高一数学必修4第一章复习题

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【2019-2020高一数学试题】人教A版必修4《正弦函数、余弦函数的性质(1)》试题答案解析

正弦函数、余弦函数的性质(1)——基础巩固类——一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos2x2．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．24．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π12 5．下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos3x6．如果函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A ．3B ．6C ．12D ．24二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝ .8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝ . 9．已知函数f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝ .三、解答题10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．——能力提升类——12．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( )A ．0B ．－π4 C.π2 D ．π13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )14．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 .15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．正弦函数、余弦函数的性质(1)(答案解析)——基础巩固类——一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π的是( D ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos2x解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin x2的最小正周期为T ＝2πω＝4π，故C 项不符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝2πω＝π，故D 项符合题意．故选D.2．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( A ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：函数f (x )＝x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．故选A.3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( B )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：∵T ＝π，且为奇函数．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1. 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( D )A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．故选D. 5．下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是( A ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x | C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos3x解析：A 中的函数周期为π.B 中的函数周期为π2.C 中的函数周期为π2.D 中的函数周期为23π.故选A.6．如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( B )A ．3B ．6C ．12D ．24解析：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，∴T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，∴ω＝6.选B.二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝8. 解析：π4＝2πω，∴ω＝8.8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝－5. 解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.9．已知函数f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝－1.解析：因为T ＝2，则f (x )＝f (x ＋2)．又f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，所以f (－1)＝f (1)＝1－2＝－1.三、解答题10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解：由题意知函数定义域为R .f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数． 11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π.——能力提升类——12．已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( B ) A ．0 B ．－π4 C.π2D ．π解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z .显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )解析：A 项，由f (－x )＝f (x )知函数f (x )为偶函数，故A 错．B 项，由函数f (x )为偶函数，周期为2，故B 正确．C 项，由函数f (x )为偶函数，故C 错．D 项，由函数f (x )周期为2.故D 错．14．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为±45. 解析：由题意得2πω＝π2， ∴ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95. ∴cos α＝35，∴sin α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32 解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。

高一数学必修四第一章复习参考题

A 组1.,24212(1);(2);(3);(4)0.435S S πβπβπππ-≤<-写出与下列各角终边相同的角的集合并且把中适合不等式的元素写出来：02. 3.14,).π在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54，求这个扇形的周长和面积(取计算结果保留两个有效数字3.(1)sin 4;(2)cos5;(3)tan8;(4)tan(3).-确定下列三角函数值的符号：14.cos ,sin ,tan .4ϕϕϕ=已知求5.sin 2cos ,x x x =已知求角的三个三角函数值. 4226.cos sin sin cos .αααα-+用表示22222227.(1)2(1sin )(1cos )(1sin cos );(2)sin sin sin sin cos cos 1.αααααβαβαβ-+=-++-+=求证：28.tan 3,4sin 2cos (1);5cos 3sin (2)sin cos ;(3)(sin cos ).ααααααααα=-++已知计算：9.252525(1)sincos tan();634(2)sin 2cos3tan 4(.πππ++-++先估计结果的符号，再进行计算：可用计算器） 110.sin(),2(1)cos(2);(2)tan(7).παπααπ+=---已知计算：0'00011.(1)sin 37821,tan1111,cos 642.5;3313(2)sin(879),tan(),cos();810(3)sin 3,cos(sin 2).ππ---先比较大小，再用计算器求值：12.2,x ππ<<设填表：2313.:(1)cos 1.5;(2)sin .4x x π==-下列各式是否成立，说明理由14.sin (1),;(2)32cos ,.xy x R y x x R π=∈=-∈求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合：15.02,(1)sin cos (2)sin cos (3)sin cos (4)sin cos .x x y x y x y x y x y x y x y x y x π≤≤========已知求适合下列条件的角的集合：和都是增函数；和都是减函数；是增函数，而是减函数；是减函数，而是增函数16.1(1)sin(3),;23(2)2sin(),;4(3)1sin(2),;5(4)3sin(),.63y x x R y x x R y x x R xy x R ππππ=-∈=-+∈=--∈=-∈画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：17.(1)sin ,[0,].2(2)(1)sin ,[0,2]?(3)(2)sin(),[0,2],y x x y x x y x k x k ππϕπϕ=∈=∈=++∈用描点法画出函数的图像如何根据第小题并运用正弦函数的性质，得出函数的图像如何根据第小题并通过平行移动坐标轴，得出函数的图像？（其中都是常数）B 组()1.(1);2;(3)2.23αααα已知为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：2.5一个扇形的弧长与面积的数值都是，求这个扇形中心角的度数.cos sin α3.已知为第二象限角，化简:214.tan ,3sin 2cos 1(1);(2).5cos sin 2sin cos cos αααααααα=-+-+已知计算：1+sin cos 2sin cos 5.sin cos .1+sin cos αααααααα++=++求证22226.cos ,(0,0), 1.tan y x y x a b a b a b θθ==≠≠-=已知求证：2227.tan sin ,tan sin ,()16.a b a b ab θθθθ+=-=-=已知求证：8.(1)3cos(2),3(2)sin(3),4y x x R y x x R ππ=-∈=-+∈函数在什么区间上是减函数？函数在什么区间上是增函数？2229.1.cos ,sin ,([0,)22cos ,sin ,(,,[0,)2r x y r x r y r r x a r y b r a b r r θθπθθθπθ+==⎧⎨=⎩=+⎧⎨=+⎩（）我们知道，以原点为圆心，为半径的圆的方程是那么表示什么曲线其中是正常数，在内变化）（）在直角坐标系中，表示什么曲线其中是常数，且为正数，在内变化）。

