惯性系下质点运动学
质点运动
第一章 质点运动学一、基本要求1．理解质点模型和参考系、惯性系的概念。
2．掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，能借助于直角坐标系和矢量三角形计算质点在平面内运动的速度和加速度。
3．掌握由运动方程求速度、加速度及由速度、加速度利用初始条件建立简单问题的运动方程。
4．掌握圆周运动的角速度和角加速度以及角量和线量的关系。
5．掌握用自然坐标系计算质点在平面内运动的速度、切向加速度和法向加速度。
6．掌握相对速度和参考系平动时的相对加速度。
7．掌握用高等数学计算运动学中的极值问题。
8．理解有运动方程推出轨道方程。
二、本章要点1．质点、参照系 忽略物体的大小和形状的理想化模型，就简化为质点。
为描述支点的运动所选取的参考物体即为参考系。
2．位置矢量 质点作机械运动时，为了确定质点在空间中的位置所引入的物理量，在直角坐标系中，位置矢量表示为k z j y i x r ++=因为式中的坐标()z y x ,,是时间的函数，所以该式又叫运动方程，由此也可得到质点的轨迹方程。
3．位移矢量和路程 质点在1t 时刻的位移为1r ，2t 时刻的位移为2r，在2t -1t 这段时间内质点的位移为 k z j y i x r r r ∆+∆+∆=-=∆12路程是质点沿轨迹走过的路径长度。
位移和路程是不同的两个概念。
4．速度和速率 速度是描写质点运动快慢程度的物理量。
dtr d v = 在直角坐标系下表示为 k dtdz j dt dy i dt dx dt r d v ++== 在自然坐标系下 τˆdtds dt ds ds r d dt r d v =⋅==其中dtds v =为质点的速率。
5．加速度 加速度是描述速度变化快慢的物理量。
22dtr d dt v d a == 在直角坐标系下表示为k a j a i a a z y x ++=其中dtx d dt dv a x x 2== dt y d dt dv a y y 2== dt z d dt dv a z z 2== 在自然坐标系下，n a a a n t ˆˆ+=τ其中：切向加速度 dt dv a t /=，是描写速度大小变化的快慢，与切向平行；法向加速度 ρ/2v a n =，是描写速度方向变化的快慢，指向曲线的曲率中心。
第九章质点在惯性与非惯性参考系中的动力学
（4）质点相对动参考系作等速直线运动，有
则： F FIe FIC 0
——称为相对平衡状态
★ 牵连惯性力与科氏力实例
飞行员的黑晕与红视现象
飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象 惯性参考系－地球 非惯性参考系－飞机 动点－血流质点 牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 大脑缺血，形成黑晕现象。
k
FO
m
x
l0
x
解：这是已知力(弹簧力)求运 动规律，故为第二类动力学问题。
以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立 牛坐标系，将物块置于任意位置 x > 0 处。 物块在 x 方向只受有弹簧力F＝－k x i。根 据直角坐标系中的质点运动微分方程
Fix m x
＋kx 0 m x i k 2 2 ＋ 0 x 0 , 0 x m
无科氏力的运动轨迹 A0 A0 O´ A2
有科氏力的运动轨迹 A1
A2´
＊
关于傅科摆的相对运动轨迹
本章作业
哈： 11-6 11-11 11-13 11-18 11-23 11-24 11-28 范： 11-3 11-5 11-8 11-9 11-11 11-12 11-14
0 Fib
i
2 s
? 质点动力学两类问题应用举例
第一类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力； 第二类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
? 质点动力学两类问题应用举例
m
例 题 1
k l0
v0
已知：弹簧－质量系统，物块的质量为m , 弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始 速度为 v0 。 求：物块的运动方程
m( g a0 ) sin m s
惯性力 动量定理 质心运动定理精品PPT课件
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（一）直线加速运动参照系中的惯性力和动力学方程：
1. 惯性力：
F惯 ma0
a0
F惯
惯性力大小等于质点的 质 量与非惯性系加 速度a0 的 乘积，方向与a0方向相反。
注意： 1.惯性力不是真实力，是非惯性系中的观察者假 想出来的力，只有在非惯性系中才能观察得到；
2.惯性力不是物体间的相互作用，不存在惯性力
Fx2
F
2 y
此力与水平方向夹角为
tan Fy
Fx
代值求解得 F 8.1 103 N
300
