线段长短比较习题及详解
专题3 线段的长短比较-重难点题型
专题6.3 线段的长短比较-重难点题型【浙教版】【例1】（2021•鼓楼区校级模拟）如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD=12BC C．CD=12AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC【解题思路】根据CD＝BC﹣BD和CD＝AD﹣AC两种情况和AC＝BC对各选项分析后即不难选出答案．【解答过程】解：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC=12AB，A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，故本选项正确；B、D不一定是BC的中点，故CD=12BC不一定成立；C、CD＝BC﹣BD=12AB﹣BD，故本选项正确．D、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故本选项正确；故选：B．【变式1-1】（2021秋•荔湾区期末）延长线段AB到C，使BC=12AB，反向延长AC到D，使AD=12AC，若AB＝8cm，则CD＝18cm．【解题思路】根据题中线段的长度关系，即能求出CD的长度．【解答过程】解：如图，BC=12AB=4，AC＝AB+BC＝8+4＝12cm，AD=12AC=6，CD＝AD+AC＝12+6＝18cm．故答案为18．【变式1-2】（2021春•长兴县月考）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（）A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm【解题思路】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD＝1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．【解答过程】解：由题意可得，图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD，∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．故选：B．【变式1-3】（2021秋•天津期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm．求CM和AD的长．【解题思路】设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，求出AD＝10xcm，根据M为AD 的中点求出AM＝DM＝5xcm，列出方程，求出x，即可求出答案．【解答过程】解：设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，则AD＝AB+BC+CD＝10xcm，∵M为AD的中点，∴AM＝DM=12AD＝5xcm，∵BM＝AM﹣AB＝6cm，∴5x﹣2x＝6，解得：x＝2，即AD＝10xcm＝20cm，DM＝5xcm＝10cm，CD＝3xcm＝6cm，∴CM＝DM﹣CD＝10cm﹣6cm＝4cm．【题型2 线段中点的有关计算】【例2】（2021春•松北区期末）如图，点G 是AB 的中点，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，则下列式子不成立的是（ ）A ．MN ＝GBB ．CN =12(AG −GC)C ．GN =12(BG +GC)D ．MN =12(AC +GC)【解题思路】由中点的定义综合讨论，一一验证得出结论．【解答过程】解：A 、∵点G 是AB 的中点，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点， ∴GB =12AB ，MC =12AC ，NC =12BC ， ∴MN ＝MC +NC =12AC +12BC =12AB ， ∴MN ＝GB ，故A 选项不符合题意； B 、∵点G 是AB 的中点， ∴AG ＝BG ，∴AG ﹣GC ＝BG ﹣GC ＝BC ， ∵NC =12BC ，∴NC =12（AG ﹣GC ），故B 选项不符合题意； C 、∵BG +GC ＝BN +NC +CG +GC ＝2CN +2CG ＝2GN ， ∴GN =12（BG +GC ），故C 选项不符合题意； D 、∵MN =12AB ，AB ＝AC +CB ， ∴MN =12（AC +CB ）， ∵题中没有信息说明GC ＝BC ，∴MN =12（AC +GC ）不一定成立，故D 选项符合题意． 故选：D ．【变式2-1】（2021秋•邵阳县期末）如图，点C 、D 是线段AB 上任意两点，点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点，若AB ＝a ，MN ＝b ，则线段CD 的长是（ ）A ．2b ﹣aB ．2（a ﹣b ）C ．a ﹣bD ．12（a +b ）【解题思路】先由AB ﹣MN ＝a ﹣b ，得AM +BN ＝a ﹣b ，再根据中点的性质得AC +BD ＝2a ﹣2b ，最后由CD ＝AB ﹣（AC +BD ）即可求出结果． 【解答过程】解：∵AB ＝a ，MN ＝b ， ∴AB ﹣MN ＝a ﹣b ，∴AM +BN ＝a ﹣b ，∵点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点， ∴AM ＝MC ，BN ＝DN ，∴AC +BD ＝AM +MC +BN +DN ＝2（AM +BN ）＝2（a ﹣b ）＝2a ﹣2b ． ∴CD ＝AB ﹣（AC +BD ）＝a ﹣（2a ﹣2b ）＝2b ﹣a ． 故选：A ．【变式2-2】（2021秋•奉化区校级期末）两根木条，一根长10cm ，另一根长12cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（ ） A ．1cmB ．11cmC ．1cm 或11cmD ．2cm 或11cm【解题思路】设较长的木条为AB ，较短的木条为BC ，根据中点定义求出BM 、BN 的长度，然后分两种情况：①BC 不在AB 上时，MN ＝BM +BN ，②BC 在AB 上时，MN ＝BM ﹣BN ，分别代入数据进行计算即可得解．【解答过程】解：如图，设较长的木条为AB ＝12cm ，较短的木条为BC ＝10cm ， ∵M 、N 分别为AB 、BC 的中点， ∴BM ＝6cm ，BN ＝5cm ，①如图1，BC 不在AB 上时，MN ＝BM +BN ＝6+5＝11cm ， ②如图2，BC 在AB 上时，MN ＝BM ﹣BN ＝6﹣5＝1cm ， 综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或11cm ， 故选：C ．