初中数学解题与析题(精)
初中数学10大解题方法及典型例题详解
初中数学10大解题方法及典型例题详解1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
例题：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( )A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。
【解】将方程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=－1，配方得：x2+4x+4=－1+4，即(x+2) 2=3；因此选D。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3），∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，∴m=2；因此选B。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
初中数学各种题型解题技巧与分析及练习题(含答案解析)
初中数学各种题型解题技巧与分析及练习题（含答案解析）选择题法大全方法一：排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。
方法二：赋予特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
方法四：直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元方法五：数形结合法解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。
方法六：代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
方法七：观察法观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
方法八：枚举法列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )A.5种B.6种C.8种D.10种分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。
方法九：待定系数法要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
送你十五道有价值的初中数学几何解答题(含解析)
送你十五道有价值的初中数学几何解答题一．解答题（共15小题）1．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC∠的平分线，OE AB⊥，OF CD⊥．（1）若50AOD∠=︒，请求出DOP∠的度数；（2）OP平分EOF∠吗？为什么？2．已知，//AB CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若30EAF∠=︒，40EDG∠=︒，则AED∠=︒；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则AED∠、EAF∠、EDG∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分EDC∠，交AE于点K，交AI于点I，且:1:2EAI BAI∠∠=，22AED∠=︒，20I∠=︒，求EKD∠的度数．3．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，90ABC ADC∠=∠=︒，BCD∠是锐角．（1）若BD BC=，证明：sinBD BCDAC∠=．（2）若4AB BC==，6AD CD+=，求BDAC的值．（3）若BD CD=，6AB=，8BC=，求sin BCD∠的值．（注:本题可根据需要自己画图并解答）4．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ． （1）求证：ABC ADE ∆≅∆； （2）求FAE ∠的度数； （3）求证：2CD BF DE =+．5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，连接AC 、BD 交于点O ，CE 平分ACD ∠交BD 于点E ， （1）求DE 的长；（2）过点EF 作EF CE ⊥，交AB 于点F ，求BF 的长； （3）过点E 作EG CE ⊥，交CD 于点G ，求DG 的长．6．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的23，求这个多边形的边数；（2）两个多边形边数之比为3:4，内角和之比为2:3，求这两个多边形的边数．7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成△11OA B 第二次将△11OA B 变换成△22OA B ，第三次将△22OA B 变换成△33OA B ，已知(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ．（1）求OAB ∆的面积；（2）写出△44OA B 的各个顶点的坐标；（3）按此图形变化规律，你能写出△n n OA B 的面积与OAB ∆的面积的大小关系吗？ 8．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ． （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若32FD EF =，求证；A 为EH 的中点． （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径．9．如图，点O 为Rt ABC ∆斜边AB 上的一点，以OA 为半径的O e 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD ． （1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若60BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分的面积（结果保留)π．10．如图，AH 是圆O 的直径，AE 平分FAH ∠，交O e 于点E ，过点E 的直线FG AF ⊥，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是Oe的切线；（2）若8e的直径．EB=，求OAD=，511．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD OA⊥交弦AB于点E，交圆=．O于点F，且CE CB（1）求证：BC是Oe的切线；（2）连接AF，BF，求ABF∠的度数；（3）如果3g的值．OA=，求AE AB12．如图，以ABC∆的BC边上一点O为圆心，经过A、C两点且与BC边交于点E，点D 为CE的下半弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB BF=．（1）求CAD∠的度数；（2）求证：AB是Oe的切线；（3）若8DF=，求线段AB的长．CF=，21013．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM 上．（1）如图1，6MA =，8MB =，60NOB ∠=︒，求NB 的长；（2）如图2，过点M 作MC AB ⊥于点C ，点P 是MN 的中点，连接MB 、NA 、PC ，试探究MCP ∠、NAB ∠、MBA ∠之间的数量关系，并证明．14．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E（1）判断直线PD 是否为O e 的切线，并说明理由； （2）如果60BED ∠=︒，3PD =，求PA 的长．（3）将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．15．如图，AB 是O e 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切O e 于点D ，1CA =，CD 是O e 3 ． （1） 求O e 的半径R ；（2） 如图 1 ，弦//DE CB ，动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中， 图中阴影部分的面积是否发生变化， 若发生变化， 请你说明理由；若不发生变化， 请你求出阴影部分的面积；（3） 如图 2 ，动点M 从A 出发， 在O e 上按逆时针方向向B 运动 ． 连接DM ，过D作DM的垂线，与MB的延长线交于点N，当点M运动到什么位置时，DN取到最大值？求此时动点M所经过的弧长．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是BOC ∠的平分线，OE AB ⊥，OF CD ⊥． （1）若50AOD ∠=︒，请求出DOP ∠的度数； （2）OP 平分EOF ∠吗？为什么？【思路】（1）根据对顶角相等、角平分线的性质求得1252COP BOC ∠=∠=︒；然后由平角的定义推知180COD ∠=︒，则DOP COD COP ∠=∠-∠； （2）根据垂直的定义、角平分线的定义求得EOP FOP ∠=∠． 【解析】（1）Q 直线AB 与CD 相交于点O ， 50BOC AOD ∴∠=∠=︒， OP Q 是BOC ∠的平分线，11502522COP BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，18025155DOP COD COP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）OP 平分EOF ∠，理由如下：OE AB ⊥Q ，OF CD ⊥， 90EOB COF ∴∠=∠=︒， OP Q 是BOC ∠的平分线， POC POB ∴∠=∠，EOB POB COF POC ∴∠-∠=∠-∠，即EOP FOP ∠=∠， OP ∴平分EOF ∠．【考点】本题考查了垂直的定义，对顶角、邻补角以及角平分线的定义．解题时一定要数形结合．2．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若30EAF ∠=︒，40EDG ∠=︒，则AED ∠= 70 ︒；（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则AED ∠、EAF ∠、EDG ∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI 平分EDC ∠，交AE 于点K ，交AI 于点I ，且:1:2EAI BAI ∠∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，求EKD ∠的度数．【思路】（1）延长DE 交AB 于H ，依据平行线的性质，可得40D AHE ∠=∠=︒，再根据AED ∠是AEH ∆的外角，即可得到304070AED A AHE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）依据//AB CD ，可得EAF EHC ∠=∠，再根据EHC ∠是DEH ∆的外角，即可得到EHG AED EDG ∠=∠+∠，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI α∠=，则3BAE α∠=，进而得出2EDK α∠=-︒，依据EHC EAF AED EDG ∠=∠=∠+∠，可得32224αα=︒+-︒，求得16EDK ∠=︒，即可得出EKD ∠的度数．【解析】（1）如图，延长DE 交AB 于H ， //AB CD Q ， 40D AHE ∴∠=∠=︒，AED ∠Q 是AEH ∆的外角，304070AED A AHE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：70；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠． 