第11讲 幂函数与零点定理
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
第11讲 幂函数(讲义)
第11讲 幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称； 例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。
第十一讲幂函数
4 若f x 为幂函数, m2 2m 1, m 1 5由 4 得m 1 2,当m 1 2时, m 2 m 1 1 2, f x x1 2 在 0, 上单调递减, 不合题意;
当m 1 2时, m 2 m 1 1 2,
1 2
5. (2010·山东滨州2月)(基础题,易)函数 y m 1 x m
m2
为幂函数,则函数为( A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数
)
D. 减函数
答案:B
解析:由题意m=2,则该函数y=x2,故选B.
解读高考第二关
热点关
类型一:幂函数的定义
解题准备:①有关幂函数y=xα 的定义域的确定,当α 为分数 时,可转化为根式考虑,当α =0时,底是非零的,不可忽视.
2.
f x x1 2 在 0, 上单调递增.所以m 1 2.
类型二:幂函数的图象解题准备:
1. 对所有的幂函数在(0,+∞)上(第一象限)都有定义,都过 (1,1)点.
2. 如果α >0,则幂函数的图象过原点,并在［0，＋∞）上为
增函数，且0＜α ＜1与α ＞1的图象是以直线y＝x为界限 的． 3.如果α ＜0，则幂函数图象在区间（0，＋∞）上是减函数， 在第一象限内，图象向右无限靠近ｘ轴，向上无限靠近ｙ 轴． ４.无论α 取什么实数，在第四象限都没有图象．
[分析] 先求出幂函数的解析式,再利用图象判断f(x)､g(x)
的大小关系.
解 1 设f x x a , 因为点 将
2, 2 在幂函数f x 的图象上,
2, 2 代入f x =xa中, 得2 ( 2) a ,
幂函数知识点总结
幂函数知识点总结幂函数是数学中常见的一类函数，它的形式可以表示为f(x) = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是变量x的指数是常数，因此它的图像通常呈现出一种非常特殊的形状。
1.幂函数的定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，即它对于任意实数x都有定义。
而值域则取决于幂函数的指数a的取值范围。
当a为正数时，幂函数的值域为正实数集(0, +∞)，即函数的值始终大于0；当a为负数时，幂函数的值域为负实数集(-∞, 0)，即函数的值始终小于0；当a为0时，幂函数的值域只包含一个点1，即函数的值始终等于1。
2.幂函数的图像：幂函数的图像形状取决于指数a的正负和大小。
当a为正数时，幂函数的图像呈现出从左下方无限趋近于x轴的曲线，且经过点(0,0)。
随着a的增大，曲线的增长速度越来越快。
当a为负数时，幂函数的图像呈现出从右上方无限趋近于x轴的曲线，且经过点(0,0)。
随着a的减小，曲线的增长速度越来越慢。
当a为0时，幂函数的图像为一条水平直线，过点(0,1)。
3.幂函数的性质：•幂函数是奇函数还是偶函数取决于指数a的奇偶性。
当a为奇数时，幂函数是奇函数；当a为偶数时，幂函数是偶函数。
•当指数a为正整数时，幂函数的增长速度越来越快，当a为负整数时，幂函数的增长速度越来越慢。
•当指数a大于1时，幂函数的增长速度超过线性函数；当指数a介于0和1之间时，幂函数的增长速度介于线性函数和指数函数之间。
•幂函数的导数为f’(x) = a * x^(a-1)，其中a为指数。
当指数a为正数时，导数始终大于0，说明幂函数在整个定义域上是递增的；当指数a为负数时，导数始终小于0，说明幂函数在整个定义域上是递减的。
综上所述，幂函数是一种常见的函数形式，它的图像和性质都受到指数a的影响。
通过对幂函数的研究，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。
幂函数、零点与函数的应用.参考教案.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
(一)知识内容1、幂的有关概念正整数指数幂：...()n na a a a n N =∈零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：1(0,)p pa a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：0,,,1)m na a m n N n =>∈>且例题精讲高考要求幂函数和零点及 函数的应用板块一：幂函数的概念负分数指数幂的意义是：10,,,1)m nm naa m n N n a-==>∈>且(1)幂函数的定义一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数的情况).(2)幂函数的图象幂函数a y x =当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当12,1,2a =---时的图象见右图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：(3)幂函数的性质a y x =有下列性质：(1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x ≥0或者x ＞0的时候.(4)幂函数的奇偶性函数*()n y x n =∈N 的定义域为R ,定义域关于原点对称,且()()()()()()()n nxn f x n f x xn f x n ⎧⎧--⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数所以当n 为奇数时函数是奇函数,n 为偶数时函数是偶函数.【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性.(二)典例分析【例1】 函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数.【例2】 求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【例3】 已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小．【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a y b b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <.由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >.综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决.