南京财经大学学微积分期末试卷A答案

一、填空题（共 10 小题，每题 2 分，共
计20 分）
1 函数11
arcsin
+-=x x y 的定义域-----------
2 已知
0→x 时，()3
1
2sin ax
与
1cos 3
-x 是等价无穷小，则a=
-----------
3 设
)(x f 在点0x 处可导，则
x
x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim
000=----------- 4 已知需求函数为p Q d
4100-=，供给
函数为p Q s 620+-=，求均衡价格
______
=p
5 ________
lim 3sin 0=-→x
e e x
x
x
6 已知需求函数为5
10Q
P -
=，其中P
是价格，Q 是需求量，则当20=Q 时，边
际收益为-----------
7 设
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=0,0,arcsin 1)(2tan x ae x x
e
x f x x
在
0=x 连续，则a=
-----------
8设
()()x f
x f 2
='，则n 阶导数
()
()x f
n =
-----------
9若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则
___________)(=⎰dx x xf
10设函数)(x y y =的导函数为x cos ，
且1)0(=y ，则
_________)(=x y
1 ),0[+∞
x arcsin 的定义⇒
1
11
1,1≤+-≤--≠x x x 且
⇔112
11≤+-≤-x ⇔0122≤+-≤-x ⇔01
22≥+≥x ⇔01
11≥+≥x
⇔11≥+x ⇔0≥x
2 81-=a
()
1cos ~sin 3
3
1
2-x ax ⇒
()11
cos sin lim
3
3
1
20
=-→x ax x ⇒
()1cos 1sin lim
3
3
120
-=-→x
ax x ⇒
12
1
lim 3
23
2
3
0-=→x x a x ⇒
123
-=a ⇒81-=a
3
)(3)()3(lim 0000x f x
x f x x f x '-=∆-∆-→∆
x x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim
000 =x
x f x x f x ∆--∆--→∆3)
()3(lim 3000 =)(30x f '- 4
12=p
s
d Q Q =⇒
p
p 6204100+-=-⇒
12=p
5 61
lim 3sin 0=-→x e e x
x x
3sin 0lim x e e x
x
x -→
()
3
sin sin 0
1
lim
x
e e
x
x x
x -=-→ ()
3
sin sin 0
1
lim
x
e
e
x
x x x -=-→
()
3
sin 0
sin 0
1
lim
lim x
e e
x
x x x
x -∙=-→→
()
3
sin 0
1
lim
x
e x
x x -=-→
30sin lim x x x x -=→ 203cos 1lim x
x x -=→ 61321lim 22
0=
=→x x
x
6 2
QP
Q R =)(⇒
5
10)(2
Q
Q Q R -
=⇒
Q
Q R 5
2
10)(-='⇒
2
205
2
10)20(=⨯-='R 7
1-=a
)(x f 在0=x 连续⇒
)0()0()0(f f f =+=-⇒
x e
a x
x arcsin 1lim tan 0-=+
→
x e x
x arcsin 1
lim
tan 0--=+→
x
x
x tan lim 0+→-=
1lim 0-=-=+→x x x
8
()
())(!1
x f
n x f
n n +⋅=
()
())(!11
11x f
x f
+⋅=
若
()
())(!1
x f
n x f
n n +⋅=成立，则
()()()
()()'=+x f x f n n 1 ()()'⋅=+x f
n n 1! ()()'⋅=+x f n n 1!
())()1(!x f x f
n n n '+⋅= ())()1(!2x f x f
n n n +⋅= ()x f n n 1)1()!1(++⋅+=
∴由数学归纳法可知结论正确 9
C x x x dx x xf ++=⎰2cos 2
12sin )(
sin 2x 是()f x 的一个原函数⇒ )2(sin )(x d x dx x xf ⎰⎰=⇒ dx x x x dx x xf ⎰⎰-=2sin 2sin )(
C x x x ++=2cos 2
12sin 10 1sin )(+=x x y
x y cos ='⇒
⎰=xdx y cos ⇒
C x y +=sin ⇒
C
y +=0sin )0(⇒
1
C⇒=
y
=x
1
sin+。