电磁场习题解答
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
（3）
【习题3.4】
解：（1）在区域中，传导电流密度为0，即J=0
将 表示为复数形式，有
由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式
所以，电场的瞬时值形式为
（2） 处的表面电流密度
（3） 处的表面电荷密度
（4） 处的位移电流密度
【习题3.5】
解：传导电流密度 （A/ ）
位移电流密度
【习题3.6】
（2）内导体表面的电流密度
（3）
所以，在 中的位移电流
【习题2.13】
解：（1）将 表示为复数形式:
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
而磁场的瞬时表达式为
（2）z=0处导体表面的电流密度为
z=d处导体表面的电流密度为
【习题2.14】
已知正弦电磁场的电场瞬时值为
式中
试求：（1）电场的复矢量；
（2）磁场的复矢量和瞬时值。
由安培环路定律： ，按照上图所示线路积分有
等式左边
等号右边为闭合回路穿过的总电流
所以
写成矢量式为
将 代入得
【习题3.18】
解：当 时， ，
当 时， ，
这表明 和 是理想导电壁得表面，不存在电场的切向分量 和磁场的法向分量 。
在 表面，法线
所以
在 表面，法线
所以
【习题3.19】
证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程
（1）
和 （2）
若采用库仑规范，即 （3）
对（1）式两边取散度，有
将（2）、（3）式代入，得
故电流连续性也是满足的。
【习题4.3】解：
【习题4.4】
证明：因为 即
故 满足连续性方程。
另外， 满足洛仑兹条件。
重庆大学电磁场习题答案(第2章)
第二章习题答案2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。
试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。
解：（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样z '处取的元电荷z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：R20e R4z E πετ'=d d 其两个分量：θπετρρcos 20R4z e E d dE '=•=d （1） ()θπετsin 20z z R4e E d dE z d '-=-•=（2） 又θρθρtan ',cos ==z R所以：θθρd dz 2sec '= （3）式（3）别离代入式（1）（2）得：θρπεθτρd 04dE cos =； θρπεθτd sin 0z 4dE -= 'sin 'sin cos θρπετθθρπετθρπεθτθρ000004E 22d 2=⎰∴＝＝‘ （4）又 2l 42l 2l +='θsin （5）式（5）代入式（4）得：l55E 00πετρπετρ22=∴＝图2-2长直线电荷周围的电由于对称性，在z 方向 z E 分量彼此抵消，故有0=z Eρρρπετe l5e E e E 0z z 2E =+=∴（2）成立如图所示的坐标系在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为R20e R4x d E d πετ'=其在x 方向的分量为：20x R 4x d dE πετ'=又 x l R -=2020x x l 4x d R4x d dE )-(''='=∴πετπετ()l 3x l 4x l 4x d E 02l 2l 2l 2l 020x πετπετπετ='-⨯=''=--⎰∴∴∴////1)-( x 0x x x e l3e E Eπετ==∴2-3 真空中有一密度为m C n /2π的无穷长线电荷沿y 轴放置，还有密度别离为2/1.0m C n 和2/1.0m C n -的无穷大带电平面别离位于z=3m 和z=-4m 处。
电磁场课后习题答案
电磁场课后习题答案电磁场课后习题答案电磁场是物理学中一个重要的概念，涉及到电荷、电流和磁场的相互作用。
在学习电磁场的过程中，我们经常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们更好地理解电磁场的基本原理和应用。
本文将给出一些电磁场课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 一个带电粒子在匀强磁场中作圆周运动，其运动半径与速度之间的关系是什么？答：带电粒子在匀强磁场中作圆周运动时，受到的洛伦兹力与向心力相等。
洛伦兹力的大小为F = qvB，向心力的大小为F = mv²/R，其中q为电荷量，v为速度，B为磁感应强度，m为质量，R为运动半径。