高一数学必修4第一章综合检测题

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第二象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] A[解析] α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．2．sin(－600°)＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 [答案] B3．已知角α的终边经过点P (3，－4)，则角α的正弦值为( ) A.34 B ．－4 C ．－45 D.35 [答案] C[解析] x ＝3，y ＝－4，则r ＝x 2＋y 2＝5，则sin α＝y r ＝－45.4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4k ∈Z[答案] D[解析] 要使函数有意义，则有x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠3π4＋k π，k ∈Z .5．已知sin(π＋α)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A ．－13 B.13 C ．－33 D.33[答案] B[解析] sin(π＋α)＝－sin α＝13，则sin α＝－13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝13. 6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的一个单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3 [答案] A[解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈[])，整理得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，所以仅有⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3是单调递减区间．7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54 C ．－54 D.45[答案] D[解析] sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－21＋tan 2θ＝45. 8．将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin(12x －π2)C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)[答案] B[解析] y ＝sin(x －π3)――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin(12x －π3)错误!y＝sin[12(x －π3－π3]＝sin(12x －π2)．9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数[答案] D[解析] ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )， ∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数． ∵f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x ＝0对称． 10．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32[答案] B[解析] ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32.11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)等于( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12[答案] C[解析] 首先由图象可知所求函数的周期为T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0代入解析式，得A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×11π12＋φ＝0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4＋φ＝0，∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－9π4＋2k π(k ∈Z )．令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A sin π4＝－22A ＝－23∴A ＝232，∴f (0)＝232cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝232cos π4＝23.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π]上是单调函数，则ω＋φ＝( )A.π2＋23B.π2＋2 C.π2＋32 D.π2＋103[答案] A[解析] 由于f (x )是R 上的偶函数，且0≤φ≤π，故φ＝π2.图象关于点M (3π4，0)对称，则f (3π4)＝0，即sin(3π4ω＋π2)＝0，所以cos 3ωπ4＝0.又因为f (x )在区间[0，π]上是单调函数，且ω>0，所以ω＝23.故ω＋φ＝π2＋23.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．[答案] 8014．化简1－2sin4cos4＝________. [答案] cos4－sin4[解析] 原式＝sin 24＋cos 24－2sin4cos4＝(sin4－cos4)2＝|sin4－cos4|.则sin4<cos4，所以原式＝cos4－sin4.15．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．[答案] 32[解析] ∵T ＝π，∴f (5π3)＝f (π＋2π3)＝f (23π)＝f (π－π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝32.16．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎫2x －π4，在下列四个命题中：①f (x )的最小正周期是4π；②f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；③若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z ，且k ≠0)； ④直线x ＝－π8是函数f (x )图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．[答案] ③④[解析] f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π，所以①不正确；f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，则f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向右平移π8个单位长度得到，所以②不正确；当f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－1时，有2x －π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，则x ＝－π8＋k π(k ∈Z )，又x 1≠x 2，则x 1＝－π8＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝－π8＋k 2π(k 2∈Z )，且k 1≠k 2，所以x 1－x 2＝(k 1－k 2)π＝k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以③正确；当x ＝－π8时，f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－π4＝－1，即函数f (x )取得最小值－1，所以④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设f (θ)＝ 2cos 3θ＋sin 2(2π－θ)＋sin (π2θ)－32＋2sin 2(π2＋θ)－sin (3π2－θ)，求f (π3)的值．[解析] 解法一：f (π3)＝2cos 3π3＋sin 2(2π－π3)＋sin (π2＋π3)－32＋2sin 2(π2＋π3)－sin (32π－π3)＝2cos 3π3＋sin 25π3＋sin 5π6－32＋2sin 25π6－sin7π6＝2×18＋34＋12－32＋2×14＋12＝－12.解法二：∵f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ ＝2cos 3θ＋1－cos 2θ＋cos θ－32＋cos θ＋2cos 2θ＝2cos 3θ－2－(cos 2θ－cos θ)2＋cos θ＋2cos 2θ ＝2(cos 3θ－1)－cos θ(cos θ－1)2＋2cos 2θ＋cos θ＝(cos θ－1)(2cos 2θ＋cos θ＋2)2cos 2θ＋cos θ＋2＝cos θ－1，∴f (π3)＝cos π3－1＝－12.18．(本题满分12分)(2011～2012·山东济南一模)已知sin θ＝45，π2<θ<π.(1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． [解析] (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π， ∴cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.19．(12分)已知x ∈[－π3，2π3]，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．[解析] (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数，∴当x ＝0时，y 取最大值1； x ＝2π3时，y 取最小值－12.∴y ＝cos x 的值域为[－12，1]．(2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，即y ＝3(cos x －23)2－13，由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，154]．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R . 求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合； (2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图象？ [解析] (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3k π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象； ②将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象； ③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象； ④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋π4－1的图象． 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．[解析] (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)的图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1. 所以4π3＋φ＝2k π－π2，(k ∈Z )．故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)因为x ∈[0，π12]，所以2x ＋π6∈[π6π3]．所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3. 22．(本题满分12分)已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求出使f (x )取得最大值时x 的取值集合．[解析] (1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，76π]，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)当sin(2x ＋π6)＝1时f (x )取得最大值，此时2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z ，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．。

