线性同余方程组的解
扩展欧几里得算法与线性同余方程的求解
扩展欧几里得算法与线性同余方程的求解扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是欧几里得算法（Euclidean Algorithm）的一个扩展版本，它不仅用于计算两个整数的最大公约数（GCD），还能同时找到满足贝祖等式（Bézout's Identity）的整数解。
这个等式是，其中a和b是任意两个整数，x和y是待求的整数。
当我们要用这个算法来求解线性同余方程ax≡c(mod b)时，我们首先需要找到一个整数x使得axmod b=c。
这可以转化为求解ax−by=c，其中y是另一个待求的整数。
如果不能整除c，则方程ax≡c(mod b)无解。
否则，我们可以先使用扩展欧几里得算法找到x′和y′满足，然后通过调整x′来找到x，使得ax≡c(mod b)成立。
扩展欧几里得算法的基本步骤1.初始化：设x2=1,y2=0,x1=0,y1=1，并且r1=a,r2=b（其中a是被除数，b是除数）。
2.迭代过程：当r2≠0时，执行以下步骤：3.计算商（向下取整）。
4.计算余数r=r1mod r2。
5.更新x和y：x=x1−q∙x2,y=y1−q∙y2。
6.更新r1,r2,x1,x2,y1,y2为r2,r,x2,x,y2,y。
7.终止条件：当r2=0时，算法结束。
此时r1就是a和b的最大公约数，而x1和y1就是满足的整数解。
求解线性同余方程一旦你有了满足的x1和y1，你可以通过以下方式找到x：注意，这里使用了模b来确保x是一个在模b意义下的有效解。
这是因为如果，那么乘以后，等式的左边就变成了ax（其中），而等式的右边则变成了c。
然而，由于我们只关心模b的结果，因此需要对x取模b。
但是，更常见的做法是使用模的逆元来避免直接的除法运算（这在b不是质数时可能不可用）。
如果b和互质，则可以使用扩展欧几里得算法找到关于模b的逆元c′，然后计算x=x1∙c′mod b。
然而，在这个特定的情况下，由于我们已经知道能整除c，我们可以简单地通过乘以并取模b来找到解，而不需要显式地计算逆元。
初等数论 同余方程组
初等数论同余方程组初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和整数的性质。
同余方程组是初等数论中的一个重要概念，它涉及到数与数之间的整除关系。
本文将介绍同余方程组的定义、性质以及解法，并通过例题来加深理解。
一、同余方程组的定义同余方程组是由若干个同余方程组成的一组方程。
同余方程的定义如下：对于整数a、b和正整数m，如果m能整除(a-b)，即(a-b)能被m整除，则称a与b对于模m同余，记为a≡b(mod m)。
这里的≡表示同余关系。
二、同余方程组的性质1. 同余关系具有自反性、对称性和传递性。
即对于任意的整数a、b和正整数m，有a≡a(mod m)，a≡b(mod m)等价于b≡a(mod m)，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
2. 同余关系具有加法和乘法的性质。
即对于任意的整数a、b和正整数m，若a≡b(mod m)，则a+c≡b+c(mod m)，ac≡bc(mod m)。
三、同余方程组的解法1. 线性同余方程组的解法：线性同余方程组是形如ax≡b(mod m)的方程组，其中a、b为整数，m为正整数。
若a与m互质，则存在唯一的解x0，且x≡x0(mod m)。
若a与m不互质，且b可被a整除，则方程组有无穷多个解，否则无解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理适用于一组两两互质的模数的同余方程组。
设m1、m2、...、mn为两两互质的正整数，a1、a2、...、an为整数，则同余方程组：x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)...x≡an(mod mn)有唯一的解x，且0≤x<m1m2...mn。
四、例题解析1. 解线性同余方程组：求解方程组2x≡3(mod 5)和3x≡4(mod 7)。
首先，对于第一个方程，由于2与5互质，所以存在唯一解x0。
根据扩展欧几里得算法，我们可以求出x0=4。
然后，将x0代入第二个方程，得到3*4≡4(mod 7)，即12≡4(mod 7)。
线形同余方程组
线形同余方程组全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：线性同余方程组是数论中的一个重要概念，它与模运算和同余关系密切相关。
线性同余方程组的求解在密码学、计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。
本文将对线性同余方程组的定义、性质、求解方法以及应用进行介绍。
一、线性同余方程组的定义线性同余方程组是指一组同时满足一系列线性同余方程的整数解。
一般形式如下：a1x ≡ b1 (mod m1)a2x ≡ b2 (mod m2)….anx ≡ bn (mod mn)a1，a2，…，an为整数系数，b1，b2，…，bn为整数常量，m1，m2，…，mn为模数，x为未知数。
