指数式与对数式
指数和对数的转换公式
指数和对数的转换公式指数转对数公式：对于任意的正数a、b和正整数n，有以下公式成立：1. a^n = b等价于 n = log_a(b)这个公式表示，如果正数a的n次幂等于b，则n是以a为底的b的对数。
举例：2^3 = 8等价于 3 = log_2(8)3^4 = 81等价于 4 = log_3(81)对数转指数公式：对于任意的正数a、b和正整数n，有以下公式成立：1. n = log_a(b)等价于 a^n = b这个公式表示，如果n是以a为底的b的对数，则a的n次幂等于b。
举例：3 = log_2(8)等价于 2^3 = 84 = log_3(81)等价于 3^4 = 81在指数和对数的转换中，常常会遇到底数不同的情况。
此时可以使用换底公式进行转换。
1. log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)这个公式表示，任意正数a、b和正数c之间的对数关系可以通过换底公式转换。
举例：log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)2. a^log_a(b) = b这个公式表示，任意正数a、b之间的指数关系可以通过换底公式转换。
举例：2^log_2(8) = 81.对数的基本运算性质：- log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)- log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)- log_a(b^n) = n*log_a(b)2.指数的基本运算性质：-a^(b+c)=a^b*a^c-a^(b-c)=a^b/a^c-(a^b)^c=a^(b*c)这些性质可以用于简化指数和对数的计算，也可以帮助我们进行转换。
总结：指数和对数是数学中常用的运算符号，用于表示和计算幂次运算和幂函数的运算。
指数和对数之间可以通过指数转对数公式和对数转指数公式进行互相转换。
换底公式可以用于底数不同的情况下的转换。
指数和对数具有一些基本的运算性质，可以帮助我们进行简化计算和转换。
高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结
第八节指数式、对数式的运算❖基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n＝a(a使na有意义)．②当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a -mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．❖ 常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式alog a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)．考点一 指数幂的化简与求值[典例] 化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷(4a 23·b －3)12. [解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝ －5ab 4ab 2.[解题技法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． [题组训练]1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a-14)4＝1a解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a -14)4＝1a，故D 正确．2．化简4a 23·b-13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6a b.3．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278-23＋(0.002)-12＝________.解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323-23＋⎝⎛⎭⎫1500-12＝－49＋49＋105＝10 5.答案：10 5考点二 对数式的化简与求值[典例] 计算下列各式：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3＋3log 4312＝3＋3log 32＝3＋2＝5.[题组训练]1．(log 29)·(log 34)＝( )A ．14B ．12C ．2D ．4解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7 4．计算：log 5[421log 102－(33)23－77log 2]＝________.解析：原式＝log 5[22log 10－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.答案：1[课时跟踪检测]1．设1x＝log 23，则3x －3－x 的值为( )A.83 B.32C.52D.73解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－x ＝2－12＝32.2．化简⎝⎛⎭⎫2a 23b 12(－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a+-211326b+-115236＝4ab 0＝4a .3．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a52-6＝a 76.5．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q (a >0，且a ≠1)，那么PQ的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B 由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (P Q )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝P Q ，即P 2－5P Q ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.6．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A ．1B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，由对数的运算性质得2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0,2x ＝3，x ＝log 23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵log 3 12<0，由题意得f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12＝f (log 21)＋331-log 2＋1＝f (0)＋33log 2＋1＝30＋1＋2＋1＝5.8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a ＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝12，所以x ＝1012＝10. 