理由：//AB CD Q ， EAF EHC ∴∠=∠， EHC ∠Q 是DEH ∆的外角， EHG AED EDG ∴∠=∠+∠， EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAI BAI ∠∠=Q ，∴设EAI α∠=，则3BAE α∠=，22AED ∠=︒Q ，20I ∠=︒，DKE AKI ∠=∠，又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒Q ，180KAI KIA AKI ∠+∠+∠=︒， 2EDK α∴∠=-︒，DI Q 平分EDC ∠，224CDE EDK α∴∠=∠=-︒， //AB CD Q ，EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，即32224αα=︒+-︒， 解得18α=︒， 16EDK ∴∠=︒，∴在DKE ∆中，1801622142EKD ∠=︒-︒-︒=︒．【考点】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的对角线，90ABC ADC ∠=∠=︒，BCD ∠是锐角．（1）若BD BC =，证明：sin BDBCD AC∠=． （2）若4AB BC ==，6AD CD +=，求BDAC的值． （3）若BD CD =，6AB =，8BC =，求sin BCD ∠的值． （注:本题可根据需要自己画图并解答）【思路】（1）如图1中，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，只要证明BED ABC ∆∆∽，即可解决问题．（2）如图2中，过点B 作BF BD ⊥交DC 的延长线于F ．只要证明DAB CBF ∆≅∆，推出6DF AD CD =+=，求出BD 、AC 即可．（3）当BD CD =时，如图3中，过点B 作//MN DC ，过点C 作CN MN ⊥，垂足为NM 延长BA 交MN 于点N ，则四边形DCNM 是矩形，ABM BCN ∆∆∽，所以68AM MB AB BN CN BC ===，设6AM y =，8BN y =，6BM x =，8CN x =，通过BD DC =，列出方程求出x 、y 的关系，求出AB ，即可解决问题．【解析】（1）如图1中，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，90ABC ADC ∠=∠=︒Q ， 180ADC ABC ∴∠+∠=︒，∴四边形ABCD 四点共圆，BDE ACB ∴∠=∠，EAB BCD ∠=∠， 90BED ABC ∠=∠=︒Q ， BED ABC ∴∆∆∽，∴sin sin BD BEEAB BCD AC AB==∠=∠；（2）如图2中，过点B 作BF BD ⊥交DC 的延长线于F ．90ABC DBF ∠=∠=︒Q ，360BAD BCD ABC ADC ∠+∠+∠+∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒， 180BAD BCD BCF ∴∠=︒-∠=∠， BCF BAD ∠=∠Q ，BC BA =， DAB CBF ∴∆≅∆，BD BF ∴=，AD CF =，90DBF ∠=︒Q ，BDF ∴∆是等腰直角三角形，122BD DF ∴=， 6AD CD +=Q ， 6CF CD DF ∴+==，32BD ∴=，2242AC AB BC =+=，∴323442BD AC ==．（3）当BD CD =时，如图3中，过点B 作//MN DC ，过点C 作CN MN ⊥，垂足为N ，延长DA 交MN 于点M ，则四边形DCNM 是矩形，ABM BCN ∆∆∽，∴68AM BM AB BN NC BC ===， 设6AM y =，8BN y =，6BM x =，8CN x =，在Rt BDM ∆中，2210BD BMDM x =+=， BD DC =Q ，1068x x y ∴=+， 2x y ∴=，在Rt ABM ∆中，22(6)(12)65AB y y y =+=， 2sin sin 5565BM BCD MAB AB y ∴∠=∠===． 【考点】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形，学会利用参数解决问题．4．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ． （1）求证：ABC ADE ∆≅∆； （2）求FAE ∠的度数； （3）求证：2CD BF DE =+．【思路】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABC ADE ∆≅∆的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE ∠的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解析】证明：（1）90BAD CAE ∠=∠=︒Q ， 90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒， BAC DAE ∴∠=∠，在BAC ∆和DAE ∆中， AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAC DAE SAS ∴∆≅∆；（2）90CAE ∠=︒Q ，AC AE =， 45E ∴∠=︒，由（1）知BAC DAE ∆≅∆， 45BCA E ∴∠=∠=︒， AF BC ⊥Q ， 90CFA ∴∠=︒， 45CAF ∴∠=︒，4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）延长BF 到G ，使得FG FB =， AF BG ⊥Q ，90AFG AFB ∴∠=∠=︒，在AFB ∆和AFG ∆中， BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFB AFG SAS ∴∆≅∆， AB AG ∴=，ABF G ∠=∠， BAC DAE ∆≅∆Q ，AB AD ∴=，CBA EDA ∠=∠，CB ED =，AG AD ∴=，ABF CDA ∠=∠， G CDA ∴∠=∠， 45GCA DCA ∠=∠=︒Q ，在CGA ∆和CDA ∆中， GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， CG CD ∴=，22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+Q ， 2CD BF DE ∴=+．【考点】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分ACD∠交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF CE⊥，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG CE⊥，交CD于点G，求DG的长．【思路】（1）求出BC BE=，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出FEB ECD=即可；∆≅∆，根据全等三角形的性质得出BF DE（3）延长GE交AB于F，证GDE FBE∽，得出比例式，代入即可求出答案．∆∆【解析】（1）Q四边形ABCD是正方形，∴∠=∠=︒，ABC ADC90DBC BCA ACD∠=∠=∠=︒，45∠，CEQ平分DCA122.52ACE DCE ACD ∴∠=∠=∠=︒，4522.567.5BCE BCA ACE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， 45DBC ∠=︒Q ，18067.54567.5BEC BCE ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠， 2BE BC ∴==，在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：22(2)(2)2BD =+=， 22DE BD BE ∴=-=-；（2）FE CE ⊥Q ，90CEF ∴∠=︒，9067.522.5FEB CEF CEB DCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠， 45FBE CDE ∠=∠=︒Q ，BE BC CD ==， FEB ECD ∴∆≅∆， 22BF DE ∴==-；（3）延长GE 交AB 于F ，由（2）知：22DE BF == 由（1）知：2BE BC == Q 四边形ABCD 是正方形，//AB DC∴，DGE BFE∴∆∆∽，∴DG DE BF BE=，∴22 222-=-解得：324DG=．【考点】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．6．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的23，求这个多边形的边数；（2）两个多边形边数之比为3:4，内角和之比为2:3，求这两个多边形的边数．【思路】（1）一个多边形的每个外角都等于其内角23，则内角和是外角和的1.5倍，根据多边形的外角和是360︒，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．（2）设多边形的边数为3n，则另一个为4n，分别表示出两个多边形的内角和得到有关n的方程求解即可．【解析】（1）多边形的内角和是：360 1.5540︒⨯=︒．设多边形的边数是n，则(2)180540n-=g，解得：5n=．故这个多边形的边数是5；（2）Q两个多边形的边数之比为3:4，∴设多边形的边数为3n，则另一个为4n，Q内角和度数之比为2:3，(32):(42)2:3n n∴--=，解得：2n=，36n∴=，48n =．故这两个多边形的边数分别为6和8．【考点】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．（2）中正确的设出边数并表示出其内角和是解决本题的关键．7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成△11OA B 第二次将△11OA B 变换成△22OA B ，第三次将△22OA B 变换成△33OA B ，已知(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ．（1）求OAB ∆的面积；（2）写出△44OA B 的各个顶点的坐标；（3）按此图形变化规律，你能写出△n n OA B 的面积与OAB ∆的面积的大小关系吗？ 【思路】（1）根据三角形的面积公式：面积12=⨯底⨯高进行计算即可；（2）对于1A ，2n A A ⋯坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现n A 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3，同理1B ，2B ，n B 也一样找规律．（3）根据三角形的底边后一个是前一个三角形的底边的2倍，先求出△n n OA B 的底边n OB 的长度，高都是3不变，然后利用三角形的面积公式分别计算出两三角形的面积，相除即可得到倍数．【解析】（1）12OAB A S OB y ∆=g12332=⨯⨯=；（2）根据图示知O 的坐标是(0,0)；已知(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，对于1A ，2n A A ⋯坐标找规律比较从而发现n A 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理1B ，2n B B ⋯也一样找规律，规律为n B 的横坐标为12n +，纵坐标为0． 由上规律可知：4A 的坐标是(16,3)，4B 的坐标是(32,0)； 综上所述，(0,0)O ，4(16,3)A ，4(32,0)B ；（3）根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，12n n OB +∴=，11233222n n n OAnBn OAB S S +∆∆=⨯⨯=⨯=即2n OAnBn OAB S S ∆∆=．【考点】本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．8．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ． （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若32FD EF =，求证；A 为EH 的中点． （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径．