河南省新安县第一高级中学2019-2020学年高二5月月考数学(理)试题 Word版含答案

绝密★启用前新安一高高二年级5月份月考（数学理）数学试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1.已知i为虚数单位，则z=i1−2i在复平面内对应的点位于（）A、第四象限B、第三象限C、第二象限D、第一象限2.已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f′(x0)=2，则limt→0f(x0+t)−f(x0−3t)t=（）A、2B、8C、−4D、不能确定3.(x2−2x)6的展开式中常数项为（）A、−240B、−160C、240D、1604.有一段演绎推理：“对数函数y=log a x是增函数；已知y=log0.5x是对数函数，所以y=log0.5x是增函数”，结论显然是错误的，这是因为（）A、大前提错误B、小前提错误C、推理形式错误D、非以上错误5.函数y=2|x|sin2x的图像大致为（）A、B、C、D、6.下列使用类比推理正确的是（ ）A 、“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B 、“若x +1x =2 ，则x 2+1x 2=2 ”类比推出“若x −1x =2 ，则x 2−1x 2=2 ”C 、“实数a,b,c 满足运算(ab)c =a(bc) ”类比推出“平面向量a ⟶,b ⟶,c ⟶满足运算(a ⟶⋅b ⟶)c ⟶=a (b ⟶⋅c ⟶)⟶ ”D 、“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”7.lim n→∞∑(1n √kn )n k=1= （ ）A 、12B 、23C 、1D 、328.已知f(x)=alnx +12x 2(a >0) ，若对任意两个不等的正实数x 1,x 2 ，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A 、(0,1]B 、(1,+∞)C 、(0,1)D 、[1,+∞)9.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是f(n) ．由f(1)=1,f(2)=7,f(3)=9,⋯ ，可推出f(10)= （ ）A 、271B 、272C 、273D 、27410.设函数f(x)=(x −a)(x −b)(x −c) （a,b,c 是互不相等的常数），则af ′(a)+bf ′(b)+cf ′(c) 等于（ ） A 、0B 、1C 、3D 、a +b +c11.定义在R 上的可导函数f(x) ，当x ∈(1,+∞) 时，f(x)+f′(x)<xf′(x) 恒成立，a =f(2) ，b =12f(3) ，c =(√2+1)f(√2) ，则a,b,c 的大小关系为（ ）A 、c <a <bB 、b <c <aC 、a <c <bD 、c <b <a12.设函数f′(x) 是函数f(x)(x ∈R) 的导函数，当x ≠0 时，f′(x)+3f(x)x<0 ，则函数g(x)=f(x)−1x 的零点个数为（ ） A 、3B 、2C 、1D 、013.定义运算|abcd|=ad −bc ，若复数x =1−i 1+i ，y =|4ixi 2x +i | ，则y = .14.观察下列各式：72=49 ，73=343 ，74=2401 ，⋯ ，则72016 的末两位数为 .15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“⋯ ”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x 求得x =1+√52，类似上述过程，则√3+√3+√⋯= .16.设S,V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O −ABC 的体积用V O−ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB ⟶|⋅OA ⟶+|OA ⟶|⋅OB ⟶=0⟶．将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ⋅OA ⟶+S △OCA ⋅OB ⟶+S △OBA ⋅OC ⟶=0⟶．将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A −BCD 内一点，则有 .17.已知z=(3+i)a2+303i−1⋅a+14i−6（i为虚数单位，a∈R）.(1)若z=0，求a的值；(2)若z为纯虚数，求a的值.18.已知函数f(x)=16x3−20ax2+8a2x−a3，其中，求f(x)的极值.19.正项数列{a n}满足a1=2，a n+12−4a n+1=4a n2−2n+3(n∈N∗) .(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并给予证明；(1)已知x,y∈R+且x+y>2，求证：1+2yx 与1+2xy中至少有一个小于3 .(2)当a+b>0时，求证：√a2+b2⩾√22(a+b) .21.已知函数f(x)=13x3−12ax2+(a−1)x+1，a为实数.(1)当a⩾2时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间[1,4]上是减函数，求a的取值范围.22.已知函数f(x)=alnx+x2，其中a∈R .(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，证明：f(x)⩽x2+x−1；(3)试比较ln2+ln3+ln4+⋯+lnn与(n−1)(2n+1)2(n+1)（n∈N∗且n⩾2）的大小，并证明你的结论.2019-2020学年新安一高高二下学期5月份摸底考试数学(理)答案一、选择题答案：1—5 CBCAD 6—10 DBDAA 11—12 AD 二、填空题答案：13、-2 14、 01 15、2113+ 16、V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝ 三、解答题答案：17解：由题可得()()222239314632914z a a i ai a i a a a a i =+--+-=--+-+.