一元二次方程解法知识整理

知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
根的判别式使用方法：
①化为一般式，确定a,b,c的值. ②计算 的值，确定 的符号. ③判别根的情况，得出结论.
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
逆用根的判别式求方程中的未知数的值或取值范围： 一元二次方程有两个不相等的实数根 △＞0 一元二次方程有两个相等的实数根 △= 0 一元二次方程无实数根 △＜0
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
次项系数一半的平方等于16，即

m
2

16
,可得
2
m=±8.此处注意可为正，也可为负，不要遗漏
知识点 3 配方法的应用
利用配方构成非负数和的形式： 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，
2.4用因式分解法 求解一元二次方程
知识点 1 因式分解法的依据
若两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一 个等于0；反之，若两个因式中任何一个为0，则 它们的积也等于0．
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
知识点 3 因式分解法的基本步骤
步骤
口诀
移项：整理方程，使其右边为0；
Hale Waihona Puke 开平方利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次 方程
求解
解一元一次方程，得出方程的根
知识点 2 配方
配方的基本思想：当一元二次方程二次项系数为 1时，方程两边都加上一次项系数一半的平方， 把原方程化为( x + m )2= n (n ≥ 0 )的形式
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解所得到的一元一次方程，得出原方程的解
知识点 1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解一元二次方程“五步法”口诀：
化、移、配、开、求
知识点 2 一元二次方程在生活中的应用
一元二次方程有两个根时,这些根虽然满足所列 的一元二次方程,但未必符合实际问题,因此,解 完一元二次方程之后,要按题意 检验 这些根
是不是实际问题的解.
知识点 3 配方法的应用
求最值或证明代数式的值为恒正（或负）： 对于一个关于x的二次多项式通过配方成 a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数， 当a＞0时，可知其最小值； 当a＜0时，可知其最大值.
知识点 3 配方法的应用
完全平方式中的配方:
如：已知x2－mx＋16是一个完全平方式，所以一
2.2.1用直接开平方法与配方法解 二次项系数为1的一元二次方程
知识点 1 直接开平方法
一般地，对于形如 x2＝p（p≥0）的方程， 利用平方根的定义，可得x1= p ，x2= - p 。 这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
注意
一般地，对于方程 x2＝p， (1) 当p>0时，根据平方根的意义，方程
从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,
即a=0，b=2.
2.3.1用公式法求解 一元二次方程
知识点 1 一元二次方程求根公式的推导 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）， 当 b 2 - 4 ac ≥0 时，它的根是：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
配方法：通过配成完全平方式的方法, 得到了一元二次方程的根, 这种解一元二次方程的方法称为配方法.
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤：
移项 配方 开平方
把二次项和一次项移到方程的左边， 常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方。 把原方程化为（x+m）2 = n 的形式
也可直接套公式，因题而异择良方．
法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤求解.
知识点 1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解一元二次方程“五步法”：
化1 方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1
移项 配方 开方 求解
把二次项和一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方。 把原方程化为（x+m）2 = n 的形式 若n≥0，则方程两边直接开平方得到一元一次方程； 若n＜0，则原方程无解
2
2
③直接用开平方法求出它的解.（注意：常数项为非负数）
（x + p ）2 = （ p ）2 - q
2
2
2.2.2用配方法求解二次项 系数不为1的一元二次方程
知识点 1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
一般思路：用配方法解二次项系数不是1的一元二 次方程时,首先要把 二次项系数 化为1,也就是在 方程的两边同时除以 二次项系数 ，再按照配方
【注意】在已知方程根的情况下，利用根的判别式求字母系数的取值时，
注意结合其他的限定条件，如一元二次方程的四个特征等
2.3.2利用一元二次方程 解决面积问题
知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤
列方程解应用题“六步骤”： 审 审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系
设 设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异
知识点 2 用求根公式求解一元二次方程
用求根公式求解一元二次方程的一般步骤：
变形
把方程化成一般形式
确定系数 计算b2-4ac 判断求值
确定a、b、c的值
（注意不要丢掉各项系数的符号） b2-4ac的值
若b2-4ac ≥0，则把a、b及b2-4ac代入求根公式
求出方程的根;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
右化零
化积：将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积； 左分解
转化：“根据至少有一个因式为0”令每个一次式分别 两因式
为0，得到两个一元一次方程；
求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是 各求解
原方程的解
知识点 4 一元二次方程解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应 选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般 式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分 解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.