第一节根轨迹的基本概念 自动控制原理课件
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自动控制原理根轨迹PPT课件
m
szj
K * j1
1
n
s pi
i 1
（4-11）
m
s
z
j
n
s
pi
2k
1
（4-12）
j 1
j 1
式中 k 0,1,2,
第11页/共102页
复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足上式的模值条件和相角 条件。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们说，相角条 件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件确定轨迹上的点，用模值 条件确定根轨迹上该点对应的K*值。
式中 K * K 2
是根轨迹增益。
第21页/共102页
令A(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,则A’(s)=1,B’(s)=2s+3。代入A’(s)B(s)-A(s)B’(s)=0中， 得s2+8s+10=0 解出上式的根为s1≈-1.55,s2≈-6.45。 根据规则2，根轨迹在实轴上的分布为[-∞,-4]和[-2,-1]，从而可知s1是实轴上的分离点，s2是实轴上的汇合 点。 分离点和汇合点处的根轨迹增益分别为：
第22页/共102页
K* d1
B(s) A(s)
(s 1)(s 2) s4
s1.55
0.1
K* d2
B(s) A(s)
(s 1)(s 2) s4
s6.45
9.9
规则6 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交。则交点上的K*值和ω值可用两 种方法求得。
（1）劳斯判据； （2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚部和实部分别为零而求得。
自动控制原理简明版根轨迹法ppt课件
n1
i1 s zi j1 s pi
8
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1
s2 s1 j s1 j
消去分母 s2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去） s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
n
pi / n
j1
18
当K1变化时，极点的重心 保持不变。所以，为了平衡
“重心”的位置，当一部分根 轨
迹随着的增加向左方移动时，
另一部分根轨迹将向右方移动.
例
G(s)H(s)
K1
s(s P2 )( s P3 )( s P4 )
Im p4
p2 p3
0 p1 Re
19
10. 根轨迹上K1值的计算
（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；
9 走向
当 n m 2, K1 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
令 dK1 0
ds
s2 2s 2 K1 s 2 s2 4s 2 0
求得 s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
C(s)
7
(2)
m 1
n1
i1 s zi j1 s pi
因为
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
即
P(s) Q(s) P(s) Q(s)
d [ln P(s)] d [lnQ(s)]
d[G1(s)H1(s)] 0或 dK1 0
ds
ds
7 出射角
入射角
复极点处的出射角：
m
n
a 180 (2k 1) i j
自动控制原理(胡寿松版)课件第四章
第一节 根轨迹的基本概念
二、根轨迹与系统性能
根轨迹图可以分析系统的各种性能： ω j ∞ ↑ 稳定性: 根轨迹均在s的左半平 Kr 面，则系统对所有k>0的值是稳定的。 s K =0 1 1 s1 2 r 0 σ -1 稳态性能：如图有一个开环极点 -2 -1 s=0，说明属于I型系统，阶跃作用 Kr ∞ 下的稳态误差为0。 动态性能：过阻尼 临界阻尼 欠阻 尼。 K越大，阻尼比 越小，超调量σ%越大。
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
当系统的某个参数变化时，特征方程的根随 之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究 S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统 性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹
设系统的结构如图 K r变化时,闭环特征 Kr 根在 s平面上的轨迹 : 极点；右半平面为 C(s) 2+2s+K s1 s2 Kr 不稳定极点；虚轴 R(s) =s∞ ω r j ↑ -2 0 0 上为临界极点。 闭环特征方程式 Kr 1 -1 -1 1 2 (2) 0<Kr<1时，系统 s 0 s2 +2s+K Kr=0 1r= s1 -1-j -1+j 2 0 σ -1 有呈过阻尼状态。 -2 特征方程的根 -1 -1+j∞ -1-j∞ Kr (3) 当 时，系统 ∞Kr=1 s1.2 =-1± 1-Kr ∞ 呈临界阻尼状态 。 得相应的闭环特征根值: (4) 1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。
↑
↑
第一节 根轨迹的基本概念
三、闭环零、极点与开环零、极点的关系
系统传递函数为
G( s) ( s) 1 G(s) H (s)
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT
第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
ב-
ב
ב
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ב ב
jω
z1
1 בp2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
第一节根轨迹的基本概念 自动控制原理课件
kg s(s 1)
1，kg 4.25
s0.5 j 2
2021/4/23
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
12
小结
根轨迹定义 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度等相角根轨迹，等增益根轨迹 相角条件的表示，幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
2021/4/23
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
8
根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程
由于Gk (s)是复数，上式可写成：| Gk (s) | Gk (s) 1
m
| (s zi ) |
或kg
i 1 n
1
| (s pj ) |
j 1
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1) , k 0,1,2...
i 1
j 1
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
5
根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
特征根为： s1,2 1 1 2K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
支，终点都在无穷远处。
这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高
kg
s1
A s
A'
k
g
0
A2
A1
B 1 0.5 0 kg 0
阶系统，求根困难，需用图解法画图。
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
自动控制原理根轨迹分析法共68页PPT
自动控制原理根轨迹分析法
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
ห้องสมุดไป่ตู้
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
ห้องสมุดไป่ตู้
自动控制原理根轨迹法PPT课件PPT课件
23
第23页/共69页
4.3 绘制根轨迹的基本规则
24
又,渐近线上,对于s =sk → ∞,相当于有-zoi=-poj=sA
m
则
(s zoi )
j
Asymptote Centroid
G(s)H (s) Kg
i 1 n
(s poj )
j 1
s
(
s
Kg
sA
)
nm
(4.16)
由二项式定理
sA s A
－poj : 开环(传函的)极点, j=1,2,..,n.
