201X中考数学复习 第20课时 相似三角形
即 A C ＝ 5 1 或AC≈0.618AB.
AB
2
4．平行线分线段成比例
(1) 两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ， 所 得 的 对 应 线 段 ③
____成__比__例．
如图，若l1∥l2∥l3，则
A B＝D E ， A B ＝ D E ， B C ＝ E F
BC EFAB BC AC
＝
＝
DE EF DF
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(两边的延长线)，
所得的对应线段④______成__比．例
如图，若DE∥BC，则 A D ＝
＝E C AC
A ，A
D E
＝
D E
B C
＝
A A
B C
DB .
A E ，A D ＝ A E EC AB AC
对应成比例，那么这两个直角三角形相似
1．相似三角形的判定思路
判 定 三 角 形 相 似 的
有平行截线──用平行线的性质，找等角 另一对等角
有一对等角，找 或该角的两边对应成比例 夹角相等
有两边对应成比例，找 或第三边也对应成比例 或有一组直角
一对锐角相等 直角三角形，找 或斜角、直角边对应成比例
思
练习4题图
【思维教练】要证△ADE∽△ABC，已知∠EAD＝ ∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成 比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝ ∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由对应两角 相等即可得证；
【解析】证明：在△ABC中， ∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
，D B ＝ AB
基础点 2 相似三角形的性质与判定
(1)相似三角形的⑤_对__应__角_相等；对应边成比例； (2)相似三角形的对应高的比，对应中线的比及对 性质 应角平分线的比都⑥_等__于_____相似比； (3)相似三角形的周长比等于⑦相__似__比__，面积比等 于⑧_相__似__比__的__平__方_
第一部分 夯实基础 提分多
第四单元 三角形
第20课时 相似三角形
基础点巧练妙记 基础点 1 比例线段及其性质
1. 比例的性质
性质1： a＝ b
性质2：如果
c ⇔①___a_d＝bc(abcd≠0)．
ad ＝ c ，那么 a b ＝ c d .
bd
b
d
性质3：如果 a b
＝ c ＝… d
m n
∵DE∥BC，
∴ DE ＝ 2 .
BC
2
练习3 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，
∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )
A. 4
B. 4 2
C. 4 3 D. 3
练习3题图
【解析】
∵∠B＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∴△ABC∽△DAC.
根据“相似三角形对应边成比例”，得 A C＝ B C ，又
顶角相等
路 等腰三角形，找 或一对底角相等
或底和腰对应成比例
2．几种常见的相似三角形图形 (1)“平行线型”的相似三角形(“A型”与“X型”)
(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1＝∠2，“反A共 角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”)
(3)“垂直型”的相似三角形(“双垂直共角型”、“双垂 直共角共边型(也称“射影定理型”)”、“三垂直型”)
提分必练
1．如图，在△ABC中，点D、E分 别在边AB、BC上，DE∥AC，若 BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝ ________．
第1题图
提分必练
2．如图，若△ADE∽△ACB，且
AD AC
＝2 3
，DE＝10，则BC＝_1_5_____．
第2题图
基础点 3 相似图形与相似多边形
1. 相似图形：两个形状相同(大小可以不同)的平面图形． 2. 相似多边形：对应角相等，并且对应边成比例的两个 多边形．
3. 性质 (1)相似多边形的对应边⑫成__比__例__； (2)相似多边形的对应角⑬__相__等__； (3)相似多边形的周长比等于⑭相__似__比__，相似多边形的面 积比等于⑮__相__似__比__的__平__方__．
重难点精讲优练
类型
相似三角形的相关证明与计算
练习1 如图，在△ABC中，DE∥BC， AE∶EC＝3∶5，则DE∶BC＝ ___3_:_8___，△ADE的周长与△ABC的周 长之比为___3_:_8___，△ADE的面积与 △ABC的面积之比为___9_:_6_4__．
(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似；
(2)三边⑨__对__应__成__比__例__的两个三角形相似；
判 定
(3)两边成比例且⑩___夹__角___相等的两个三角形相似；
(4)⑪__两__个__角__分别相等的两个三角形相似；
(5)两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边
＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么
a＋c＋＋m＝②________．
b＋d＋＋n
2. 比例中项：若a∶b＝b∶c或 a＝ b，则b叫做比例中项，
bc
即b2＝ac.