将这两个力相等，可以得到qvB = mv²/R，整理得到v = qBR/m。
因此，速度与运动半径之间的关系是v 与R成正比。
2. 一个长直导线中有一电流I，求其所产生的磁场强度B与距离导线距离r之间的关系。
答：根据安培定律，长直导线所产生的磁场强度与电流和距离的关系为B =μ₀I/2πr，其中B为磁场强度，I为电流，r为距离，μ₀为真空中的磁导率。
可以看出，磁场强度与距离的关系是B与1/r成反比。
3. 一个平面电磁波的电场强度和磁场强度的振幅分别为E₀和B₀，求其能量密度u与E₀和B₀之间的关系。
答：平面电磁波的能量密度与电场强度和磁场强度的关系为u = ε₀E₀²/2 +B₀²/2μ₀，其中u为能量密度，ε₀为真空中的介电常数，μ₀为真空中的磁导率。
可以看出，能量密度与电场强度的振幅的平方和磁场强度的振幅的平方之间存在关系。
4. 一个平行板电容器的电容为C，两板间的距离为d，若电容器中充满了介电常数为ε的介质，请问在电容器中存储的电能与电容、电压和介电常数之间的关系是什么？答：平行板电容器存储的电能与电容、电压和介电常数之间的关系为W =1/2CV²，其中W为存储的电能，C为电容，V为电压。
当电容器中充满了介质后，介质的存在会使电容增加为C' = εC，因此存储的电能也会增加为W' =1/2C'V² = 1/2εCV²。
电磁场理论习题及答案
电磁场理论习题及答案电磁场理论是电磁学的基础，它描述了电荷和电流产生的电磁场在空间中的分布和演化规律。
在学习电磁场理论时，习题是巩固和深化理解的重要方式。
本文将介绍一些电磁场理论的习题及其答案，帮助读者更好地掌握这一理论。
一、电场和电势1. 问题：一个均匀带电球体，半径为R，总电荷为Q。
求球心处的电场强度。
答案：根据库仑定律，电场强度E与电荷Q和距离r的关系为E = kQ/r^2，其中k为库仑常数。
对于球体内部的点，距离球心的距离r小于半径R，所以电场强度为E = kQ/r^2。
对于球体外部的点，距离球心的距离r大于半径R，所以电场强度为E = kQ/R^3 * r。
2. 问题：一个无限长的均匀带电线，线密度为λ。
求距离线上一点距离为r处的电势。
答案：根据电势公式V = kλ/r，其中k为库仑常数。
所以距离线上一点距离为r处的电势为V = kλ/r。
二、磁场和磁感应强度1. 问题：一根无限长的直导线，电流为I。
求距离导线距离为r处的磁感应强度。
答案：根据安培环路定理，磁感应强度B与电流I和距离r的关系为B =μ0I/2πr，其中μ0为真空中的磁导率。
所以距离导线距离为r处的磁感应强度为B = μ0I/2πr。
2. 问题：一根长为L的直导线，电流为I。
求距离导线距离为r处的磁场强度。
答案：根据比奥萨伐尔定律，磁场强度H与电流I和距离r的关系为H = I/2πr。
所以距离导线距离为r处的磁场强度为H = I/2πr。
三、电磁场的相互作用1. 问题：一个半径为R的导体球，带电量为Q。
求导体球表面的电荷密度。
答案：导体球表面的电荷密度σ等于导体球上的电荷总量Q除以导体球表面的面积A。
导体球表面的面积A等于球的表面积4πR^2。
所以导体球表面的电荷密度为σ = Q/4πR^2。
2. 问题：一个平行板电容器，两个平行金属板之间的距离为d，电介质的介电常数为ε。
一块电介质板插入到电容器中间，使得电容器的电容增加了n倍。
电磁场与电磁波基础教程(第2版)习题解答
《电磁场与电磁波基础教程》（第2版）习题解答第1章1.1 解：（1）==A B=C（2）)))23452A x y zB y zC x z ==+-=+=-，，；A a a a a a -a a a a a A（3）()()+2431223x y z x y z =+-+-+=--=+；A B a a a a a a A B （4）()()23411x y z y z ⋅=+-⋅-+=-；A B a a a a a （5）()()234104x y z y z x y z ⨯=+-⋅-+=---；A B a a a a a a a a （6）()()()1045242x y z x z ⨯⋅=-++⋅-=-；A B C a a a a a（7）()()()x 2104522405x y z x z y ⨯⨯=-++⨯-=-+A B C a a a a a a a a 。
1.2解：cos 68.56θθ⋅===︒；A B A BA 在B 上的投影cos 1.37B A θ===A ；B 在A 上的投影cos 3.21A B θ===B 。
1.3 解：()()()()()()()4264280⋅=-++-=正交A B 。
1.4 解：1110x x y y z z x y y z z y ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；；a a a a a a a a a a a a 0x x y y z z ⨯=⨯=⨯=；a a a a a a x y z y z x z x y ⨯=⨯=⨯=；，a a a a a a a a a 。