高一数学必修4第一章三角函数(正弦型函数以前部分)

正弦型函数一．正弦函数y=sinx图像:二．正弦函数y=sinx性质:1.定义域：2.值域：3.奇偶性：4.周期性：5.单调增区间：单调增区间：6.对称中心：对称轴：三.正弦型图像与性质①y=sinx------→------------→②y=sinx------→------------→sin()(0,0)y A x Aωφω=+>>sin()(0,0)y A x Aωφω=+>>sin()(0,0)y A x Aωφω=+>>跟踪综合训练一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A ．3πB ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边（） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上C ．在y 轴上D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．2-B ．2C ．12D ． 12-6、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位 7、如图，曲线对应的函数是（）A ．y=|sin x |B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |8 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒ 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 11、函数sin(),2y x x R π=+∈是（）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数12、函数y =的定义域是（） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2()66k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．72,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦13、已知αβαππβαπ2,3,3则-<-<-<+<的取值范围是 . 14、)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 .15、函数2sin()([,])863y x x πππ=-∈的最小值是． 16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、（8分）已知3tan 2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19、（8分）已知N （2，2）是函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标（6，0），求此函数的解析表达式.20、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+21、（10分）求函数2(x)sin 2sin 5f x a x =++的值域(其中a 为常数)22、（8分）给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21； ②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位； ④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度2. （2分）把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·临沂期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度4. （2分）用“五点法”作y=2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A . 0,,π,,2πB . 0,,,,πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0,,,,5. （2分） (2020高三上·兴宁期末) 由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A .B .C .D .6. （2分）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A .B .C .D .7. （2分）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A . 向左平移1个单位B . 向右平移1个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位8. （2分）已知函数f（x）=cos2x与g（x）=cosωx（ω＞0）的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A . 4B . 2C . 1D .9. （2分） (2017高一下·禅城期中) 三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（）A . ，B . ，πC . ，D . ，π10. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A . 5B . 4C . 3D . 211. （2分）用“五点法”作函数y=cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（）A . 0，，π，，2πB . 0，，，，πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0，，，，12. （2分） (2016高三上·红桥期中) 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A . 2，﹣B . 2，﹣C . 4，﹣D . 4，13. （2分）函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到-1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（）A .B .C .D .14. （2分）(2017·合肥模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1 ， x2 ， f（x1）﹣f（x2）的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 615. （2分）(2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=________17. （1分）(2016·杭州模拟) 函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则函数表达式为________；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数g （x）=________．18. （1分） (2015高三上·河西期中) 已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 =________．19. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．20. （1分） (2017高一上·安庆期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ+ ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所示，则φ的值为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2019高一上·郁南月考) 已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（，）此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点（，0）且φ∈（- ，）（1）求曲线的函数表达式;（2）用“五点法”画出函数在[0，2 ]上的图象.22. （5分） (2020高一上·武汉期末) 已知函数 .（1）用五点法画出该函数在区间的简图；（2）结合所画图象，指出函数在上的单调区间.23. （5分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？24. （5分） (2019高一下·蛟河月考) 函数的一段图像过点，如图所示.（1）求在区间上的最值；（2）若 ,求的值.25. （5分）(2017·黑龙江模拟) 某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φ0π2πxAsin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的对称中心．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、。

