§2.3.2 向量数量积的运算律导学案 新人教B版必修4
高中数学人教B版必修四2.3.2《平面向量数量积的运算律》word导学案
§2.3.2 平面向量数量积的运算律（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：1．交换律：a • b = ；2．数乘结合律：(λa )•b = = ；3．分配律：(a + b )•c= .说明：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c ）；（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b（3）有如下常用性质： a ２＝｜a ｜２；（a ＋b ）·（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２.二.预习自测1、判断下列各题正确与否：1︒若a =0 ，则对任一向量b ，有a •b =0 ( ) 2︒若a ≠0 ，则对任一非零向量b ，有a •b≠03︒若a ≠0 ，a •b =0，则b =0 ( ) 4︒若a •b =0，则a 、b至少有一个为零( )5︒若a ≠0 ， a •b =a •c ，则b =c ( ) 6︒若a •b =a •c ，则b =c 当且仅当a ≠0时成立( )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a •b )•c ≠a •(b •c )( ) 8︒对任意向量a ，有a 2= |a|2 ( ) 2、 设,a b 是两个非零向量，则下列命题中正确的是（ ）.A a b 是实数，且可正、可负或者是零 .B a b 一定是正实数 .C a b 一定是非负数 .D a b 还是向量3、填空（a －b ）２＝ ； (a ＋b )( a －b)＝ 。
例3. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》1
教案学科：数学课题：向量数量积的运算律教师：白秋艳单位：喀左四高向量数量积的运算律一、教学目标1掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式；2理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．3会应用运算律进行相关的计算或证明等问题二、教学重难点教学重点：向量数量积的运算律的灵活应用。
教学难点：向量数量积的运算律的证明。
三、教学方法：通过高考题展示，激发学生积极性，让学生产生好奇心，提高学习效率。
通过设置问题、师生共同探究、总结、应用的方式学习。
四、教学过程（一）情景引入知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义（学生回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？⑴交换律： = ；⑵数乘结合律： = = ；⑶分配律： = 。
（学生回答）（二）、合作探究展示类型一数量积的基本运算【例1】1已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，则2a＋3b·3a－2b ＝________（教师板演）2已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|（学生板演）变式训练1 已知|a|＝|b|＝5，〈a，b〉＝错误!，求|a＋b|，|a－b|（学生板演）类型二求向量的夹角【例2】已知|a|＝3，|b|＝4，a＋2b·2a－b＝4，求a与b夹角θ（教师引导，学生展示）变式训练21已知a，b是非零向量且满足a－2b⊥a，b－2a⊥b，则a与b的夹角是（学生展示）2已知|a|＝1，|b|＝3，|2a＋b|＝错误!，求向量a与b的夹角．（学生展示）类型三数量积在几何证明中的作用【例3】1已知△ABC中一点O满足OA=⋅=OA⋅⋅，则O为△ABC的OBOCOCOBA．内心B．外心C．重心 D．垂心（教师引导，学生展示）2设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知错误!＋错误!－2错误!·错误!－错误!＝0，试判断△ABC的形状．（学生展示）变式训练3求证：平行四边形两条对角线的平行和等于四条边的平方和．（学生展示）三小结：理解数量积运算律的适用范围，会应用运算律进行相关的计算或证明等问题（四）作业：自组题。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》2
向量数量积的运算律教学设计新授课第一课时一．【教学目标】1知识与技能目标：理解向量数量积的运算律；2过程与方法目标：掌握向量数量积的运算律，能运用运算律解决相关问题；3情感态度与价值观目标：创设适当的问题情境，引入课题，激发学生的学习兴趣，培养数学意识。
二．【教学重点】理解并初步掌握向量数量积的运算律三．【教学难点】向量数量积运算律分配律的证明。
四．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量数量积的基础上以及实数中相关运算律和公式引入向量数量积的运算律，运算律教学过程中紧扣向量数量积的定义进行分析，小组之间探究讨论，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。
五．【教学过程】六．【板书设计】向量数量积的运算律一．向量数量积的运算律 二 例题讲解已知向量c b a ,,和实数,λ则 交换律：a b b a ⋅=⋅数乘结合律：)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ 三 课堂小结 分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(七．【教学反思】向量的数量积的运算律共两个课时，本课时为第一课时。
围绕数量积的运算律，进行了论证及简单应用，展开设计，为下节课灵活应用向量数量积的运算律解决问题奠定基础。
例题的选取紧紧扣住课本的例题，并通过例题展开变式研究和培养学生的发散性思维。
采取小组PK 的方式引导学生结合具体习题设计问题，体现开放教学和民主的课堂氛围。
渗透数学思想方法的学习：类比的思想，渗透发散性思维的培养意识，通过教师的设计，引导学生怎样把一个题目解活、用活、学活，从而提高有效学习的效率。
引导学生自己小结，一方面培养学生对问题的整理综合能力，另一方面引导学生学习抓主流、抓重点内容，懂得取舍得当。
2021年高中数学.3.向量数量积的运算律教学设计新人教B版必修4
2021年高中数学2.3.2向量数量积的运算律教学设计新人教B版必修4一、情景引入
知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义
（学生回答）
问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？
⑴交换律：= ；
⑵结合律：= = ；
⑶分配律：= 。
（学生回答）
二、合作探究展示
探究一分配律的证明
求证：
（师生共同探究）
探究二数量积的运算律应用（一）
()222
证明：（）
+=+⋅+
1||2||
a b a a b b
()()22
（）
2||||
+⋅-=-
a b a b a b
（学生版演）
探究三数量积的运算律应用（二）
已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线 求证：ACBD.
