黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)

牡一中2016级高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．2.复数 (为虚数单位），则（）A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】分析：先化简复数z，再利用复数的模的公式求|z|.详解：由题得z=,∴|z|=3.故选D.点睛：本题主要考查复数的运算、复数的模等知识，属于基础题.3.若x,y满足，则的最大值为（）A. 5B. -1C. -3D. -7【答案】B【分析】由约束条件作出可行域，运用线性规划知识来求解结果【详解】由x,y满足作出可行域如图：化目标函数为，由图可知：当直线过点A(1，1)时，直线在y轴上的截距最大有最大值为：故选【点睛】本题主要考查了运用线性规划求最值，其一般步骤：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得到答案4.已知下列命题：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.则正确命题的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R2的大小，可判断⑤；由的随机变量K2的观测值k的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①错误；对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；对于④，在回归直线方程2﹣0.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；对于⑥，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故⑥错误；对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．5.已知函数，则（）A. B. C. D. 5【答案】B【解析】∵，∴f(−1)=f(−2)==.故选：B.6.有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器（自身体积可忽略），若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算出正方体的体积，以及可消灭蚊子的范围的体积，运用公式求出结果【详解】由题意每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器，则蚊子被消灭的区域体积为，正方体房间的体积为8，则蚊子被消灭的概率为，故选【点睛】本题考查了几何概率问题，需要先计算出满足题意的体积，然后再计算出结果，较为简单7.在数列中，，，且（），则的值是（）A. -10B. 10C. 50D. 70【答案】C【解析】由得，即数列是等差数列，由，可得，，所以，当时，，当时，，所以，选C．点睛：证明为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：8.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a，则输出的结果为( )A. 81B. 74C. 121D. 169【答案】C【解析】【分析】运用流程图来求出结果，执行循环语句当判定不符合条件时退出循环，求出结果【详解】模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，不足条件，退出循环，输出的故选C【点睛】本题主要考查了程序框图，只要执行循环语句即可求出结果，属于基础题。

9.双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】双曲线C的渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率，故选：A．10.平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意根据三角函数定义可知，先根据角的取值范围求出的取值范围继而求出，再通过凑角求.【详解】,则,则由，得.由点在单位圆上，设，则.又.故.选A.【点睛】本题考查三角函数定义及三角恒等变换的简单应用.解题中注意所求角的取值范围.由配凑法根据已知角构造所求角进行求解是三角恒等变换中常用的解题技巧.11.在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件计算出三棱锥外接球的半径，然后求出表面积【详解】在中，线段长度最小值为,则线段长度最小值为,即A到BC的最短距离为1,则为等腰三角形,的外接圆半径为设球心距平面ABC的高度为h则,,则球半径则三棱锥的外接球的表面积是故选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，结合已知条件求出外接球的半径很重要，属于中档题。

12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，由题设可得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；由于，所以不等式的解集是，即不等式的解集是，应选答案B。

点睛：解答的关键是如何利用题设中的题设条件，构造什么样的函数进行分析求解。

解答时先构造函数，再求导然后利用分类整合思想确定函数的图像在区间上都在轴的下方，进而求出不等式的解集是，从而使得问题巧妙获解。

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量，若，则__________．【答案】【解析】分析：要求，应先知道各向量的坐标，故先根据求向量，再求，进而由向量数量积的坐标运算可求得结果。

详解：因为向量若，所以，所以因为向量所以。

因为所以点睛：向量数量积的运算有坐标运算和定义两种运算，定义运算应知道向量的模和夹角，坐标运算应知道各向量的坐标。

，则。

本题考查学生的运算能力及数量积的运算。

14.已知函数的图象关于对称，则的值为_______【答案】【解析】【分析】由已知条件将代入求出结果【详解】的图象关于对称，则,解得，则【点睛】本题主要考查了的是正弦函数图象的对称性，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题。

15.若抛物线在点（1,2）处的切线也与圆相切，则实数的值为________________.【答案】【解析】【分析】首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得参数的值，得到结果.【详解】抛物线过点可得抛物线可化为，从而由知切线斜率为，切线方程为即又圆的方程可化为且圆与抛物线也相切解得【点睛】该题考查的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，正确应用公式是解题的关键.16.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．【答案】-3【解析】【分析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．【详解】函数是奇函数，所以,又因为,所以,所以,即所以函数的周期为6,因为且，所以,利用累乘法得出即，所以又因为，，所以f(-1)=-3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期性，利用累乘法求数列通项，属于中档题.三、解答题：（17题至21题，每题12分；22题和23题是选做题，只选其一作答，10分）17.在中，角所对的边分别为，且.（1）证明：成等比数列；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）见解析（2）9【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦定理求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果．【详解】证明：由正弦定理得：且．整理得：，所以：，所以：，由正弦定理得：，故：a，c，b成等比数列．由，所以：，所以：，解得：．由余弦定理得：，由于：．故：．于是得：，解得：．所以的周长为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.参考公式: ，其中.参考数据：【答案】（1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用列联表，计算K2，对照数表得出概率结论；（2）利用分层抽样原理计算从女性中选出5人时“微信控”与“非微信控”人数；（3）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．试题解析：（1）由列联表可得所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人．（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，所求为．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若点在线段上且，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，要证平面平面，可先证平面，即证：，；（2）由题意易得：平面，，.试题解析：（1）证明：连接，由于，点为的中点，，，所以四边形为正方形，可得，设与相交于点，又△与△均为等边三角形，可得，在等腰△中，点为的中点，所以，且与相交于点，可得平面，又平面，所以平面平面．（2）由，△与△均为等边三角形，四边形为正方形，与相交于点，可知，，所以，又平面平面，所以平面， 设点到平面的距离为，又，所以，，，所以，三棱锥的体积为．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由焦距为2可得，解方程得的值，即可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，点，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，直线方程为，结合点在上，用，代替，，化简整理直线方程为，令，整理得，得证.试题解析：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在轴上，∴，即，∵椭圆的焦距为2，且，∴，解得，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，设的方程为，点，则得，即，，，，由题可得直线方程为，又∵，，∴直线方程为，令，整理得，即直线过点，又∵椭圆的右焦点坐标为，∴三点在同一条直线上．21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为．（2）【解析】【分析】（1）直接利用导数求得函数的单调减区间为，单调增区间为．，其中，由题意知在上恒成立，再利用导数求出≥0，记，再利用导数求得所以，即=0，所以a=1.【详解】（1）依题意，，令，解得，故，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；故函数的单调减区间为，单调增区间为．（2），其中，由题意知在上恒成立，，由（1）可知，∴，∴，记，则，令，得．当变化时，，的变化情况列表如下：∴，故，当且仅当时取等号，又，从而得到．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.选做题：写清题号22.已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为：(t为参数)；（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，若为弦的中点，求弦长。