高一数学必修1、4基础题及答案

必修1 第一章集合基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（） A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是（）5．下列表述正确的是（） A.}0{=∅ B. }0{⊆∅ C. }0{⊇∅ D. }0{∈∅ 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有（） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8.集合A ={1，2，x }，集合B ={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x =（） A. 1 B. 3 C. 4 D. 59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（）A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是（）MNAMNBNMCMNDA. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U11.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤ ( )A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．用描述法表示被3除余1的集合． 14．用适当的符号填空：（1）∅ }01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ；（3）{1} }{2x x x =；（4）0 }2{2x x x =． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M . 三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求实数a 的值．19. 已知方程02=++b ax x ．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a ，b 满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a ，b 的值20. 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ⊆，求实数a 的取值范围．必修1 函数的性质一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋ 1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（）A ．－7B ．1C ．17D ．253.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是（）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（）A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t ) ＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞10．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围（）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则（）A )2()1(-<<f c fB )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝。

人教版高一数学必修四第一章正、余弦函数的周期性与奇偶性

第一章三角函数
y＝cosx
图象
定义域周期最小
正周期奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__ _奇__函__数___
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_偶__函__数___
栏目导引
第一章三角函数
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z) 也可以说明它们的周期性． (2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
答案：B
栏目导引
第一章三角函数
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝2017，则 f(2)＝ ________．答案：2017
栏目导引
第一章三角函数
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sinx|.
第一章三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章三角函数
考点
学习目标
函数的周期性了解周期函数的概念
正、余数的周期
正、余弦函数的奇偶性
理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性
栏目导引
第一章三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