答案：10 10．计算：9591log 2-＝________.解析：9591log 2-＝912×959log -＝3×15＝35.答案：3511．化简：(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5＝________.解析：原式＝a-13·b 12·a -12·b13a 16·b56＝a---111326·b+-115236＝1a. 答案：1a12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ⎝⎛⎭⎫12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：令f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c，则f ⎝⎛⎭⎫12＝a 12＝2，g ⎝⎛⎭⎫12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12c ＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1＝4⇒x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝32.答案：3213．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫210272-3－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a3-2÷3a-32·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a-16＝a 86＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.法二：原式＝lg (3×925×27⨯1325×3-12)lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.。
指数对数关系转化
指数对数关系转化一、什么是指数对数关系转化？指数对数关系转化是指将一个指数式转化为以自然对数e为底的对数式，或将一个以自然对数e为底的对数式转化为指数式的过程。
这种转化可以使计算更加简便，同时也有助于理解和应用。
二、如何将指数式转化为以自然对数e为底的对数式？1. 将指数式中的底和指数分别取自然对数，即ln。
例如：将2^3转化为以自然对数e为底的对数式。
2^3 = e^(ln2*3)2. 利用ln(a*b) = ln(a) + ln(b)和ln(a/b) = ln(a) - ln(b)等公式进行运算。
例如：将5^4/3转化为以自然对数e为底的对数式。
5^4/3 = e^(4/3*ln5)三、如何将以自然对数e为底的对数式转化为指数式？1. 将等号两边取e次幂。
例如：将ln(6) = 1.7918 转化为指数形式。
e^(ln6) = e^1.79182. 由于e^(lnx)=x，所以上述等式可以简写成6=e^1.7918。
四、常见应用1. 计算复利复利计算公式为A=P(1+r/n)^(nt)，其中A为本息合计，P为本金，r 为年利率，n为复利次数，t为存款时间。
若将上述公式转化为以自然对数e为底的对数式，则有ln(A/P) =nt*ln(1+r/n)，从而可以通过取对数来简化计算。
2. 计算指数函数的导数指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=lna*a^x。
此时利用指数对数关系转化可以更加方便地求导。
3. 求解方程有些方程中含有指数或对数，通过转化可以更加容易地求解。
例如：3^x+2=5，则可将其转化为ln(3^x+2) = ln5，进而简化计算。
五、注意事项1. 指数对数关系转化应该根据具体情况选择使用。
有些情况下直接使用指数形式或对数形式更加方便。
2. 在运算过程中要注意精度问题，避免出现误差。
3. 对于其他底的指数或对数，可以通过换底公式进行转换。
【高中数学】指数式、对数式的运算
(2)5a
1 3
·b－2·
1
－2 3a
6
2
1
b－1 ÷(4a 3 ·b－3) 2 .
41
11
[解] (1)原式＝1＋1× 9 2 － 100 2 ＝1＋1×2－ 1 ＝1＋1－ 1 ＝16.
4
4 3 10 6 10 15
高中数学学科
(2)原式＝－5a
1 6
b－3÷(4a
2 3
为底 N 的对数，记作：logaN＝b.
指数、对数之间的关系
高中数学学科
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1 的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaMN ＝logaM－logaN； ③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．
如果 f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么 x1＋x2＋x3＝________.
1
1
解析：令 f(x)＝ax(a>0,且 a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且 b≠1)，h(x)＝xc，则 f 2 ＝a 2 ＝2，
1
11
g 2 ＝logb12＝－logb2＝2，h 2 ＝ 2 c＝2，∴a＝4，b＝ 22，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4⇒x1＝1，
n>1)．
m m1
1
②a
n＝n a
＝n
(a>0，m，n∈N*，且 am
n>1)．
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②aars＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
指数与对数的运算公式
指数与对数的运算公式一个数的指数代表把多少个这个数乘在一起。
例子： 23= 2 × 2 × 2 = 8（3个 2 乘在一起得到 8）什么是对数？对数与指数相反。
它是这个问题的答案："什么指数会得到这个结果？"：这问题的答案是：用以上的例子：•指数用 2 和 3 来得到 8（2乘3次为8）•对数用 2 和 8 来得到 3（2 成为 8，当把3个2乘在一起时）对数的意思是：用几个数与自己乘在一起会得到另一个数所以对数的答案是指数：（去这里看看指数、根和对数的关系。
）一起用指数与对数时常用在一起，因为它们的效果是"相反"的（但底"a"要相同）：指数与对数互为"反函数"先做一个，然后做另一个，就还原了：但光看名字不能猜到它们是相反的……你可以这样想：a x"向上"，log a(x) "向下"：•向上走，然后向下走，你回到原处：向下(向上p(x)) = x，•向下走，然后向上走，你回到原处：向上(向下(x)) = x 无论如何，重点是：指数函数可以"还原"对数函数的效果。
.（反过来也一样）看这个例子：举例： log3(x) = 5，x 是什么？我们可以用以3为底的指数来"还原"对数：再来一个：对数的特性对数的其中一个强大功能是把乘变成加。
log a( m × n ) = log a m + log a n"乘的对数是对数的和"为什么是这样？看附注。
用这特性和指数定律，我们得到以下有用的特性：log a(m × n) = log a m + log a n乘的对数是对数的和log a(m/n) = log a m - log a n除乘的对数是对数的差log a(1/n) = -log a n 这是以上"除"特性的结果，因为 log a(1) = 0log a(m r) = r ( log a m )m的r次幂的对数是r 和m的对数的积记着：底 "a" 一定要相同！历史：以前没有计算器时，对数非常有用……例如，要乘两个很大的数，你可以用对数来把乘变为加（容易得多！）以前甚至有专门为此而设的对数表书。
指数与对数的转换公式
指数与对数的转换公式一、指数的基本概念指数是数学中用来表示一个数的乘方的次数的概念。
指数有一些基本的性质，如指数的加法和乘法法则。
假设a和b都是实数，m和n都是整数，则指数运算的基本规则如下：1.a^m*a^n=a^(m+n)。
这表示，将底数a的指数m和n分别相加，得到的结果再用底数a的指数表示，等于将底数a的指数m和n相加后得到的指数表示的值。
2.(a^m)^n=a^(m*n)。
这表示，将底数a的指数m和n分别相乘，得到的结果再用底数a的指数表示，等于将底数a的指数m和n相乘后得到的指数表示的值。
3.(a*b)^m=a^m*b^m。
这表示，将若干个底数a和b连乘，并用底数a和b的共同指数表示，等于将底数a和b分别用指数表示后连乘得到的值。
基于指数运算的基本规则，可以推导出一些常见的指数运算公式，如指数函数的乘法公式、指数函数的除法公式和零次方的值等。
二、对数的基本概念对数是指数的逆运算。
如果a^x = b，则称x为以a为底，b为真数的对数，记作x=log_a(b)。
其中，a被称为底数，b被称为真数。
对数函数以及它的性质在实际问题中有广泛的应用。
对数函数的图像是一条过点(1,0)的递增曲线，与指数函数的图像相互对称。
对数函数具有一些特殊的性质，如对数函数的加法和乘法法则。
假设a为任意正数，b和c都是正数并且不等于1，则对数运算的基本规则如下：1. log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)。
这表示，将底数a的两个正数相乘，并用底数a的对数表示，等于将底数a的这两个正数分别用对数表示后相加得到的值。
2. log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)。
这表示，将底数a的两个正数相除，并用底数a的对数表示，等于将底数a的这两个正数分别用对数表示后相减得到的值。
3. log_a(b^m) = m * log_a(b)。
这表示，将底数a的正数b以及底数a的对数表示的值相乘，并用底数a的对数表示，等于将底数a的正数b分别用对数表示后乘以底数a的对数表示的值。
对数的概念(高中数学)
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
22
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________． 3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值． [解] ∵x＝10，∴x－12＝10－12＝ 1100.
31
(2)由log2x＝－23，可得x＝2－23，
∴x＝1223＝ 3 14＝322. (3)由x＝log2719，可得27x＝19， ∴33x＝3－2，∴x＝－23. (4)由x＝log1216，可得12x＝16， ∴2－x＝24，∴x＝－4.
a>0， a≠1， 解得0<a<5且a≠1，故选B.]
4．ln 1＝________，lg 10＝ ________.
10
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝ 0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
11
合作探究 提素养
12
指数式与对数式的互化 【例 1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
5
10 e
6
思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：ax＝N(a>0 且 a≠1)，则总有 N>0，所以转化为 对数式 x＝logaN 时，不存在 N≤0 的情况．
7
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故 1．若 a2＝M(a>0 且 a≠1)，则有 选B.] () A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M
2．若 log3x＝3，则 x＝( ) A．1 B．3 C．9 D．27
指数与对数恒等变形公式
指数与对数恒等变形公式
摘要：
1.指数与对数的概念
2.指数与对数的转换公式
3.指数与对数的恒等变形公式
4.实际应用示例
正文：
一、指数与对数的概念
指数是一种数学运算符，用于表示某个数的幂次方。
例如，2 的3 次方可以表示为2^3。
对数是一种数学运算，用于表示一个数的幂次方等于另一个数。
例如，如果2^3=8，那么我们可以说log2(8)=3。
二、指数与对数的转换公式
在数学中，指数和对数是互相转换的。
具体来说，如果有一个数a，它的b 次方等于c，那么可以表示为a^b=c。
我们可以通过对数运算求出a 的值，即a=c^1/b。
同样，如果a 的b 次方等于c，那么c 可以表示为a 的b 次方，即c=a^b。
三、指数与对数的恒等变形公式
指数与对数的恒等变形公式是指，通过对数和指数的转换，可以将一个数表示为另一个数的指数形式，而不改变它的值。
例如，如果a=2，b=3，那么ab=8。
我们可以将这个数表示为2 的3 次方，即2^3=8。
同样，如果
a=4，b=2，那么ab=8。
我们可以将这个数表示为4 的2 次方，即
4^2=8。
四、实际应用示例
指数与对数的恒等变形公式在实际应用中非常广泛。
例如，在计算机科学中，我们经常需要将一个数表示为另一个数的指数形式，以便进行快速计算。
另外，在统计学中，对数运算也经常被用来求解一些复杂的数学问题。
指数函数与对数函数的指数与对数恒等式
指数函数与对数函数的指数与对数恒等式指数函数与对数函数在数学中具有重要的地位，而指数与对数则是两种相反的运算。
在研究指数函数与对数函数时，我们经常会遇到他们之间的恒等关系，即指数与对数的恒等式。
本文将探讨指数与对数的恒等式及其应用。
一、指数与对数的基本概念在介绍指数与对数恒等式之前，我们首先来回顾一下指数函数与对数函数的基本概念。
1. 指数函数指数函数是一类形如y=a^x的函数，其中a称为底数，x是指数。
指数函数具有以下特点：- 当底数a大于1时，指数函数呈现递增趋势；- 当底数a等于1时，指数函数的值始终为1；- 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
2. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算，记为y=logₐx，其中a称为底数，x 是真数。
对数函数具有以下特点：- 当底数a大于1时，对数函数呈现递增趋势；- 当底数a等于1时，对数函数的值始终为0；- 当底数a介于0和1之间时，对数函数呈现递减趋势。
二、指数与对数的恒等式在研究指数与对数函数时，我们发现它们之间存在一些重要的恒等式，这些恒等式对于简化运算、解方程等具有重要作用。
1. 指数恒等式指数恒等式是指指数函数之间的等式关系，常见的指数恒等式有：- a^m * a^n = a^(m+n)：同底数的指数相乘，底数不变，指数相加；- (a^m)^n = a^(m*n)：指数的幂次运算，底数不变，指数相乘。
2. 对数恒等式对数恒等式是指对数函数之间的等式关系，常见的对数恒等式有：- logₐ(m*n) = logₐm + logₐn：对数的乘法运算，真数相乘，对数相加；- logₐ(m/n) = logₐm - logₐn：对数的除法运算，真数相除，对数相减；- logₐ(m^n) = n*logₐm：对数的幂次运算，真数的指数为指数与对数的乘积。
三、指数与对数恒等式的应用指数与对数的恒等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个应用实例：1. 指数函数的模型：指数函数可以用来描述某些增长或衰减的规律。
第七节 指数式与对数式
第7 课 指数与对数【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；l o g 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -； （2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+． 3.求值：（1）35log (84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．4.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则18lg25=___－0.14_____(结果保留2位小数) ． 5.（1）方程342115x -=的解集为_____16________；（2）方程32142568x x +-=⨯的解集为79； （3）方程1)3(lg lg =++x x 的解集为_____2____．【范例解析】例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x --++的值． 分析：先化简再求值．解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a --=±； 又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x x x x ---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=； （2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．例3.已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示．解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b +=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=点评：三个方程三个未知数，消元法求解．例4.设a ，b ，c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b+-+++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a ，b ，c 的值． 分析：运用对数运算性质化简证明．（1）证明：左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b+++-+++-=+=⋅ 2222()2log log 1a b c ab ab ab+-====右边． （2）解：由4log (1)1b c a ++=得30a b c -++=①；由82log ()3a b c +-=得4a b c +-=②； 又222a b c +=③；联立①②③得6a =，8b =，10c =．点评：证明恒等式问题一般由复杂到简单．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg 0.321=3a -．3．已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）． 5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___0或1___．7．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．8．若正整数m 满足m m 102105121<<-，m =则155．)3010.02(lg ≈ 9．若112511(,1)()11log log 33n n n Z +∈+∈，则n =_2___．10．已知2lg lg lg 2x y x y -=+的值． 解：由已知得2lg()lg()2x y xy -=，∴2()2x y xy -=，即2260x xy y -+=，2()610x x y y ∴-⋅+=，解得：3x y =±02x y ->，0x >且0y >，0x y ∴>>，从而3x y =+1=．11．已知11223x x-+=，求22332223x x x x --+-+-的值． 解：11223x x-+= ，11222()9x x -∴+=，17x x -∴+=，2247x x -∴+=， 又331112222()(1)18x x x x x x ---+=+⋅-+= ，223322233x x x x --+-∴=+-． 12．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．。
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专题七 指数式与对数式一、知识回顾：指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔=．指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算.1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 二、基本训练：1、 下列各式：（1）21)(x x -=-（2）331x x-=-（3）)0()()(4343>=-xy xy yx（4）3162y y= ，其中正确的是______________2、 =++-31021)6427()5(lg )972(___________, =-2lg 9lg 21100_________________3、 ____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+ =+-)223(l o g )12(_____________4、 已知,24log,18log n m aa ==用含m 、n 的式子把5.1log a 表示出来。