3
第3页/共69页
4.2 根轨迹的基本概念
于是，特征方程
m
(s zoi )
1 G(s)H (s) 1 Kg
i 1 n
0
(s poj )
j 1
(4.3)
根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益 (或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的轨迹。 根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。
<例4.1>:绘制某二阶系统 的根轨迹图；
特征方程: s2 2s K s2 2n n2 0 特征根: s1, s2 n n 2 1 1 1 K
K由0→1变化时,特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2；
K= 1， s1 = s2 = -1 ( = 1)； 0<K<1，( >1), s1,s2:为两个实根
对于一阶二阶系统很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点对于三阶以上的高阶系统通常用简单的作图法如作等阻尼比线等求出系统的主导极点如果存在的话将高阶系统近似地简化成由主导极点通常是一对共轭复数极点构成的二阶系统最后求出其各项性能指标
自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
解：1）τ>T
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
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根轨迹法具有直观、简便等优点，发展很快，在工程中 获得了广泛的应用。
2020/11/11
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
1
本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 特殊根轨迹 利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
2020/11/11
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
2
根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
s2
kg s kg
R(s)
-
kg
C(s)
s(s 1)
s2 s k g 0 ， s1 ,2 1 2 1 21 4 k g [讨论]：① kg 0时，s1,2 0和-1，是开环系统； 的极点
② kg时， s1从0沿负实轴 ， s向 2从左 1沿 移负 动实轴向 ③ kg1 4时 ， s1,21 2， 重根。 0kg可 1 4时 ， 见 s1,2在 当负 ④ kg 14时，s1,2为复根。 1 2点 在处分成两支 于， 虚沿 轴平
Gk (s) kg
i 1 n
(s p j )
j 1
式中k： g 传递系数，或称迹为增跟益轨；
zi，pj为开环零极点。
2020/11/11
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
7
根轨迹方程
闭环传递函数的极点就是闭环特征方m程：1Gk(s)0 的根。
(szi)
换句话说，G满 k(s)足 ： 1或： kg
直线移动。
⑤ kg 时s， 1,21 2j
2020/11/11
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
10
根轨迹解析法绘制
j1
[总结]当 k g 从0变化到 时，系统的根
轨迹是连续的。 kg 0 的点称为起点， kg 的点称为终点。本例中有两个分
支，终点都在无穷远处。 这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高
180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨
迹方程，每一点对应一个 k g 。由于180度等相角根轨迹上的任意 一点都可通过幅值条件计算出相应的 k g 值，所以直接称180度等
相角根轨迹为根轨迹。
在标根是轨- 0迹.5上+j2的，已则知根点据求幅该值点条的件k：g值的例子。上例中，若A点的坐
由于Gk (s)是复数，上式可写成 | G： k (s) | Gk (s) 1
m
| (s zi) |
或kg
i1 n
1
| (s pj )|
j1
m
n
(s zi) (s pj ) (2k 1),k 0,1,2...
i1
j1
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示
i1 n
1的点就是闭
(spj)
j1
的极点，闭环特 的征 根方 。程
★★★[根轨迹定义]：系统开环传递函数的某一个参数变化时， 系统闭环特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
m
(szi)
称Gk(s)1或：kg
i1 n
1为根轨迹方程。
(spj)
j1
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程
显然，只有三角形OAB是等腰三角形时，A1A2 ，A点在
根轨迹上。 A '点显然不在根轨迹上。
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
11
[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。
K5
K1
j1
K0
1K0
2 0 j1
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根轨迹图如下：
R(s)
C(s)
G(s) -
闭环传递函数为：(s) G(s)
1G(s)H(s)
H (s)
开环传递函数为：G k(s)G (s)H (s) m (s zi )
将 Gk (s) 写成以下标准型，得：
开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的
方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 来讨论根轨迹。
k
g
（当然也可以用其它变量）作为变化量
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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根轨迹解析法绘制
[例4-1]如图二阶系统，当Kg从0→∞时绘制系统的根轨迹。
[解]闭环传递函数： (s) 特征方程和特征根：
第四章 根轨迹法
由时域分析法可以知道，闭环系统的稳定性及其他性能 指标主要由闭环系统的极点的分布确定，因此要分析系统就 必须求解特征方程的根，然而这是比较困难的。
1948年，伊文斯根据反馈控制系统中开、闭环传递函 数之间的内在联系，提出了求解闭环特征方程的根的图解方 法---根轨迹法。利用这种方法，可在已知系统开环零、极点 分布的情况下，绘制出闭环特征根随系统参数（比如开环增 益、时间常数等）变化而在s平面上移动的轨迹（简称根轨 迹）。
[根轨迹定义]：系统开环传递函数的某一个参数变化时，系统闭
环特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
R(s)
K
C(s)
系统开环传递函数为：
- s(0.5s 1)
Gk(s)
