第二章坐标系统1
2-1 测量学的基本知识(第1次)
总地球椭球： 总地球椭球：
配合最佳的 参考椭球面 大地水准 面差距N 面差距
——与全球大地水准面最为 与全球大地水准面最为 接近的椭球。 接近的椭球。
（利用全球的各种卫星测量资 利用全球的各种卫星测量资 全球 料，顾及地球的几何及物理参 数确定椭球元素）。 数确定椭球元素）。
大地 水准面
11
几个世纪以来，许多学者曾算出参考椭球的参数值，如表： 几个世纪以来，许多学者曾算出参考椭球的参数值，如表：
(L，B)54 ，
x
(x,y,z)54 (x,y,z)80
西安80坐标系下： 西安80坐标系下： 80坐标系下
(L，B)80 ，
24
2、外部变换
①空间直角坐标系间的转换 (x，y，z)54 ， ，
Z Z′
(x，y，z) 80 ′ ， ，
7参数转换公式：3个平移，3个旋转，1个尺度变化 参数转换公式： 个平移 个平移， 个旋转 个旋转， 个尺度变化 参数转换公式
第二章 测量学的基本知识
§2.1 地球的形状与大小 §2.2 参考椭球及其定位 §2.3 测量常用坐标系
1
§2.1 地球的形状与大小
认识地球是人类探索的目标之一， 认识地球是人类探索的目标之一，也是测量学的任务之一 绝大多数测量工作是在地球上进行， 绝大多数测量工作是在地球上进行，或作为参考系
一、地球的自然表面——岩石圈的表面 地球的自然表面
高山、丘陵、平原、湖泊、 高山、丘陵、平原、湖泊、海洋 最高点： 最高点： ——珠峰 1975：8848.13m 珠峰 ：
2005：8844.43m ：
最低点： 最低点： ——马里亚那海沟 马里亚那海沟11022m， 相差 马里亚那海沟 ， 相差19.866km
新教材高中数学第2章平面解析几何2-1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
x1＋x2
y1＋y2
(2)x＝ 02 _____2____，y＝ 03 ______2______.
知识点三 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代
数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
1．对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点 A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB| ＝ x1－x22＋y1－y22. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推 广. (3)若 B 点为原点，则|AB|＝|OA|＝ x21＋y21.
x1＋x2 _____|x_2_－__x_1_| ____；x＝ 02 ______2______.
知识点二 平面直角坐标系中的基本公式
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段 AB 的中点．
(1)|AB|＝|A→B|＝ 01 ___x_2_－__x1__2＋___y_2_－__y_1_2；
例 1 已知数轴上三点 A(－1)，B(5)，C(x)． (1)当|AB|＋|BC|＝8 时，求 x； (2)若 B 是 AC 的中点，求 x. [解] (1)由 A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|. 当|AB|＋|BC|＝8 时，有 6＋|x－5|＝8，解得 x＝3 或 x＝7.
(4)若 A，B 两点在 x 轴上，或在与 x 轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－ x1|.
(5)若 A，B 两点在 y 轴上，或在与 y 轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－ y1|.