【例4】 已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值， 且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<； 当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解 当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <- 综上可知a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-⋃.(一) 主要知识：函数的应用是学习函数的主要目的之一.本讲内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给我们呈现了研究一个问题完整的思路和方法.本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系.在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用.函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用.一、零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点.二、函数零点的意义：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0实数根，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.即方程f (x )=0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.三、零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )＜0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 就是板块二：函数的零点方程f(x)=0的根.【说明】这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值.四、二次函数零点的判定1.二次函数零点的判定二次函数2=++的零点个数，方程20y ax bx c++=的实根个数见下表.ax bx c2.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.3.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.(二)典例分析：1.函数的零点的概念【例5】画出函数3=-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，f x x x()231(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这1.5101.50f-<，()10f->，即()()个函数在区间()--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，1.5,1()10, 1.5-∞-和(1，+∞)f x在定义域()f=，所以1也是它的零点.由于函数()内是增函数，所以它共有3个零点.．【例6】 求函数3222y x x x =--+的零点，并画出它的图象. 【解析】 因为32222(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x =--+=---=--+所以函数的零点为-1，1，2⑵ ∵定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称． 3个零点把x 轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞). 在这四个区间内，取x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【例7】 已知m ∈R ，函数f (x )=m (x 2-1)+x -a 恒有零点，求实数a 的取值范围，()f x 是奇函数？【解析】 (1)当m =0时，f (x )=x -a =0解得x =a 恒有解，此时a ∈R ；．(2)当m ≠0时，∵ f (x )=0，即mx 2+x -m -a =0恒有解，∴ △1=1+4m 2+4am ≥0恒成立，令g (m )=4m 2+4am +1， ∵g (m )≥0恒成立，∴Δ2=16a 2-16≤0，解得-1≤a ≤1, 综上所述知，当m =0时，a ∈R ；当m ≠0时，-1≤a ≤1.2.二次方程根的分布【例8】 方程x 2+(m -2)x +5-m =0的两根都大于2，求实数a 的取值范围 【解析】 令f (x )= x 2+(m -2)x +5-m ，要使f (x )=0的两根都大于2，则应满足2(2)4(5)0(2)0222m m f m ⎧⎪=---⎪>⎨⎪-⎪>⎩Δ≥解得216042(2)502m m m m ⎧-⎪+-+->⎨⎪<-⎩≥ ∴4452m m m m -⎧⎪>-⎨⎪<-⎩≥或≤即-5＜m ≤-4. 3. 一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 【例9】 若方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 的根都为正数，求m 的取值范围.【解析】 (1)当此方程为一次方程时，即m =1时，方程的根为104x =>，满足题意 (2)当m ≠1时，依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，解得0＜m ＜1综上，m 的取值范围是(0,1].【变式】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围.【解析】 由题意，k ≠0，∴2(3)4(3)03030k k k k k k k⎧⎪∆=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩解得512-≤k 或k ＞3.4. 一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布(即1x ，2x 相对于k 的位置)有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042如图所示：【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042. 如图所示：【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af .如图所示：推论1 210x x <<⇔0<ac .推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f如图所示：【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b如图所示：【例10】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.