K s(0.5s1)
闭环传递函数： (s)s222sK2K
特征方程为： s22s2K0
特征根为： s1,21 12K
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
特征根为： s1,21 12K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
kg
s 1
A s
A'
kgB 01A 2 0.5
A1
0 kg 0
阶系统，求根困难，需用图解法画图。
kg
复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A 点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为A1和A2根据
j1
相角条件(试探法)：
s ( s k g 1 ) s ( s 1 ) O B A A A 1 A 2 ( 2 k 1 )
kg s(s1)
1， kg 4.25
s0.5j2
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 特殊根轨迹 利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
s2
kg s kg
R(s)
-
kg
C(s)
s(s 1)
s2 s k g 0 ， s1 ,2 1 2 1 21 4 k g [讨论]：① kg 0时，s1,2 0和-1，是开环系统； 的极点
② kg时， s1从0沿负实轴 ， s向 2从左 1沿 移负 动实轴向 ③ kg1 4时 ， s1,21 2， 重根。 0kg可 1 4时 ， 见 s1,2在 当负 ④ kg 14时，s1,2为复根。 1 2点 在处分成两支 于， 虚沿 轴平
Gk (s) kg
i 1 n
(s p j )
j 1
式中k： g 传递系数，或称迹为增跟益轨；
zi，pj为开环零极点。
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根轨迹方程
闭环传递函数的极点就是闭环特征方m程：1Gk(s)0 的根。
(szi)
换句话说，G满 k(s)足 ： 1或： kg
直线移动。
⑤ kg 时s， 1,21 2j
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根轨迹解析法绘制
j1
[总结]当 k g 从0变化到 时，系统的根
轨迹是连续的。 kg 0 的点称为起点， kg 的点称为终点。本例中有两个分
支，终点都在无穷远处。 这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高
180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨
迹方程，每一点对应一个 k g 。由于180度等相角根轨迹上的任意 一点都可通过幅值条件计算出相应的 k g 值，所以直接称180度等
相角根轨迹为根轨迹。
在标根是轨- 0迹.5上+j2的，已则知根点据求幅该值点条的件k：g值的例子。上例中，若A点的坐
由于Gk (s)是复数，上式可写成 | G： k (s) | Gk (s) 1
m
| (s zi) |
或kg
i1 n
1
| (s pj )|
j1
m
n
(s zi) (s pj ) (2k 1),k 0,1,2...
i1
j1
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示
i1 n
1的点就是闭
(spj)
j1
的极点，闭环特 的征 根方 。程
★★★[根轨迹定义]：系统开环传递函数的某一个参数变化时， 系统闭环特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
m
(szi)
称Gk(s)1或：kg
i1 n
1为根轨迹方程。
(spj)
j1
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根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程
显然，只有三角形OAB是等腰三角形时，A1A2 ，A点在
根轨迹上。 A '点显然不在根轨迹上。
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[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。
K5
K1
j1
K0
1K0
2 0 j1
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根轨迹图如下：
R(s)
C(s)
G(s) -
闭环传递函数为：(s) G(s)
1G(s)H(s)
H (s)
开环传递函数为：G k(s)G (s)H (s) m (s zi )
将 Gk (s) 写成以下标准型，得：
开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的
方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 来讨论根轨迹。
k
g
（当然也可以用其它变量）作为变化量
2020/11/11
根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
9
根轨迹解析法绘制
[例4-1]如图二阶系统，当Kg从0→∞时绘制系统的根轨迹。
[解]闭环传递函数： (s) 特征方程和特征根：
第四章 根轨迹法
由时域分析法可以知道，闭环系统的稳定性及其他性能 指标主要由闭环系统的极点的分布确定，因此要分析系统就 必须求解特征方程的根，然而这是比较困难的。
1948年，伊文斯根据反馈控制系统中开、闭环传递函 数之间的内在联系，提出了求解闭环特征方程的根的图解方 法---根轨迹法。利用这种方法，可在已知系统开环零、极点 分布的情况下，绘制出闭环特征根随系统参数（比如开环增 益、时间常数等）变化而在s平面上移动的轨迹（简称根轨 迹）。
[根轨迹定义]：系统开环传递函数的某一个参数变化时，系统闭
环特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
R(s)
K
C(s)
系统开环传递函数为：
- s(0.5s 1)
Gk(s)
K s(0.5s1)
闭环传递函数： (s)s222sK2K
特征方程为： s22s2K0
特征根为： s1,21 12K
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根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
特征根为： s1,21 12K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
kg
s 1
A s
A'
kgB 01A 2 0.5
A1
0 kg 0
阶系统，求根困难，需用图解法画图。
kg
复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A 点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为A1和A2根据
j1
相角条件(试探法)：
s ( s k g 1 ) s ( s 1 ) O B A A A 1 A 2 ( 2 k 1 )
kg s(s1)
1， kg 4.25
s0.5j2
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