3．故选B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．4．（2022秋•埇桥区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．3−1B．3−5C．5D．22【思路引领】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．【解答】解：连接AD，由题意知：AD＝AB＝3，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED=A2−B2=32−22=5，∴CD＝CE﹣DE＝3−5，故选：B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．。
立体图形中的距离最短问题
立体图形中的距离最短问题根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。
空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中,再到高中，渐渐加强,作为一个初、高中的知识衔接模块,让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础,显得尤为重要。
立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间,线段最短”来解决。
解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换,把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决.一、通过平移来转化1。
如图,是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少？析：展开图如图所示,AB= 错误!= 13cm二、通过旋转来转化2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m,高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处,问梯子最短有多长？析：展开图如图所示，AB= 错误!= 13cm3。
有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
AB = 4，BC为底面周长的一半即BC = 5πAC = 错误!=错误!= 16 + 25π24.葛藤是一种刁钻的植物,它的腰杆不硬,为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线——螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题:（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长)为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高)40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm,绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶,则树干高多少？（1）如图，⊙O的周长为30cm，即AC=30cm，高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得AB =50cm．故爬行一圈的路程是50cm；（2)⊙O的周长为80cm，即AC=80cm,绕一圈爬行100cm，则AB = 100cm，高BC = 60cm．∴树干高=60×10=600cm=6m．故树干高6m5。
勾股定理与平面展开图—最短路径问题教学设计-人教版八年级数学下册(2)
教学设计授课教师单位授课时间课题勾股定理与平面展开图—最短路径问题教材版本人教版课型专题课教学目标1. 能把几何体表面展开成平面图形，找到最短路径。
2. 通过展开图形，构建直角三角形，运用勾股定理求出最短路径。
教学重点勾股定理来解决最短路径问题教学难点正方体长方体展开后有多条路线及如何分类观察从而归纳整理教法讲授法、讨论法、演示法（几何画板）学法合作探究学习教学准备制作正方体、长方体、圆柱等教具.教学过程设计意图复习引入1.有一只闯荡几何世界的蚂蚁，它想从点A到点B处吃食物，蚂蚁怎样走最近，为什么？两点之间，线段最短.2.在几何体不同平面上的两点如何寻找最短路径？带着问题我们来学习：勾股定理与平面展开图—最短路径问题活动一、圆柱中的最短路径问题例1 如图，一圆柱底面周长为6cm,高为4cm，一只蚂蚁从点A爬到对角的点B处吃食物，想一想，蚂蚁怎么走最近？最短路程是多少？（学生独立思考，举手回答，教师板演）C用“小蚂蚁”的问题引起学生兴趣，复习“两点之间，线段最短”并思考不同平面上的两点如何确定最短路径，从而引出课题。
解：如图将圆柱侧面展开，由题意得AC ＝4，BC ＝3 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∴ AB ＝=+22AB AC 53422=+ 答:蚂蚁爬行的最短路程是5cm. 练习1.有一圆形油罐底面圆的周长为6m ，高为4m ，一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 米.2. 如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的直径是4米，高是5米，要从点A 起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A 的正上方点B ，则梯子最短需 米.（π取3）归纳：求立体图形中最短路径的一般步骤：1. 展 立体—平面2. 找 起点、终点3. 连 两点之间，线段最短。
4. 求 勾股定理5. 答 答题活动二、正方体中的最短路径问题例2 如图，是棱长为1的正方体，蚂蚁从点A 到点B 处吃食物，问怎样爬行路径最短，最短路程是多少？它有几种最短爬行方法？（注：每个面均能爬行）（学生准备正方体，小组探究蚂蚁爬行的最短路线，由小组代表展讲）活动三、长方体中的最短路径问题通过学生的合作探究，先确定最短路径。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题优秀教学案例
（三）小组合作
1.分组合作：将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流。每个小组共同解决问题，共同思考和探讨。
2.小组讨论：鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神和沟通能力。学生可以通过讨论、辩论等方式，共同解决问题。
（3）通过实际问题，感受数学与生活的联系。
2.方法目标：通过本节课的学习，使学生掌握以下方法：
（1）观察分析法：观察立体图形，发现最短路程问题；
（2）勾股定理运用法：运用勾股定理，解决最短路程问题；
（3）实际问题解决法：将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。
（三）情感态度与价值观
1.情感目标：通过本节课的学习，使学生能够对数学产生浓厚的兴趣，激发学生学习数学的积极性。具体包括：
本节课的教学目标是通过解决立体图形中的最短路程问题，巩固学生对勾股定理的理解，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
在教学过程中，我以生活中的实际问题为切入点，引导学生运用勾股定理解决立体图形中的最短路程问题。在解决问题的过程中，学生需要充分运用空间想象能力和逻辑思维能力，从而达到提高学生数学素养的目的。
为了更好地实施本节课的教学，我采用了多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示立体图形和最短路程问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。同时，在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现规律，培养学生自主探究的能力。
在课堂拓展环节，我设计了一些具有挑战性的练习题，让学生在课后进行思考和探索，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。通过对本节课的学习，学生不仅掌握了勾股定理在立体图形中的应用，还提高了空间想象能力和解决问题的能力，为今后的数学学习奠定了坚实的基础。
