17.2一元二次方程的解法(第1课时)
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要 和重要性。
4.什么叫平方根？怎样表示一个数的平方根？
若x2=a,则x叫a的平方根，记作 x a （ a 0) 2.根据平方根的概念解方程 ① x2－4 = 0
引入新课：根据平方根的概念解方程
x பைடு நூலகம்－ 4 = 0
例1、解方程
x 4 0
2
解：
x 4
2
x 4
x 2 x1 2, x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫做 直接开平方法.
例2、 解方程 x 3 2 0
2
解： 移项，得
x 3 2 x3 2
2
即：x 3
2 , 或x 3 2 ;
x1 3 2 , x2 3 2 ;
练习：1、判断下列一元二次方程能否用直接开
平方法求解并 说明理由. 1） x2=2 ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( ×) ( √ )
2） p2 - 49=0
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
2、用直接开平方法解下列方程：
（1） y 121 0 ; y 11
2
（2） x 2 0
x 2
5 x 4 1 2 ( 4) 2 x 0 2
2
将方程化成
(3) 16x 25 0
2
x p
2
(p≥0）的形 式,再求解
1 x 2
明察秋毫。
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的 具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出 具体位置并帮他改正。
今 ， 八 五 有 我 而 荣 耀
明 ， 社 会 因 你 而 精 彩
§17.2一元二次方程 的解法
（第1课时）
霍邱县乌龙镇中心学校龚家林
巩固复习
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为 ax2 bx c 0 （ａ≠0）， 一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与 多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
1
（ 解： （
3 y+1） 1
2-5=0
3
y+1）2=5 （×）
1 3 1 3
y+1= 5 y= 5 -1 y= 3
5
-1
（×）
.
1x
解下列方程：
2
9 0;
2
2t
2
45 0
2
316x
49 0;
2
42x 3 5;
x p p 0; 或
注意：解方程时， 应先把方程变形 为：
m x n
2
p p 0。
课堂小结
1．直接开平方法的依据是什么？ （平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元 二次方程： 2
x p p 0 或
2
mx n
p p 0 ;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于 负数没有平方根，所以，当p<0时，原方 程无解.
作业设置：
1、巩固复习：课本P23 2、预习新课：课本P23－－P25 3、当堂练习：课本P23练习 4、课堂作业：课本P30习题17.2 第1题 5、课下作业：基础训练等同步到 17.2（直接开平方法）
17.2一元二次方程的解法---公式法
这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2
b a
x
b 2a
2
c a
沪科版八年级数学下册课件17.2 一元二次方程的解法(1)-配方法
（A）1
（B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
5.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是
一个（ B ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
课堂小结
体现了从特殊到一般的数学思想方法
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程 (1)x2-4x-1=0； (2)2x2-3x-1＝0
解:(1)移项，得：x2-4x=1 配方，得：x2-4x+_2_2_=1+_4___, 即(x-_2__)2=___5___.
开平方得:__x___2______5__. ∴x1＝_2____5__，x2＝_2____5_.
+
1 36
即：(y- 1 )2= 25
6
36
开方，得：y- 1 =± 51，y2=-
2 3
总结：用配方法解一元二次方程的步骤:
（1）二次项系数化为1： 方程两边同时除以二次项系数a
（2）移项:把常数项移到方程的右边
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 （等式的性质）
x+
1 4
2
=
1 4
+
1 16
即：(x- 1 )2= 9
4 16
开方，得：x- 1 =± 3
24
∴原方程的解为：x1=1，x2=-
1 2
(4) 3y2-y-2=0
解：移项，得： 3y2-y=2
把二次项系数化为1，得：y2- 1 y= 2
33
配方，得： y2-
1 3
y+ = 1 2 6
2 3
（4）开方:根据平方根意义，方程两边开平方 （5）求解:解一元一次方程 （6）定解:写出原方程的解
配方法(1)教案
17.2一元二次方程的解法——配方法（1）一、教学目标：.知识与技能1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠０，b≠０，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”过程与方法过程与方法：通过观察、探究、发现和归纳总结配方法一般步骤。
情感、态度与价值观：通过配方法的学习，培养学生的细心和耐心，从而养成良好的数学学习习惯。
二、教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
教学难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
三、教学过程：（一）课前探究1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
练习：解方程：(x-3)2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。
所以x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。
(把这个展开过程写在黑板上)(x-3)2=4,①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0.③（二）合作交流探究新知1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。
这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。
2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。
(添一项+1)即(x2+2x+1)=(x+1)2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ )2; y2+6y+( )=(y+ )2.3：总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。
沪科版八下数学17.2一元二次方程的解法课件
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法 ：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2： 用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2， ： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结 论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方
17.直接开平方法课件沪科版八年级数学下册
2
这种情势；
第二步 开平方；
第三步 解一元一次方程，求出方程的根.
