自相关函数

自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。

在某些领域，自相关函数等
同于自协方差(autocovariance)。

统计学
R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2}
信号处理
R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty}
f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt，其中“*”是卷积算符，(\cdot)^*为取共轭。

同一时间函数在瞬时t和t+a的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t 的函数，它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。

延迟时间为零时，则
成为信号的均方值，此时它的值最大。

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维
情况推广得到。

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。

连续型自相关函数为偶
函数
当f为实函数时，有：
R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,
当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：
R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,
其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有
|R_f(\tau)| \leq R_f(0)。

该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。

离
散型自相关函数亦有此结论。

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和
的自相关函数等于各自自相关函数之和。

由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ = 0 之外
的所有点均为0。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功
率谱密度函数是一对傅里叶变换对：
R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df
S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \,
d\tau.
实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦
定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：
R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.
白噪声的自相关函数为δ函数：
r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )。