初中数学代数式难题汇编含答案解析

初中数学代数式难题汇编含答案解析

一、选择题

1．已知a +b +c =1，22223+-+=a b c c ，则ab 的值为（ ）．

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2 【答案】B

【解析】

【分析】

将a +b +c =1变形为a +b =1- c ，将22223+-+=a b c c 变形为222221+=+--a b c c ，然后利用完全平方公式将两个式子联立即可求解．

【详解】

∵22223+-+=a b c c

∴()2

22221=12+=--+-a b c c c

∵a +b +c =1

∴1+=-a b c

∴()()221+=-a b c

∴()2222+=+-a b a b

展开得222222++=+-a b ab a b

∴1ab =-

故选B ．

【点睛】

本题考查完全平方公式的应用，根据等式特点构造完全平方式是解题的关键．

2．下列各运算中，计算正确的是( )

A ．2a•3a ＝6a

B ．(3a 2)3＝27a 6

C ．a 4÷a 2＝2a

D ．(a+b)2＝a 2+ab+b 2

【答案】B

【解析】

试题解析：A 、2a •3a =6a 2，故此选项错误；

B 、（3a 2）3=27a 6，正确；

C 、a 4÷a 2=a 2，故此选项错误；

D 、（a+b ）2=a 2+2ab +b 2，故此选项错误；

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键．

3．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、、299、2100，若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）

A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a

【答案】C

【解析】

【分析】

由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2，那么

250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．

【详解】

解：∵2+22=23-2；

2+22+23=24-2；

2+22+23+24=25-2；

…

∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，

∴250+251+252+…+299+2100

=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+ (249)

=（2101-2）-（250-2）

=2101-250，

∵250=a，

∴2101=（250）2•2=2a2，

∴原式=2a2-a．

故选：C．

【点睛】

本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．

4．下列运算正确的是（）

A．3a3+a3＝4a6B．（a+b）2＝a2+b2

C．5a﹣3a＝2a D．（﹣a）2•a3＝﹣a6

【答案】C

【解析】

依次运用合并同类型、完全平方公式、幂的乘法运算即可．

【详解】

A .3a 3+a 3＝4a 3，故A 错误；

B ．（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，故B 错误；

C .5a ﹣3a ＝2a ，故C 正确；

D ．（﹣a ）2•a 3＝a 5，故D 错误；

故选C ．

【点睛】

本题考查了幂的运算与完全平方公式，熟练掌握幂运算法则与完全平方公式是解题的关键．

5．下列各式中，计算正确的是（ ）

A ．835a b ab -=

B ．352()a a =

C ．842a a a ÷=

D ．23a a a ⋅= 【答案】D

【解析】

【分析】

分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．

【详解】

解：A 、8a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；

B 、()326a a =，故选项B 不合题意；

C 、844a a a ÷=，故选项C 不符合题意；

D 、23a a a ⋅=，故选项D 符合题意．

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

6．下列运算正确的是 （ ）

A ．()236a a a -⋅=-

B ．632a a a ÷=

C ．()2222a a =

D ．()326a a =

【答案】D

【解析】

根据幂的乘方与积的乘方的运算法则和同底数幂的乘除法运算法则对各选项进行计算，最后进一步判断即可.

【详解】

A ：()523a a a -⋅=-，计算错误；

B ：633a a a ÷=，计算错误；

C ：()2224a a =，计算错误；

D ：()326a a =，计算正确；

故选：D.

【点睛】

比特主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算和同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.

7．下列命题正确的个数有（ ）

①若 x 2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10；

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；

④黄金分割比的值为

≈0.618. A ．0 个

B ．1 个

C ．2 个

D ．3 个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；

【详解】

①错误．x 2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；

③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；

④正确．黄金分割比的值为

≈0.618； 故选C ． 【点睛】

本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

8．如图1所示，有一张长方形纸片，将其沿线剪开，正好可以剪成完全相同的8个长为a ，宽为b 的小长方形，用这8个小长方形不重叠地拼成图2所示的大正方形，则大正方形中间的阴影部分面积可以表示为（ ）

A ．2()a b -

B ．29b

C ．29a

D ．22a b -

【答案】B

【解析】

【分析】 根据图1可得出35a b =，即53

a b =

，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +，阴影部分的面积即为正方形的面积与长方形面积的差． 【详解】

解：由图可知，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +

∴阴影部分的面积为：22(2)8(2)a b ab a b +-=-

∵35a b =，即53

a b = ∴阴影部分的面积为：2

22(2)()39

b b a b -=-= 故选：B ．

【点睛】

本题考查的知识点是完全平方公式，根据图1得出a ，b 的关系是解此题的关键．

9．计算3x 2﹣x 2的结果是（ ）

A ．2

B ．2x 2

C ．2x

D ．4x 2

【答案】B

【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得．

【详解】3x 2﹣x 2

=（3-1）x 2

=2x 2，

故选B ．

【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.

10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为6cm ，宽为5cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长之和等于（ ）

A ．19cm

B ．20cm

C ．21cm

D ．22cm

【答案】B

【解析】

【分析】 根据图示可知：设小长方形纸片的长为a 、宽为b ，有：26a b +=(cm)，则阴影部分的周长为：2(62)2(52)2(6)2(5)-+-+-+-b b a a ，计算即可求得结果．

【详解】

解：设小长方形纸片的长为a 、宽为b ，由图可知：26a b +=(cm)，

阴影部分的周长为：2(62)2(52)2(6)2(5)-+-+-+-b b a a ，

化简得：444(2)-+a b ，

代入26a b +=得：原式=44−4×6=44−24=20(cm)，

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查整式加减的应用，关键分清图形②如何用小长方形纸片的长和宽表示．

11．下列运算正确的是（ ）

A ．426x x x +=

B ．236x x x ⋅=

C ．236()x x =

D ．222()x y x y -=-

【答案】C

【解析】

试题分析：4x 与2x 不是同类项，不能合并，A 错误；

235x x x ⋅=，B 错误；

236()x x =，C 正确；

22()()x y x y x y -=+-，D 错误．

故选C ．

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．

12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（

）

A ．110

B ．158

C ．168

D ．178

【答案】B

【解析】

根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，

∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，

∴m =12×14−10=158.