注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． (6)在数轴上，点 A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为 d(A， B)＝|x1－x2|.若 A，B，C 是数轴上任意三点，则 d(A，B)≤d(A，C)＋d(B， C)． 2．中点公式的两个应用 (1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可 求第三个量． (2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．
第二章 §2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标
§2.3 直线的交点坐标与距离公式 2．3.1 两条直线的交点坐标学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、求相交直线的交点坐标问题1 已知两条直线l 1：x ＋y －5＝0，l 2：x －y －3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M 与直线l 1，l 2的方程有什么关系？提示 直线l 1，l 2的图象如图所示．点M 既在直线l 1上，也在直线l 2上．满足直线l 1的方程x ＋y －5＝0，也满足直线l 2的方程x －y －3＝0.即交点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －y －3＝0的解．知识梳理已知两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 方法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点，则过l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l 2)，设出方程后再利用其他条件求解．跟踪训练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.方法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.二、判断两直线位置关系的方法 知识梳理已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)：方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行注意点：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．例2 (教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，①4x －12y ＋8＝0，②①×2得4x －12y ＋8＝0.①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，y ＝－2x ＋3无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.反思感悟 判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 跟踪训练2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是______. 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.所以－32<a <2.三、直线系过定点问题问题2 观察下面的图象，发现直线都经过点M (4,1)，怎么表示出经过M 点的直线方程？提示 当斜率存在时，y －1＝k (x －4)(k ∈R )；当斜率不存在时，x ＝4. 知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3 无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标． 解 ∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴点P 的坐标为(7,3)．反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限． 证明 将直线方程整理为a (3x －y )＋(－x ＋2y －1)＝0. 因为直线3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫15，35， 即直线系恒过第一象限内的定点⎝⎛⎭⎫15，35，所以无论a 为何值，直线总经过第一象限．1．知识清单： (1)两条直线的交点． (2)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3) D ．(－3，－2)答案 B解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点( ) A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1)答案 C解析 直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为______________． 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________. 答案 －12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上， ∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12.课时对点练1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3) D ．(3,4)答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( ) A ．12 B ．10 C ．－8 D ．－6 答案 B解析 ∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5， 将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5， ∴m ＋n ＝10.3．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37.故过点⎝⎛⎭⎫－197，37 和原点的直线方程为y ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.4．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．24 答案 C解析 因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6.5．已知实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫16，12 B.⎝⎛⎭⎫12，16 C.⎝⎛⎭⎫16，－12 D.⎝⎛⎭⎫12，－16 答案 D解析 由a ＋2b ＝1，得a ＝1－2b ，则直线ax ＋3y ＋b ＝0可化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0， 整理得x ＋3y －b (2x －1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，2x －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎫12，－16. 6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是( ) A ．{θ|0°<θ<60°} B ．{θ|30°<θ<60°} C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案 C解析 由题可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ，∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33， ∴30°<θ<90°.7．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________． 答案 3x ＋y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案 －2解析 由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5. 又点(1，m )在直线上， 所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327. 又因为直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫x ＋1127， 即27x ＋54y ＋37＝0.10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解 联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1，∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎨⎧－12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16.