第十章 ——误差椭圆
第十章误差椭圆
第十章 误差椭圆知识点习题与解析10.01 从已知点A 确定点P 的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L 、边长S ，T 为已知方向，已知AP 边边长为200m ，测角和测边的中误差分别为βσ=2″，S σ=3cm ，试求待定点P 的点位中误差。
10.02 角ψ和ψσ是怎样定义的?ψϕ、及E ϕ之间有什么关系?10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X X Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20(/())01X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求该点的点位中误差。
10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X XY ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20.5(/())0.53X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求ϕ=30°方向上的位差。
10.05 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆTXX Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，平差后得到ˆX的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧75.015.015.025.0XX Q ，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=。
(1)计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； (2)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (3)计算P 1点在方位角为90°方向上的位差。
10.06 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆˆˆTXX Y ⎡⎤=⎣⎦，平差后得到x 的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∧∧25.125.025.075.1XX Q，且单位权中误差0ˆσ=cm 。
(1)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (2)计算P 2点在方位角为45°方向上的位差。
10.07 已知平差后待定点P 坐标的协因数和互协因数为∧∧∧∧Y X Y X 、Q、QQ 则当∧∧YX Q=0且∧∧YX＞QQ 时，P 点位差的极大值方向为 ，E ϕ= ；位差的极小值方向为 ，F ϕ= 。
第十章 误差椭圆
tan 2 0 tan(2 0 180 )
第十章——误差椭圆
90 既然 0 和 0 为极大值方向和极小值方向，那么哪
个是极大值方向？哪个又是极小值方向呢？下面来讨论 这个问题。 1 cos 2 0 1 cos 2 0 将三角公式 2 2 cos 0 , sin 0
知，该曲线关于E轴和F轴对 称。称该曲线为点位误差曲线。
第十章——误差椭圆
§10-4 误差椭圆
点位误差曲线不是标准曲线，在计算椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误 差椭圆，简称误差椭圆。 由图知，此误差椭圆仅由 长半轴E、短半轴F、以及
即点位在任意方向上的方差为
2 2 2 2 2 x ( Q cos Q sin Q xy sin 2 ) 0 xx yy
（1）
习惯上，称点位在某方向上的方差为该方向上的位差。
习题：10.2.07
第十章——误差椭圆
点位在任意方向 上的协因数为：
Q Q xx cos2 Q yy sin 2 Q xy sin 2
P 2 x 2 y 2
x’
x
Δx
Δy ΔP Δs P
P’ Δu
y’
A
y
第十章——误差椭圆
ˆ, y ˆ ) 。且方差协方差矩阵为: 平差后待定点P 的坐标为 ( x
DX ˆX ˆ
2 Q Q xy x xy 2 xx 0 Q Q 2 xy yy xy y
2
第十章——误差椭圆
2 令： K (Q xx Q yy ) 2 4Q xy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
误差椭圆
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
误差习题10