（师生共同探究，展示规范步骤）
跟踪练习：0=3=5ABC=60.ABC AB BC AC ∠在中，已知边长，，，求边长
（学生做，说）
探究四 数量积的运算律应用（三） 已知（1）求
（学生版演）
跟踪练习：已知：04,2,,120a b a b ==〈〉= 求：（1） （2）
（学生版演）
当堂练习
1. 已知向量的夹角为，且则=（ ）
A B 3 C D
2. 已知向量的夹角为，且求
2k a b ka b +-（2）当且仅当取何值时，与 互相垂直？
3.若且求向量的夹角。
（学生说答案）。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》
全日制普通高中人教B版必修4教学课题《向量数量积的运算律》甘井子区鉴开中学姜源授课对象：高一学生课型：新授课一、设计依据与设计思路1教学内容：本节课是人教B版数学必修4第二章《平面向量》§主要内容是向量数量积的运算律与应用。
2课标解读会进行平面向量数量积的运算，体会平面向量数量积与投影的关系；体会向量是一种处理几何问题的方法，发展运算能力和解决实际问题的能力。
这说明体会向量数量积与投影的关系是进行运算律推导的的关键。
3教材分析本节内容对向量数量积的运算律理解是建立在之前向量数量积的物理意义及向量数量积的定义的内容基础上的；为坐标运算，向量的几何、物理应用等向量计算探究问题奠定基础，是平面向量这一章的重要内容。
4学情分析学生在接触向量数量积运算律之前学习过实数与整式的运算律。
两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的计算方法，它区别于数的乘法。
学生对向量的概念的理解有困难，进行教学设计时考虑将这两进行对比，采用类比的思维从而降低难度，同时增强学生的逻辑推理能力。
同时向量数量积的运算量相对较大，应合理安排训练内容使学生的计算能力得以提升。
5学习价值分析学生用以往的知识经验，类比实数运算律，在本节课内容中会出现错误，教师需要引导学生，让学生敢于探究、勤于思考，增强学生分析解决问题的能力。
在这节课中，学生应结合其前一节课向量数量积，进一步理解正射影的概念，将知识联系起来，建立形与数的联系。
让学生主动探究运算律部分内容，让学生借助图形进行计算与理解，同时，教师应在合适的时候给予规范的解答。
类比实数a b a b(+)(-)小结、尾巴7设计理念本着“教师主导，学生主体”的思想，以教育心理学家皮亚杰的理论——认知的不平衡或冲突状态是一种认知发展动力，是学习过程中内在的动机为基点。
教学过程中着力创设认知冲突，刺激学生的求知欲望，并维持他们在学习活动中的动力，以实现认知的发展。
通过认知矛盾激发学生学习知识的热情，以发展能力为目标。
人教版高中必修4(B版)2.3.2向量数量积的运算律课程设计
人教版高中必修4(B版)2.3.2向量数量积的运算律课程设计一、课程目标1.了解向量数量积的概念和运算方式；2.熟练掌握向量数量积的运算律，并能够理解其几何意义；3.能够应用向量数量积的运算律解决实际问题。
二、教学内容2.3.2 向量数量积的运算律1.数量积的分配律：$ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$2.数量积的结合律：$ \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) =\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})$3.数量积的交换律：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}$4.向量平行的判定：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\|\vec{b}|\cos\theta $，其中 $\\theta$ 为 $\\vec{a}$ 和$\\vec{b}$ 之间的夹角。
三、教学方法1.通过引入向量数量积的运算律的问题，激发学生学习的兴趣，提升学生的学习热情；2.采用示例分析和练习的形式，引导学生理解向量数量积的运算律，并通过多组练习巩固所学知识；3.引导学生进行分组讨论，互相交流，加深对向量数量积的运算律的认识；4.结合实际问题，引导学生应用所学知识解决实际问题，并进行课堂展示和学习成果分享。
四、教学流程1.引入问题：引导学生思考，如果要求$\\vec{a}\\cdot\\vec{b}+\\vec{a}\\cdot\\vec{c}$，应该如何计算？2.示范讲解：向量数量积的分配律 $\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} +\\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c}$；3.练习巩固：让学生进行练习，加深对向量数量积的分配律的理解；4.小组讨论：将学生分成小组，进行向量数量积的运算律的分组讨论；5.实际问题：引入实际问题，让学生应用所学知识，解决实际问题；6.课堂展示：学生展示自己所解决的实际问题，进行成果分享。
数学：2.3.2《向量数量积的运算律》教案(新人教B版必修4)
由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50
= 在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量 的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al= cosθ
5
应用
还可能定义什么运算？
期望学生回答：向量相乘
复习向量有关运算
2
引入新课
以物理背景引入
实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W=。