1. 唯一性：线性同余方程组的解可能有唯一解、无解或者有多个解。
这取决于模数之间是否互素，互素的模数方程组往往有唯一解。
2. 模运算性质：线性同余方程组的解需要满足模运算的性质，即同余式在模数下成立。
3. 解的存在性：线性同余方程组一般都有整数解，但需注意是否存在特解或通解。
1. 逐步求解：通过逐步代入或变换方程，可以得到线性同余方程组的解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是求解线性同余方程组的一种重要方法，适用于模数互素的情况。
3. 模运算法则：由于线性同余方程组中的运算都是模数进行的，所以模运算的法则也是求解方程组的重要工具。
1. 密码学：在线性同余方程组中，模数一般取素数，这使得线性同余方程组在密码学领域中有着广泛的应用。
例如RSA公钥密码算法就是基于线性同余方程组的。
2. 计算机科学：在计算机算法设计中，线性同余方程组的求解经常涉及到，能够提高算法的效率和准确性。
3. 数学研究：线性同余方程组也是数论研究的一个重要方向，通过研究线性同余方程组的性质和解的特点，能够推动数论领域的发展。
线性同余方程组在数学领域具有重要的地位和应用价值，在实际运用中也有着广泛的应用。
希望本文对线性同余方程组这一概念有所帮助，也能引发更多人对数学理论的研究和探讨。
线性同余方程组的解
线性同余方程组的解学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系） 指导老师：许璐，江汉大学摘要“孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式：()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x x定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ∆=，其中ad bc ∆=-.则线性同余方程组(mod )(mod )ax by e m cx dy f m +≡⎧⎨+≡⎩，有唯一一组关于模m 的解为()(mod )()(mod )x de bf m y af ce m ⎧≡∆-⎪⎨≡∆-⎪⎩， 其中∆是∆关于模m 的逆，即1(mod )m ∆∆≡.证 首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到(mod )(1)(mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡⎧⎨+≡⎩()()12-得到()()mod ad bc x de bf m -≡-令ad bc ∆=-，则()mod x de bf m ∆⋅≡-.下面我们把同余式两边都乘以∆，其中1(mod )m ∆∆≡∴()()mod x de bf m ≡∆-同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以a ，得到(mod )(3)(mod )(4)acx bcy ce m acx ady af m +≡⎧⎨+≡⎩()()43-得到()()mod ad bc y af ce m -≡-即()mod y af ce m ∆⋅≡-∴()()mod y af ce m ≡∆-关键词孙子定理；中国剩余定理；同余；线性；方程组AbstractSuch systems arose in ancient Chinese puzzles such as the following problem, which appears in Master Sun ’s Mathematical Manual , written late in the third century c.e.. Find a number that leaves a remainder of 1 when divided by 3, a remainder of 2 when divided by 5, and a remainder of 3 when divided by 7. This puzzle leads to the following system of congruences:()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x xTheorem 4.15. Let a,b,c,d,e,f, and m be integers, m>0, such that (),1m ∆=, where.ad bc ∆=- Then the system of congruences()()mod mod ax by e m cx dy f m +≡+≡has a unique solution modulo m, given by()(mod )()(mod ),x de bf m y af ce m ≡∆-≡∆-where ∆ is an inverse of ∆ modulo m.Proof. We multiply the first congruence of the system by d and the