1.5 解：（1）111000z z z z ρρϕϕρϕϕρ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；，，a a a a a a a a a a a a ；000z z z z z ρρϕϕρϕϕρρϕ⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，，；，，a a a a a a a a a a a a a a a 。
高等电磁场理论习题解答（作业）
⾼等电磁场理论习题解答（作业）第⼀章基本电磁理论1-1 利⽤Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell ⽅程导出其频域形式。
（作1-2—1-3）解：付⽒变换和付⽒逆变换分别为：dt e t f F t j ?∞∞-=ωω)()(ωωπωd e F t f tj ?∞∞--=)(21)( 麦⽒⽅程：t D J H ??+=??ρρρtB E ??-=??ρρ0=??B ρρ=??D ρ对第⼀个⽅程进⾏付⽒变换：),(),(),ωωωr H dt e t r H dt e t r H t j tj ρρρρρρ??=??=??=∞∞-∞∞-（左端),(),(),(),(]),(),[ωωωωωωωr D j r J dte t r D j r J dt e t t r D t r J t j tj ρρρρρρρρρρρρ+=+=??+=??∞∞-∞∞-（右端（时谐电磁场） =??∴),(ωr H ρρ),(),(ωωωr D j r J ρρρρ+同理可得：()()ωωω,,r B j r H ??ρρ-=??()0,=??ωr B ρ()()ωρω,,r r D ?ρ?=??上⾯四式即为麦式⽅程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为=300420270εε当外加电场强度为 (1) 01E x e E =；(2)02E y e E =；(3) 03E z e E =；(4) )2(04y x E e e E +=；(5))2(05y x E e e E +=求出产⽣的电通密度。
（作1-6）解：()),(,t r E t r D ?Θ?=ε=333231232221131211εεεεεεεεεz y x D D D 即z y x E E E 将E 分别代⼊，得：=??=??????????027003000420270000111E E D D D z y x εε )?2?7(001y x E D +=ε?=??=??????????042003000420270000322E E D D D z y x εε )?4?2(002y x E D +=ε? ????=??=??????????300003000420270000333E E D D D z y x εε z E D ?3003ε=? ??==010110230004202700000444E E E D D D z y x εε )?10?11(004y x E D +=ε? ==08160230004202700000555E E E D D D z y x εε )?8?16(005y x E D +=ε? 1-3 设各向异性介质的介电常数为=4222422240εε试求：(1) 当外加电场强度)(0z y x E e e e E ++=时，产⽣的电通密度D ；(2) 若要求产⽣的电通密度004E x εe D =，需要的外加电场强度E 。
电磁场精选复习题 附答案
18、真空中的安培环路定律（用积分公式表示）
。
19、在磁介质中的安培环路定律（用积分公式表示）
20、磁场的两个基本变量是(或磁感应强度)和(或磁场强度)。
21、无限长电流I，在空间r处产生的磁场强度为。
22、磁感应强度可定义为某一矢量的 旋度 ，我们把这个矢量称作
为矢量位。
23、媒质分界面有面电流分布时，磁场强度的切向分量 不连续 。
电磁场精选复习题
一、单项选择题
(在答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号 内。每小题2分，共20分)。
1、导体在静电平衡下，其体内电荷密度( B )。
A.为常数 B.为零
C.不为零 D.不确定
2、两个点电荷对试验电荷的作用力可表示为两个力的 ( D )。
A．算术和 B．代数和
C．平方和 D．矢量和
3、电介质极化后，其内部存在 ( D )。
A. 自由正电荷
B. 自由负电荷
C. 自由正负电荷 D. 电偶极子
4、在两种导电介质的分界面处,电场强度的( A )保持连续.