3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和
3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和
BC，如果 A C ＝B C ，那么称线段AB被点C黄金分割，点 AB AC
练习1题图
练习2 (2017内高)如图，在△ABC中
， 点 D ， E 分 别 在 边 AB ， AC 上 ，
DE∥BC.若△ADE与四边形DBCE的面
积相等，则 D E 等于( ) BC
A. 1
B. 2 2
C. 1 2
1 D.
4
练习2题图
【解析】
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴△ADE与△ABC的面积之比为1∶2，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°， 在△AEF和△ACG中，∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC ∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C， 在△ADE和△ABC中，∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求 A F 的值． 【思维教练】由(1)中的结A论G ，利用相似三角形的性质即
∵AD是中线，BC＝8，∴DC＝ 1
DC AC BC ＝ 4 ， ∴ AC2 ＝
2
BC•DC＝32，∴AC＝ 3 2 ＝4 2 .
练习4 (2017杭州)如图，在锐角三角形 ABC中，点D，E分别在边AC，AB上， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F， ∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC；
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。
以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。
则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。
利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。
2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。
3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。
四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。
以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。
2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。
初中相似三角形知识点归纳
初中相似三角形知识点归纳初中相似三角形知识点归纳相似三角形是初中数学中不可或缺的一个重要部分。
相似三角形可以让我们更加深刻的理解三角形，并且为后续学习打下了坚实的基础。
在本文中，我们将对初中相似三角形相关知识点进行归纳，笔者希望读者可以通过本文掌握相似三角形的相关知识。
1.相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有“形状相同”但“大小不同”的三角形。
根据相似三角形的定义，我们可以得出其性质：（1）相似三角形对应角度相等；（2）相似三角形对应边长成比例。
2.相似三角形的三种判定方法在相似三角形的学习中，我们要掌握相似三角形的三种判定方法：（1）AAA判定法：当两个三角形的三个内角分别相等时，那么这两个三角形则相似；（2）AA判定法：当两个三角形中有两个角相等时，那么这两个三角形则相似；（3）SAS判定法：当两个三角形中有两个角相等并且它们的夹角边成比例时，那么这两个三角形则相似。
需要注意的是，SAS判定法也可以用于证明两个三角形全等。
3.相似三角形的一些重要定理（1）等角的对边成比例定理：在相似三角形中，如果一个角的两条边分别与另一个三角形中的两条边成比例，那么这个角的对边也与这个三角形的对应边成比例。
（2）平行线截比定理：如果一条直线与两条平行线相交，则它们所截的线段成比例。
（3）相似三角形的高定理：在相似三角形中，它们的高分别与底边成比例。
（4）相似三角形的中线定理：相似三角形的中线（连接两边中点的线段）成比例。
4.相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛。
在初中数学中，我们可以通过相似三角形证明勾股定理、计算高、计算面积等。
在生活中，相似三角形也有很多实际应用，比如利用相似三角形计算高楼的高度。
总结通过对相似三角形的定义、三种判定方法、一些重要定理以及应用的介绍，我们可以更好地掌握相似三角形的相关知识，为后续数学学习打下坚实的基础。
希望本文能对广大读者的学习有所帮助。
初三数学相似知识点
初三数学相似知识点
1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的对
应边长成比例，对应角度相等。
2. 相似比例：相似三角形的边长比值称为相似比例。
如果两个三角形的对应边长分别
为a:b:c和ka:kb:kc，那么它们的相似比例为a:b:c。
3. 相似三角形定理：包括AAA相似定理、AA相似定理和对应角边比相等定理。