second by b, to conclude that(mod )(mod ),adx bdy de m bcx bdy bf m +≡+≡Then we subtract the second congruence from the first, to tind that()()mod ad bc x de bf m -≡-,or, since ad bc ∆=-，()mod x de bf m ∆≡-.Next, we multiply both sides of this congruence by ∆, an inverse of ∆ modulo m, to conclude that()()mod x de bf m ≡∆-In a similar way, we multiply the first congruence by c and the second by a, to obtain(mod )(mod ),acx bcy ce m acx ady af m +≡+≡We subtract the first congruence from the second, to find that()()mod ad bc y af ce m -≡-or()mod y af ce m ∆≡-Finally, we multiply both sides of this congruence by ∆ to see that()()mod y af ce m ≡∆-.keywordMaster Sun ’s Mathematical Manual ；The Chenese Remainder Theorem ；congruences ；Linear ；Equations目录绪论 (1)线性同余方程组解的判定及其结构 (5)1.二元一次同余方程组解的判定及其结构 (5)2.三元一次同余方程组的解 (12)3.线性同余方程组的解在n元中的推广 (18)致谢 (24)参考文献 (25)绪论（一）研究问题的背景数论中的同余式理论，以我国古代的研究为最早，当二整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。
数论中的同余方程与线性同余方程计算技巧
数论中的同余方程与线性同余方程计算技巧数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质和关系。
同余方程和线性同余方程是数论中重要的概念，通过一些计算技巧可以求解这些方程。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，而≡表示同余关系。
解同余方程的关键在于找到适当的整数x使得等式成立。
在解同余方程时，可以利用以下性质和计算技巧：1. 同余关系具有传递性，即若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a≡ c (mod m)。
这意味着我们可以根据同余关系的性质来简化计算过程。
2. 若a ≡ b (mod m)，则a + c ≡ b + c (mod m)。
这意味着我们可以在两边同时加上或减去相同的整数，而不改变同余关系的结果。
3. 若a ≡ b (mod m)，则ac ≡ bc (mod m)。
这意味着我们可以在两边同时乘以相同的整数，而不改变同余关系的结果。
4. 对于同余方程ax ≡ b (mod m)，可以通过欧几里得算法求解其最大公约数。
若b与m互质，并且gcd(a, m) = 1（即a与m互质），则可以找到唯一的解x。
若gcd(a, m) ≠ 1，则该方程可能无解或有多个解。
二、线性同余方程线性同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数。
与同余方程不同的是，线性同余方程可能存在多个解。
求解线性同余方程的关键在于找到x的所有可能取值。
通过以下计算技巧，我们可以有效地求解线性同余方程：1. 利用欧几里得算法求解最大公约数gcd(a, m)。
若gcd(a, m)不能整除b，则线性同余方程无解。
若gcd(a, m)能整除b，则线性同余方程有解。
2. 借助扩展欧几里得算法，可以求得线性同余方程的一组特解。
具体算法可以通过迭代求解gcd(a, m)的过程得到。
3. 通过找到一组特解后，可以构造线性同余方程的所有解。
解的形式是特解加上m的倍数。
线性同余方程解法讲解
线性同余方程解法讲解
线性同余方程是数学中非常重要的概念，它的概念和公式非常简单，但是如何正确的计算，解决线性同余方程涉及到一些数学知识，本文将讲解线性同余方程的概念及一些计算方法。
1.什么是线性同余方程
线性同余方程是一类数学方程，它的形式可以写作：ax=c (mod b)，其中a，b，C为任意的实数，a，b不全为0。
这个式子表示a除以b 的余数等于c。
简单的讲就是找出这个方程的整数解。
2.线性同余方程的解法
当a, b, c是任意的实数时，解线性同余方程的一般方法是将其化为分数除法的形式，即a/b = c/m，其中m的值可以通过最大公约数确定，然后令a/b = c/m，可以求得x = m/b。
另外，当a，b，c