（1）因为0z =，所以()22320,9140,a a a a ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩由()2320a a --=，解得1a =-或2a =； 由29140a a -+=，解得2a =或7a =；若满足题意，故2a =. …………………………………… 5分（2）因为z 为纯虚数，所以()223209140a a a a ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩，由()2320a a --=，解得1a =-或2a =； 由29140a a -+≠，解得2a ≠且7a ≠；所以1a =-. …………………………………………………… 10分18【解】 因为f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，所以f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a3. ……………………………… 2分(1)当a >0时，a 3<a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝a 3时，函数f (x )取得极大值f (a 3)＝a 27；当x ＝a 2时，函数f (x )取得极小值f (a2)＝0. ……………………………… 6分 (2)当a <0时，a 2<a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝a 2时，函数f (x )取得极大值f (a2)＝0； 当x ＝a 3时，函数f (x )取得极小值f (a 3)＝a 327.综上，当a >0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值a 327，在x ＝a2处取得极小值0；当a <0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值0，在x ＝a 3处取得极小值a 327. ……… 12分19、解：（1）2a =4，3a =8；4a 4a =16，5a =32 …………………………………… 4分（2）猜想：数列{}n a 的通项公式为2nn a =. …………………………………… 5分下面用数学归纳法证明其成立. ①当1n =时，12a =猜想成立 ②假设当()*n k k N=∈时，猜想成立，即2k ka=，那么当1n k =+时，有2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-， 所以2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-， 即()()2211222k k a ++-=-，解得112k k a ++=或1142k k a ++=-，因为{}n a 是正项数列，而*k N ∈时，1420k +-…，所以112k k a ++=.这就是说，当1n k =+时猜想也成立.根据①和②可知，猜想成立，即2nn a =. …………………………………… 12分20、证明：⑴（反证法）假设结论不成立，即有123yx+≥且123x y +≥，由已知+∈R y x ,， 所以有123y x +≥且123x y +≥，故222332x y x y x y ++≥+⇒≥+，与已知2x y +>矛盾，假设不成立.所以有12y x+与12x y +中至少有一个小于3成立. ……………………………………………………………… 6分（2）证明：(分析法)要证22b a +≥)(22b a +，只需证222)(b a +≥2)](22[b a +， 即证22b a +≥)2(2122ab b a ++，即证22b a +≥ab 2.因为22b a +≥ab 2对一切实数恒成立， 所以22b a + ≥)(22b a +成立. ……………………………………………… 12分 21、解：（1）()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦，当11a -=即2a =时，()()210f x x '=-≥，()f x 在R 上单调递增；当11a ->即2a >时，由()0f x '>得1x <或1x a >-，由()0f x '<得11x a <<-.()f x ∴分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.综上所述，当2a =时，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，()f x 分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.…… 6分（2）由已知得()210f x x ax a '=-+-≤在区间[]1,4上恒成立.()211a x x ∴-≥-在区间[]1,4上恒成立.当1x =时，a R ∈. 当14x <≤时，1a x ≥+.而1y x =+在(]1,4x ∈上单调递增，∴4x =时，max 5y =，则5a ≥.综上5a ≥. ………………………………………………………………12分22、解：（1）函数()f x 的定义域为：()0,∞+，()'f x = 222a a x x x x++=①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增②当0a <时，令()'0f x =，解得x =当222时，220a x +<，所以()'0f x <， 所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >220a x +>，所以()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. ……4分（2）当a 1=时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即证：ln 10x x -+≤.设()g ln 1x x x =-+，则()g'x = 1x x-，令()0g x '=得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<.所以1x =为极大值点，且()g x 在1x =处取得最大值。