三、例题分析题型一：指数式和对数式的求值或化简例1、例1．计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=+-+-⨯213332113222118811⨯=++-⨯=+-=．（2）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)l g 22l g 52(l g 2l g5=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 3()()()()lg 3lg 9lg 4lg 8lg 32lg 32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3l g 25l g 352l g 36l g 24=⋅=．试一试： (1)若0)](log[loglog 432=x ，则x =___________(2 )对于1,0≠>a a ，下列说法中，正确的是 （ ） (A)N M N M aaloglog ,==则若 (B) N M N M aa==则若,loglog(C) N M N Maa==则若,loglog22(D) 22loglog,NMN M aa==则若（3）已知n m <<1，令)(loglog ,log,)(log22m c m b m a nn nn ===，则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)c<a<b （3）求值或化简 (1) 213323121)()1.0()4()41(----⨯ba ab (2)1.0lg 10lg5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+题型二：指数和对数式的综合应用例2、已知11223x x-+=，求22332223x xx x--+-+-的值．解：∵11223xx-+=，∴11222()9x x-+=，∴129x x-++=，∴17x x-+=，∴12()49x x-+=，∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x xx x--+--==-+-．试一试：（1）已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．41或4（2）．已知35abc ==，且112ab+=，求c 的值．解：由3ac =得：log 31ac =，即log 31c a =，∴1log 3c a=；同理可得1log 5c b=，∴由112ab+= 得 log 3log 52c c +=，∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =．（3）．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t-+=，∴22320t t +-=，∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =，∴222244(2)4T x yx x x =-=-=--，∵1x >，∴当2x =时，m in 4T =-． 题型三：证明：例3、设+∈R z y x ,,，且zyx643==。
(1)求证：yxz2111=-（2）比较z y x 6,4,3的大小变式引申：己知zyx1052==求证：zyx111=+综合应用：例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c ab+-+++=（2）若4log (1)1b ca++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值．证明：（1）左边222log log log ()a b ca b ca b c a b caba b+++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b ca ab b cab c cababab+-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b ca++=得14b c a++=，∴30a b c -++=……………①由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==……………………………②由①+②得2b a -=……………………………………………………③⑤ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =． 四、作业1．若a>1,b>1，aa p bbblog )(loglog=，则a p 等于（ ）A ．1B ．bC ．log b aD ．a b a log2．设151121)31(log)31(log--+=x ，则x 属于区间 （ ）A ．（－2，－1）B ．（1，2）C ．（－3，－2）D ．（2，3） 3．若32x +9=10·3x ，那么x 2+1的值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．1或54．．如果方程lg 2x+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α、β，则α·β的值是 （ ）A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35D ．3515. ( 05全国卷III)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c 6.（04年天津卷）函数123-=x y （01<≤-x ）的反函数是（ ）A. )31(log 13≥+=x x y B. )31(log 13≥+-=x x yC. )131(log13≤<+=x x y D. )131(log13≤<+-=x x y7、________,2log6log31log________,32log63564==⋅⋅=x x 则若，若______3log,2log 123==则a8、_________)125(,2)5(12=-=-f x f x 则9、的值为则且已知a b a b b a babaloglog,310loglog ,1-=+>>_________10、求值或化简)0,0()1(3224>>⋅-b a abb a = )2(142log2112log 487log222--+= ; 1536lg27lg 321240lg 9lg 211)3(++--+= .11、设函数,lg )(x x f =，若b a <<0且)()(b f a f >，求证：1<ab122b =，则a 与b 的大小关系为 ；13．若2lg lg lg 2x y x y -=+的值．14、己知函数c bx x x f ++=2)(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，试比较)(x b f 与)(xc f 的大小。
15、设3421lg )(ax f xx ++=如果当)1,(-∞x 时f(x)有意义，求a 的取值范围。