第十章思考题10.1 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11ˆT X X Y =，平差后得到ˆX 的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XX Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=， （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差；（2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ϕ、、；（3）计算P 1点在方位角为90方向上的位差。
10.2如何在P 点的误差椭圆图上，图解出P 点在任意方向ψ上的位差ψσ？10.3 某平面控制网经平差后求得P 1、P 2两待定点间坐标差的协因数阵为：()()2ˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ32/"23X X X Y Y XY Y Q Q cm Q Q ∆∆∆∆∆∆∆∆-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 单位权中误差为"0ˆ1σ=，试求两点间相对误差椭圆的三个参数。
10.4 已知某三角网中P 点坐标的协因数阵为：()()22ˆˆ 2.100.25/"0.25 1.60XX Q cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 单位权方差估计值()22"0ˆ 1.0σ=，求 （1）位差的极值方向E F ϕϕ和；（2）位差的极大值E 和极小值F ；（3）P 点的点位方差（4）30ψ=方向上的位差（5）若待定点P 点到已知点A 的距离为9.55km ，方位角为217.5，则AP 边的边长相对中误差为多少？10.5 由A 、B 、C 三点确定P 1点坐标ˆˆˆT P P X X Y ⎡⎤=⎣⎦，同精度观测了6个角度，观测精度为βσ，平差后得到ˆX 的协因数阵为()()22ˆˆ 1.50/"0 2.0XX Q cm ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且单位权中误差为0ˆ 1.0cm σ=，已知BP 边边长约为300m ，AP 边边长为220m ，方位角90AB α=，平差后角度13000'00"L =，试求测角中误差βσ。
10 误差椭圆
1.496 ˆ 1.496 1.22
§10-3 误差曲线
误差曲线的定义 误差曲线的特点
误差曲线的用途
§10-3 误差曲线
一、误差曲线的定义
E cos F sin
2 2 2 2 2
x
以不同的Ψ 和σΨ 为极坐标 的点的轨迹所形成的一条 闭合曲线，习惯上称为误 差曲线。
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
§10-1 概述
3.按纵、横方差来求
x
x
y
P
P ' ( x, y )
u
P s u
2 2
2
2 P
2 s
2 u
A
s
P (~ x, ~ y)
横向方差 纵向方差
o
y
§10-1 概述
E(P ) E(x ) E(y )
2 2 2 2 x
2 y
点位方差
P点真位差平方的理论平均值，定义为P点的 点位方差。
2 p 2 x
2 y
§10-1 概述
三、点位方差的计算方法
1.按纵、横坐标来求
2 p 2 x
2 y
2.按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
ˆP ˆ
0
Qxx Q yy
§10-2 点位误差
2.协因数的计算
• （1）间接平差
1 T 1 QXX N ( B PB ) ˆˆ bb
QX1 X1 QY1Y1 QX s X1 QYs X1
QX1Y1 QX1 X i QY1Y1 QY1 X i
误差椭圆
§6-1 概 论在测量中，点P 的平面位置常用平面直角坐标P P y x ,来确定。
为了确定待定点的平面直角坐标，通常由已知点与待定点构成平面控制网，并对构成控制网的元素（角度、边长等）进行一系列观测，进而通过已知点的平面直角坐标和观测值，用一定的数学方法（平差方法）求出待定点的平面直角坐标。
由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点的平面直角坐P P y x ~,~面位置并不是 P 点的真位置，而是最或然点位， 记为 P '，在 P 和 P '对应的这两对坐标之间 存在着坐标真误差 x∆和 y∆。
由图6-1知⎭⎬⎫-=∆-=∆P P y P P x y y x x ˆ~ˆ~ (6-l-1) 由于x ∆和y ∆的存在而产生的距离P ∆称为 P 点的点位真误差，简称真位差。
由图6-1知222yxP∆+∆=∆222y xPσσσ+=(6-1-2)2．点位真误差的随机性P 点的最或然坐标Px ˆ和P yˆ是由一组带有观测误差的观测值通过平差所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。
设P xˆ和P y ˆ与观测值向量L 之间的线性函数关系为 ⎭⎬⎫++=++=00ˆˆββααL y y L x xA P A P（6-1-3）设有两组不同的观测值向量1L 、2L ，分别代入式（6-1-3）可得010111ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P 和020222ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中的00βαβα、、、是不变量，但观测值向量1L 、2L 不会相等，因此21ˆˆP P x x ≠、21ˆˆP P y y ≠。