随堂练习
用直接开平方法解下列方程.
(1) (4x- 5 ）(4x+ 5 )=3
2-( 5)2=3
(4x)
解：
16x2-5=3
16x2=8
1
2
x= ,
2
x=±
∴ x1=
2
2
2
2
, x2= −
2
2
(2) (2x-1)2=(3+x)2
解：2x-1=±(3+x)
开平方，得 x-1=±2
即 x-1=2 或 x-1=-2
∴ 原方程的根是
x2=-1
x1=3，
(2) 3(3-2x)2-12 = 0
解： 3(3-2x)2=12
(3-2x)2=4
3-2x=±2
即 3-2x=2 或 3-2x=-2
∴原方程的根是
1
5
x1= ，x2=
2
2
小结
1、用直接开平方法可解哪些类型的一元二次方程
(3)当p<0 时,方程无实数根.
例1 用直接开平方法解下列方程.
(1) 16x2 -25=0
2=25
16x
解： 移项，得
25
2
x=
两边都除以16，得
开平方，得
∴ 原方程的根是
16
5
x=±455源自x1= ，x2=44
将方程化成 x2=p
的情势，再求解
(2) 2x 1 0
2
解：
(3) 2 x 7 -1
(1) x2=9
解:x1=3, x2=-3.
(2) x2=25 解:x1=5, x2=-5.
17.2一元二次方程的解法(第1课时)教案
17.2 一元二次方程的解法(第1课时)教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： 1. 掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式； 2. 理解一元二次方程的解的概念，并能够根据一元二次方程求解解的方法； 3. 能够运用一元二次方程的解的概念解决实际问题。
二、教学重点1.一元二次方程的定义和一般形式；2.一元二次方程的解的概念和解的求解方法。
三、教学内容1. 一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的二次方程，其中a、b和c是已知常数，且a eq0。
2. 一元二次方程的解的概念解是使方程等式成立的数值，对于一元二次方程，解即为能够使方程ax2+ bx+c=0成立的x的值。
3. 一元二次方程的解的求解方法3.1 用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0的解可以通过以下公式求解：$$ x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$其中，$\\pm$ 表示两个解，b2−4ac称为判别式。
3.2 用因式分解法求解对于一元二次方程ax2+bx+c=0，如果可以将其因式分解为(px+q)(rx+ s)=0的形式，则可以通过分别令因式(px+q)和(rx+s)等于零来求得方程的解。
4. 运用一元二次方程解决实际问题通过将实际问题抽象为一元二次方程，运用一元二次方程的解的概念和求解方法来解决实际问题。
四、教学过程本课程通过展示一系列与实际生活相关的问题，并引导学生从问题中抽象出一元二次方程，进而通过公式法和因式分解法来求解一元二次方程，以提高学生对一元二次方程解决实际问题的能力。
教学过程具体包括以下几个步骤： 1. 导入：通过提出一个生活场景，引发学生对于一元二次方程解决实际问题的兴趣。
2. 概念讲解：讲解一元二次方程的定义、一般形式以及解的概念。
3. 解的求解方法讲解： a. 公式法求解：讲解公式法求解一元二次方程的步骤和注意事项，并通过示例演示该方法的应用。
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第1课时)优课件
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或 （x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的 意义求解
例1 解下列方程 （1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
1开平方法解一元二次方程(第1课时)课件
即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得：mx n p
2.若两边都是完全平方式，
即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 ax b (cx d )
练一练
1.（3x -2）²-49=0
2.（3x -4）²=（4x -3）²
沪教版八年级上册
第 17 章一元二次方程
17.2开平方法解一元二次方程 （第1课时）
目录
1 学习目标 3 课本例题 5 题型讲授 7 课堂小结
2 新课讲授 4 课本练习 6 随堂检测
学习目标
1．理解解一元二次方程降次的转化思想； 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0) 的一元二次方程； 3.体会类比的思想；
1.用直接开平方法解方程 x2－81＝0.
