3[1]3总体方差的假设检验

§3 检验母体方差 3.1 检验正态母体的方差
——2
χ检验
母体),(~2σμN X ，2
,σμ均未知，试对
2
σ与2
0σ有无显著差异作假设检验.
①在母体上作
假设
↔=2
020:σσH 2021:σσ≠H
②检验统计量
)1( ~ )1(22
02
2
--=*n S
n H χσχ
③给定显著水平α，如图存在
)1(22
1--
n α
χ
和)1(2
2
-n αχ，使
2
)}1({)}1({2
2
222
12α
χχχ
χαα
=
->=-<-
n P n P
故取拒绝域
}
)1()1(),,,{(2
2
222
12
21->-<=-
n n x x x W n αα
χχχ
χ或
④决策：当抽样结果是
W
x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0
H ，认为2
σ与2
0σ有
显著差异；否则接受0
H ，认为2
σ与20
σ无
显著差异.
例3.3.1 某细纱车间纺出的一种细纱支数的标准差2.10=σ，现从某日纺出的一批细纱中随机抽出16缕进行支数测
量，算得子样标准差1.2*
=s ，问：纱的均
匀度有无显著变化（取05.0=α）？假定
母体分布是正态的。

解: 设该日纺出的纱的支数
),(~2
σμN X ，2
,σμ均未知，
作假设↔=2.1:20σH 2.1:21
≠σH 检验统计量)1(~
)1(22
22
--=
*n S
n H χσ
χ
给定显著水平α，拒绝域为
}
)1()1(),,,{(2
2
222
1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或
这时16=n ，2.10=σ，1.2*
=s ，从而94.452
=χ，又05.0=α，查表得
262.6)15()1(975.02
1==--
χχ
α
n ，
488.27)15()1(025.02
==-χχαn ，
可见)1(2
2
->n αχχ，故应拒绝0H ，认为
这天细纱的均匀度有显著变化。

例3.3.2
),(~2
σμN X ，
2
,σμ均未知，
当45>n ，作如下假设检验
↔=2
2
0:σσH 2021:σσ≠H
检验统计量取为2
02
2
)1(σχ
*-=
S
n ，证明：给
定显著水平α，则拒绝域为
}
)1(2)1({})1(2)1({2
22
2ααχχu n n u n n W ---≤-+-≥= .
证明：作假设↔=2020:σσH 2
021:σσ≠H ，
0H 成立时检验统计量
)1(~)1(2
20
22
--=
*n S
n H χσ
χ
而45>n ，由2
χ分布的性质知，
)
1,0()
1(2)
1(~
2
N n n U H 近似
---=
χ
给定显著水平α，拒绝域为
}
)
1(2)
1({
}{2
22
ααχu n n u U W ≥---=≥=
}
)1(2)1({})1(2)1({2
22
2ααχχu n n u n n ---≤-+-≥= 证毕.
3.2 检验两个正态母体的方差相等——F 检验
设母体),(~2
11σμN X ，母体),(~2
22σμN Y ，
且X 与Y 相互独立，
2
221σσ，未知，试对21σ与
2
2
σ有无显著差异作假设检验.
①在母体上作假设
↔=22210:σσH 2
2211:σσ≠H
②
检
验
统计量
)
1,1(~ / 212*2*22
212*2*0
--==n n F S
S S S
F H
Y
X H Y
X σσ ③给定显著水平α，如图存在
)1,1(212
1---
n n F α和)1,1(212
--n n F α，使 2
)}1,1({)}1,1({212
212
1α
αα
=
-->=--<-
n n F F P n n F
F P
故取拒绝域
()1,1(),,,;,,,{(1
2
212
1212121>--<=-
n F F n n F
F y y y x x x W n n αα
或
④决策：当抽样结果是W y y y x x x n n ∈),,,;,,,(2
1
2121 时，拒绝0
H ，认
为2
1σ与22σ有显著差异；否则接受0
H ，认为2
1σ与22σ无显著差异.
注①: 在本章检验两个正态母体的均值相等，及在上一章求两个正态母体的均值之差的置信区间时，均须假定两个正态母体的方差相等。

——实际问题中，这一假设是否合理，可以用上述方
法去检验。

例3.3.3 有两种冶金方法，所得产
品中的杂质含量（%）分别为，
),(~2
11σμN X ，),(~2
22σμN Y ，且
X 与Y 相互独立，各抽取
一个子样，杂质含量（%）如下：
问：两种方法生产的产品中所含杂质的波动性有无显著差异（取05.0=α）？
解：作假设↔=22210:σσH 2
2211:σσ≠H
检验统计量 )
1,1(~
212
*2
*0
--=n n F S S
F H Y
X
拒绝域
()1,1(),,,;,,,{(1
2
212
1212121>--<=-
n F F n n F
F y y y x x x W n n αα
或
给定显著水平05.0=α，9,1321
==n n ，
则查表可得
20.4)8,12()1,1(025.0212
==--F n n F α，
28
.051
.31
)12,8(1)8,12()1,1(025.0975.02121====---F F n n F α
接受域为)20.4,
28.0(=W
又算得862.52*=X
S
，641.12*=Y
S
，从而
W
F ∈=572.3
故接受0
H ，即认为两种方法生产的产品中所含杂质的波动性无显著差异。

注②: 注意到附表4（F 分布的上侧
分位数表）中1),(21>n n F α，故在上述F 检
§4 单侧假设检验
（1）引例及说明
P102例
①原假设
H的选取原则: 检验产
品质量是否合格时，取
H为合格；检验
技术革新后某参数值有无显著变化时，取
H为变化不大。

②检验统计量的选取：与双侧检
验的相应情形一致。

③小概率事件的选取原则：给定α，依1H 选取。

④单侧检验拒绝域中的不等号方向与备择假设1H 中的一致。

（2）作法：（仅以下述几种情形为例）
①正态母体方差未知时，对均值的左边检验
作假设↔≥00:μμH 01:μμ<H
检验统计量 )1(~/0*0
--==n t n
S X T 时
μμμ
给定显著水平α，如图知有)
1(-n t α
使αα=--<)}1({n t T P ，故取拒绝域
})1(),,,{(21--<=n t T x x x W n α .
②大子样情形，对母体均值的右边检验
作假设↔
≤00:μμH :01μμ>H （其中
0μ已知）
检验统计量 )1,0(~
/00N n
S X U 时
近似
μμμ=-=
给定显著水平α，有αu 使αα≈≥}{u U P ，故取拒绝域
}),,,{(21αu U x x x W n ≥=
③对方差相等的两个正态母体均值之差的左边检验
作假设↔≥210:μμH 211:μμ<H 检验统计量
)
2(~
1111)()(212
1*
2
121*21212121-++
-=
+---===n n t n n S X X n n S X X T 时
时μμμμμμ
其中：2
)1()1(21*2
2*1
12
*22
-+-+-=n n S
n S n S
给定显著水平α，有)
2(21-+n n t
α
使
αα=-+-<)}2({21n n t T P ，故取拒绝域
}
)2(),,,;,,,{(21212121-+-<=n n t T y y y x x x W n n α。