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例2、质量为2.5g的乒乓 球以10m/s的速率飞来， 被板推挡后，又以20m/s 的速率飞出。设两速度在 垂直于板面的同一平面内， 且它们与板面法线的夹角 分别为45o和30o，求： （1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s， 求板施于球的平均冲力的 大小和方向。
间内合力的冲量。(单位：N·S )
（1）式为质点动量定理的微分形式，表示：
积合分 力的（元1）冲式量：等tt0 于F 质dt点 动P 量 的P0微 分mv。
m
v0
（2）
左侧积分表示在t0 到 t 这段时间
内合外力的冲量，用I 表示
t
I t0 Fdt
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(2)式可表示为： I P P0
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力学相对性原理：在一切惯性系中，力学定律 具有完全相同的表达形式。
由力学相对性原理可知，在研究力学规律时，所 有的惯性系都是等价的。我们在惯性系中所做的任何 力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是 否在运动。
力学相对性原理也称为伽利略相对性原理。
§3.4 非惯性系中的动力学
质点运动学牛顿运动定律
· D
B C · ·
E
·
引力分布不均匀 （有引力梯度） 地球
引力不能完全 被惯性力抵消 地球
经计算（书P101—P103），太阳引起的潮高：
3 M S RE 3 hS （ ）RE 0.25m 2 M E rS E
月亮引起的潮高：
3 M M RE 3 hM （ ）RE 0.56m 2 M E rM E
牛顿运动定律
▲
第一定律（惯性定律）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。 意义： 定义了“惯性系” 定性给出了“力”与“惯性”的概念
▲
第二定律
d F (mv ) dt
低速问题, m = const. 则有
F ma
在直角坐标系中
dv x Fx ma x m dt
49，T 31小时52分 巴黎， 40，T 37小时 15分 北京，
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
分析：近距、垂直 雷管
a0 大 F0 大
滑块受摩擦力大 雷管不能被触发 鱼雷
撞针滑块
导板
雷管
导板
S′
撞针滑块
F0 v
敌 舰 体
v 鱼雷
a0
▲ 在非惯性系中讨论问题更方便的情况举例：
讨论 M 自由下滑后，m 对地面的运动情况。 M >> m 直接讨论 m 对地面的运动较困难。
M
.
v
一般情况下，hS 和 hM 是矢量相加的， 只有太阳、地球和月亮几乎在同一直线上时， 二者才是算术相加的。
落潮 涨潮
地球
落潮
涨潮
月 亮
惯性系下质点运动学
第一篇： 第二章 惯性系下质点运动学
牛顿第二定律的总结过程为：针对标准物体的实验，定义了力 和质量，在力和质量定义的基础上，针对任何物体的实验总结出了 牛顿第二定律。
1． 力的定义
依据实验现象规定：标准物体在不同力作用下，比较加速度大
小可定义力 F2
a2 a1
F1 。
进一步利用力能使弹簧发生形变这个事实来定义力的大小。让
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《力学》电子教案
第一篇： 第二章 惯性系下质点运动学
例 2.1.2-1 从距地面高 h 处以初速度为 v0 竖直向上抛出质量为
m 的物体，物体受到与 v 成正比的阻力 f kv （ k 为常数）。求物
体抛出后的速度、位置随时间如何变化？
解：以地面为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标系。由牛顿第二定律得：
1、 牛顿第一定律中物体不受外力保持匀速直线运动状态不变的属 性——是由实验总结的推论（伽利略的斜面思想实验）。
2、 第一定律确立了惯性参考系。牛顿第一定律要相对一个特定的参 考系才成立，这个参考系称为惯性参考系。
3、 绝对的惯性系是不存在的。
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《力学》电子教案
牛顿第二定律
4. 惯性质量与引力质量
m惯 可以描述物体惯性大小的属性， m引 可以描述被吸引的 属性。惯性质量与引力质量二者关系如何？
从惯性属性角度： 从引力属性角度： 重力与引力相等: 联立解得：
F重 m惯 g
F引
G
m引m地球 R2
F重 F引
m惯 m引
G
m地球 R2g
1
厄特沃什实验动画演示
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第一篇： 第二章 惯性系下质点运动学
质点运动的基本原理与公式推导
质点运动的基本原理与公式推导质点运动是物理学中的一个重要概念，它描述了一个点状物体在空间中的运动状态。
本文将介绍质点运动的基本原理，并通过推导公式来深入理解质点运动的规律。
一、质点运动的基本原理质点是物理学中一个理想化的概念，它假设物体在运动过程中没有形状和大小，只有质量。