都是正整数时，可以使用贝祖定理解决线性同余方程。
3.贝祖定理
贝祖定理是解线性同余方程的一种重要方法，它的公式为：ax
c(mod b)，其中a，b，C为正整数，a，b不全为0。
这个定理表明，当a，b，c都是正整数时，可以使用贝祖定理来求解线性同余方程，即可以求出方程的解。
4.线性同余的实例
例如，求解3x 5 (mod 7)。
由贝祖定理可得，x=5*71=34，即3x 5 (mod 7)的解为x=34。
5.小结
本文讲解了线性同余方程的概念和解法，包括简单的分数除法和贝祖定理。
最后，给出了一个线性同余方程的例子，来说明如何正确的求解。
通过本文，读者可以了解线性同余方程的解法，从而能够正确地求解线性同余方程。
同余方程的解法
同余方程的解法解决同余方程的方法有：一、求解一元同余方程1、把同余方程降幂后化为线性同余方程组降幂是把一元同余方程中的多项式的次数降低，使同余方程化为一元线性同余方程组，从而便于解决。
2、同余方程的元法同余方程的元法就是：求解同余方程主要是要找出同余方程的通解，然后再求解各个根的关系，以及其中的一般解。
3、求解一元同余方程的其他方法（1）直接求根法：在实际中，有时把一元同余方程降幂之后得到的形式并不太符合平凡方法的要求，此时我们可以使用直接求根法。
（2）伴随矩阵法：伴随矩阵法是一种新的求解一元同余方程的新方法，它通过构造一个伴随矩阵，然后利用它来解决一元同余方程。
二、求解高次同余方程1、借用特殊方法解高次同余方程在解高次同余方程时，我们可以借助特殊的方法，如牛顿迭代法、拉格朗日迭代法、范德蒙德-拉格朗日法及Harnack积分算法等。
2、借助数学归纳法解决高次同余方程我们可以利用数学归纳法来求解高次同余方程。
数学归纳法是一种猜测法，它也可以用来求解同余方程，首先我们假定同余方程有解，然后用归纳法不断找出它的解。
三、求解循环同余1、循环同余方程及其解循环同余方程是一种常见的同余方程，它是一个组合方程，由一系列以求导后改写的不定积分共同形成。
2、求解循环同余方程的方法（1）W.Dynkin方法：W.Dynkin方法是一种解决循环同余方程的常用方法。
它的基本步骤是先将一个循环同余方程分解为几个相互关联的子问题，然后再将子问题的解组合起来，得到原问题的解。
（2）离散变换法：离散变换法也是一种常用的解决循环同余方程的方法，它通过对原问题进行离散变换，将给定的循环同余方程转化为普通的线性同余方程组，从而获得原问题的解。
线形同余方程组
线形同余方程组（Linear Congruence Equations）是一种特殊的同余方程组，其中每个方程都是线性的。
线形同余方程组的一般形式为：≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)是未知数，ai是模mi 下的余数，mi` 是正整数模数。
解决线形同余方程组的一种常见方法是使用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）。
中国剩余定理指出，如果模数m1, m2, ..., mn 两两互质（即它们的最大公约数为1），则上述方程组有解，并且解在模M = m1 × m2 × ... × mn 下是唯一的。
中国剩余定理的解可以通过以下步骤构造：对于每个方程x ≡ ai (mod mi)，找到一个整数Mi，使得Mi ≡ 1 (mod mi) 且Mi ≡ 0 (mod mj) 对于所有j ≠ i。
计算每个方程的解ci = ai × Mi × (M/mi)^(-1) (mod M)，其中(M/mi)^(-1) 表示M/mi 在模mi 下的乘法逆元。
最终解x 为x = c1 + c2 + ... + cn (mod M)。
请注意，为了使用中国剩余定理，模数必须两两互质。
如果模数不互质，则需要使用扩展中国剩余定理（Extended Chinese Remainder Theorem, XCRT）或其他方法来求解。
下面是一个简单的例子，演示如何使用中国剩余定理解决线形同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)例子中，模数3 和5 是互质的。
1.对于第一个方程x ≡ 2 (mod 3)，找到M1 使得M1 ≡ 1 (mod 3) 且M1 ≡ 0 (mod 5)。
由于5 是3 的倍数加1，所以M1 = 5。
2.对于第二个方程x ≡ 3 (mod 5)，找到M2 使得M2 ≡ 1 (mod 5) 且M2 ≡ 0 (mod 3)。