则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，－16.11．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________． 答案 y ＝2x解析 由直线ax ＋y ＋a ＋2＝0，得a (x ＋1)＋(y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－2， ∴直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，∴过这一定点和原点的直线方程是y －0－2－0＝x －0－1－0，即y ＝2x . 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案 x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析 设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ， 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ， 得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2 解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线方程y ＝3x ＋b ，得b ＝2.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图所示，直线l ：ax －y －2＝0经过定点D (0，－2)，a 表示直线l 的斜率，设线段AB 与y 轴交于点C ，由图形知，当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段CB 上时，a 大于或等于DB 的斜率，即a ≥2＋24－0＝1，即a ≥1.当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段AC 上时，a 小于或等于DA 的斜率， 即a ≤4＋2－2－0＝－3，即a ≤－3.综上，a 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在直线方程为() A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0. 16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解 设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4， 即B (6,4)．同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5， 即4x －y －20＝0.。
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。
普通物理学(第六版)上册第二章第一节课件
§2.2
动量定理和动量守恒定律
（力与运动的过程关系研究）
一、动量定理
dp 由牛顿第二定律： F = Fdt = dp dt 1、冲量 1）微分形式： dI Fdt Fdt 表示力的时间累积，叫时间 d t 内合外力 F 的冲量。
2）积分形式： I
牛顿运动定律适用的参考系称为惯性参考系。 一切惯性系，对于描述机械运动的力学规律来说是完全 等价的。 在一个惯性系内部所作的任何力学实验都不能够确定这 一惯性系本身是在静止状态，还是在做匀速直线运动。这 个原理叫做力学的相对性原理，或伽利略相对性原理。
二、经典（牛顿）力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 同时的绝对性
牛顿力学
时间的测量 长度的测量
与惯性系无关
-----牛顿力学的绝对时空观
三、惯性参考系与非惯性参考系
乙 甲
F
m l0
a
观察者甲： 有力 F 和加速度 a 即
F ma
牛顿定律在该参照系中适用 — 惯性系
观察者乙：有力 F 但没有加速度 a 即 m a 0, F 0
P Mvc P mv dp dp F F dt dt F ma F Mac
质点
质点系
例3 一质量m1=50kg的人站在一条质量为m2=200kg， 长度l=4m的船头上，开始时船静止。求当人走到船尾 时船移动的距离。水的阻力不计。
f 惯的方向与非惯性系的加 速度反向。
注意
惯性力不是真实力，无施力物体，无反作用力。
2、非惯性系中的力学规律
a ' 为物体相对非惯性系的加速度
F f 惯 ma '
一年级数学认识坐标
一年级数学认识坐标在一年级的数学学习中，学生将开始接触和认识坐标系统。
坐标系统是一种用于表示和定位点的方式，它是数学中的基本概念之一。
通过了解和应用坐标系统，学生将能够在平面上进行定位和表示，从而为他们未来的数学学习奠定坚实的基础。
一、坐标系统的概念和表示方法坐标系统由两条互相垂直的线段组成，分别称为x轴和y轴。
这两条线段的交点称为原点O，位于原点上的点表示为(0, 0)。
坐标系统将平面分为四个象限，分别记作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在坐标系统中，每个点都可以通过两个数字来表示，分别对应于横轴和纵轴上的位置。
横轴上的数字称为x坐标，纵轴上的数字称为y 坐标。
以原点为参考点，可以确定每个点在坐标系统中的位置。
例如，点A位于x轴上方的2单位距离处，y轴上方的3单位距离处，则点A的坐标表示为(2, 3)。
二、坐标系统的应用1. 定位和表示点：通过坐标系统，我们可以准确地定位和表示平面上的各个点。
这为我们解决几何问题和图形绘制提供了有效的工具。
2. 绘制几何图形：通过连接多个坐标点，我们可以绘制出各种几何图形，如直线、三角形、矩形等。
通过坐标系统，我们可以计算各个点的位置，并根据计算结果进行图形绘制。
3. 分析和解决问题：通过使用坐标系统，我们可以进行各种数学问题的分析和解决。
例如，我们可以计算两点之间的距离、判断点是否在某个图形内部等。
三、坐标系统的练习和游戏为了帮助一年级学生更好地理解和应用坐标系统，老师和家长可以设计一些有趣的练习和游戏。
1. 找出目标点：给定目标点的坐标，学生根据坐标找出对应的点，并在坐标系统中进行标注。
例如，目标点的坐标是(3, 2)，学生需要在坐标系统中找到对应的点。
2. 绘制指定图形：给定图形的坐标点，学生根据坐标在坐标系统中进行绘制。
例如，给定三个点的坐标为(1, 2)、(1, 4)和(3, 4)，学生需要连接这三个点，绘制出所指定的图形。
3. 点的移动和变换：通过改变点的坐标，学生可以实现点的移动和变换。
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的 长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;
2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章 空间向量运算的坐标表示
[解析] 由已知可得：A→B＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，A→C＝(－2,2,3) －(2，－1,2)＝(－4,3,1)． (1)O→P＝12(A→B－A→C)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，32，－2)，所以 P 点的坐标 为(3，32，－2)．
(2)设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为12(A→B－A→C)＝(3，32，－2)， 所以A→P＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)， 解得：x＝5，y＝12，z＝0，则 P 点的坐标为(5，12，0)．
[解析] (1)∵c∥B→C， ∴c＝mB→C＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝ －2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3， ∴m＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝ 12＋12＋0＝ 2，|b|＝ －12＋0＋22＝ 5， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得 k＝2 或 k＝－52.
3＋y－2z＝0
z＝1
∴向量 a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． (2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝ 22＋22＋32＝ 17，|b＋c|＝ 42＋02＋－12＝ 17， ∴a＋c 与 b＋c 所成角的余弦值为a|a＋＋cc|·|bb＋＋cc|＝157.