A.切向分量 B.幅值 C.法向分量 D.所有分量
5、介电常数为ε的介质区域中，静电荷的体密度为ρ，已知这些电荷产
6、试解释坡印亭矢量的物理意义？ 答：坡印亭矢量E×H相当于功率流的面密度,(3分)即垂直于功率流动方 向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)
7、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的 体密度？
8、什么是高斯定理?在电场具有什么特征时可以用它来求解静电场问 题?
.=q 当电场具有对称性质时，可以用来求解静电场。
A.电导率越大，感应电动势越大
B.电导率越大，感应电动势越小
电磁场原理习题与解答(第5章)
第五章习题答案5-2 如题图所示，一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。
在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。
这一装置称为法拉第发电机。
试证明两电刷之间的电压为22ωBa 。
证明：，选圆柱坐标， ρφe vB e B e v B v E z ind=⨯=⨯=其中 φρωe v=22ωρρωρερρa B d B e d e v B l d E aal ind====⎰⎰⎰∙∙∴证毕 5-3解：5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm r 11=、cm r 42=，长度cm l 5.0=，极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V t 10026000u πsin =。
求s t 0.1=时极板间任意点的位移电流密度。
解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。
忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为τ，外导体电荷为τ-，因题图5-2zvρ此有ρρπετe 2E 0=21r r <<ρ1200222121r r d dl E u r r r r lnπετρρπετ===⎰⎰∙1202r r u ln=∴πετ所以ρρer r u E 12 ln =， ρρεer r u D 12ln=2A/mρρππρερεe t 10010026000r r e tu r r tD J 1212dcos ln ln ⨯=∂∂=∂∂=当s t 1=时2512A/m10816100100260004108584ρρρππρe e J d--⨯=⨯⨯⨯⨯=.cos ln .解法二：用边值问题求解，即⎪⎩⎪⎨⎧=====∇401u 02ρϕρϕϕ 由圆柱坐标系有0)(1=∂∂∂∂ρϕρρρ(1)解式(1)得 21ln c c +=ρϕ由边界条件得： 4u c 1ln -= u c 2=u 4u +-=∴ρϕln ln所以 ρρπϕe 4t10026000Eln sin =-∇=ρρπεεe 4t 100260004E D 0ln sin ==ρπρπεe 1004t 100260004t D J 0D⨯=∂∂=ln cos当s t 1=时)(.25D mAe 10816J ρρ-⨯=5-5由圆形极板构成的平板电容器)(d a >>见题图所示，其中损耗介质的电导率为γ、介电系数为ε、磁导率为μ，外接直流电源并忽略连接线的电阻。
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1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。
(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。
解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。
对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得l S D sτ=⋅⎰d考虑到此问题中的电通量均为r e即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是l rD l τπ=2即 r e r D πτ2=， r e rE02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U b a r r b aln 2d 2d 00⎰⎰επτ=⋅επτ=⋅=1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。
内导体的半径为a ，其值可以自由选定但有一最佳值。
因为a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。
另一方面，由于E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。
试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。
（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。
某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。