【解析】 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0＜－m ＜1是因为对称轴x =-m 应在区间(0，1)内通过)【变式】 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围.【解析】 法一原方程等价于2220020863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩…………令()f x =2x +12x +6a +3(1)若抛物线y =()f x 与x 轴相切， 有Δ=144－4(6a +3)=0即a =112. 将a =112代入式②有x =－6不满足式①，∴a ≠112. (2)若抛物线y =()f x 与x 轴相交， 注意到其对称轴为x =－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是：(20)0(0)0f f -≥⎧⎨<⎩解得163162a -<-≤. ∴当163162a -<-≤时原方程有唯一解.法二原方程等价于2x +20x =8x －6a －3(x ＜－20或x >0)③ 问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x －6a －3与抛物线y =2x +20x (x ＜－20或x >0)有且只有一个公共点.虽然两个函数图象都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2x +12x +3=－6a (x ＜－20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y =2x +12x +3和直线y =－6a ， 如图，显然当3＜－6a ≤163，163162a -≤<-时， 直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点.【例11】 若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间[a ，b ].【解析】 f (x)的最大值只能是13(0)2f =，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令min 2y a =，且max 2y b =，即可得关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值.当a 值由负值增大到正值时，区间[a ，b]在x 轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间[a ，b]的位置分类求解. f(x)图象顶点坐标为13(0,)2，2113()22f a a =-+，2113()22f b b =-+. （1）当a<b<0时，由f(x)在[a ，b]上单调递增得，f(a)=2a ，且f(b)=2b ，即221132,221132.22a ab b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩于是a 、b 是二次方程21132022x x +-=的两个负根，但此方程两根异号，故区间[a ，b]不存在 （2）当a<0<b 时，f(x)在[a ，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，因而f(x)在x=0处取得最大值，在区间端点x=a 或x=b 处取得最小值，即1313(0)224()()20.f b b f a f b a ⎧===⎪⎨⎪=<⎩即或则2131131339()()()24214232f b f a ==-+=≠，∴2113()222f a a a =-+=，解得2a =-13[2]4-.（3）当b>a ≥0时由f(x)在[a ，b]上单调递减得，f(a)=2b ，且f(b)=2a ，即221132,221132.22a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得13a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩（舍去），即得区间[1，3].综上所述，所求区间为[1，3]或13[2]4-1．复合函数的奇偶性、单调性和周期性注：⑴“周期性”中的“周期”在本表中不一定是最小正周期；⑵可以用“内偶则偶，内奇则外”和“相同则增，不同则减”记忆奇偶性和单调性．2．函数的四则运算结果的周期性一般来说，设函数()f x 和函数()g x 的周期分别是1T 和2T ，如果存在T ，使得12T mT nT ==(m 、n 为非零整数)，则T 是函数()f x 和函数()g x 的和、差、积以及商的周期．<教师备案>已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论？分析 结合偶函数的图象特征可得：偶函数函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 在(,0)-∞上是增函数．对奇函数有，在对应的区间上的单调性相同．证明 设120x x <<，则120x x ->->，由()f x 在(0,)+∞上是减函数得：12()()f x f x -<-， 又()f x 是偶函数，故12()()f x f x <， 所以，()f x 在(,0)-∞上是增函数．【例12】 讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性． 【解析】 设1211x x -<<<，则22121221211212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-==------， ∵1211x x -<<<，∴210x x ->，且22121210,10,10x x x x -<-<+>∴12()()f x f x > 函数2()1xf x x =-在(1,1)-上单调递减．【例13】 设21()(,,Z)ax f x a b c bx c+=∈+是奇函数，且有(1)2f =，2(2)3f <<成立．⑴ 求,,a b c 的值；板块三：函数性质应用⑵ 用定义证明()f x 在(1,0)-上是减函数．【解析】 ⑴ ∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，即2211ax ax bx c bx c++=--++∴0c = 又由(1)2f =得21a b =-；由2(2)3f <<得41232a b+<< 将21a b =-代入上面的不等式得：83232b b-<<， 化简得：302304b b b b ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩3342b ⇒<<， ∴1,1b a ==． 