其中，AAA相似定理指出如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似；AA相似定理指出如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似；对应角边比相等定理指出如果
两个三角形的两个对应角度相等，并且对应边长之比相等，那么它们相似。
4. 相似三角形的性质：相似三角形的相似比例等于对应边长之比；相似三角形的相似
比例等于对应角度的正弦值、余弦值或正切值；相似三角形的高线、中线等与对应边
长成等比例；相似三角形的面积与边长平方成比例。
5. 相似三角形的应用：相似三角形的定理在解决实际问题中有很多应用，如利用相似
三角形进行测量、解决影子问题、求解高度、求解距离等。
6. 图形的相似：除了三角形，其他图形（如矩形、圆、椭圆等）也有相似的概念和相
似关系，可以利用相似关系解决相关问题。
这些内容是初三数学中关于相似的主要知识点，希望对你有帮助！如有其他问题，请
随时提问。
相似知识点总结中考
相似知识点总结中考1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们就是相似三角形。
相似三角形有以下性质：- 对应边的比例相等：如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们对应边的长度之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
- 相似三角形的高线、中线和角平分线的比例：在相似三角形中，高线、中线和角平分线的比例等于相似三角形任意两条对应边的比例。
2. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
当两个多边形的对应角度相等且对应边的比例相等时，它们就是相似多边形。
相似多边形的性质与相似三角形类似，对应边的比例相等。
3. 相似图形的应用相似图形在生活和工作中有着广泛的应用，例如地图上的放大和缩小、相似三角形的测量、相似多边形的制图等。
4. 相似比相似比是指两个相似图形中对应边的比值。
在相似图形中，对应边的比值即为相似比。
当两个图形相似时，它们的相似比是相等的。
5. 直角三角形的三线比在直角三角形中，三线比是指三角形的三条高、中线和角平分线之间的比例关系。
在相似直角三角形中，三线比仍然成立。
6. 相似多边形的计算在计算相似多边形的过程中，可以利用相似三角形和相似比的性质，通过对应边的比例关系来求解未知变量。
7. 相似图形的证明在证明相似图形时，可以利用对应角度相等和对应边的比例相等的性质来进行推导和证明。
8. 相似图形的判定判定两个图形是否相似，需要验证它们的对应角度是否相等，对应边的比例是否相等，从而得出相似的结论。
9. 相似图形的变换相似图形的变换是指对已知图形进行等比例放大或缩小，保持图形的形状不变。
通过相似变换，可以得到不同大小的相似图形。
10. 相似图形的应用实例相似图形在生活中有着广泛的应用，例如建筑制图、地图测量、影视特效等方面都有相似图形的应用。
以上是关于相似知识点的总结，希望对你有所帮助。
相似三角形知识点九年级
相似三角形知识点九年级相似三角形是几何学中一个重要的知识点，它在解决实际问题和推导其他几何性质时起着关键作用。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在初中数学中，我们主要学习三个与相似三角形相关的知识点：相似三角形的判定条件、相似三角形的性质以及相似三角形的应用。
首先，我们来看相似三角形的判定条件。
两个三角形相似的必要条件是它们的对应角相等，即如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们就是相似的。
进一步地，我们还可以通过判断它们的对应边之间的比例关系来确定两个三角形是否相似。
如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们也是相似的。
这一判定条件是解决相似三角形问题时的重要思路。
接下来，我们来研究相似三角形的性质。
首先，相似三角形中的对应边比例相等。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例关系是恒定的。
其次，相似三角形的对应角相等。
这个性质与相似三角形的判定条件相呼应。
最后，如果两个三角形相似，那么它们的面积之间的比例关系等于对应边的平方比。
这个性质在解决计算相似三角形面积的问题时非常有用。
最后，让我们来看一下相似三角形的应用。
相似三角形广泛地应用于测量和计算问题中。
比如在测量高建筑物的高度时，我们可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影长度和太阳高度的关系来计算建筑物的高度。
此外，在地图制作中，我们也可以利用相似三角形来确定地图上各个地点的实际距离。
在几何推导中，相似三角形也是许多几何性质的基础，如正弦定理和余弦定理等。
相似三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它的判定条件、性质和应用广泛地应用于各种实际问题以及数学推导中。
通过学习相似三角形，我们不仅可以提高解决实际问题的能力，还能够在进一步学习几何知识时打下坚实的基础。
因此，在学习数学的过程中，我们应该重视相似三角形的学习和应用。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
2020年数学中考专题复习：第20课时 相似三角形
基 础
【方法点析】相似三角形的基本图形
知 识
(1)如图20-11,DE∥BC,则△ADE∽△ABC,称为“平行线型”的相似三角形.
巩
固
高
频 考
图20-11
向
探
究
基 础
(2)如图20-12,∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“相交线型”的相似三角形.