解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为r E πετ2=， aE πετ2max = 而内外导体之间的电压为abr r r E U ba ba ln 2d 2d πετπετ⎰⎰===或 )ln(max ab aE U =0]1)[ln(a d d max =-+=abE U 即 01ln=-a b ， cm 736.0e ==ba V)(1047.1102736.0ln 55max max⨯=⨯⨯==abaE U1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。
解：25045sin 10001==t E ，25045cos 10001==n E220040101εε==n n E D 根据t t E E 21=，n n D D 21=得2502=t E ，220002ε=n D ，21002022==εnn D E 于是：V/m)(1050)2100()250(2222222=+=+=n t E E E1—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度： （1）、2Ax =ϕ （2）、Axyz =ϕ （3）、Brz Ar +=φϕsin 2 （4）、φθϕcos sin 2Ar =解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。
（1）、i Ax i x Ax k z j y i x E2)()(2-=∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ00002)2()(εεεερA Ax xx E z E y E x E D x z y x -=-∂∂=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=（2）、)(k z j y i x E∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ )(k zAxyz j y Axyz i x Axyz∂∂+∂∂+∂∂-=)(k xy j xz i yz A++-=0)]()()([0=-∂∂+-∂∂+-∂∂=⋅∇=Axy z Axz y Ayz x D ερ（3）、)1[k ze r e r E r∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕφϕϕϕφ φφφφe Brz Ar r e Brz Ar r r )sin (1)sin ([22+∂∂++∂∂-=)])sin (2k Brz Ar z +∂∂+φ)]cos )sin 2[(k Br e Ar e Bz Ar r+++-=φφφ)cos (1)sin 2(1[0φφφερAr r Bz Ar r r r D ∂∂++∂∂-=⋅∇=)](Br z∂∂+]sin )sin 4(1[0φφεA Bz Ar r-+-=]sin )sin 4[0φφεA rBzA -+-=（4）、]sin 11[φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=r e r e r e E r)cos sin (1)cos sin ([22φθθφθθAr r e Ar r e r ∂∂+∂∂-= )]cos sin (sin 12φθφθφAr r e ∂∂+θφθφθe Ar r e Ar r )cos cos (1)cos sin 2[(2+-=])sin sin (sin 12φφθθe Ar r -])sin ()cos cos ()cos sin 2[(φθφφθφθe Ar e Ar e Ar r-+-=)](sin 1)sin (sin 1)(1[220φθφθθθθερE r E r E r r r D r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=)sin cos cos (sin 1)cos sin 2(1[320θφθθθφθεAr r Ar rr -∂∂+-∂∂=)]sin (sin 1φφθAr r ∂∂+]sin cos )sin (cos sin cos cos sin 6[220θφθθθφφθεA A A +---=1—4—2、两平行导体平板，相距为d ，板的尺寸远大于d ，一板的电位为0，另一板的电位为0V ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即x x 0)(ρρ=。
试求两极板之间的电位分布（注：0=x 处板的电位为0）。
解：电位满足的微分方程为x x0022d d ερϕ-= 其通解为：21306C x C x ++-=ερϕ 定解条件为：00==x ϕ； 0V ==d x ϕ 由00==x ϕ得 02=C 由0V ==d x ϕ得 01300V 6=+-d C d ερ，即 200016d V d C ερ+= 于是x d d x )6V (6200300ερερϕ++-= 1—4—3、写出下列静电场的边值问题：（1）、电荷体密度为1ρ和2ρ（注：1ρ和2ρ为常数），半径分别为a 与b 的双层同心带电球体（如题1—4—3图（a ））；（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为1ε与2ε的均匀介质，内球壳带总电量为Q ，外球壳接地（题1—4—3图b ））； （3）、半径分别为a 与b 的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为τ，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c ））。