故21()x f x x+=；⑵ 设1210x x -<<<，则2212121212121211()(1)()()0x x x x x x f x f x x x x x ++---=-=>，∴12()()f x f x >，()f x 在(1,0)-上是减函数． <教师备案>此函数即“对勾函数”——1()f x x x=+，因为其图象的形状，又常称为或“Nike函数”，它的一般形式为：(0)ky x k x=+>是高中阶段很常见，应用非常广泛的一类函数，这是一个奇函数，其单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(0)和(0,，(注意不能写成并集)可以通过单调函数的定义在定义域内任取两点，通过比较它们的函数值的大小进行证明．【例14】 已知x ，y 为实数，且满足33(1)2007(1)1(1)2007(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，求x y +的值． 【解析】 初中解法：令1a x =-，1b y =-，则原方程组为332007120071a a b b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②①+②得：332007()0a b a b +++=化简得：22()()2007()0a b a ab b a b +-+++= 即22()(2007)0a b a ab b +-++=由22221320072007024a ab b a b b ⎛⎫-++=-++> ⎪⎝⎭因此有0a b +=，即110x y -+-=， ∴2x y +=高中解法：由已知条件，可得3(1)2007(1)1x x -+-=- 3(1)2007(1)1y y -+-=-若设3()2007f t t t =+则上述条件即为(1)(1)1f x f y -=-=-又易知函数3()2007f t t t =+在R 上是增函数， ∴由上式11x y -=-，解得：2x y +=【例15】 判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．【解析】 ⑴奇函数； ⑵偶函数； ⑶奇函数； ⑷非奇非偶函数．【例16】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．【解析】 ⑴ 函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞∵222222221(1)1()()1(1)1x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ++⋅+-====---⋅- ∴函数221()1xxa f x a +=-为奇函数；⑵ 由1010x x -⎧⎨-⎩≥≥，得1x =，∴函数的定义域为{1}．由于函数的定义域不关于原点对称，∴()f x =为非奇非偶的函数．⑶ 函数的定义域为R ，且22()()5||5||()f x x x x x f x -=-+-=+= ∴函数2()5||f x x x =+为偶函数．【例17】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【解析】 设0x <，则0x ->∵()(1)f x x x -=-+及()()f x f x -=-∴()(1)f x x x =+ 当0x =时，(0)0f =．∴函数的解析式为(1)()0(1)x x f x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩(0)(0)(0)x x x <=>【例18】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有()()()f x y f x f y +=+．⑴求证：函数()f x 是奇函数； ⑵ 若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ．【解析】 ⑴ 令0x y ==得(0)0f =．再令y x =-得()()f x f x -=-∴函数()f x 是奇函数；⑵ ∵(3)f a -=，∴(3)(3)f f a =--=-，∴(24)(333)8(3)8f f f a =+++==-．<教师备案>若本题两问学生轻松做出可适当加大难度，题干不变，可增加一问⑶ 如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．解：设21x x >，则210x x ->，且21()0f x x -< 21211211()()()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-<∴函数()f x 为减函数．∴max (2)(2)2(1)1y f f f =-=-=-=，min (6)3(2)3y f f ===-．【例19】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间． 【解析】 将此函数写成分段函数的形式得：22(,0](1,)(0,1]x x x y x xx ⎧-∈-∞+∞⎪=⎨-∈⎪⎩，如图的实线部分是此函数的图象．由图象可知，此函数的递增区间为1(0,]2及(1,)+∞，递减区间为(,0]-∞及]1(,12．<教师备案>一般地，当函数()y f x =恒满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)时，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．【例20】 定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，如果这个函数在[1,2]上是增函数，则在[1,0]-上函数()f x 是( )A ．增函数B ．在1[1,]2--是减函数，在1[,0]2-上是增函数C ．减函数D ．在1[1,]2--是增函数，在1[,0]2-上是减函数【解析】 ∵()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．又()f x 在[1,2]上是增函数∴()y f x =在[0,1]是减函数 又()f x 是偶函数∴()y f x =在[1,0]-是增函数．故选A ．【例21】 已知函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____【解析】 因为此函数的图象关于2x =对称，所以它与x 轴的交点也关于直线2x =对称，交点的横坐标对应方程的根，从而两根之和为4．本讲涉及函数在数学内部的应用.大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用.课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处.函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质和相关知识，为函数的应用提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新.