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线性同余方程组的解学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系） 指导老师：许璐，江汉大学摘要“孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式：()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x x定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ∆=，其中ad bc ∆=-.则线性同余方程组(mod )(mod )ax by e m cx dy f m +≡⎧⎨+≡⎩，有唯一一组关于模m 的解为()(mod )()(mod )x de bf m y af ce m ⎧≡∆-⎪⎨≡∆-⎪⎩， 其中∆是∆关于模m 的逆，即1(mod )m ∆∆≡.证 首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到(mod )(1)(mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡⎧⎨+≡⎩()()12-得到()()mod ad bc x de bf m -≡-令ad bc ∆=-，则()mod x de bf m ∆⋅≡-.下面我们把同余式两边都乘以∆，其中1(mod )m ∆∆≡∴()()mod x de bf m ≡∆-同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以a ，得到(mod )(3)(mod )(4)acx bcy ce m acx ady af m +≡⎧⎨+≡⎩()()43-得到()()mod ad bc y af ce m -≡-即()mod y af ce m ∆⋅≡-∴()()mod y af ce m ≡∆-关键词孙子定理；中国剩余定理；同余；线性；方程组AbstractSuch systems arose in ancient Chinese puzzles such as the following problem, which appears in Master Sun ’s Mathematical Manual , written late in the third century c.e.. Find a number that leaves a remainder of 1 when divided by 3, a remainder of 2 when divided by 5, and a remainder of 3 when divided by 7. This puzzle leads to the following system of congruences:()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x xTheorem 4.15. Let a,b,c,d,e,f, and m be integers, m>0, such that (),1m ∆=, where.ad bc ∆=- Then the system of congruences()()mod mod ax by e m cx dy f m +≡+≡has a unique solution modulo m, given by()(mod )()(mod ),x de bf m y af ce m ≡∆-≡∆-where ∆ is an inverse of ∆ modulo m.Proof. We multiply the first congruence of the system by d and the second by b, to conclude that(mod )(mod ),adx bdy de m bcx bdy bf m +≡+≡Then we subtract the second congruence from the first, to tind that()()mod ad bc x de bf m -≡-,or, since ad bc ∆=-，()mod x de bf m ∆≡-.Next, we multiply both sides of this congruence by ∆, an inverse of ∆ modulo m, to conclude that()()mod x de bf m ≡∆-In a similar way, we multiply the first congruence by c and the second by a, to obtain(mod )(mod ),acx bcy ce m acx ady af m +≡+≡We subtract the first congruence from the second, to find that()()mod ad bc y af ce m -≡-or()mod y af ce m ∆≡-Finally, we multiply both sides of this congruence by ∆ to see that()()mod y af ce m ≡∆-.keywordMaster Sun ’s Mathematical Manual ；The Chenese Remainder Theorem ；congruences ；Linear ；Equations目录绪论 (1)线性同余方程组解的判定及其结构 (5)1.二元一次同余方程组解的判定及其结构 (5)2.三元一次同余方程组的解 (12)3.线性同余方程组的解在n元中的推广 (18)致谢 (24)参考文献 (25)绪论（一）研究问题的背景数论中的同余式理论，以我国古代的研究为最早，当二整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。