【思路】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：ODB OBD ACB ∠=∠=∠，则DH OD ⊥，DH 是圆O 的切线；（2）如图2，先证明E B C ∠=∠=∠，得EDC ∆是等腰三角形，证明AEF ODF ∆∆∽，则32FD OD EF AE ==，设3OD x =，2AE x =，可得8EC x =，根据等腰三角形三线合一得：4EH CH x ==，从而得结论；（3）如图2，设O e 的半径为r ，即OD OB r ==，证明DF OD r ==，则1DE DF EF r =+=+，1BD CD DE r ===+，证明BFD EFA ∆∆∽，列比例式为：EF BFFA FD=，则列方程可求出r 的值．【解析】证明：（1）连接OD ，如图1， OB OD =Q ，ODB ∴∆是等腰三角形， OBD ODB ∠=∠①，在ABC ∆中，AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠②，由①②得：ODB OBD ACB ∠=∠=∠， //OD AC ∴， DH AC ⊥Q ， DH OD ∴⊥，DH ∴是圆O 的切线；（2）如图1，在O e 中，E B ∠=∠Q ，∴由（1）可知：E B C ∠=∠=∠，EDC ∴∆是等腰三角形， Q32FD EF =， //AE OD Q ， AEF ODF ∴∆∆∽，∴32FD OD EF AE ==， 设3OD x =，2AE x =， AO BO =Q ，//OD AC ， BD CD ∴=， 26AC OD x ∴==，268EC AE AC x x x ∴=+=+=， ED DC =Q ，DH EC ⊥， 4EH CH x ∴==，422AH EH AE x x x ∴=-=-=，AE AH ∴=， A ∴是EH 的中点；（3）如图1，设O e 的半径为r ，即OD OB r ==，EF EA =Q ， EFA EAF ∴∠=∠，//OD EC Q ， FOD EAF ∴∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， DF OD r ∴==，1DE DF EF r ∴=+=+，1BD CD DE r ∴===+，在O e 中，BDE EAB ∠=∠Q ，BFD EFA EAB BDE ∴∠=∠=∠=∠， BF BD ∴=，BDF ∆是等腰三角形， 1BF BD r ∴==+，22(1)1AF AB BF OB BF r r r ∴=-=-=-+=-，BFD EFA ∠=∠Q ，B E ∠=∠， BFD EFA ∴∆∆∽，∴EF BFFA FD =， ∴111r r r+=-， 解得：115r +=，215r -=（舍)，综上所述，O e 的半径为15+．【考点】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r ，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．9．如图，点O 为Rt ABC ∆斜边AB 上的一点，以OA 为半径的O e 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD ．（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若60BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分的面积（结果保留)π．【思路】（1）由Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，O e 切BC 于D ，易证得//AC OD ，继而证得AD 平分CAB ∠．（2）如图，连接ED ，根据（1）中//AC OD 和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则AEM DMO ∆≅∆，则图中阴影部分的面积=扇形EOD 的面积．【解析】（1）证明：O Q e 切BC 于D ，OD BC ∴⊥，AC BC ⊥Q ，//AC OD ∴，CAD ADO ∴∠=∠，OA OD =Q ，OAD ADO ∴∠=∠，OAD CAD ∴∠=∠，即AD 平分CAB ∠；（2）设EO 与AD 交于点M ，连接ED ．60BAC ∠=︒Q ，OA OE =，AEO ∴∆是等边三角形，AE OA ∴=，60AOE ∠=︒，AE AO OD ∴==，又由（1）知，//AC OD 即//AE OD ，∴四边形AEDO 是菱形，则AEM DMO ∆≅∆，60EOD ∠=︒，AEM DMO S S ∆∆∴=，260223603EOD S S ππ⋅⨯∴===阴影扇形．【考点】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，AH 是圆O 的直径，AE 平分FAH ∠，交O e 于点E ，过点E 的直线FG AF ⊥，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．（1）求证：直线FG 是O e 的切线；（2）若8AD =，5EB =，求O e 的直径．【思路】（1）连接OE ，证明FG 是O e 的切线，只要证明90OEF ∠=︒即可；（2）先求出CE ，利用角平分线得出5EF BE ==，进而求出CF ，即可利用勾股定理求出AB ，最后用勾股定理即可得出结论．【解析】（1）如图1，连接OE ，OA OE=Q，EAO AEO∴∠=∠，AEQ平分FAH∠，EAO FAE∴∠=∠，FAE AEO∴∠=∠，//AF OE∴，180AFE OEF∴∠+∠=︒，AF GF⊥Q，90AFE OEF∴∠=∠=︒，OE GF∴⊥，Q点E在圆上，OE是半径，GF∴是Oe的切线．（2）设AB x=，Q四边形ABCD是矩形，AB CD x∴==，8BC AD==，3CE BC BE∴=-=，AEQ是BAF∠的角平分线，BE AB⊥，EF AF⊥，5EF BE∴==，在Rt CEF∆中，根据勾股定理得，4CF=，4DF CD CF x∴=-=-，在Rt ABE∆和Rt AFE∆中，EF EB AE AE=⎧⎨=⎩，Rt ABE Rt AFE(HL)∴∆≅∆，AF AB x ∴==，在Rt ADF ∆中，22(4)64x x --=，10x ∴=，10AB ∴=，设O e 的半径为r ，10OB r ∴=-，在Rt BOE ∆中，22(10)25r r --=， 254r ∴=， O ∴e 的直径为252． 【考点】本题考查的是切线的判定，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可11．如图，AB 是圆O 的弦，D 为半径OA 的中点，过D 作CD OA ⊥交弦AB 于点E ，交圆O 于点F ，且CE CB =．（1）求证：BC 是O e 的切线；（2）连接AF ，BF ，求ABF ∠的度数；（3）如果3OA =，求AE AB g 的值．【思路】（1）连接OB ．欲证明BC 是切线，只要证明OB BC ⊥即可；（2）连接OF ．只要证明AOF ∆是等边三角形，可得1302ABF AOF ∠=∠=︒； （3）只要证明DAE BAH ∆∆∽，可得AD AE AB AH=，即可推出AE AB AD AH =g g ； 【解析】（1）证明：连接OB ．CD OA ⊥Q ，90ADE ∴∠=︒，90DAE AED ∴∠+∠=︒，OA OB =Q ，A OBA ∴∠=∠，CE CB =Q ，CBE CEB AED ∴∠=∠=∠，90ABO CBE ∴∠+∠=︒，90OBC ∴∠=︒，OB BC ∴⊥．（2）连接OF ．AD OD =Q ，FD OA ⊥，FA FO AO ∴==，AOF ∴∆是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，1302ABF AOF ∴∠=∠=︒．（3）延长AO 交O e 于H ，连接BH ．AH Q 是直径，90ABH ADE ∴∠=∠=︒，DAE HAB ∠=∠Q ，DAE BAH ∴∆∆∽， ∴AD AEAB AH =，3692AE AB AD AH ∴==⨯=g g ． 【考点】本题考查圆综合题、切线的判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．12．如图，以ABC ∆的BC 边上一点O 为圆心，经过A 、C 两点且与BC 边交于点E ，点D为CE 的下半弧的中点，连接AD 交线段EO 于点F ，若AB BF =．（1）求CAD ∠的度数；（2）求证：AB 是O e 的切线；（3）若8CF =，210DF =，求线段AB 的长．【思路】（1）求出¶CD的度数是90︒，根据圆周角定理得出即可； （2）求出1809090OAD BAD ODF OFD ∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，根据切线的判定得出即可；（3）根据勾股定理求出半径，根据切割线定理得出2AB BE BC =⨯，代入即可求出AB ．【解析】（1）CE Q 为O e 直径，D 为¶CE的中点， ∴¶CD的度数是90︒， 190452CAD ∴∠=⨯︒=︒；（2）证明：连接OA ，0OA D =Q ，ODA OAD ∴∠=∠，OD Q 为半径，D 为¶EC 的中点， OD CE ∴⊥，90DOF ∴∠=︒，90ODA OFD ∴∠+∠=︒，BAF AFB ∠=∠Q ，AFB OFD ∠=∠，90OAF BAF ∴∠+∠=︒，即OA AB ⊥，AB ∴是O e 的切线；（3）设OE OC OD R ===，在Rt OFD ∆中，222OF OD DF +=，8CF =Q ，210DF =，222(8)(210)R R ∴-+=，解得：2R =或6，8CF =Q ，2R ∴=舍去，即6OE OD OC ===，12CE =，624EF =-=，BA Q 是O e 的切线，BEC 是O e 的割线，∴由切割线定理得：2AB BE BC =⨯，AB BF =Q ，2(4)(8)AB AB AB ∴=-⨯+，解得：8AB =．【考点】本题考查了垂径定理，切割线定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．13．已知AB 是半圆O 的直径，M ，N 是半圆不与A ，B 重合的两点，且点N 在弧BM 上．（1）如图1，6MA =，8MB =，60NOB ∠=︒，求NB 的长；（2）如图2，过点M 作MC AB ⊥于点C ，点P 是MN 的中点，连接MB 、NA 、PC ，试探究MCP ∠、NAB ∠、MBA ∠之间的数量关系，并证明．【思路】（1）只要证明OBN ∆是等边三角形即可解决问题；（2）结论：90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．方法一：如图2中，画O e ，延长MC交O e 于点Q ，连接NQ ，NB ．关键是证明//CP QN ；方法二：如图21-中，连接MO ，OP ，NO ，BN ．关键是证明MCP NBM ∠=∠；【解析】（1）如图1，AB Q 是半圆O 的直径，90M ∴∠=︒，在Rt AMB ∆中，22AB MA MB =+，10AB ∴=．5OB ∴=，OB ON =Q ，又60NOB ∠=︒Q ，NOB ∴∆是等边三角形，5NB OB ∴==．（2）结论：90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．理由：方法一：如图2中，画O e ，延长MC 交O e 于点Q ，连接NQ ，NB ．MC AB ⊥Q ，又OM OQ =Q ，MC CQ ∴=，即 C 是MQ 的中点，又P Q 是MQ 的中点，CP ∴是MQN ∆的中位线，//CP QN ∴，MCP MQN ∴∠=∠，12MQN MON ∠=∠Q ，12MBN MON ∠=∠，MQN MBN ∴∠=∠，MCP MBN ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ANB ∴∠=︒，∴在ANB ∆中，90NBA NAB ∠+∠=︒，90MBN MBA NAB ∴∠+∠+∠=︒，即90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．方法二：如图21-中，连接MO ，OP ，NO ，BN ．