(一) 主要知识：1.函数定义域、图象、单调性质等知识；2.函数的值域、最值等知识.3.具体函数模型的性质和图象知识.(二)主要方法：一. 解答应用问题时，首先应进行严密地思考和深刻的分析综合，再将问题中的数量关系找出来，并联系实际问题建立相应的数学模型，转化为数学问题来 解决，注意实际问题中对自变量取值范围的限制.二. 解决应用性问题的一般步骤为：()1审题；()2建模；()3求解；()4作答． 我们可以用示意图表示为：(三)典例分析：1．函数在方程中的运用板块四：函数实际应用函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.【例22】 试判断方程22xx -+=【解析】 本题是一个超越方程，对这类方程用解方程的办法无法求出方程的解.可以构造函数，直接用数形结合看图象来得出结论令2x y -=，2y x =-+ 可以很明显的看到图象有两个交点.所以原方程的实数解的个数为2个.【变式】 试判断方程2|9|2x a -=+实根的个数.【解析】 本题利用先去根号，在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做，但步骤较繁复，而且容易出错，不如利用函数的图象简单明了.令2|9|y x =-，2y a =+，如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象：由图可知：当29a +>，即7a >时，函数有两个交点，即方程有2个实根； 当29a +=，即7a =时，函数有3个交点，即方程有3个实根； 当029a <+<，即27a -<<时，函数有4个交点，即方程有4个实根； 当20a +=，即2a =-时，函数有2个交点，即方程有2个实根； 当20a +<，即2a <-时，函数没有交点，即方程没有实数根；综上所述：当27a -<<时，方程有4个实根；当7a =时，方程有3个实根；当7a >或2a =-时，方程有2个实根；当2a <-时，方程没有实根.【例23】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++的值是( )A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】 B ．由函数()f x 的像关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，中心对称可知，3()2f x fx ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭． 又3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则3322f x f x ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()3333()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以，()f x 是以3为周期的偶函数． 从而，(1)(1)1f f =-=， (2)(13)(1)1f f f =-+=-=， (3)(0)2f f ==-．故(1)(2)(2006)f f f +++668((1)(2)(3))(2005)(2006)f f f f f =++++ (2005)(2006)(1)(2)2f f f f =+=+=．*2．函数在不等式中的运用(本部分内容对于新生可能较难，可以视情况而定)函数在不等式中的应用主要是：构造函数，利用函数的单调性证明不等式；构造函数，根据函数图象在另一函数图象的上方来解不等式；构造函数，讨论不等式的解的存在性.. 【例24】 设12,,a a …，n a 都是正数，证明对任意的正整数n ，下面的不等式成立：22221212()()n n a a a n a a a +++≤+++【解析】 将题目所给的数构造成函数的系数，我们发现212()n a a a +++和22212()n n a a a +++有2b 和ac 的样子，那么就将22212n a a a +++令为二次项的系数，2122()n a a a +++令为一次项系数，我们发现恰好能够配方成一个完全平方和的式子，那么显然其判别式小于等于0，问题得证.令22221212()2()n n y a a a x a a a x n =++++++++，则22222211212()2()(1)(1)(1)0n n n y a a x a a a x n a x a x a x =+++++++=++++++≥即函数()y f x =的函数图象开口向上且与x 轴相切或不相交. ∴222212124()4()0n n a a a n a a a ∆=+++-+++≤即22221212()()n n a a a n a a a +++≤+++【点评】这是一个基本的不等式，如果利用数学归纳法和不等式定理当然可以证明，但是这里我们借助函数的判别式，采取了另一种非常巧妙的方法来处理，避免了很多无谓的计算过程，本题构造的函数，利用根的判别式构造的十分巧妙，不太容易想出来.由此可见，利用函数解题最重要的是构造合适函数，函数构造的越好，解题就越容易.【例25】 解不等式|21|x -≤【解析】 此不等式当然两边平方可用，但是利用图象来处理也是非常简便的，令|21|y x =-，y =.令|21|y x =-，y =函数|21|y x =-的图象比较容易画出，而y =12y x =平移缩放等等变化得来的，可以不同考虑怎样平移缩放，因为函数y =12y x =的图象相似，只要找函数y =就可以准确无误的画出来.如下图：由上图可以看出，原不等式的解集为3{0}2x ≤≤.3．基本函数模型问题【例26】 一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以每秒3cm V 的速度向容器内注入一种溶液，求出容器内溶液高度y 与注入时间x (s )的函数关系及其定义域【例27】 某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电荷量为a kW ·h ，本年度计划将电价降到0.55元/ kW ·h 至0.75元/ kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/ kW ·h .经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/ kW ·h .(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k =0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20% (注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？