北师大版高中数学高一必修4学案第一章7.1-7.2正切函数的定义正切函数的图像

正切函数7．1&7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质预习课本P36～38，思考并完成以下问题1．正切函数的定义是什么？2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？3．正切值在各象限的符号是什么？4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？[新知初探]1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A (1,0)，过A 作x 轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T ，称线段AT 为角α的正切线．[点睛] (1)若α＝π2＋k π(k ∈Z)，则角α的终边落在y 轴上，此时P (0，b )，比值b a 无意义，因此正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z . (2)正切函数tan α＝ba 是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．[点睛] 正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质函数y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R周期性周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z)上是增加的[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ( ) (2)正切函数在其定义域内为增函数( ) (3)若角α的终边在y ＝x 上则tan α＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2 B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关解析：选B 由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π. 3．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1]4．函数f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ，且f (－x )＝1－2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数．答案：偶利用定义求正切值[典例] 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AO Q ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝⎛⎭⎫35，45，试求tan α.[解] (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝⎛⎭⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P ′⎝⎛⎭⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AO Q ＝α且Q ⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P 的纵坐标与横坐标的比值；若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P 的纵坐标与横坐标的比值．[活学活用] 已知P ⎝⎛⎭⎫x ，－32是角α终边上一点，且tan α＝－3，求x 的值．解：由题意得tan α＝－32x ＝－3，解得x ＝12，故x 的值是12.正切函数的定义域、值域[典例] (1)求函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4；②y ＝tan 2x ＋4tan x －1.[解] (1)由题意知，2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，∴x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，(2)①∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4，∴－π4≤x －π4＜π2， y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎭⎫0，34π上为增函数，且y ≥－1， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，34π的值域为[)－1，＋∞. ②令t ＝tan x ，则t ∈R ，y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5， ∴函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[)－5，＋∞.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tan x ，需x ≠k π＋π2，k ∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．[活学活用]1．函数y ＝3x －x 2tan x的定义域是A ．(0,3]B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3 D.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3 解析：选C根据函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠k π，x ≠k π＋π2，故0＜x ＜π2或π2＜x ≤3，即函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3，故选C.2．已知π4≤x ≤π3，函数f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1，求函数f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．解：设tan x ＝t ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， ∴t ∈[1，3]，∴f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1 ＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，f (x )min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，f (x )max ＝103－4.正切函数的图像及其单调性题点一：正切函数图像的识别1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像大致是( )解析：选D 法一：由题意，得y ＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π，3π2，作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x 从右边无限接近π2时，tan x 趋向于－∞，故|tan x －sin x |趋向于＋∞，∴y 趋向于－∞.故选D. 题点二：利用正切函数图像求解不等式 2．解不等式：tan x ≥－1.解：作出函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的大致图像，如图． ∵tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1， ∴在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内满足tan x ≥－1的x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－π4，π2. 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .题点三：求单调区间3．写出下列函数的单调区间．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6； (2)y ＝|tan x |.解：(1)当k π－π2＜x 2－π6＜k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z)时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6单调递增．∴函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3(k ∈Z)． (2)y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，k ∈Z.可作出其图像(如下图)，由图像知函数y ＝|tan x |的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x 的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．正切函数的奇偶性与周期性[典例] 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )．又定义域⎣⎡⎦⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．(2)注意正切函数的最小正周期为π. [活学活用]1．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( )A ．πaB ．π|a | C.π aD.π |a |解析：选B T ＝π⎪⎪⎪⎪1a ＝π|a |. 2．下列函数中，同时满足条件①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，②是奇函数，③是以π为最小正周期的函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |解析：选A 验证知A 符合①②③.层级一学业水平达标1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z)B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)．2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( )A ．2B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2k k＝2. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为__________．解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 解析：由T ＝x |ω|＝π2，∴ω＝±2. 答案：±29．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.因为y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．即原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．10．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x |cos x |＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．层级二应试能力达标1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3D. 3解析：选D 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3. 2．在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎨⎧ sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________. 解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2， ∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2.答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数，则ω的范围是________．解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π，∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x 的单调性．解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的． ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值范围．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。

人教版高中数学高一A版必修4 第一章第四节三角函数的图象与性质(第三课时)

第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )．点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的．解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]．取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]，故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．知能训练课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]．点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值．4．B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性．这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案．数形结合是实现这一目标的最佳方法．5．(1)sin250°>sin260°；(2)cos 15π8>cos 14π9；(3)cos515°>cos530°；(4)sin(－54π7)>sin(－63π8)．点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．6．[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . 点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x 的不等式，通过解不等式求得答案．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝－1＋sin x ＋cos 2x 1－sin x. 解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称．∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }． ∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sin α这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅．而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了．但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了．我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力．现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了．这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑．有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标．1．是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的．三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名．“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年．但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了．有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在．现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局，将三角并入了代数内容．这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重．从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是．这是由当时的数学认知水平决定的．而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”．现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写．所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点．2．是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的．大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差．调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量．把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本．3．国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”．他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了．德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sin x 、cos x 、tan x 和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)．另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限．从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍；第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系．这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的．现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及．人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步．在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x )的单调减区间是( ) A ．[2k π－π12，2k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[4k π－5π3，4k π＋11π3](k ∈Z ) C ．[k π－5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) 答案：D2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( ) A ．{x |2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z } B ．{x |2k π－π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }∪{x |2k π＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z } 答案：A3．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lgsin x ；(2)y ＝2cos3x .答案：解：(1)由题意得sin x >0，∴2k π<x <(2k ＋1)π，k ∈Z .又∵0<sin x ≤1，∴lgsin x ≤0.故函数的定义域为[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x ≥0，∴2k π－π2≤3x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴2k π3－π6≤x ≤2k π3＋π6，k ∈Z . 又∵0≤cos x ≤1，∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[2k π3－π6，2k π3＋π6]，k ∈Z ，值域为[0,2]．。