P Q 是MN 中点，又OM ON =Q ，OP MN ∴⊥， 且12MOP MON ∠=∠， MC AB ⊥Q ，90MCO MPO ∴∠=∠=︒，∴设OM 的中点为Q ，则 QM QO QC QP ===，∴点C ，P 在以OM 为直径的圆上， 在该圆中，12MCP MOP MQP ∠=∠=∠， 又12MOP MON ∠=∠Q ， 12MCP MON ∴∠=∠， 在半圆O 中，12NBM MON ∠=∠， MCP NBM ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ANB ∴∠=︒，∴在ANB ∆中，90NBA NAB ∠+∠=︒，90NBM MBA NAB ∴∠+∠+∠=︒，即90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．【考点】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．14．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDA PBD∠=∠．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为Oe的切线，并说明理由；（2）如果60PD=，求PA的长．∠=︒，3BED（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【思路】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得90∠+∠=︒，ADO PDA∠=︒，进而求得90ADB即可得出直线PD为Oe的切线；（2）根据BE是Oe的切线，e的切线，则90∠=︒，再由PD为OEBA∠=︒，即可求得30P得90∠=︒，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；PDO（3）根据题意可证得ADF PDA PBD ABF∠=∠=∠=∠，由AB是圆O的直径，得90∠=︒，ADB 设PBD x∠=∠=︒+︒，2∠=︒，由圆内接四边形的DBF xDAF PAD x∠=︒，则可表示出90性质得出x的值，可得出BDE∆是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【解析】（1）直线PD为Oe的切线证明：如图1，连接OD，ABQ是圆O的直径，90∴∠=︒ADB∴∠+∠=︒，ADO BDO90又DO BO∴∠=∠Q，BDO PBD=∠=∠Q，BDO PDAPDA PBD∴∠=∠⊥∴∠+∠=︒，即PD OD90ADO PDAQ点D在Oe的切线．e上，∴直线PD为O（2）BEQ是Oe的切线，90∴∠=︒EBAP∴∠=︒Q，3060BED∠=︒PD Q 为O e 的切线，90PDO ∴∠=︒在Rt PDO ∆中，30P ∠=︒，3PD ∴tan30OD PD︒=，解得1OD = ∴222PO PD OD =+=211PA PO AO ∴=-=-=（3）（方法一）证明：如图2，依题意得：ADF PDA ∠=∠，PAD DAF ∠=∠PDA PBD ADF ABF ∠=∠∠=∠QADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠AB Q 是圆O 的直径90ADB ∴∠=︒设PBD x ∠=︒，则90DAF PAD x ∠=∠=︒+︒，2DBF x ∠=︒Q 四边形AFBD 内接于O e ，180DAF DBF ∴∠+∠=︒即902180x x ︒++=︒，解得30x =︒30ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠=︒BE Q 、ED 是O e 的切线，DE BE ∴=，90EBA ∠=︒60DBE ∴∠=︒，BDE ∴∆是等边三角形．BD DE BE ∴==又903060260FDB ADB ADF DBF x ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠=︒=︒QBDF ∴∆是等边三角形．BD DF BF ∴==DE BE DF BF ∴===，∴四边形DFBE 为菱形（方法二）证明：如图3，依题意得：ADF PDA ∠=∠，APD AFD ∠=∠，PDA PBD ∠=∠Q ，ADF ABF ∠=∠，PAD DAF ∠=∠，ADF AFD BPD ABF ∴∠=∠=∠=∠AD AF ∴=，//BF PDDF PB BE ∴⊥Q 为切线BE PB ∴⊥//DF BE ∴∴四边形DFBE 为平行四边形PE Q 、BE 为切线BE DE ∴=∴四边形DFBE 为菱形【考点】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．15．如图，AB 是O e 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切O e 于点D ，1CA =，CD 是O e 3 ．（1） 求O e 的半径R ；（2） 如图 1 ，弦//DE CB ，动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中， 图中阴影部分的面积是否发生变化， 若发生变化， 请你说明理由；若不发生变化， 请你求出阴影部分的面积；（3） 如图 2 ，动点M 从A 出发， 在O e 上按逆时针方向向B 运动 ． 连接DM ，过D 作DM 的垂线， 与MB 的延长线交于点N ，当点M 运动到什么位置时，DN 取到最大值？求此时动点M 所经过的弧长 ．【思路】（1） 由题意，CD 是O e 31CA =，在直角CDO ∆中， 根据勾股定理222CD OD CO +=，代入即可求出；（2） 由//DE CB ，可知， 动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中，DEQ∆的面积不变， 则阴影部分的面积不变；当点Q 运动到O 点时， 则60DOE ∠=︒，即可求出阴影部分的面积；（3） 如图， 连接AD 、BD ，当DM 过圆心O 时，DN 取到最大值；易证ADB MDN ∆∆∽，由已知， 可求得，1AD =，3BD =所以，3DN DM =，此时，120AOM ∠=︒，即可求得·AM 的长 ． 【解析】 （1）CD Q 切O e 于点D ，∴三角形CDO 是直角三角形，1CA =Q ，CD 是O e 3∴在直角CDO ∆中，222CD OD CO +=， 则，2223)(1)R R R +=+，1R ∴=；（2）//DE CB Q ，∴动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中，DEQ ∆的底DE 不变， 底DE上的高不变，DEQ ∴∆的面积不变， 则阴影部分的面积不变；由1OD =，2CO =，30C ∴∠=︒，则60COD ∠=︒，60ODE ∴∠=︒，ODE OED ∠=∠Q ，60OED ∴∠=︒60DOE ∴∠=︒，26013606S R ππ︒∴=⨯=︒阴影； （3） 如图， 连接AD 、BD ，DAB DMN ∴∠=∠，又90ADB MDN ∠=∠=︒，ADB MDN ∴∆∆∽，又1AD =，2AB =，3BD ∴=，∴3DN BD DM AD==， 3DN DM ∴=，∴当DM 为最大值， 即DM 过圆心O 时，DN 取到最大值；60AOD ∠=︒Q ，120AOM ∴∠=︒，∴·120223603AM R ππ︒=⨯=︒．【考点】本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、弧长的计算及直角三角形的知识，作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决是解答本题的关键．。
初中数学一元一次方程精选试题(含答案和解析)
初中数学一元一次方程精选试题（含答案和解析）一.选择题1.（2018·湖北省恩施·3分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服.其中一件盈利20%.另一件亏损20%.在这次买卖中.这家商店（）A．不盈不亏 B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元【分析】设两件衣服的进价分别为x、y元.根据利润=销售收入﹣进价.即可分别得出关于x、y的一元一次方程.解之即可得出x、y的值.再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论．【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元.根据题意得：120﹣x=20%x.y﹣120=20%y.解得：x=100.y=150.∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用.找准等量关系.正确列出一元一次方程是解题的关键．2.(2018湖南省邵阳市)（3分）程大位是我国明朝商人.珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则.确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧.大僧三个更无争.小僧三人分一个.大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个.小和尚3人分1个.正好分完.大、小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是（）A．大和尚25人.小和尚75人 B．大和尚75人.小和尚25人C．大和尚50人.小和尚50人 D．大、小和尚各100人【分析】根据100个和尚分100个馒头.正好分完．大和尚一人分3个.小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100.大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100.依此列出方程即可．【解答】解：设大和尚有x人.则小和尚有（100﹣x）人.根据题意得：3x+=100.解得x=25则100﹣x=100﹣25=75（人）所以.大和尚25人.小和尚75人．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用.关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．二.填空题1.（2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动.现准备将6000件生活物资发往A.B两个贫困地区.其中发往A区的物资比B区的物资的1.5倍少1000件.则发往A区的生活物资为3200 件．【分析】设发往B区的生活物资为x件.则发往A区的生活物资为（1.5x﹣1000）件.根据发往A.B两区的物资共6000件.即可得出关于x的一元一次方程.解之即可得出结论．【解答】解：设发往B区的生活物资为x件.则发往A区的生活物资为（1.5x﹣1000）件.根据题意得：x+1.5x﹣1000=6000.解得：x=2800.∴1.5x﹣1000=3200．答：发往A区的生活物资为3200件．故答案为：3200．【点评】本题考查了一元一次方程的应用.找准等量关系.正确列出一元一次方程是解题的关键．3.（2018•上海•4分）方程组的解是.．【分析】方程组中的两个方程相加.即可得出一个一元二次方程.求出方程的解.再代入求出y即可．【解答】解：②+①得：x2+x=2.解得：x=﹣2或1.把x=﹣2代入①得：y=﹣2.把x=1代入①得：y=1.所以原方程组的解为..故答案为：.．【点评】本题考查了解高次方程组.能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．三.解答题1.（2018•广东•7分）某公司购买了一批A.B型芯片.其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元.已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A.B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条.且购买的总费用为6280元.求购买了多少条A型芯片？【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条.则A型芯片的单价为（x ﹣9）元/条.根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等.即可得出关于x的分式方程.解之经检验后即可得出结论；（2）设购买a条A型芯片.则购买（200﹣a）条B型芯片.根据总价=单价×数量.