基 础
考点三 相似三角形的性质及判定
知 识
1.相似三角形的性质及判定
巩 固
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相
似;
高 频 考 向
(2)三边成比例的两个三角形⑤ 相似 ; 判定 (3)两边成比例且⑥ 夹角 相等的两个三角形相似;
探 究
(4)两角分别相等的两个三角形相似;
∴������△������������������ =1,
高
������△ ������������������ 9
频
故答案为:1∶9.
考
向
探
究
图20-8
基 础
8.如图20-9,矩形ABCD中,AD=2, AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时
知 识
,DP=
1或4或.2.5
巩
固
频 考
(2)设D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边
向 A'B',B'C',C'A'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F‘.
相似三角形九年级知识点
相似三角形九年级知识点数学是一门令人兴奋和困惑的学科，尤其是对于中学生来说，掌握基本的几何知识是非常重要的。
而在几何学中，相似三角形是一个十分重要的概念。
在这篇文章中，我将为大家介绍相似三角形的概念、性质以及应用。
首先，我们来看一下相似三角形的定义。
在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
换句话说，相似三角形是指形状相似但尺寸不同的三角形。
相似三角形有一些重要的性质。
首先是角度对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么对应的角是相等的，而对应边的比例也是相等的。
利用这个性质，我们可以用已知的相似三角形来求解未知的尺寸，或者证明一些几何问题。
例如，当我们需要测量高处的物体时，可以利用相似三角形的性质，通过测量一个已知长度的影子和其对应的物体长度，再利用相似三角形的比例关系来计算出物体的高度。
其次是面积对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么它们的面积之比是边长比的平方。
例如，如果一个三角形与另一个三角形相似，而它们的边长比为2:1，那么它们的面积之比就是4:1。
利用这个性质，我们可以计算出相似三角形的面积，或者通过已知的面积比来求解未知的尺寸。
除了这些基本的性质，相似三角形还有一些重要的应用。
例如，在地图制作中，为了将地球表面缩小表示在平面上的地图上，需要利用相似三角形的性质。
通过选择一个参考点，然后测量它在地球上的实际位置和在地图上的位置，我们可以利用相似三角形的比例关系来将地球表面上的其他点的位置转化为地图上的坐标。
另一个应用是在建筑设计中。
在设计高楼大厦或者桥梁时，需要根据实际需要确定各个部分的尺寸和比例。
相似三角形的性质使得设计师能够维持整体建筑的比例和美观。
通过在设计中运用相似三角形的原理，设计者可以在不改变整体结构的前提下，根据不同的需求来调整单个部分的尺寸。
总结一下，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过了解相似三角形的定义、性质和应用，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识。
初中相似三角形知识点
初中相似三角形知识点一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边长成比例的三角形。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE、边BC与边EF、边CA与边DF之间的长度成同一比例。
二、相似三角形的标记在标记相似三角形时，我们通常使用一个字母来表示一个三角形，例如三角形ABC。
如果两个三角形相似，我们可以用一个比例系数（通常用字母k表示）来标记它们的对应边。
例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，那么我们说三角形ABC与三角形DEF相似，并且边长比例为k。
三、相似三角形的性质1. 角的对应性：相似三角形的对应角相等。
2. 边的成比例性：相似三角形的对应边成比例。
3. 面积的比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
即，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比为k，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k^2。
4. 周长的比例：相似三角形的周长比也等于它们边长的比例。
四、相似三角形的判定1. 三角形相似判定定理：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
2. 边角边（SAS）判定定理：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形相似。
3. 边边边（SSS）判定定理：如果两个三角形的所有对应边分别成比例，那么这两个三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形的概念在解决实际问题中非常有用，例如在测量、建筑、设计和其他领域。
通过使用相似三角形的性质，我们可以解决涉及长度、面积和角度的问题，尤其是在没有直接测量工具的情况下。
六、练习题1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm，DE = 3cm，求EF的长度。
2. 如果三角形PQR的面积是24平方厘米，并且与三角形ABC相似，且三角形ABC的面积是144平方厘米，求三角形PQR的边长。
初三数学 相似三角形
初三数学 相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：adc b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠+⋯⋯+++=⋯⋯===n f d b n m f e d c b a ，那么ban f d b m e c a =+⋯⋯++++⋯⋯+++． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b af d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。