【解析】 (1)∵0.55≤x ≤0.75，∴下调电价后新增的用电荷量为0.4kx -∴本年度用电荷量为0.4ka x +-∵受益＝实际用电量×(实际电价－成本价)，∴()(0.3)0.4ky a x x =+--(2)0.2k a =，∴0.2()(0.3)()(0.3)0.40.4k ay a x a x x x =+-=+---上年受益＝(0.80.3)a -，∴0.2()(0.3)(0.80.3)(120%)0.4ay a x a x =+-≥-+- 解得0.6x ≥ [0.55,0.75]∈ 即最低电价应定为0.6元/ kW h . 答：关系式为()(0.3)0.4ky a x x =+--，最低电价为0.6元/ kW h . 【例28】 某农场新开垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产值如下表：问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？50111202341100750600x y z x y z W x y z ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪=++⎩①②③由①和②可得,y z 用x 表示的形式，903240y x z x =-⎧⎨=-⎩代入③，可得：W=50x+43500 ④∵0,0y z ≥≥，∴2030x ≤≤，即当30x =时，max 45000W =. 9030y x =-=；24020z x =-=答：种植蔬菜30亩、水稻20亩，总产值最高，且可达到45000元.【例29】 某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？【解析】 设此商品每个售价为x 元，日利润为y 元，则：当x ≥18时：[605(18)](10)y x x =---25(20)500x =--+ 即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；当0＜x ≤18时：[6010(18)](10)y x x =+--210(17)490x =--+ 此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元. 答：定价为20元可获日最大利润.【例30】 某镇自来水厂，蓄水池原有水650t ，一天中在向水池中注水的同时蓄水池又向居民供水，(024)xh x ≤≤内向居民总供水.(1)当每小时向水池注水120t 时，一天中合适蓄水池中水量最少.(2)若蓄水池中水量少于170t ，就会出现供水紧张现象，问每小时向水池中注水多少吨，一天中才不会出现供水紧张现象？【解析】 由题意可得水量：650120y x =+-650120x =+-，配方后求得当5u =u =)，即256x =时，水量最少，为150t ；设每小时向水池中注水bt ，则由题意可得：650170bx +-，求解该不等式即可. (1)由题意可得水量：650120y x =+-650120x =+-u ，则原式等于2226502020020(10)65020(5)150y u u u u u =+-=-+=-+024x ≤≤，∴012u =≤∴当5u =，即256x =时，水量最少，为150t . (2)设每小时向水池中注水bt ，则由题意可得：650170bx +-，即650170bx +-，u ，则原式可化为：22006501706bu u -+≥即220048006bu u -+≥对一切[0,12]u ∈都成立. 即2600012(200)448006b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪∆=-≤⎪⎩或60012(12)0b f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩综合上不等式组可解得125b ≥答：在每天4时10分水量最少，每小时向水池中注水125吨可保证一天中不会出现供水紧张.【例31】 一批发兼零售的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，而少于51支则按零售价计算，批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔，若给全班每人买一支，则必须按零售价结算，需支付m 元(m 为整数)，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是支付m 元，问该班有多少学生？【解析】 设出班级人数为x ，那么第一种购买方式可得出零售价为mx，而第二种购买方式可知批发价为10mx +，通过批发价每购60支比零售价60支少付1元可得到二者的差价等式11060m m x x -=+，从而可解出单价x. 设全班有学生x 人，由题意可得40＜x ≤50.则铅笔的零售价为mx元，批发价为10mx +，则11060m mx x-=+，整理可得2106000x x m+-=解得：5x=-40550<-+又∵25+600m为完全平方数.综合可解得m=5，∴x=50.经检验，m=5，x=50是方程的解.答：该班共有学生50人.【例32】（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.【解析】(1)268 06002680.45(600) 600tyt t≤≤⎧=⎨+⨯->⎩（2）当0≤t≤600时，解不等式50+0.4t≥268，得545≤t≤600（t∈N），当t>600时，解不等式50+0.4t≥268+0.45(t-600)，得600<t≤1040(t∈N)，综上，545≤t≤1040时（t∈N），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱. （3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4×320），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.第一种方式的话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；第二种方式的话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；第三种方式的话费为：168元. 故选择第三种方式.事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.【例33】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a 海里时，每小时所耗燃料费为b 元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c 元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d 海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k ，则：2b ka =，2bk a = 设航速为每小时x 海里使最省，则：航行的总费用为22b d dS x ca x x=+当2bd cd x a x =，即x =时取最小值.习题1. 函数()f x =a 的取值范围是( )．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【解析】 D ．充分性．若0a >，则()f x 的定义域为[0)(0]a a -，，．这时()fx =，显然为奇函数．必要性，若()f x =是奇函数，则0a ≠(否则，()f x 的定义域为空集)．由()()f x f x -=-，得 =．课后作业。