即可得出关于a的一元一次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）设B型芯片的单价为x元/条.则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条.根据题意得：=.解得：x=35.经检验.x=35是原方程的解.∴x﹣9=26．答：A型芯片的单价为26元/条.B型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a条A型芯片.则购买（200﹣a）条B型芯片.根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280.解得：a=80．答：购买了80条A型芯片．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用.解题的关键是：（1）找准等量关系.正确列出分式方程；（2）找准等量关系.正确列出一元一次方程．2.（2018•海南•8分）“绿水青山就是金山银山”.海南省委省政府高度重视环境生态保护.截至2017年底.全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个.其中国家级10个.省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多少个？【分析】设市县级自然保护区有x个.则省级自然保护区有（x+5）个.根据国家级、省级和市县级自然保护区共49个.即可得出关于x的一元一次方程.解之即可得出结论．【解答】解：设市县级自然保护区有x个.则省级自然保护区有（x+5）个.根据题意得：10+x+5+x=49.解得：x=17.∴x+5=22．答：省级自然保护区有22个.市县级自然保护区有17个．【点评】本题考查了一元一次方程的应用.找准等量关系.正确列出一元一次方程是解题的关键．3.（2018湖南张家界5.00分）列方程解应用题《九章算术》中有“盈不足术”的问题.原文如下：“今有共買羊.人出五.不足四十五；人出七.不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊.每人出5元.则差45元；每人出7元.则差3元．求人数和羊价各是多少？【分析】可设买羊人数为未知数.等量关系为：5×买羊人数+45=7×买羊人数+3.把相关数值代入可求得买羊人数.代入方程的等号左边可得羊价．【解答】解：设买羊为x人.则羊价为（5x+45）元钱.5x+45=7x+3.x=21（人）.5×21+45=150（员）.答：买羊人数为21人.羊价为150元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用.找准等量关系.正确列出一元一次方程是解题的关键．。
(专题精选)初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析
（专题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析一、选择题1．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-C ．4241x x x +-=-D ．221x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，去括号得：4x+2x-4=x-1，故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．2．解分式方程11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"B ．x="3"C ．x="4"D ．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D ．考点：解分式方程．3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．【详解】解：设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意得：30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．4．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，由题意得：，故选B.【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．5．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x个零件，根据题意可列方程为（）A ．60045025x x=- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴60045025x x=+， 故选：C.【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.6．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2B ．2或4C ．4D ．无解 【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0，解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，故选C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >-D ．2k <且1k ≠ 【答案】B【解析】【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.【详解】 解：211x k x x-=--Q ， 21x k x +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠，1k ∴≠-，0x Q >，20k ∴+>，2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-，故选：B ．【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.8．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）A ．1101002x x=+ B ．1101002x x =+ C ．1101002x x =- D ．1101002x x =- 【答案】A【解析】 设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：1102x +=100x， 故选A ．9．方程10020x +＝6020x-的解为（ ） A ．x ＝10B ．x ＝﹣10C ．x ＝5D ．x ＝﹣5 【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根，∴原方程的根是x＝5；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．10．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20 B．102x-10x=20 C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，10 x -102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=2【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．方程31144xx x--=--的解是（）A．－3 B．3 C．4 D．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C.14．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3B．CD．【答案】D【解析】 解关于x 的方程2233x m x x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m =故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.15．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】 解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -， 因为分式方程的解为正数， 所以43a -＞0且43a-≠4， 解得：a ＜3且a≠2， 解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7， ∵不等式组有解，∴a+7＞1，解得：a ＞-6，综上，-6＜a ＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为：|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．16．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．17．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】 分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．18．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）A ．300300201.2x x -= B ．300300201.260x x =- C ．300300201.260x x x -=+ D ．3002030060 1.2x x -= 【答案】D【解析】【分析】原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，原计划植300棵树可用时300x 小时，实际用了3001.2x 小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．【详解】设原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，由题意得：3002030060 1.2x x-=， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．19．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解．故选B ．【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．已知关于x 的分式方程13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.【详解】 13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2， ∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠故选：A.【点睛】 此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。
中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)
解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.一．真题链接1。
（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2。
（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是（ ）A. (—2，3） B 。
（2，—3） C 。
（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3） 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm ．4。
(2012•潍坊）如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． (1）求证：△ABD ∽△ACE ；(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ，CD=21，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。
71 B 。
61 C 。
51 D 。
41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。
面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
(专题精选)初中数学三角形难题汇编及答案解析
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB= BC，
∴AE=BE= BC，
∴AE=CE，故①正确；
∴∠EAC=∠ACE=30°
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= AB•AC，故②错误；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，
（专题精选）初中数学三角形难题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，已知 ，若 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 与 互补；⑤ ，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴EO= EC，
∵EC= AB，
∴OE= BC，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
15．如图，四边形 和 都是正方形，点 在 边上，点 在对角线 上，若 ，则 的面积是()
A．6B．8C．9D．12【答Βιβλιοθήκη 】B【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝ EH＝ EF，EF＝ AE，即可得到结论．
人教数学八年级下册中考试题汇编含精讲解析18.1平行四边形3
初中数学试卷灿若寒星整理制作18.1 平行四边形3一．解答题（共20小题）1．（2015•扬州）如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l 交CD边于点E，连接BE．（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．2．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．3．（2015•乌鲁木齐）如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．4．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．5．（2015•遂宁）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．6．（2015•毕节市）如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．7．（2015•柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s 的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？8．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．9．（2014•白银）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC 所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）10．（2014•宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．11．（2014•佛山）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？12．（2014•宁夏）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，A B′和CD相交于点O．求证：OA=OC．13．（2014•西宁）如图，已知▱ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）将▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上？并说明理由．14．（2014•桂林）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD、BC 于点E、F．（1）根据题意，画出图形，并标上正确的字母；（2）求证：DE=BF．15．（2014•汕尾）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．（1）证明：FD=AB；（2）当▱ABCD的面积为8时，求△FED的面积．16．（2014•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE于G点，交DF于F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．17．（2014•西藏）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．18．（2014•鄂尔多斯）如图1，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC=2∠ABE．连接BF、AC．（1）求证：四边形ABFC的是矩形；（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB=13，AC=12，求MF的长．19．（2014•广州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．20．（2014•青岛）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．18.1 平行四边形3参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．（2015•扬州）如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l 交CD边于点E，连接BE．（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．解答：证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB DC，∴CE D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．2．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形；（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，，∴△ABN≌△CDM （ASA）．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．3．（2015•乌鲁木齐）如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：（1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论；（2）根据矩形的性质计算即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA．在△BEC与△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE=DF．又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：∵AB⊥AC，AB=4，BC=2，∴AC=6，∴AO=3，∴Rt△BAO中，BO=5，∵四边形BEDF是矩形，∴OE=OB=5，∴点E在OA的延长线上，且AE=2．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．4．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成了；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．5．（2015•遂宁）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE=CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．（2015•毕节市）如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．考点：平行四边形的判定与性质．分析：（1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE=FC，DE∥FC，进而得出答案；（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=AD，F是BC边的中点，∴DE=FC，DE∥FC，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，∴∠BCD=∠A=60°，∵AB=3，AD=4，∴FC=2，NC=DC=，DN=，∴FN=，则DF=EC==．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．7．（2015•柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s 的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理的逆定理；直角梯形．专题：动点型．分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．解答：解：（1）当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，此时PD=QC，∴12﹣2t=t，∴t=4．∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．（2）过P点，作PE⊥BC于E，DF⊥BC，∴DF=AB=8．FC=BC﹣AD=18﹣12=6．①当PQ⊥BC，则BE+CE=18．即：2t+t=18，∴t=6；②当QP⊥PC，∴PE=4，CE=3+t，QE=12﹣2t﹣（3+t）=9﹣3t，∴16=（3+t）（9﹣3t），解得：t=，③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．∴当t=3或时，△PQC是直角三角形．点评：此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．8．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：证明题．分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．解答：证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD=EB，∴DA=DF．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9．（2014•白银）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC 所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：几何图形问题．分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．10．（2014•宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．解答：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．11．（2014•佛山）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？