解：（1）、设内球中的电位函数为1ϕ，介质的介电常数为1ε，两球表面之间的电位函数为2ϕ，介质的介电常数为2ε，则1ϕ，2ϕ所满足的微分方程分别为1112ερϕ-=∇， 2222ερϕ-=∇ 选球坐标系，则11212212122sin 1)(sin sin 1)(1ερφϕθθϕθθθϕ-=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r r 22222222222sin 1)(sin sin 1)(1ερφϕθθϕθθθϕ-=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r r 由于电荷对称，所以1ϕ和2ϕ均与θ、φ无关，即1ϕ和2ϕ只是r 的函数，所以11122)(1ερϕ-=∂∂∂∂r r r r ， 22222)(1ερϕ-=∂∂∂∂r r r r定解条件为：分界面条件： ar a r ===21ϕϕ； ar ar rr==∂∂=∂∂2211ϕεϕε电位参考点： 02==br ϕ；附加条件：01=r ϕ为有限值（2）、设介电常数为1ε的介质中的电位函数为1ϕ，介电常数为2ε的介质中的电位函数为2ϕ，则1ϕ、2ϕ所满足的微分方程分别为1112ερϕ-=∇， 2222ερϕ-=∇ 选球坐标系，则0sin 1)(sin sin 1)(1212212122=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂φϕθθϕθθθϕr r r r r r 0sin 1)(sin sin 1)(1222222222=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂φϕθθϕθθθϕr r r r r r由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以1ϕ和2ϕ均与θ、φ无关，即1ϕ和2ϕ只是r 的函数，所以0)(1122=∂∂∂∂r r r r ϕ，0)(1222=∂∂∂∂r r rr ϕ 分界面条件： 2221πθπθϕϕ===由分解面条件可知21ϕϕ= 。
令 ϕϕϕ==21，则在两导体球壳之间电位满足的微分方程为0)(122=∂∂∂∂r r rr ϕ电位参考点： 0==b r ϕ；边界条件：Q E E a a r r r =+=)(2212εεπ，即Q r a ar =∂∂-+=)()(2212ϕεεπ （3）、设内外导体之间介质的介电常数为ε，介质中的电位函数为ϕ，则ϕ所满足的微分方程分别为02=∇ϕ，选球柱坐标系，则01)(122222=∂∂+∂∂+∂∂∂∂z r r r r r ϕφϕϕ由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位ϕ和φ及z无关，即ϕ只是r的函数，所以)(1=∂∂∂∂rrrrϕ电位参考点：0==brϕ；边界条件：τεπ==arrEa2，即τϕεπ=∂∂-=arra)(21－7－3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷1q和2q，与导体平板的距离均为d，求空间的电位分布。
解：设接地平板及1q和2q如图（a）所示。
选一直角坐标系，使得z轴经过1q和2q且正z轴方向由2q指向1q，而x，y轴的方向与z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x，y平面内。
计算0>z处的电场时，在（d-,0,0）处放一镜像电荷1q-，如图（b）所示，用其等效1q在导体平板上的感应电荷，因此))(1)(1(422222211dzyxdzyxq+++--++πε=ϕ计算0<z处的电场时，在（d,0,0）处放一镜像电荷2q-如图（c）所示，用其等效2q在导体平板上的感应电荷，因此))(1)(1(422222222dzyxdzyxq-++-+++πε=ϕ1－7－5、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距离为12厘米。
若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。
解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。
在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。
由于对称cm6212==h而cm24262222=-=-=Rhb设负电轴到点),(yxp的距离矢量为2r，正电轴到点),(yxp的距离矢量为1r（p点应在以R为半径的两个圆之外），则p点的电位为222212)()(ln2)ln(2),(ybxybxrryx+-++πετ=πετ=ϕ两根导体之间的电压为U，因此右边的圆的电位为U21，即2)()(ln2)0(22UbRhbRhτ,Rh=--+-πε=-ϕ由此可得)21ln(250)21ln(410002ln20+=+=+=πετh-R-bb h-R U于是2222)()(ln )21ln(250),(y b x y b x y x +-+++=ϕ ϕ-=grad Exe y b x y b x y b x b x y b x b x])][()[(]))[((]))[(({)21ln(25022222222+++-++--+-++-=由于两根导线带的异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。