江苏省2004高考数学 名师整理真题分类汇编 直线与圆

直线与圆一、选择填空题1.（江苏2004年5分）设k>1，f(x)=k(x －1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f －1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P点。

已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于【 】(A)3 (B)32 (C)43 (D)65【答案】B 。

【考点】反函数。

【分析】根据题意画出图形，如图。

∵互为反函数的两个函数的图象关于y=x 对称，∴这两个函数的图象交于P 点必在直线y=x 上，且A ，B 两点关于y=x 对称。

∴AB⊥OP。

∴四边形OAPB 的面积=12·AB·OP=12OP 32⋅⋅=。

∴OP 32=。

∴P（3，3），代入f （x ）=k （x －1）得：k= 32。

故选B 。

2.（江苏2004年4分）以点(1，2)为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切的圆的方程是 ▲ .【答案】22x 1y 225-+-=（）（）。

【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离。

【分析】求出圆心到直线4x ＋3y －35=0的距离，即圆的半径；由圆的标准方程求得圆的方程：∵圆以点（1，2）为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切， ∴圆心到直线的距离等于半径，即：224635543+-=+。

∴所求圆的标准方程：22x 1y 225-+-=（）（）。

3.（江苏2006年5分）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是【 】 （A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0 【答案】C 。

【考点】圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件。

【分析】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径； (2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。

设直线0ax+by =22(1)(3)1x y -++=与相切，则|3|12a b -=，由排除法，故选C 。

4.（江苏2008年5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,),B(,0),C(,0)a b c ，点P(0,)p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线BP,CP 分别与边AC ，AB 交于点E ，F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程：（ ▲ ）011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 。

【答案】11c b-。

【考点】直线的一般式方程，归纳推理。

【分析】由对称性可猜想填11c b -。

事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程。

5.（江苏2010年5分）在平面直角坐标系x O y 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 ▲ [ 【答案】（－13，13）。

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】求出圆心和半径，圆心到直线的距离小于半径和1的差即可：由422=+y x 得圆半径为2。

A BCx y PO F E由圆心（0，0）到直线1250x y c -+=的距离小于1||113c =<， ∴c 的取值范围是（－13，13）。

6.（江苏2011年5分）设集合()222A 22m x,y |(x )y m ,x,y R ⎧⎫=≤-+≤∈⎨⎬⎩⎭,(){}B 221x,y |m x y m ,x,y R =≤+≤+∈,若A B ,φ≠I 则实数m 的取值范围是 ▲【答案】1 22,⎡+⎢⎣。

【考点】集合概念和运算，线性规划，直线的斜率，两直线平行关系，点到直线的距离，圆的方程，直线与圆的位置关系，含参数分类讨论，解不等式。

【分析】由A B ,φ≠I 得，A φ≠，∴,22m m ≥即21≥m 或0≤m 。

当0≤m 时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间。

∵圆心到两直线的距离分别为m m m ->-=-22222，m m m ->-=--2222122， ∴圆心到两直线的距离都大于圆的半径m ，即A B φ=I ，与已知A B φ≠I 不符，此时无解。

当21≥m 时，集合A 是以（2，0m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间。

m ≤m ≤即可，解得2222+≤≤-m 或221221+≤≤-m 。

∴实数m 的取值范围是1 222,⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。

7. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离2421k k -+，∴24221k k -≤+，解得403k ≤≤。

∴k 的最大值是43。

8. （2012年江苏省5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a的取值范围是 ▲ ．【答案】[] 7e ，。

【考点】可行域。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a bc c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设==a bx y c c，，则题目转化为： 已知x y ，满足35400xx y x y y ex >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切 线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥， 则00000==y ex m me x x x ++，要使它最小，须=0m 。

∴yx的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时， =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩， ∴yx的最大值在C 处，为7。

∴yx的取值范围为[] 7e ，，即b a 的取值范围是1.（江苏2005年12分）如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，12O O 4=，过动点P 分别作圆O 1.圆O 2的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PM 2PN =试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程【答案】解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示 平面直角坐标系。

则O 1（－2，0），O 2（2，0），由已知：PM 2PN =，即ＰＭ２＝２ＰＮ２，∵两圆的半径都为1，∴2212PO 12(PO 1)-=-，设()P , x y ，则()()222221221x y x y ⎡⎤++-=-+-⎣⎦，即33)6(22=+-y x 。

∴所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）。

【考点】点与圆的位置关系，勾股定理，两点间距离公式。

【分析】建立直角坐标系，设P 点坐标，列方程，化简，即可得到结果。

2.（江苏2007年14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C(0,)c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于P ，Q ，（1）若OA OB 2⋅=u u u r u u u r，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

（4分）【答案】解：（1）设过C 点的直线为y kx c =+，∴()20x kx c c =+>，即20x kx c --=。

设A ()()1122,,B ,x y x y ，OA u u u r=()11,x y ，()22OB ,x y =u u u r ，∵OA OB 2⋅=u u u r u u u r，∴12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，()221212122x x k x x kc x x c +-++=。

PMNO1O2Oyx∴222c k c kc k c --++=g ，即220c c --=。

∴()21c c ==-舍去。

（2）设过Q 的切线为()111y y k x x -=-， 由2y x =得/2y x =，∴112k x =。

∴2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11,22x cc x ⎛⎫--⎪⎝⎭。

又21212P ,,2222x x y y k kc ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

∵12x x c =-，∴21c x x -=。

∴M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

∴点M 和点Q 重合，即QA 为此抛物线的切线。

（3）（2）的逆命题是成立。

由（2）可知Q ,2k c ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∵PQ ⊥x 轴，∴P ,2P k y ⎛⎫⎪⎝⎭。

∵1222x x k+=，∴P 为AB 的中点。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量数量积的运算。

【分析】（1）设过C 点的直线的方程，与抛物线方程联立设出A ，B 的坐标则，OA u u u r 和OB u u u r可分别表示出来，根据OA OB 2⋅=u u u r u u u r 得222c k c kc k c --++=g，求得c 。

（2）设过Q 的切线方程，通过对抛物线方程求导求得切线的斜率，从而可表示出切线方程求得与y c =-的交点为M 的坐标，从而根据P 为线段AB 的中点，求得Q 点的坐标，根据12x x c =-可表示出M 的坐标，判断出以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。