可见，随着观测值L 的不同，P x ˆ和P y ˆ也将取得不同的数值。
但P 点的真坐标P x ~和P y ~是唯一的，由式(6-l-1)、(6-l-2)知，就会出现不同的x ∆和y∆值以及P∆，所以说点位真误差随观测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
测量平差---误差椭圆
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
主页
2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
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相对误差椭圆一般绘制在
差s和横向误差u
A
，则有：
O
2 P
2 s
2 u
2 P
2 s
2 u
y P'
u
x
s
P
s
y
10.1 点位误差
3、点位中误差
（1）利用纵、横坐标协因数计算点位误差
2 x
2 y
21 0 px 21 0 py
2 0
Q
xx
02Q
yy
2 p
1
c
os 2
20
Qyy
1 cos20
2
Qxy sin 20 )
1 2
(Qxx
Qyy ) (Qxx
Qyy ) cos20
2Qxy sin 20
(Qxx Qyy ) cos 20 2Qxy sin 20
(Qxx Qyy )2 4Qxy2 sin(20 )
Qxy 0,E 在一、三象限，F 在二、四象限 Qxy 0,E 在二、四象限，F 在一、三象限
例：已知某平面控制网中待定点坐标平差参数
xˆ、yˆ 的协因数为
dm 2
1.236 0.314
QXˆXˆ 0.314
1.192
其单位为
秒
，并求得
ˆ 0 1,试用两种方法求 E
10.1 点位误差
E(2
P
)
E(2x
)
E(2y
)
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yy
E
所以
2Q xy sin 2 0 sin 2 0 ， 2 cos 2 0 (Q xx Q yy ) 2 4Q xy
cos 2 E
Qxx Q yy 2Qxy
2Qxy (Qxx Q yy ) 4Q
2 2 xy
Qxx Q yy K
将上式代入（6）式，得：
示任意方向上的位差，分别以
cos2E 和 sin 2E 乘以（5）
式的第一、第二式，并求和，得：
Hale Waihona Puke E 2 cos 2 E第十章——误差椭圆 1 F sin Q Q K cos 2 （6）
2 2 E
因为
tan 2 0 2Qxy Qxx Q yy
2
2 0
xx
OP就是该方向上的位差 。
该曲线将各方向上的位差清
清楚楚地图解出来了。由图
知，该曲线关于E轴和F轴对 称。称该曲线为点位误差曲线。
第十章——误差椭圆
§10-4 误差椭圆
点位误差曲线不是标准曲线，在计算机普遍使用之前作 图不方便。为此，总是用一个长半轴等于E，短半轴等 于F的椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误 差椭圆，简称误差椭圆。 由图知，此误差椭圆仅由 长半轴E、短半轴F、以及
2
第十章——误差椭圆
2 令： K (Qxx Q yy ) 2 4Qxy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。 设有任意两个待定点 为：
1 2 2 7） Qxx Qyy Qxx Qyy （ E 2 cos 2 E F 2 sin 2 E 0 x 2
2 2 cos E 乘以（5）式的第一、第二 sin 若分别以 E 和
式，并求和，经与以上同样的推导，得：
1 2 Qxx Qyy Qxx Qyy y2 （8） E 2 sin 2 E F 2 cos 2 E 0 2
3、位差的极值方向与极值
由于点位在不同方向上的位差大小不同，所以位差一定 有极值。为了寻求此极值的方向，将（2）式对 求导 数，并令其为零，即：
第十章——误差椭圆
dQ d (Qxx cos2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 ) 0 d d
用 0 表示极值方向，则有： 2Qxx cos0 sin0 2Qyy sin 0 cos0 2Qxy cos20 0 即 (Qxx Qyy ) sin 2 0 2Qxy cos 2 0 0 于是有三角方程：
第十章——误差椭圆
（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差 的公式。 若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为 360 E （如图）。故（7）式可写为：
2 x E 2 cos2 (360 E ) F 2 sin 2 (360 E )
将两个垂直方向的位差相加，得：
