图形的认识-第10讲：与圆相关的计算

弧长公式、扇形面积公式1、弧长公式：︒=180r n l π 2、扇形面积： lr S r n S 213602=︒=π考点1：扇形的面积例1、半径为10，圆心角为60°的扇形的面积是 ．（结果保留π）变式1、如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）【考点突破】【方法技巧】第10节 与圆有关的计算【知识梳理】A．B．C．D．例2、如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，底面圆的直径为5cm，母线为8cm．则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（）A．36πcm2B．20πcm2C．18πcm2D．8πcm2变式1、已知圆锥的侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则圆锥的底面半径为（）A．B．3C．4D．6例3、如图，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形ABCDEF和6个半径为1米、圆心分别在正六边形ABCDEF的顶点上的⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，⊙F组合而成．现要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为米2．变式1、如图，以等腰直角⊙ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．考点2：弧长的计算例1、若半径为6cm的圆中，扇形面积为9cm2，则它的弧长为．变式1、在半径为10的圆中，60°的圆心角所对的弧长为．变式2、已知圆上一段弧长为5πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为（）A．6 B．9 C．12 D．18例2、如图，在⊙O中，AB是弦，过点A的切线交BO的延长线于点C，若⊙O的半径为3，⊙C=20°，则的长为．变式1、如图，⊙ABC的外接圆O的半径为2，⊙C=40°，则的长是．变式2、如图，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，⊙C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π例3、如图，已知⊙ABC=90°，AB=πr，AB=2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．则在此运动过程中，圆心O运动的总路程为（）A．2πr B．3πr C．D．变式1、如图，菱形ABCD中，AB=2，⊙C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）．变式2、如图，小明使一长为8厘米，宽为6厘米的长方形木板在桌面上作无滑动的滚动（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使木块与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（）A．20厘米B．8π厘米C．7π厘米D．5π厘米考点3、与圆柱、圆锥有关的计算例1、如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A．圆锥的底面半径为3B．tanα=C．圆锥的表面积为12πD．该圆锥的主视图的面积为8变式1、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．24cm2B．24πcm2C．12cm2D．12πcm2变式2、如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．30π例2、下面圆柱体的侧面积为（）A．31.4B．62.8C．39.25D．15.7变式1、如图是农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（）A．64π m2B．72π m2C．78π m2D．80π m2【分层训练】<A组>1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．2．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm4．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．π﹣C．πD．25．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（）A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．166．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．7．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3．8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．<B组>1．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊙AB于点M，PN⊙CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD和正⊙AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．23．如图，在⊙ABC中，CA=CB，⊙ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设⊙BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大B．由大到小C．不变D．先由小到大，后由大到小4．如图，在⊙O中，半径OA⊙OB，过点OA的中点C作FD⊙OB交⊙O于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．5．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），⊙COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF．（1）直接写出点F的坐标；（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．参考答案【考点突破】考点1：扇形的面积例1、解：根据题意得：S扇形==．故答案为：．变式1、解：﹣=，故选B．例2、解：⊙底面圆直径为5cm，⊙底面圆的半径为2.5cm，⊙侧面展图的面积为π×2.5×8=20π（cm2）．故答案为：B．变式1、解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，圆锥的侧面展开图的面积=×2πR×5=15π，⊙R=3，故选B．例3、解：种植月季面积之和扇形的面积的和=720×=2π．故答案为：2π变式1、解：⊙AC=2，⊙ABC是等腰直角三角形，⊙AB=2，⊙⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，⊙两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选B．