考点：三角形中位线定理；规律型：图形的变化类；平行四边形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：（1）作出图形，延长DE至F，使EF=DE，然后根据“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CF，然后证明四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得DF∥BC且DF=BC，然后整理即可得证；（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形A1B1C1D1的周长等于▱ABCD周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解；（3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可．解答：解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC，证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，∵E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF（全等三角形对应边相等），∠A=∠ECF（全等三角形对应角相等），∴AD∥CF，∵点D是AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF且BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等），∵DE=EF=DF，∴DE∥BC且DE=BC；（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD，∴四边形A1B1C1D1的周长=×1=，同理可得，四边形A2B2C2D2的周长=×=，四边形A3B3C3D3的周长=×=，…，∴四边形的周长之和l=1++++…；（3）由图可知，+++…=1（无限接近于1），所以l=1++++…=2（无限接近于2）．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键．12．（2014•宁夏）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，A B′和CD相交于点O．求证：OA=OC．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：由在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，即可求得∠DCA=∠B′AC，则可证得OA=OC．解答：证明：∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC=∠B′AC，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠DCA=∠B′AC，∴OA=OC．点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．13．（2014•西宁）如图，已知▱ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）将▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上？并说明理由．考点：平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．专题：数形结合．分析：（1）利用待定系数法把B（3，5）代入反比例函数解析式可得k的值，进而得到函数解析式；（2）根据A、D、B三点坐标可得AB=5，AB∥x轴，根据平行四边形的性质可得AB∥CD∥x轴，再由C点坐标可得▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为（15，1），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得点C落在反比例函数y=的图象上．解答：解：（1）∵点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上，∴k=15，∴反比例函数的解析式为y=；（2）平移后的点C能落在y=的图象上；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5），∴AB=5，AB∥x轴，∴DC∥x轴，∴点C的坐标为（5，1），∴▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为（15，1），∴平移后的点C能落在y=的图象上．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及待定系数法求反比例函数和反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意得到AB=5，AB∥x轴是解决问题的关键．14．（2014•桂林）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD、BC 于点E、F．（1）根据题意，画出图形，并标上正确的字母；（2）求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．专题：作图题；证明题．分析：（1）根据题意直接画图即可；（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OB=OD，继而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，继而证得DE=BF．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠OBF，在△DOE和△BOF中，，∴DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．（2014•汕尾）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．（1）证明：FD=AB；（2）当▱ABCD的面积为8时，求△FED的面积．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）利用已知得出△ABE≌△DFE（AAS），进而求出即可；（2）首先得出△FED∽△FBC，进而得出=，进而求出即可．解答：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，∴AE=ED，∠ABE=∠F，在△ABE和△DFE中，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB；（2）解：∵DE∥BC，∴△FED∽△FBC，∵△ABE≌△DFE，∴BE=EF，S△FBC=S▱ABCD，∴=，∴=，∴=，∴△FED的面积为：2．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出S△FBC=S平行四边形ABCD是解题关键．16．（2014•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE于G点，交DF于F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行三边的性质可知：AD=BC，由平行四边形的判定方法易证四边形BMDK和四边形AJCN是平行四边形，所以得∠FAD=∠ECB，∠ADF=∠EBC，进而证明：△EBC≌△FDA．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BMDK和四边形AJCN是平行四边形，∴∠FAD=∠ECB，∠ADF=∠EBC，在△EBC和△FDA中，∴△EBC≌△FDA（ASA）．点评：本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，在全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．17．（2014•西藏）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．点评：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABE≌△CDF，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中．18．（2014•鄂尔多斯）如图1，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC=2∠ABE．连接BF、AC．（1）求证：四边形ABFC的是矩形；（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB=13，AC=12，求MF的长．考点：平行四边形的性质；勾股定理；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形；（2）由四边形ABFC是矩形，AB=13，AC=12，得到CF=AB=13，BF=AC=12，∠ACF=∠MFB′=90°，根据折叠的性质得到ABAB=13，B′M=BM，解直角三角形得到结果．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABE=∠ECF，又∵E为BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA）；∴AB=CF，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形，∴BE=EC，AE=EF，又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE=BE，∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，则四边形ABFC为矩形；（2）∵四边形ABFC是矩形，AB=13，AC=12，∴CF=AB=13，BF=AC=12，∠ACF=∠MFB′=90°，∵△AB′M是由△ABM折叠得到的，∴ABAB=13，B′M=BM，∴B′C===5，∴B′F=CF=B′C=13﹣5=8，设MF=x，则B′B=BM=12﹣x，∴B′F2+MF2=B′M2，即：82+x2=（12﹣x）2，解得：x=，∴MF=．点评：此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．19．（2014•广州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质得出OA=OC，AB∥CD，推出∠EAO=∠FCO，证出△AOE≌△COF 即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．点评：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是根据平行四边形的性质得出AO=CO．20．（2014•青岛）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．∵O是CD的中点，∴OC=OD，在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；。
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F
二、以线段的表达式为媒介
例3、如图3，过圆外一点P，作圆的两条切 线PA、PB，A，B为切点，再过点P作图的一 条割线分别交圆于C、D两点，过切点B作PA 的平行线分别交直线AC、AD于E、F. 求证：BE＝BF。
三、以等积为媒介
例4、如图4，△ABC是锐角三角形，以BC 为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上 一点E作AB的垂线交AC的延长线于点F， 若 AB AE
圆中线段相等的几种策略。
一、以等比为媒介
例1、如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， BC＝AB，OC交于⊙O于点F，直线AF交BC于E.