故选C.

13．下列说法正确的是（）

A ．若 A 、

B 表示两个不同的整式，则A

B 一定是分式

B ．()2442a a a ÷=

C ．若将分式xy

x y +中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍

D ．若35,34m n ==则25

32m n -=

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可.

【详解】

A. 若 A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称A

B 是分式.故此选项错误.

B. ()244844a a a a a ÷=÷=，故故此选项错误.

C. 若将分式xy x y

+中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253

332544

m n m n -=÷=÷=，故此选项错误. 故选：C

【点睛】 本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.

14．一家健身俱乐部收费标准为180元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

例如，购买A 类会员年卡，一年内健身20次，消费1500100203500+⨯=元，若一年内在该健身俱乐部健身的次数介于50-60次之间，则最省钱的方式为（ ）

A ．购买A 类会员年卡

B ．购买B 类会员年卡

C ．购买C 类会员年卡

D ．不购买会员年卡

【答案】C

【解析】

【分析】

设一年内在该健身俱乐部健身x 次，分别用含x 的代数式表示出购买各类卡所需消费，然后将x=50和x=60分别代入各个代数式中比较大小即可得出结论．

【详解】

解：设一年内在该健身俱乐部健身x 次，由题意可知：50≤x≤60

则购买A 类会员年卡，需要消费（1500＋100x ）元；

购买B 类会员年卡，需要消费（3000＋60x ）元；

购买C 类会员年卡，需要消费（4000＋40x ）元；

不购买会员卡年卡，需要消费180x 元；

当x=50时，购买A 类会员年卡，需要消费1500＋100×50=6500元；购买B 类会员年卡，需要消费3000＋60×50=6000元；购买C 类会员年卡，需要消费4000＋40×50=6000；不购买会员卡年卡，需

要消费180×50=9000元；6000＜6500＜9000

当x=60时，购买A类会员年卡，需要消费1500＋100×60=7500元；购买B类会员年卡，需要消费3000＋60×60=6600元；购买C类会员年卡，需要消费4000＋40×60=6400；不购买会员卡年卡，需要消费180×60=10800元；6400＜6600＜7500＜10800

综上所述：最省钱的方式为购买C类会员年卡

故选C．

【点睛】

此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键．15．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2018次输出的结果是( )

A．3 B．27 C．9 D．1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，然后解答即可．

【详解】

第1次，1

3

×81＝27，

第2次，1

3

×27＝9，

第3次，1

3

×9＝3，

第4次，1

3

×3＝1，

第5次，1+2＝3，

第6次，1

3

×3＝1，

…，

依此类推，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，∵2018是偶数，

∴第2018次输出的结果为1．

故选D．

【点睛】

本题考查了代数式求值，根据运算程序计算出从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3是解题的关键．

16．下列计算正确的是（ ）

A ．23a a a ⋅=

B ．23a a a +=

C ．()325a a =

D ．23(1)1a a a +=+

【答案】A

【解析】

【分析】

根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．

【详解】

A 、a•a 2=a 3，故A 选项正确；

B 、a 和2a 不是同类项不能合并，故B 选项错误；

C 、（a 2）3=a 6，故C 选项错误；

D 、a 2（a+1）=a 3+a 2，故D 选项错误．

故答案为：A ．

【点睛】

本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识，解题的关键是熟记法则．

17．下列运算正确的是（ ）

A ．236a a a ⋅=

B ．222()ab a b =

C ．()325a a =

D ．224a a a += 【答案】B

【解析】

【分析】

根据积的乘方运算法则和同底数幂的运算法则分别计算即可解答．

【详解】

解：A. 235a a a ⋅=，故A 错误；

B. 222()ab a b =，正确；

C. ()326a a =，故C 错误；

D. 2222a a a +=，故D 错误．

故答案为B ．

【点睛】

本题主要考查了积的乘方和同底数幂的运算运算法则，掌握并灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．

18．图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）

A ．ab

B ．2()a b +

C ．2()a b -

D ．22a b -

【答案】C

【解析】

【分析】 图（2）的中间部分是正方形，边长为a-b ，根据图形列面积关系式子即可得到答案.

【详解】

中间部分的四边形是正方形，边长为：a+b-2b=a-b ，

∴面积是2

()a b -，

故选：C.

【点睛】

此题考查完全平方公式的几何背景，观察图形得到线段之间的关系是解题的关键.

19．若（x +4）（x ﹣1）＝x 2+px +q ，则（ ）

A ．p ＝﹣3，q ＝﹣4

B ．p ＝5，q ＝4

C ．p ＝﹣5，q ＝4

D ．p ＝3，q ＝﹣4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据整式的运算法则即可求出答案．

【详解】

解：∵（x +4）（x ﹣1）＝x 2+3x ﹣4

∴p ＝3，q ＝﹣4

故选：D ．

【点睛】

考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.

20．如果长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，那么这个长方形的面积为（ ） A ．228421a a a -++

B ．328421a a a +--

C ．381a -

D ．381a +

【答案】D

【解析】

【分析】

利用长方形的面积等于长乘宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可．

【详解】

解：根据题意，得：

S 长方形=(4a 2−2a +1)(2a +1)= 322814422-++-+a a a a a =8a 3+1，

故选：D ．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：()()++=+++a b p q ap aq bp bq 是解题的关键．