解析：(1)以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2， Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)． ∴B→Q＝(1，－1,1)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1＝(1，－1,2)，A→B1＝(－ 1,1,2)，C→1P＝12，12，0， ∴|B→Q|＝ 12＋－12＋12＝ 3.
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
课堂检测·素养达标
1．已知点(x，y)到原点的距离等于 1，则实数 x，y 满足的条件是( )
A．x2－y2＝1
B．x2－y2＝0
C． x2＋y2 ＝1
D． x2＋y2 ＝0
【解析】选 C.因为点(x，y)到原点的距离等于 1， 所以 （x－0）2＋（y－0）2 ＝1，即 x2＋y2 ＝1.
2．直线 y＝x 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1，5，则|PQ|等于( ) A．4 B．4 2 C．2 D．2 2
△ABD 和△BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝ |CD|. 【证明】如图，以 B 为坐标原点，直线 AC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，
设△ ABD 和△ BCE 的边长分别为 a，c， 则 A(－a，0)，C(c，0)， D－2a， 23a ，E2c， 23c ， 则|AE|＝ 2c－（－a）2＋ 23c－02 ＝ a2＋ac＋c2 ， |CD|＝ －2a－c2＋ 23a－02 ＝ a2＋ac＋c2 ， 所以|AE|＝|CD|.
1．△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形 AB 边上的中线长为( ) A． 26 B． 65 C． 29 D． 13
【解析】选 A.AB 的中点 D 的坐标为(－1，－1)， 所以|CD|＝ （－1－4）2＋[－1－（－2）]2 ＝ 26 .
2．已知 A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则||ACBC|| 的值为( )
【解析】选 B.由题意知 P(1，1)，Q(5，5)， 所以|PQ|＝ 2（5－1）2 ＝4 2 .
3．已知点 A(－1，2)，点 B(2，6)，则线段 AB 的长为________．
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L 赤道
Yc
Xe
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2.2.1 天球坐标换算关系（直角坐标与等效的球面坐标 系之间）
X = rcosα cosδ
r = (X2+Y2+Z2)1/2
Y = rsinαcosδ
α= arc tan (Y/X)
Z = rsinδ
δ= arc tan (Z/(X2+Y2)1/2)
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• 全球坐标系统可称 为地理坐标: Geographical coordinate systems. (spherical)]
• or 大地坐标 :[Geodetic (ellipsoidal) ] coordinate systems.
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2.2 天球坐标系与地球坐标系 (Space-fixed and Earth-fixed)
• 天球坐标系：（rαδ),(XYZ）
Z
坐标原点--地心O, Z轴与地球
自转轴重合，X轴指向春分点
γ，Y轴为右手系。（固定）
p
• 地球坐标系：（LBH),(XYZ）
G
坐标原点--地心O，Z轴与地球 自转轴重合，X轴指向过格林 尼治子午面与赤道面交点，Y 轴为右手系。（随地球转动）Xc γ
r
o Bδ Ye α
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2.2.2 大地坐标与三维直角坐标
大地坐标系:
P点大地坐标用纬度B、 经度L和大地高H表示, 也可用三维直角坐标X、 Y、Z表示。
大地方位角A—P点至R 点的大地方位角A为过P 点的子午面与过P点法 线及R点的平面所成的 夹角，由子午面顺时针 方向量起。
Z
G
AHRP
P
OB
Y
L
X
赤道
S
பைடு நூலகம்
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2.2.3站心赤道直角坐标系与站心地平直角坐标系
(描述卫星与观测站间的瞬时距离 、方位角、 高度角及卫星分布)
•球心空间直角坐标系 O—XYZ •站心赤道直角坐标系 P1—XYZ •站心地平直角坐标系 P1—xyz (左手) •站心地平极坐标系 P1 —rAh (等价于 P1—xyz) ：
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2.2.4 卫星测量常用坐标系：瞬时极天球坐标系与 瞬时极地球坐标系
由于地球自转轴的进动,坐标轴不断变化.故引入~
瞬时极天球坐标系 (真天球坐标系)——原点取地
球质心,Z轴指向瞬时地球自转方向(真天极),X轴指 向瞬时春分点(真春分点),按右手坐标系取向定Y轴.