幂函数及函数的零点.docx
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_______________教学过程:一、幕函数★知识梳理一、幕函数的概念一般地，形如歹二*（X W R）的函数称为幕函数，其屮兀是自变量，。
是常数二、幕函数的图像及性质幕函数卩二於（"SR, Q是常数）的图像在第一象限的分布规律是:①所有幕函数尸* （*R,。
是常数）的图像都过点（口）；②当"-123込吋函数厂*的图像都过原点（0,0）.③当吋，卩二〃的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如勺）；④当0 = 2,3时，y二於的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如5）⑤当^~2时，丿二於的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如°）⑥当a = -\时，V二於的的图像不过原点（°，°）,且在第一象限是“下滑”曲线（如“）三、基本性质当吋，幕函数有下列性质：（1）图象都通过点（°，°），（i，i）；（2）在第一彖限内都是增函数；（3）在第一象限内，。
>1吋，图象是向下凸的；°v"< 1吋，图象是向上凸的;（4）在第一象限内，过点（口）后，图象向右上方无限仲展。
当av°时，幕函数丁 =対有下列性质：（1）图象都通过点（口）；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与歹轴无限地接近；向右无限地与*轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点（1」）后，阀越大，图彖下落的速度越快。
无论。
取任何实数，幕函数卩二屮的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
★热点考点题型探析题型1：利用幕函数的单调性比较大小（丄）“,0.2“,2“［例1］（屮山市09届月考）已知©>0,试比较2 的大小；（J_）a 0 2a 2a［解题思路］欲比较3 '这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幕函数的单调性.. a 小、0.2<-<2 0.2" <（-）" <2"［解析］・尸兀在（°，+°°）上单调递增，乂 2 2［名师指引］比较几个数式的大小，是解题过程中常常遇到的知识考点，往往都要用到函数的单调性, 我们应该熟练掌握规定的几个特殊幕函数的单调性、奇偶性及图像特征. 题型2：由幕函数的性质确定解析式 ［例2］已知函数f (x)二x 22(pGZ)在(0,+8)上是增函数，口在其定义域上是偶函数。
幂函数函数知识点归纳总结
幂函数函数知识点归纳总结《幂函数函数知识点归纳总结：嘿，这可真有趣！》嘿，各位小伙伴们！今天咱来唠唠幂函数这个神奇的玩意儿，那可是高中数学里特别重要的一部分啊！咱先说说啥是幂函数。
简单说呢，就是那种形式像是y = x^a 的家伙，这里的a 可是个关键角色。
就好比是给x 披上不同的“外衣”，让它变得有了各种不同的性格。
这幂函数啊，有那么几个关键点得记牢。
首先就是幂指数a，它要是正数呢，那图像就雄赳赳气昂昂地往上走，越来越高。
要是负数呢，图像就垂头丧气地往下走，还会和坐标轴玩“暧昧”，怎么都不肯远离。
然后呢，当a 是奇数时，图像就是个对称美，左边右边都长得一样。
就像照镜子，这对称得让人看着就舒服。
嘿，你别说，学幂函数的时候还有些好玩的事儿。
有一次，我在做题，看到一个幂函数图像，怎么看都觉得它像个调皮的小鬼在那扭来扭去，还冲我做鬼脸呢！不过，咱可不能被它吓住，得找到它的规律，把它给收服喽。
还有啊，幂函数的性质也很有意思。
比如它的定义域，有时候是全体实数，有时候又得避开一些数，就像走在路上得避开那些坑坑洼洼的地方一样。
值域呢，也会跟着幂指数变来变去，一会儿大，一会儿小。
学习幂函数的时候，我还经常和同学们一起讨论，你一言我一语的，就像在开一场热闹的派对。
有时候会为了一个小问题争得面红耳赤，但最后搞清楚了，那感觉真是爽歪歪！就好像解开了一个大大的谜团，心里特别有成就感。
总之呢，幂函数知识点虽然有些让人头疼，但也有很多有趣的地方。
只要咱认真学，多做题，多和它“打交道”，就一定能把它拿下！把幂函数这个家伙彻底收服，让它为我们的数学之路增添一份乐趣和挑战。
小伙伴们，加油吧！让我们在幂函数的世界里尽情遨游，探索更多的奥秘！。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结幂函数知识点总结幂函数是数学中重要的函数之一，也是高考数学中的考点内容。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结，包括定义、性质、图像和应用等内容。
一、定义幂函数是指函数y = ax^n，其中a和n均为常数，且a ≠ 0，n为正整数。
其中，a称为幂函数的底数，n称为幂函数的指数。
幂函数的定义域为全体实数，值域根据指数的奇偶性而定。
当指数n为奇数时，值域为全体实数；当指数n为偶数时，值域为非负实数。
二、性质1. 当底数a大于1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而增大；当底数a介于0和1之间时，幂函数的图像随着自变量x的增大而减小。
2. 当指数n为正整数时，幂函数的图像在第一象限上且经过点(1,a)。
3. 当指数n为奇数时，幂函数的图像关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数的图像关于原点对称。
三、图像根据幂函数的性质，我们可以画出幂函数的大致图像。
以y = 2x^2为例，我们可以按照以下步骤绘制图像：1. 计算出若干个点的坐标，取x的值为-2，-1，0，1，2，3等，并计算出对应的y值。
2. 将这些点连接起来，形成平滑的曲线。
3. 注意幂函数的对称性，根据对称轴上的点可以在其他位置上找到对应的点。
四、应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：1. 复利计算：由于幂函数的特性，它可以很好地描述复利增长的情况。
例如，存款的本金在每年按一定的比例增长，这就可以用幂函数来表示。
2. 科学实验：在某些科学实验中，现象的变化与自变量并非线性关系，而是呈现幂函数的规律。
通过研究幂函数的图像和性质，可以更好地理解实验结果。
3. 经济增长：幂函数也可以描述经济增长的规律。
例如，某地区的GDP每年按一定的比例增长，可以用幂函数来表示。