因此，质点运动的基本原理可以归纳为以下几点：1. 质点的位置：质点在空间中的位置可以用矢量来表示，通常用r 表示，即r(t)，其中t表示时间。
质点的位置随时间的变化而变化，可以用函数关系式来描述。
2. 质点的速度：质点的速度指的是单位时间内质点位移的变化率。
数学上，可以用矢量v表示，即v(t) = dr(t)/dt，其中dr(t)表示质点在时间t内的微小位移。
3. 质点的加速度：质点的加速度指的是单位时间内质点速度的变化率。
数学上，可以用矢量a表示，即a(t) = dv(t)/dt，其中dv(t)表示质点在时间t内的微小速度变化。
4. 质点的运动方程：质点的运动方程是描述质点运动状态的方程。
一般情况下，可以通过质点的速度和加速度推导得出。
常见的质点运动方程有匀速直线运动方程、匀加速直线运动方程等。
二、质点运动的公式推导下面以匀速直线运动和匀加速直线运动为例，推导出相应的质点运动公式。
1. 匀速直线运动假设质点在匀速直线运动过程中，速度恒定不变，且沿着直线方向运动。
记质点的初始位置为r0，速度为v0，则质点在时间t后的位置可以表示为r(t) = r0 + v0t。
2. 匀加速直线运动假设质点在匀加速直线运动过程中，加速度恒定不变，且沿着直线方向运动。
记质点的初始位置为r0，初始速度为v0，加速度为a，则质点在时间t后的位置可以表示为r(t) = r0 + v0t + (1/2)at^2。
以上推导的公式是质点运动中常用的公式，可以帮助我们准确描述和计算质点在运动过程中的位置、速度和加速度。
结论：通过上述对质点运动的基本原理和公式推导的介绍，我们可以得出质点运动的几个重要结论：1. 质点的位置、速度和加速度都是随时间变化的量，可以用矢量表示。
1惯性直角坐标系下的牛顿质点力学
20.O O O 7. O O O10. 15. O 19. 16. 11. 13. 6. 5. O O O O 22. 2. 14. O 9. 21. 18. 1. 12. 8. 17. 3. O 4. O O O 惯性直角坐标系下的牛顿质点力学经典物理认为：惯性直角坐标系有非常“特殊的地位”欧几里得立体（或简化到平面）几何，总有效。
质点系的运动学：位置（轨迹，轨道）；速度；加速度；质量rαt vαt =d r αdt a αt =d v αdt =d 2 r αdt 2mα这里的α=1,2,3...是不同质点的编号。
力：相互作用的；力场的；保守和非保守的f α,β; x ,y ,z ; =K V二体保守相互作用力：V =V r 1,2r 1,2=r1K r 2f 1=K V 1V f 2=K V 2V =K f1保守力场：每个质点都受到它的作用。
V =V rr =r =x 2C y 2C z 2f =K V上面的势可以随时间变化：V=V(t)非保守力都是耗散性的（总是伴随发热）。
如动摩擦力总力：保守的+非保守的f 总=f C f耗散牛顿运动方程：（不对α求和）m α$a α=f总α这样，如果知道了力，解方程就可以计算系统的运动了。
以上都是惯性直角坐标系下才有的东西。
也是它为何地位非常“特殊”的原因。
这套思想和方法，源自“哥白尼-笛卡尔-伽利略-开普勒-牛顿”。
（特别是他们关于天文现象的思索）我们知道，沿着这条思路的后续发展，取得了巨大成功。
但宇宙（自然界）为何是这样的？思想家和物理学者至今都“百思不解”。
无论如何，利用它们，人类可以（前所未有的）精准定量地把握自然过程。
同时发现大量“人感官不能感知”的现象。
利用实验测量和数学计算方法，极大地促进“工程-经济-军事”。
31. 28. 26. 30. 24. 47. O34. 44. 51. 43. 42.O 39. 32.O 23. O O 36. 41. 40. O 37. 45. 33. 27. 29. 38. 48. O 49. 25. O 35. 46. O 50. 故数学家也考虑这些方程的处理技术。
质点系的角动量定理
fi
j i
fij
ri
fi
i
ji
r
i
dLi
dt
fij
ddti
L
i
fi
mi fij
ri ri rj
fji
mj
fj
i
ji
ri
合fi内j 力12矩i,j为(i j零) ri
fij
rj
O f ji
即证。
1 2i, j(i j)
r i
rj
f 0
ij
rj
4
内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但 合内力矩等于零，对总角动量无影响。
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外 力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量 将不随时间改变—质点系的角动量守恒定律
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它Βιβλιοθήκη 具 有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。
5
盘状星系
6
L