解： 移项得x2＝81.
移项，要变号
根据平方的意义，得x＝±9， 即x1＝9，x2＝－9.
开平方降次
2.利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=25， 直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
x1=3, x2=－1
4.解下列方程： （1）(x＋1)2= 2 ；
解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解. 解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1= 2. 即x1=−1+ 2 ，x2=−1− 2.
（2）(x−1)2−4 = 0；
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第 1小题一样地解.
像这样解一元二次方程的方法叫做开平方法。
17.2_一元二次方程的解法(直接开平方法)
c 1当 a 0时，方程的根是x
2当
c a
0时，原方程无实数根。
2 2
提问：下列方程有解吗？
(1) x 4 3; (2) 3x 1 3;
归纳 小结
1．直接开平方法的依据是什么？ （平方根的定义）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次 方程： x 2 p p 0 或
2
12(2 x) 9 0
1、用直接开方法解方程：
2 2
你会变 吗？
32 x 5 12 22 x 5 4
2、用直接开方法解方程：
93m 5 3 0
2
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
2 c a
a0 x
;
c a ;
5 7 ∴x1= ， x = 2 4 4
利用平方根的定义直接开 平方求一元二次方程的解的 方法叫做直接开平方法。简 称开平方法。
初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
(1) y2-16=0
将方程化成
(2)
2 X -6=0
x b
2
(b≥0）的形 式,再求解
（3）x2=a(a≧0)
2 116 x 49
1 4
随堂检测：
2 （1）2x -8=0
(2)
2 9x -5=3
(3) (x+6)2-9=0
(4) (5)
2 3(x-1) -6=0 2 x +2x+1=4
基本要求：让每个学生都掌握形如x2=a(a≧0) 和（x+m）2=n(n≧0)用直接开平方法解一元 二次方程，为配方法作准备。
较高要求：理解用直接开平方法解一元 二次方程的依据，初步理解降次的思想。
《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够：1. 熟练掌握一元二次方程的标准形式；2. 理解一元二次方程的解法原理；3. 学会使用开平方法解一元二次方程；4. 培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
二、作业内容本节作业内容主要围绕一元二次方程的解法展开，具体包括以下方面：1. 练习题。
选取具有代表性的练习题，让学生在解题过程中熟悉一元二次方程的解法步骤和解题思路。
题目应涵盖不同类型的一元二次方程，如标准形式和非标准形式的方程，使学生能够全面掌握。
2. 开平方法讲解。
详细介绍开平方法的基本原理和操作步骤，使学生明白开平方法在解一元二次方程中的应用。
可以结合实例进行讲解，使学生更容易理解和掌握。
3. 开放性问题探讨。
设置一些与一元二次方程相关的开放性问题，引导学生进行思考和探讨。
例如，可以让学生探讨不同解法之间的优劣，或让学生自行设计一道一元二次方程的解题题目并解答。
这样不仅可以培养学生的创新思维，还可以加深学生对一元二次方程的理解。
4. 注意事项。
提醒学生在解题过程中注意的问题，如保证方程的标准形式、开平方的准确性等。
同时，还要注意培养学生的良好学习习惯，如独立完成作业、及时检查答案等。
三、作业要求本节作业要求学生：1. 独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 按照作业步骤和要求进行答题；3. 注重解题思路的梳理和总结；4. 及时检查答案并改正错误；5. 如有疑问或困难，可向老师或同学请教。
四、作业评价本节作业的评价标准包括：1. 正确性：答案是否正确，是否符合题目要求；2. 完整性：解题步骤是否完整，是否详细；3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，是否有条理；4. 创新性：在解题过程中是否有新的想法或方法；5. 态度：是否独立完成作业，是否有良好的学习习惯。
五、作业反馈本节作业完成后，老师将对学生的作业进行批改和评价，并给予针对性的反馈和建议。
对于出现的问题和错误，老师将进行详细的讲解和指导，帮助学生改正错误并加深对一元二次方程的理解。