考点2：弧长的计算例1、解：根据扇形面积公式可知S=lr，所以l===3cm，故答案为：3cm．变式1、解：根据题意得出：l扇形===π．故答案为：π．变式2、解：设该圆的半径为R，∴5π=，∴R=9（cm）．故选B．例2、解：连接OA，⊙AC是⊙O的切线，⊙OA⊙AC，⊙⊙C=20°，⊙⊙COA=70°，⊙⊙AOB=110°，⊙的长为=π．故答案为π．变式1、解：⊙⊙C=40°，⊙⊙AOB=80°．⊙的长是=．故答案为：π．变式2、解：如图连接OE、OF，⊙CD是⊙O的切线，⊙OE⊙CD，⊙⊙OED=90°，⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙C=60°，⊙⊙A=⊙C=60°，⊙D=120°，⊙OA=OF，⊙⊙A=⊙OFA=60°，⊙⊙DFO=120°，⊙⊙EOF=360°﹣⊙D﹣⊙DFO﹣⊙DEO=30°，的长==π．故选C．例3、解：圆心O运动路径如图：⊙OO1=AB=πr；==πr，O2O3=BC=；⊙圆心O运动的路程是πr++=2πr．故选A．变式1、解：第一、二次旋转的弧长和=+=2×，第三次旋转的弧长=，⊙36÷3=12，故中心O所经过的路径总长=12（2×+），=（8+4）π．变式2、解：第一次是以B为旋转中心，BA长10cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是．第二次是以C为旋转中心，6cm为半径旋转60°，此次走过的路径是，⊙点A两次共走过的路径是7π．故选C考点3、与圆柱、圆锥有关的计算例1、解：设圆锥的底面半径为r，高为h．由题意：2πr=，解得r=2，h==4，所以tanα==，圆锥的主视图的面积=×4×4=8，表面积=4π+π×2×6=16π．∴选项A、B、C错误，D正确．故选D．变式1、解：圆锥的侧面积=2π×2×6÷2=12πcm2．故选D．变式2、解：由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π，∴圆锥的侧面积==×6π×5=15π，故选B．例2、解：该圆柱的侧面积为π•2×5=10π≈31.4，故选：A．变式1、解：塑料膜的面积=2π×32=64π（平方米）．故选：A．【分层训练】<A组>1．解：连接OD．⊙CD⊙AB，⊙CE=DE=CD=（垂径定理），故S⊙OCE=S⊙ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又⊙⊙CDB=30°，⊙⊙COB=60°（圆周角定理），⊙OC=2，故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．故选：D．2．解：如图连接OD、CD．⊙AC是直径，⊙⊙ADC=90°，⊙⊙A=30°，⊙⊙ACD=90°﹣⊙A=60°，⊙OC=OD，⊙⊙OCD是等边三角形，⊙BC是切线．⊙⊙ACB=90°，⊙BC=2，⊙AB=4，AC=6，⊙S阴=S⊙ABC﹣S⊙ACD﹣（S扇形OCD﹣S⊙OCD）=×6×2﹣×3×﹣（﹣×32）=﹣π．故选A．3．解：过O作OE⊙AB于E，⊙OA=OB=60cm，⊙AOB=120°，⊙⊙A=⊙B=30°，⊙OE=OA=30cm，⊙弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，⊙圆锥的高==20．故选D．4．解：⊙⊙O的周长为4π，⊙⊙O的半径是r=4π÷2π=2，⊙的长为π，⊙的长等于⊙O的周长的，⊙⊙AOB=90°，⊙S阴影==π﹣2．故选：A．5．解：连接AD，OD，⊙等腰直角⊙ABC中，⊙⊙ABD=45°．⊙AB是圆的直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙ABD也是等腰直角三角形，⊙=．⊙AB=8，⊙AD=BD=4，⊙S阴影=S⊙ABC﹣S⊙ABD﹣S弓形AD=S⊙ABC﹣S⊙ABD﹣（S扇形AOD﹣S⊙ABD）=×8×8﹣×4×4﹣+××4×4=16﹣4π+8=24﹣4π．故选A．6．解：过点C作CD⊙AB于点D，Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，AC=BC，⊙AB=AC=4，⊙CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×2=8π．故答案为：8π．7．解：该几何体的俯视图如图：⊙圆柱底面周长为2πcm，⊙OA=OB=1cm，⊙⊙AOB=90°，⊙AB=OA=，⊙该正方体的体积为（）3=2，故答案为：2．8．（1）证明：过点C作CH⊙AB于H，如图，在Rt⊙ABC中，⊙tanB==，⊙BC=2AC=2，⊙AB===5，⊙CH•AB=AC•BC，⊙CH==2，⊙⊙C的半径为2，⊙CH为⊙C的半径，而CH⊙AB，⊙AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S⊙ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．<B组> 1．解：⊙PM⊙AB于点M，PN⊙CD于点N，⊙四边形ONPM是矩形，又⊙点Q为MN的中点，⊙点Q为OP的中点，则OQ=1，点Q走过的路径长==．故选A．2．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF=r，⊙AO是⊙EAF的平分线，⊙⊙OAF=60°÷2=30°，⊙OA=OF，⊙⊙OFA=⊙OAF=30°，⊙⊙COF=30°+30°=60°，⊙FI=r•sin60°=，⊙EF=，⊙AO=2OI，⊙OI=，CI=r﹣=，⊙，⊙，⊙=，即则的值是．故选：C．3．解：作DM⊙AC于M，DN⊙BC于N，连接DC，⊙CA=CB，⊙ACB=90°，⊙⊙A=⊙B=45°，DM=AD=AB，DN=BD=AB，⊙DM=DN，⊙四边形DMCN是正方形，⊙⊙MDN=90°，⊙⊙MDG=90°﹣⊙GDN，⊙⊙EDF=90°，⊙⊙NDH=90°﹣⊙GDN，⊙⊙MDG=⊙NDH，在⊙DMG和⊙DNH中，，⊙⊙DMG⊙⊙DNH，⊙四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，⊙正方形DMCN的面积=DM2=AB2，⊙四边形DGCH的面积=，⊙扇形FDE的面积==，⊙阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=（定值），故选C．4．解；（1）连接OD，⊙OA⊙OB，⊙⊙AOB=90°，⊙CD⊙OB，⊙⊙OCD=90°，在RT⊙OCD中，⊙C是AO中点，CD=，⊙OD=2CO，设OC=x，⊙x2+（）2=（2x）2，⊙x=1，⊙OD=2，⊙⊙O的半径为2．（2）⊙sin⊙CDO==，⊙⊙CDO=30°，⊙FD⊙OB，⊙⊙DOB=⊙ODC=30°，⊙S阴=S⊙CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE=×+﹣=+．5．解：（1）⊙菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），⊙OA=2，⊙将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，⊙COA=60°，⊙⊙AOF=180°，OF=2，即点F在x轴的负半轴上，⊙点F（﹣2，0）；（2）过点B作BG⊙x轴于点G，连接OE，OB，则⊙AOB=⊙EOF=30°，AB=OA=2，⊙⊙BAG=60°，⊙⊙ABG=30°，⊙AG=AB=1，BG==，⊙OB=2BG=2，⊙⊙BOE=120°，⊙S扇形==4π，S菱形OABC=OA•BG=2，⊙S阴影=S扇形﹣S菱形OABC=4π﹣2．。