球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向， 引力使气云收缩 角动量守恒 粒子的旋转速度 惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维持一 定的半径。 但在与L平行的方向无此限制，所 以形成了旋转盘状结构。
7
例题
讨论行星运动
F与
r在一直线上
M rF 0
rF
L 常矢量
S
v
1面、LL方向不r 变m v 轨道面是平 v远
r远
2、 L = 常量= r m v sin r v sin = 常量
量矢径单位时间行扫过的面积是常量
v近
o
r近
S= 常
在近日点与远日点 sin =1
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o v 向分解。在原点 处，速度 可分解为：
v x 0 vo cos ； v y 0 v0 sin
物体在抛射后到落地过程中，只受重力作用，
g 所以加速度 可分解为：
a x g sin ； a y g cos
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《力学》电子教案
第一篇： 第二章
r0 ，核间力表现为
r0 ，核间吸引力大于排斥力，表现为吸引力。
法向力（压力） ：
物体与另一物体表面接触，表面上的相互作用力可分解 为两个分量，一个与表面垂直，一个与表面相切。垂直分量 为 N 叫做法向力，而切向分量叫摩擦力。
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势能曲线动画演示
《力学》电子教案
第一篇： 第二章
第三定律
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《力学》电子教案
第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
牛顿第一定律： 每个物体都保持其静止或匀速直线运动状态， 除非有 外力作用其上迫使它改变这种状态。 物体的这一属性也称 为惯性。
1、 牛顿第一定律中物体不受外力保持匀速直线运动状态不变的属
性——是由实验总结的推论（伽利略的斜面思想实验）。
惯性系下质点运动学
在此过程中，速度在 x 轴和 y 轴方向可分别表示为：
dx v x a x dt g sin t v0 cos dt
dy v y a y dt g cos t v0 sin dt
1 x v dt v cos t g sin t 2 0 x 积分得： 2
y v y dt v0 sin t
1 g cos t 2 2
令 y 0 可得物体在斜面上的射程： y v y dt v0 sin t
1 g cos t 2 0 2
2v0 sin 可得 t1 0 ， t 2 g cos 。 将 t 2 代入到 x 的表达式中，得到的 x 即为射程。
解：绳中取一小质元，以该小质元为研究对象，作圆周运 动，对小质元法线方向应用牛顿第二定律：
1 1 FT ( ) sin( ) FT ( ) sin( ) m 2 r 2 2
sin( ) ，得： 当 0时，
1 m [ FT ( ) FT ( )] (r ) 2 r 2 2 r
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
例 2.1.2-2
如例 2.1.2-2 图所示，在倾角为 的斜坡的坡底处，以
初速度 v0 、 与斜面夹角为 的方向抛射物体， 求物体在斜面上的射程。
解： 如例 2.1.2-2 图所示建立直角坐标系， 速度 v 和加速度 a 可在 x 轴和 y 轴方
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
第二章
惯性系下质点运动学
本章知识内容提要
一、牛顿三定律 二、力的分类以及力学中常见的力 三、量纲 本章知识单元与知识点小结
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
本章知识内容提要
1、从实验观察总结的角度，给出牛顿第一、二、三定律
的描述，以确定惯性参考系下质点的基本运动定律。
对于由质量为 m 的弹簧和质量为 m0 的物体组成的谐振子， 系统的动能和势能可以等效 表示为：
Ek
1 b (m0 am)v 2 ， E p k x 2 2 2
1 a b 1。 对于弹簧的均匀形变，可以证明 3，
张力：
对于与接触面无摩擦接触的轻绳，无论绳处于什么状态，绳中各处张力相等；而 对于其它情况，绳中各点的张力的大小由绳的具体运动形式决定。
2 2v0 sin x cos( ) 2 最后整理得： g cos
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《力学》电子教案
第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
牛顿第三定律：
对于一对相互作用的物体，一对相互作用的物体，其作用 力与反作用力作用在不同物体上；作用力与反作用力大小相 等、方向相反；作用力与反作用力同时产生、同时消失。
其中，FT ( ) FT ( ) FT ， 代入上式， 忽略二阶小量， 整理得： FT ( )