《孙子算经》（公元四世纪）中计算一次同余式组的“求一数”有“中国剩余定理”之称。
公元十三世纪秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”。
《孙子算经》出现在4—5世纪，其具体的成书年代与作者姓名已不可考，这是继《九章算术》之后有一部重要的数学著作。
《孙子算经》分上、中、下三卷，卷上叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法；卷中举例说明筹算分数算法和开平方算法，以及简单的面积、体积计算；卷下是各种应用问题，涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等。
从其内容特色来看，它以实际应用为主，注重计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便，在中国古代数学著作中是很有代表性的。
《孙子算经》还记载了举世闻名的“孙子问题”，这就是卷下第26题，也即全书的最后一题。
原文是这样的：“今有物不知数。
三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”【1】其意思是：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？有一首口诀“孙子歌”就描述了孙子问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。
后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。
《孙子算经》没有说明这三个数的来历。
【2】虽然《孙子算经》记载的“孙子问题”似乎是一个数字游戏，但古代产生这一问题的背景却是非常深刻的。
据研究，早在公元2世纪时，我国就已研究过需要一次同余式才能解决的天文问题。
这类问题在中国古代数学中是经常遇到的，不过由于问题的提法不同而赋予不同的名称，如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”等等。
我们今天主要研究的课题——线性同余方程组的解——也是以“孙子问题”中的同余理论做为基础。
（二）国内研究状况和研究成果研究状况数论有三千余年的历史，产生于四大文明古国（埃及、巴比伦、印度和中国）。
古代中国对于整数的同余性质有相当深刻的认识，在《孙子算经》中载有“物不知数”问题，给出一次同余方程组的解法。
这种方法在近代已被推广成非常一般的形式，但仍被世人称为“中国剩余定理”。
将“孙子问题”【1】用现代的数学符号表示，等价于解下列一次同余式组：N≡N≡，2(mod7)2(mod3)N≡，3(mod5)中国剩余定理从发现（孙子问题）到理论形成（求一术），经失传而后重新挖掘，虽然历时1000多年的时间，但在世界上一直处于领先地位，迟至1801年高斯（K.P.Gauss，德国，1777-1855）的《算术研究》才作出了与秦九韶相同的结果。
由此可见，中国剩余定理确实充分展现出了中国古代数学的独特魅力，以至于康托尔也不得不承认：“发明这一定理的中国数学家是最幸运的天才”。
【3】研究成果有文献记载，早在公元前2世纪，我国就将同余理论应用于天文领域。
一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。
大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。
上元积年的推算需要求解一组一次同余式。
以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。
设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R1日，离平朔时刻是R2日，那么《景初历》上元积元数N就是同余组aN≡Ri（mod60）≡R2（modb）的解。
到了南北朝时期，祖冲之《大明历》（公元462年）更要求历元必须同时是甲子年的开始，而且“日月合璧”、“五星联珠”（就是日、月、五大行星处在同一方位），月亮又恰好行经它的近地点和升交点。
这样的条件下推算上元积年，就相当于要求解十个同余式了。
【4】（三）国外研究状况和研究成果研究状况直到19世纪，数论还只是一系列孤立的结果，虽然这些结果常常是光辉的，一个新的纪元是从Gauss的《算术探讨》（Disquisitiones Arithmeticae）开始的，这部书史从他20岁时写的。
这部伟大的著作曾在1800年寄到法国科学院而被拒绝，但Gauss自己把它发表了。
在这部书中，他把记号标准化了，把现存的定理系统化并推广了，把要研究的问题和攻题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。
在Gauss关于数论的著作中有三个主要思想：同余的理论，代数数的引进，以及作为Diophantine分析的指导思想的型理论。