高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象2课时课件(共63张PPT)

变为原来的
1
w
倍.
3. y=sinx 与 y=Asinx
设 A =2, 画出 y=sinx 和 y=2sinx 的图象.
在 x 坐标相同的情况下,
y
y=2sinx 图象上各点的 y 坐标
2 y=2sinx
是 y=sinx 的 2 倍.
11
将 y=sinx 的图象沿 y 轴方向伸长到原来的 2 倍即得
(1)
y
=
4sin
1 2
x,
xR;
(2) y = 12cos3x, xR;
(3)
y
=
3sin(
2x
+
6
),
xR;
);
(2) y=sin3x;
(4)
y
=
2sin(
2x
4
).
解: (3)
将 y=sinx 的图象向右
平移个单位即得
3
y
=
sin(
x
3
)
的图象.
y
1
11
6
O 543 27 x 1 32 6 3 2 3
练习: (课本55页)
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的
简图:
(1) (3)
yy==s12ins(inxx;3
得到
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
的图象.
y
2
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
1
y
=7sin(3x56
)
13
y
=
sin(
1 3
x

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高一数学必修4第一章复习题
一、选择题
1、与角o
315终边相同的角是（）
A.495o
B.－45o
C.－135o
D.450o
2、已知α为第一象限，那么
2
α
是（）Ａ.第一象限角Ｂ.第二象限角Ｃ.第一或第二象限角Ｄ.第一或第三象限角 3、已知3tan -=α，则αsin = （） A 、23-
B 、21-
C 、2
1
± D 、23±
4、2
sin
tan )cos(0sin π
ππ++-+等于（）
A.0
B.1
C.2
D.－1
5、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在的象限是（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
6、函数的最大值2sin 2+=x y 和最小值分别为（） A ．2,-2 B ．4,0 C ．2，0 D ．4，-4
7如果21)sin(-=+A π，那么)2
cos(A +π
的值是（）
A 、2
1
-
B 、21
C 、23-
D 、23
8、函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（） A ．{}3,1,0,1- B ．{}3,0,1- C ．{}3,1- D ．{}1,1-
9、已知=-=-ααααcos sin ,4
5
cos sin 则（）
A 、
4
7
B 、16
9-
C 、329-
D 、
32
9 10、函数()sin(2)2([0,])63f x x a x ππ
=-++∈的最大值为2，则a ＝（）
A 、－1
B 、1
C 、－2
D 、2 二、填空题 11、扇形的中心角为
3
2π
，弧长为2π，则其半径为。

12、已知角α终边经过点P （4，－5），则αtan ＝________． 13、函数)4
2sin(2π
+
=x y 的最小正周期是___________其单调增区间是___________
14、在[]π2,0范围内，满足x x cos sin >的角x 的取值范围是___________
三、解答题
15、已知)
sin()tan()
2tan()23cos()2sin()(αππααπαπ
π
αα+-----
=
f ，（1）若3πα=，求f(α)的值。

（2）若的值求)(,5
1
)23cos(απαf =-
16、已知tan 2x =-，（2
x π
π<<）
，求下列各式的值：（1）
cos sin sin cos x x x x -- （2）22
12sin cos cos sin x x x x -- （3）22
21sin cos 34
x x + 参考答案
一、选择题：1-10 BDDAB 、BACBA
二、填空题：11、3 12、54
- 13、π 、 ()
3,8
8k k k z ππππ⎡⎤⎢⎥⎢⎦⎣-++∈ 14、5,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
三、解答题
解：15、（1）)
sin()tan()2tan()23cos()2sin()(αππααπαπ
π
αα+-----
=
f )
sin (tan )tan ()sin (cos ααααα-⋅--⋅-⋅-=αcos -=
（2）,51)23cos(=-
πα则,51sin )23cos(=-=-ααπ得5
1
sin -=α 因为α是第三象限角，所以α
ααα22sin 1)sin 1(cos )(-=--
-=-=f
5
62)51(12=--=
16、（1）1tan 3
=
==1tan 13
x x ----原式
22222
sin cos 2sin cos (cos sin )cos sin 1tan 3cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan =x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
+----====---+++(2)原式 ()2222223212181sin cos tan 7343434=sin cos tan 14112
x x x x x x +++===+++原式。