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mr 2 m l ml 2 2 2 。 2 2 2 4
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
从距地面高 h 处以初速度为 v0 竖直向上抛出质量为
m 的物体，物体受到与 v 成正比的阻力 f
体抛出后的速度、位置随时间如何变化？
kv （ k 为常数） 。求物
解：以地面为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标系。由牛顿第二定律得：
mg kv ma m
m 力的定义
依据实验现象规定：标准物体在不同力作用下，比较加速度大 小可定义力
F2 a2 F1 a1 。
进一步利用力能使弹簧发生形变这个事实来定义力的大小。 让 标准物体在弹簧形变力的作用下获得加速度为 a1 、 2a1 、 3a1 ……, 以此来标定弹簧，制成测力计。
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对于一对相互接触的物体，一对作用 力和反作用力如图 2.1.3-1（a）所示，对于 通过场进行传播的相互作用力，一对作用 力和反作用力如图 2.1.3-1（b）所示。
相互作用力动画演示
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
二、力的分类以及力学中常见的力
d (g
k v) m t dt 0 k g v m
k
dv dt
dv dt kv 整理得： g m
dy m g mt m g v (v 0 )e 积分结果： dt k k k t m mg mg m y h (v 0 )(1 e ) t 再次积分得： k k k
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
2. 质量的定义
依据实验现象规定：相同作用力作用在标准物体和其它物体，比
a1 m m 较加速度可定义质量 2 a2 1 。
3. 惯性参照系下牛顿第二定律的数学表示
在惯性参照系下，实验结果表明：
å
v v F = kma
2
在国际单位制中，1 牛顿＝1 千克·米·秒
2、 第一定律确立了惯性参考系。牛顿第一定律要相对一个特定的参 考系才成立，这个参考系称为惯性参考系。 3、 绝对的惯性系是不存在的。
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
牛顿第二定律
牛顿第二定律的总结过程为： 针对标准物体的实验， 定义了力 和质量， 在力和质量定义的基础上， 针对任何物体的实验总结出了 牛顿第二定律。
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
力学中常见的力
强相互作用力
弹性力 电磁力作用 摩擦力
法向力
弹性力
张力
力的分类
弱相互作用力
万有引力
万有引力（重力）
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
弹性力
从微观上看，弹性力是相互接触的物体的分子或原子间的相互排斥、相互吸引的 结果。物质是由原子组成的，研究结果表明，两原子之间相互作用势能与距离之间的 关系如图 2.3.3-1 所示。 两核间的距离为 r0 时处于平衡状态，当物体被压缩时， r 斥力；当物体被拉伸时， r
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《力学》电子教案
第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
例 2.3.3-1
如例 2.3.3-1 图所示，长为 l ，质量为 m 的绳以一端为轴
匀角速 旋转，求绳中张力。
解：绳中取一小质元（微元法） ，质量为 m l r ， 以小质元为研究对象，作匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
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力的分类
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第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学
四种力的相对强度及作用程
（即相互作用的距离，用米作单位）的比较
力的种类 强相互作用 电磁相互作用 弱相互作用 万有引力
相对强度
作用程/m
1
102
13
38
10
15
1017
10
10
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-5 在厘米·克·秒制中， 1达因＝10 牛顿
日常生活中所称的千克力或公斤力， 是工程单位制中对力单位的定义，
1千克力(公斤力）＝9.8千克 米/秒－2＝9.8牛顿
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《力学》电子教案
第一篇： 第二章
惯性系下质点运动学