瞬时极地球坐标系——原点取地球质心,Z轴指向
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大地坐标与空间直角坐标关系：
X=(N+H)cosBcosL Y=(N+H)cosBsinL
Z=[(N(1－e2)+H)]sinB
L=arctan(Y/X)
B=arctan{Z(N+H)/[(X2+Y2)1/2(N(1- e2)+H)]}
H=Z/sinB－N(1－e2)
式中，N=a/(1-e2sin2B)1/2 ，N为该点的卯酉圈曲率半 径， e2=(a2-b2)/a2 ，e为椭球第一偏心率。
P1原点 ,其中r 為P1到卫星s距离 A為方 位角(zp1x平面与zp1s平面夹角) , h 高度角 (P1s与 xP1y平面夹角)
P1—xyz(旋转变换)=> P1—XYZ
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以P1为站心P2点的地平坐标计算：
• 已知P1、P2两点的（B，L，H），先计算两点的（X，Y ，Z）。按下式计算P2点的地平坐标（x，y，z）：
坐标系统及时间系统
• 2.1 坐标系统 • 2.2 天球坐标系与地球坐标系 • 2.3 WGS—84坐标系与我国国家大地坐标系 • 2.4 坐标系统之间的转换
2.5 时间基准
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2.1坐标系统(coordinate system)
• 2-D 坐标系统用一个横 轴[abscissa (x)] 与纵 轴[ordinate (y) ] 坐标 描述点的坐标
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2.1坐标系统(coordinate system)
• 3D 坐标同时引入 一个高度坐标轴
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2.1坐标系统(coordinate system)
• 坐标系统可以分 为局部与全球坐 标系统
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2.1坐标系统(coordinate system)
平地球坐标系
定义平地球坐标系的Z轴指向 CIO
CIO (国际协定原点) 1900年国际大地测量与地球
物理联合会以1900.00至1905.05年地球自转轴瞬时位 置的平均(位置)作地球的固定极.
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瞬时天球坐标与瞬时地球坐标的关系
• 天球坐标与地球坐标Z轴 重合，X轴间的夹角为θ
瞬时地球自转方向,X轴指向瞬时赤道面和包含瞬 时地球自转轴与平均天文台赤道参考点的子午面 的交点,Y轴取向按右手坐标系.
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平天球坐标系(历元平天球坐标系) 三轴指向不变的
坐标系
选择某一个时刻(即时刻起始点)，以此瞬时地球 自转轴和春分点方向分别扣除此瞬间的章动值作X轴 和Z轴指向,Y轴取向按右手坐标系,原点与真天球坐 标系相同,这样的坐标系称为“该历元时刻的平天球 坐标系”. 例如历元2000年1月1.5日真天球Z轴指向.
• 日月岁差—地球受日月引力，自转轴产生长周期（25800年）变化， 使春分点产生每年西移约50.2″,称为日月岁差。
• 章动—地球自转轴短周期（18.6年）变化（最大约9″）为章动。 • 瞬时极天球坐标系与历元平天球坐标系之间的转换可以通过岁差与章
（即格林尼治恒星时角 ）。
• 天球坐标与地球坐标系 的转换：
[XYZ]т地=RZ（θ） [XYZ]т天，
|COS θ SIN θ 0|
RZ（θ）= |-SIN θ COS θ 0|
|0
0
1|
详见书上第14页公式（2-10）。
Z天地
G
O
γ
θ
X天 X地
Y地 Y天
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瞬时极天球坐标系与历元平天球坐标系
• 例：已知P1（34°，117°，30m），P2（45°，45°， 2万km）。
• 计算结果（12239954.188,-17746454.466,8826361.581 ）与（r=23295016m,A=304°35′40.3″,h=22°15′54.9″ ）
x siB ncoLssiB nsiL ncoBsX2X1 y siL n coLs 0 Y2Y1 z平 coBcsoLs coBssiL n siB n1Z2Z1