（2）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x (sin cos ) (sin cos ) ˆ ˆ ˆ ˆ y x y x y
上式表明点位在任意两垂直方向上的方差之和为不变量。 为此，定义点位在两垂直方向上的方差之和为点位方差：
tan 2 0
因为
2Qxy Qxx Q yy
（3）
2 180 2 0 和 所以（3）式有两个解： 。则极值方 0 0 和0 90 ，即一个极大值方向，一 向也有两个：
tan2 0 tan(2 0 180 )
个极小值方向，且极大值方向与极小值方向正交。
坐标的中误差 x 和 y 表示点位在x方向和y方向上的中 误差。一般地， x y ，即点位在不同方向上的中误差 一般是不相等的。
既然点位在不同方向上的中误差不相等，就有必要研究点 位在任意方向 上的中误差。
第十章——误差椭圆
为此，将坐标轴旋转一个角度 。点位在任意方向 上 的中误差，就是点位在 X 轴上的中误差 x '
第十章——误差椭圆
第十章
§10-1 概述 §10-2 点位误差
误差椭圆
§10-3 误差曲线
§10-4 误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
第十章——误差椭圆
§10-1 概述
待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值：
ˆ x ~ xx ˆ y ~ yy
由此而产生的距离 P 称为P点的点位真误差，简称真位差:
第十章——误差椭圆
（4）式的中括号内有两项，第一项恒大于零，第二项的 2ctg 2 20 1 也恒大于零。 第二项中的Q xy和sin 2 0有正有 负。只有它们同号，第二项大于零，才能使 Q 取 极大值。当它们异号时，第二项小于零， Q00 取极小值。
0 0
0 90 0 2 180 sin2 0 0 ； 当 即 时， 0 0 sin2 0 0； 180 2 360 当 即 90 0 180 时， 0 又因为对于 0 和180+ 0 ， sin 2 0 的符号不变，所以： 当 Qxy 0 时，极大值在一、三象限； 极小值在二、四象限。 当 Qxy 0 时，极大值在二、四象限； 极小值在一、三象限。 F和 F 180 表示极大值与极小值方向。 用 E和 E 180 , 知道了极大值与极小值的方向，下面再来研究极大值与极 小值的大小。
由于X轴是以E轴起算的所有方向中 的一个特定方向，所以以E轴起算 的任意方向 上的位差为： 2 E 2 cos2 F 2 sin 2 （9） （9）式就是以E轴为起算方向，用 极值E、F计算任意方向 上的位 差的实用公式。
第十章——误差椭圆
§10-3 误差曲线
以极大值方向与极小值方向的交点为极点、以极大值方 向E为极轴、以不同的方位角 （由E轴起算）和位差 为极坐标的点的轨迹，是一条闭合曲线，形状如下图。 图中任意方向 上的向径
tan 2 0
2Qxy Qxx Q yy
2Q xy
2 (Q xx Q yy ) 2 4Q xy
sin 2 0
得：
sin 2 0
1 将上式代入（4）式，并顾及 ctg 2 0 1 sin 2 2 ，得： 0 1 2 Q Q xx Q yy (Q xx Q yy ) 2 4Q xy 2
第十章——误差椭圆
为此，下面就来求 x 。 如图，由相似变换公式得： 应用协方差传播律，得：
ˆ x cos sin x y sin cos y ˆ
2 2 2 2 2 x x ˆ cos y ˆ sin x ˆy ˆ sin 2 2 2 2 2 2 y x ˆ sin y ˆ cos x ˆy ˆ sin 2
2 p 2 ˆ x
2 ˆ y
第十章——误差椭圆
§10-2 点位误差 1、点位中误差
2 2 2 2 p x Qxx Qyy ˆ ˆ y 0
2、任意方向的位差
2 2 2 2 2 x ( Q cos Q sin Qxy sin 2) 0 xx yy
长半轴E的方位角 E 确定。
因此，称E、F和 E 为误 差椭圆的三个参数。
第十章——误差椭圆
误差椭圆除了在长轴 E、短轴F上能精确表 示位差外,其它任何 方向都不能直接从误 差椭圆上量取位差的 大小。 要通过误差椭圆得到 任意方向位差的大小， 其方法是： 垂直任意方向 作 误差椭圆的切线PD， 则垂足D至O的长度就 是任意方向 上的 _____ 位差，即 OD
第十章——误差椭圆
极值方向
当
当
tan 2 0
2Qxy Qxx Q yy
Qxy 0 时，极大值在一、三象限；
Qxy
极小值在二、四象限。 时，极大值在二、四象限； 0 极小值在一、三象限。
极大值与极小值
E Q E E
2 2 0 2 F2 0 Q F F
1 2 0 Q xx Q yy K 2 1 2 Qxx Q yy K 0 2
2 K (Qxx Q yy ) 2 4Qxy
教材：10－1 习题：10.2.08
第十章——误差椭圆
4、以极值表示任意方向上的位差
任意方向上的位差公式(1)式中的任意方向 是从X轴起 算的。若从极大值方向（E轴）起算，其公式会是怎样 的呢？下面来推导。 如图，从X轴起算的任意方 向 ，若从极大值方向（E轴） 起算则为 。为了导出极值表
第十章——误差椭圆
90 既然 0 和 0 为极大值方向和极小值方向，那么哪