《勾股定理的应用---最短路径问题》教案及学案
1 AB§14。
2 勾股定理的应用---最短路径问题安海中学 谢伟良教学目标：知识与技能目标：能运用勾股定理解决简单的实际问题．过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情 教学重点：利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求得最短路程． 教学难点：寻找最短路径．教学关键：把立体图形转化为合适的平面图形寻得最短路径再构造直角三角形应用勾股定理求最短路程。
教学准备:教师准备:幻灯片、直尺。
学生准备：复习勾股定理,自制圆柱体、立方体和长方体. 教学过程:一、复习引入，创设情境1。
复习提问:线段性质定理、勾股定理的内容及数学式子表示。
设定情景引入新课。
2。
情景设定1（投影出示）：在一款长30cm 宽40cm 的砧板上，蚂蚁要从点A 处到点B 处觅食，试问这只蚂蚁要怎么选择路线才能使路线最短?最短距离是多少？∵ 在Rt △ABC 中, ∠C=90º∴)(5040302222cm BC AC AB =+=+=∴ 走线段AB 的路线最短，且最短距离为50cm.2ACBA B AB二、创设情境，解决问题情景设定2：情景设定3：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm ，高为12cm ，一只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B ，试求出爬行的最短路程（π取3). 22BC AC + ∴爬行的最短路程约为解:如图，∵在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°BC ＝½πd ≈½×3×6=9cm ，∴AB ＝ 22912+=)(15cm =如果把圆柱换成棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？想一想都有哪些爬行路径?需要经过哪些面?3AB变式训练：左221020 500如图示,有一个长为3cm ，宽为2cm ，高为1cm 的长方体，一只蚂蚁要沿着表面从A 到B 处觅食,请问需要爬行的最短路程是多少呢？方法小结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”来解决问题。
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小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最短” 的性质来找到最短距离，最后结 合勾股定理算出此距离。
多观察，多思考；多归纳，多总结
不下定决心培 养思维习惯的人， 便失去了生活中最 大的乐趣
——爱迪生
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是
（）
2 10
M
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体
立体图形最短路径 之中考
长方体问题
中考题研究
由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方
体，问在A处的蚂蚁要吃到B处的食物，最短
要爬行多长？若食物在C处呢？
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B， 则它走过的路程最短为（ ）
答案： 5a
归纳提升：
设长方体的长、宽、高分别为a、 b、c，且a＞b＞c，则长方体表面上AB 两点的最短路线为 (b c)2 a2
立体图形最短路径 之二
长方体问题
B C●●C ●
●B
要注意变式，
灵活运用哦
AA●●
A●
AB 52 (4 2)2 61
AC 32 (4 1)2 34
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会， 应该怎样走才能使路程最短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
营地
勾股定理 的应用之
立体图形中的最短距离
四平二十中学
肖冰
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆柱 圆锥
一、正方体中的最短路径
例1、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
用两点之间线段最 D 短求解
A
B
已知底面周长和高，求
绕3圈的长度
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆锥 圆柱
作业1:请你提出一个运 用‘’曲化平”方法来解决 的问题，并加以研究
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏 饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马 后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物 理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一 个百思不得其解的问题．
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆柱
例1 如图 在一个底面周长为
20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 上，若小明在吃东西时留下了一
A′
B
点食物在B处，恰好一只在A处
的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它
想从A 处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
则所走的最短线段
是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是 =
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
检测三、如图，长方体的 长为15 cm，宽为 10 cm， 高为20 cm，点B离点C 5 cm,一 只蚂蚁如果要 沿着 长方体的表面从点 A爬到 点B，需要爬行的最短距 离是多少？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
怎样计算AB？
B
A’ r
O
4
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A'
侧面展开图 A
A
A
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路
A
5B
C
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C
A 10 F
立体图形最短路径 之二
长方体问题
反思回顾，总结提高
提的到路示大a长径2：小+怎（比方？b样较+体c）2才、表即能面比b在2较+上（a最ba两、+短cb点）c2、、的较之ac时c的短2间+长大（间两的小a段+内。段b最）独2，取短一找和边，最
程（π取3）是（ ）
10
立体图形最短路径 之四
圆柱问题
B●
●B
化曲为●B 平
A●
●
A
●
A ●B
●B A●
A● ●B
A●
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆柱 圆锥
立体图形最短路径 之四
圆锥问题
B
A
(B)
A
A
B
A
B
立体图形最
短路径之圆三锥问题
立体图形最 短路径之四
圆柱问题
已求知A到底D面的半最径短和路方母径法线方点长，击法总 P 化曲结为平，利
C
●
B
●
A●
二、长方体中的最值问题
例2. 如图是一块长，宽，高分别是6cm，
4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体 木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长 方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要
爬行的最短路径的长是（ ）
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，