总结：幂函数是高考数学中的重要知识点，掌握了幂函数的定义、性质、图像和应用，能够解决与幂函数相关的各种问题。
在学习过程中，我们还可以通过练习题加深对幂函数的理解和应用能力。
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第十一讲 幂函数与零点定理知识归纳和梳理：1.幂函数的定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2.幂函数a x y =的图像：（1）函数图像恒过（1，1）点； （2）在第一象限内图像的规律 当1>a 时，图像类型为① 当10<<a 时，图像类型为② 当0<a 时，图像类型为③ （3）幂函数在第四象限无图像；3.作幂函数图像的基本步骤：（1） 对照类型作出第一象限的图像（2） 将幂函数解析式化为根式，判断奇偶性 （3） 根据奇偶性补全其他象限的图像4.零点定理：若函数)(x f y =在区间[]b a ,内连续，且端点函数值)()(b f a f 与异号，即0)()(<b f a f ，则此函数在区间[]b a ,至少有一个零点。
（说明：如果将定理中的连续改为单调且连续，则此函数在区间[]b a ,内有且仅有一个零点）5.二分法求方程的近似解：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； 2．求区间a (，)b 的中点1x ； 3．计算)(1x f ：○1 若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ○3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； 4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．【典型例题】例1.函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______.例2.作出下列函数的大致图像（1）52x y = （2）38x y = （3）2-=x y（4）35x y = （5）43x y = （6）21-=x y经典练习1,2 1.942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．2.若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．3. 已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．例3.利用计算器，求方程03lg =-+x x 的近似解（精确到0.1）．经典练习31. 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中 得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定2.函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为 （ ） A ．1[0,]8B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]2例4. 已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12＜t ＜34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根．经典练习4：1.设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程202a x bx c ++=有仅有一根介于1x 和2x 之间。
2.（1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .【巩固练习】： 一、基础训练题：1．作出下列幂函数的大致图像 （1）43-=x y （2）72x y = （3）83x y = （4）53x y =2．函数12(0.58)xy -=-的定义域是 ．3.设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中 得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定4.若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；5.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定6.方程0lg =+x x 根的个数为（ ）A ．无穷多B ．3C ．1D ．07.函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ） A ．41B ．1-C ．4D ．4-8. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 9.函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．Ａ．12)， Ｂ．1)+，∞Ｃ．(22)-， Ｄ．(11--10. (2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点11. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5) 12.若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．13.已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.二、能力提高题： 1.解不等式3232)23()32(--+<-x x2.已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．3. (2009·福建高考)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －12)4. (2009·山东高考)若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是____ ____．5.已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①函数=y [])(x g f 有且仅有6个零点 ②函数[])(x f g y =有且仅有3个零点 ③函数[])(x f f y =有且仅有5个零点 ④函数[])(x g g y =有且仅有4个零点其中正确的命题是 ．课后作业：1. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]3．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根5. 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．。