（2）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是量，
F（力）是量，
S（位移）是量，
α是。
我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第一方案
课题：向量数量积的定义及运算率
教
学
目
标
1、知识与技能
①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影பைடு நூலகம்关系。
③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法
通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力
教学方法
将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。
教学环节
教学内容
师生互动
高中数学 2.3.2向量数量积的运算律教学设计 新人教B版必修4
《向量数量积的运算律》教学设计一、情景引入知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义（学生回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？ ⑴交换律：b a ⋅= ； ⑵结合律：()⋅λ= = ； ⑶分配律：()⋅+= 。
（学生回答）二、合作探究展示探究一 分配律的证明求证：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（师生共同探究）探究二 数量积的运算律应用（一）()2221||2||a b a a b b +=+⋅+证明：（）()()222||||a b a b a b +⋅-=-（） （学生版演）探究三 数量积的运算律应用（二）已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线求证：AC ⊥BD.（师生共同探究，展示规范步骤）跟踪练习：0=3=5ABC=60.ABC AB BC AC ∠在中，已知边长，，，求边长（学生做，说）探究四 数量积的运算律应用（三）已知06,4,,60a b a b ==〈〉=（1）求).3()2(-⋅+ （学生版演）跟踪练习：已知：04,2,,120a b a b ==〈〉=求：（1）a b + （2）()(2).a b a b +⋅-（学生版演）当堂练习1.已知向量,的夹角为060,33==+（ ） A 33 B 3 C 23 D 322.已知向量b a ,的夹角为0120,4==求)2(b +3.,,21+===且,⊥求向量b a ,的夹角。
（学生说答案）2k a b ka b +-（2）当且仅当取何值时，与 互相垂直？。
数学人教B版必修4导学案：2.3.2向量数量积的运算律 Word版缺答案
导学案：2.3.2向量数量积的运算律一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用三、【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握向量垂直的条件.四、自主学习平面向量数量积的运算律1．交换律：2．数乘结合律：3．分配律：例1 已知、都是非零向量，且+ 3与7- 5垂直，- 4与7- 2垂直，求a与b的夹角.例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3 四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝·a，试问四边形ABCD是什么图形?五、合作探究1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-363.| a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知||=3，||=4，且与的夹角为150°，则(+)２＝ .5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）。
高级中学人教B版高一数学必修四导学案2.3.2向量数量积的运算律
向量数量积的运算律学习目标：一、．掌握平面向量的数量积及其几何意义；．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；．了解用数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；一、复习回顾、已知两个非零向量和,作,则叫做向量与的夹角。
、向量夹角θ的范围是,与同向时,夹角＿;与反向时,夹角。
、如果向量与的夹角是,则与垂直,记作。
、向量数乘运算的定义是.思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？二、探究过程:叫做的夹角。
.已知两个向量，我们把叫的数量积。
（或）记作即＝其中是的夹角。
叫做向量方向上的。
.零向量与任意向量的数量积为。
.平面向量数量积的性质：设均为非零向量：①②当同向时，＝当反向时，＝，特别地，或。
③④.的几何意义：。
.向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。
①＝（律）②＝③＝说明：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。
三、典型例题例已知，，和的夹角为，求？例: 对任意是否有和成立？例:已知已知，，和的夹角为，求四、达标训练:例：已知，，与的夹角为，求的值.变式：已知向量与的夹角为，且，，求：() ;()例: 对任意是否有和成立？例:已知已知，，和的夹角为，求例：已知非零向量和满足，且与垂直，求证：.拓展（）：若向量、、满足，且，，，则.（）：已知,是非零向量，且满足，，求与的夹角选作：已知，且，，若对两个不同时为零的实数，使得与垂直，试求的最小值.。