求证：BE＝CF。（2005年全国初中数学竞赛四川赛 区初赛）
例2、如图2，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O 的切线，OC平行于弦AD。过点D作DE⊥AB于 点E，连结AC与DE交于点P. 问EP与PD是否相 等？证明你的结论.
过B、F、P三点的圆的切线，G为切点。
求证：EG=DE。
D
CG
E
F
A
P B
图11
平面几何复习课的选题
新课程下的平面几何复习课，要充分体现 新课程的基本理念，把握新中考对平面几何试 题的变化和考试要求，关注平面几何教学的本 质，结合学生的实际和复习课的特点。在了解 学生、钻研教材、研究中考的基础上，重点抓 好复习课的选题。选择精彩的例题，并辅之以 科学的教学方法，往往是提高平面几何复习课 有效性的关键。针对上述情况，在复习过程中 我从以下六名定理为媒介
例6、如图6，在 △ABC中，AB＞AC它的内切
圆切边BC于点E，联结AE交内切圆于点D（不
同于点E）。在线段AE 上取不同于点E的一点F，
A
使得CE=CF，联结CF并延 M D N
长交BD于点G。
GF
求证：CF=FG。 B
EC
K
图7
七、练习题
1、若⊙O内切于△ABC之BC、CA、AB于D、E、F， 过E作BC的平行线分别交AD于G，交DF于H，求 证：EG=GH。
（1）当点P在弧AB上运动时，线段
GO、GP、GH中，有无长度保持不变
的线段？如果有，请指出这样的线
C
段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x,GP=y,求y关于x的函数 解析式，并写出函数的定义域；
D
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。
典例
例2、（2008年广州市中考试题）如图2，扇形OAB的 半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、 B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连 结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
一、选题要面向全体学生，根据学生的 不同需求，体现层次性原则。
复习课要面对每一个有差异的个体，适 应每一个学生的不同发展的基础，要为每 一个学生提供不同的发展的机会和可能， 使不同的人在数学上得到不同的发展。
1.1 （2008福建福州）如图，AB是⊙O的弦，
OC AB 于点C ，若 AB 8cm，
如图10，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上
一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD，垂足
为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P。
求证：PE=PC。
D
C
P
E A
F
O
B
图10
5、（2003年四川省初中数学竞赛）
如图11，P是平行四边ABCD的边AB的延长
线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、F，EG是
K L
2、（1999年黄冈市初中数学竞赛）
如图8，已知⊙O是△ABC的外接圆，D为劣弧BC
的中点，E为劣弧AB的中点。连接AD，交CE于点G，
延长CE到点M，使ME=EG，延长DA到K，使AK=AG，
CA的延长线交MK于点F。 求证：（1）∠MGK=∠MKG；
（2）ME=MF。
D
C
B
OG
A E
M
K
OC 3cm ，则⊙O的半径为 cm．
A C
O
B
1.2 如图（2），己知⊙O的半径为5，
弦AB=8，P是弦AB上的任意一点，则OP的取
图8 F
3、2002年我爱数学初中生夏令营数学竞赛
如图9，设AB、CD为⊙O的两直径。过B
作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，
过P作直线PE与⊙O分别交于E、F两点，连
结AE、AF分别与CD交于G、H两点。 P 求证：OG=OH。
D
HF
A
OB
G
C
E
图9
4、（2002年太原市初中数学竞赛）
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形 （2）当点C在弧AB上运动时， 在CD、CG、DG中，是否存在 长度不变的线段？若存在， 请求出该线段的长度
（3）求证：CD2 3CH 2 是定值
方法一
利用三角形的中位线与勾股定理
N
方法二
利用相似三角形与勾股定理 M
方法三
利用三角形面积与勾股定理
K
方法四
AF AC
求证：AD AE （2005年 全国初中数学竞赛）
四、以比例式为媒介
例5、如图5，AB为⊙O的直径，非直径的弦 CD⊥AB，E是OC的中点，联结AE并延长交⊙O 于点P，联结DP交BC于点F。求证：BF=CF。 （2007年四川省初中数学竞赛题）
五、以四点共圆为媒介
例6、过⊙O外一点A引圆的割线ABC，交⊙O 于B、C；过B、C分别引圆的切线BD、CE； 过A作直线XY⊥OA，交BD，CE于D，E，求证： BD=CE。
利用三角函数与勾股定理
证明圆中线段相等的几种策略
在学习了圆的知识后，在证明线段相等的 方法上，增添很多新的思路和策略，如运用同圆 （等圆）的圆心角相等、圆周角相等的方法来解 决，也可以运用垂径定理来证明。除此之外我们 对一些比较复杂的圆中线段相等的证明题，还需 要运用中间媒介过渡才能达到目的。本文以近年 来的竞赛题为例，浅析如何运用中间媒介来证明
浅谈
• 初中数学解题与析题
嵊州市教研室 蔡建锋 c66jf@ 13616855866
分析解题思路，总结解题方法
• 通过典例题,落实基础知识,揭示 解题方法、技巧，归纳总结解题规 律，提出注意问题，提高分析水平， 扩展解题思路，培养解题的灵活性 和思维的发散性。
典例
例1、（2000年上海市中考试题）如图，在半径为 6，圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P， PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G。