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§2.3.2 向量数量积的运算律
◆ 课前导学 （一）学习目标
1．记住向量数量积满足的运算律和不满足的运算律； 2．会利用数量积的运算律求向量的长度； 3．会利用数量积的运算律解决几何问题． （二）重点难点
重点：记住向量数量积满足的运算律和不满足的运算律，会利用数量积的运算律求向量的长度；
难点：会利用数量积的运算律解决几何问题． （三）温故知新
1. 向量的长度公式：____________________________________， 向量的距离公式:：____________________________________， 向量的夹角公式:：____________________________________； 2．实数乘法的运算律：
（1）交换律：a b ×
______b a ×； （2）结合律：()a b c 鬃______()a b c 鬃； （3）分配律：()a b c
+?_____________________．
3．数量积的运算结果是一个____________，数与向量的乘积结果是一个____________． ◆ 课中导学
◎学习目标一：记住向量数量积满足的运算律和不满足的运算律． （一） 概念形成
1． 向量数量积满足的运算律：
（1）交换律：a b ×
______b a ×
； （2）数乘结合律：()a b l ×
=____________=____________； （3）分配律：()a b c
+? _____________________．
2．向量数量积不满足的运算律：
（1） a b a c b c ?邹=
（ × ）
（2）()a b c 鬃 =()a b c 鬃
． （ × ） 思考：为什么这两个运算律不满足？
例1 求证：
（1）22
2()2a b a a b b +=+? ；
（2）22
()()a b a b a b +?=- ；
（3）)|||||(|2
122
2b a b a b a --+=⋅．
◎学习目标二：会利用数量积的运算律求向量的长度．
例2 已知3a b == ，且,60a b <>=?
，求
（1）a b × ；（2）)23(32b a b a
-⋅+）（；
（3）a b + ；（4）a b - ．
★变式 已知菱形ABCD 的边长为3，60A ??，求对角线BD 和AC 的长．
◎学习目标三：会利用数量积的运算律解决几何问题． 例3 求证：菱形的两条对角线互相垂直．
★变式1 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．
★变式2 若a b c += ，a b d -=
，已知c d ^ ，则a 与b 的关系如何？
★变式3 在ABC D 中，若OA OB
OB OC ??
，那么点A 在ABC D 的什么位置？
◆ 课后导学 一、选择题
1．如果a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠
，那么（ ）
A ．b c =
B ．b c λ=
C ．b a ⊥
D ．,b c 在a
方向上的投影相等
2．下列各式中正确命题的个数为（ ）
（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
；（2）a b a b ⋅=⋅ ； （3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ； （4）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3．下列各命题
（1）若0a ≠ ，则对任一向量b ，得0a b ⋅≠
； （2）若0a = ，则对任一向量b ，得0a b ⋅=
； （3）若0a ≠ ，0a b ⋅= ，则0b =
；
（4）若0a b ⋅= ，则,a b
中至少有一个为0 ；
（5）若0a ≠ ，a b a c ⋅=⋅ ，则b c =
；
（6）若a b a c ⋅=⋅ ，则b c ≠ ，当且仅当0a =
时成立．
其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．若0a ≠ ，0b ≠ ，且a b +=a b -
，则以下表述错误的是（ ） A ．b a ⊥ B ．//b a C ．0b a ⋅= D ．以,b a
为邻边的平行四边形是矩形 5．若2
0AB BC AB ⋅+= ，则ABC ∆为（ ）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
6．在ABC ∆中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅
，则点O 是ABC ∆的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
7．3a = ，5b =
，且a b λ+ 与a b λ- 垂直，则λ=（ ）
A ．
35 B ．35± C ．45± D ．925
± 二、填空题
8．已知向量,a b 的夹角为120︒，且2a = ，5b = ，则(2)a b a -⋅=
______
9．设12,e e
是两个单位向量，它们的夹角为60︒，则 1212(2)(32)e e e e -⋅-+=
______．
10．已知4a = ，3b = ，,a b
的夹角为60︒，则a b +=______，a b -=______．
11．已知12a b ⋅= ，且5b = ，则向量a 在向量b
方向上正射影的数量为
______． 三、解答题
12．已知1a = ，b =
（1）若,a b
的夹角为60︒，求3a b +；
（2）若a b - 与a 垂直，求,a b
的夹角．。