【变式2-3】（2021秋•江岸区校级月考）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN ＝20，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1，N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+…+M 10N 10＝（ ）A ．20（12+122+123+⋯+1210） B ．20+1029 C ．20−10210 D ．20+10210 【解题思路】根据线段中点定义先求出M 1N 1的长度，再由M 1N 1的长度求出M 2N 2的长度，从而找到M n N n 的规律，即可求出结果．【解答过程】解：∵线段MN ＝20，线段AM 和AN 的中点M 1，N 1， ∴M 1N 1＝AM 1﹣AN 1 =12AM −12AN =12（AM ﹣AN ）=12MN=12×20 ＝10．∵线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2； ∴M 2N 2＝AM 2﹣AN 2 =12AM 1−12AN 1 =12（AM 1﹣AN 1） =12M 1 N 1=12×12×20 =122×20 ＝5． 发现规律： M n N n =12n ×20 ∴M 1N 1+M 2N 2+…+M 10N 10 =12×20+122×20+123×20+⋯+1210×20 ＝20（12+122+123+⋯+1210）故选：A ．【题型3 线段n 等分点的有关计算】【例3】（2021春•东平县期末）如图，已知AB 和CD 的公共部分BD =13AB =14CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10cm ，则AB 的长是 12cm ．【解题思路】设BD ＝x ，则AB ＝3x ，CD ＝4x ，由中点的定义可得EF =12（3x +4x ）＝10，即可求解x 值，进而可求得AB 的长． 【解答过程】解：设BD ＝x ，∵BD=13AB=14CD，∴AB＝3x，CD＝4x，∵线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，∴EF＝BE+BF=12AB+12CD﹣BD=12（AB+CD）﹣BD=12（3x+4x）﹣x＝10cm，解得x＝4，∴AB＝3x＝12（cm）．故答案为12cm．【变式3-1】（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD＝16cm，BD=25AB，点C是线段BD的中点，那么AC＝32cm．【解题思路】先由BD＝16cm，BD=25AB知AB=52BD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BC=12BD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．【解答过程】解：∵BD＝16cm，BD=25AB，∴AB=52BD=52×16＝40（cm），又∵点C是线段BD的中点，∴BC=12BD＝8cm，则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），故答案为：32．【变式3-2】（2021秋•宝鸡期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts．（1）若M、N运动1s时，且PN＝3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ+BQ，求PQ的长．【解题思路】（1）由AM+MP+PN+BN＝AB，列出方程可求AM的长，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；（3）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系．【解答过程】解：（1）根据M、N的运动速度可知：BN＝3cm，PM＝1cm，∵AM+MP+PN+BN＝AB，且PN＝3AM，∴AM+1+3AM+3＝12，∴AM＝2cm，∴AP＝3cm；（2）长度不发生变化，理由如下：根据M、N的运动速度可知：BN＝3PM，∵AM+MP+PN+BN＝AB，且PN＝3AM，∴4AM+4PM＝12，∴AP＝3cm，（3）如图：∵AQ＝PQ+BQ，AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6cm；当点Q'在AB的延长线上时，AQ′﹣AP＝PQ′，所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm．综上所述，PQ＝6cm或12cm．【变式3-3】（2021秋•甘井子区期末）已知，点D是射线AB上的点，线段AB＝4a，BD ＝nAB（0＜n＜1），点C是线段AD的中点．（1）如图1，若点D在线段AB上，当a＝1，n=12时，求线段CD的长；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，当n=12时，求线段CD的长；（用含a的式子表示）（3）若点D在射线AB上，请直接写出线段CD的长2a﹣2na或2a+2na．（用含a 和n的式子表示）【解题思路】（1）根题意求得AB与BD的长，利用线段间数量关系求得AD的长，然后根据线段中点定义求CD的长；（2）解题思路同第（1）问；（3）利用（1）（2）问的解题思路，分点D在线段AB和AB延长线上两种情况分类解答．【解答过程】解：（1）∵a ＝1，n =12， ∴AB ＝4a ＝4， BD ＝nAB =12AB ＝2， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣2＝2， ∵点C 是线段AD 的中点， ∴CD =12AD =1． （2）∵n =12，AB ＝4a ， ∴BD ＝nAB =12AB ＝2a ， ∴AD ＝AB +BD ＝4a +2a ＝6a ， ∴CD =12AD ＝3a ．（3）①当点D 在线段AB 上时， ∵AB ＝4a ，BD ＝nAB ＝4na ， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝4a ﹣4na ，∴CD =12AD =12（4a ﹣4na ）＝2a ﹣2na ． ②当点D 在线段AB 延长线上时， ∵AB ＝4a ，BD ＝nAB ＝4na ， ∴AD ＝AB +BD ＝4a +4na ，∴CD =12AD =12（4a +4na ）＝2a +2na ． 综上，线段CD 的长为：2a ﹣2na 或2a +2na ． 故答案为：2a ﹣2na 或2a +2na ． 【题型4 线段的数量关系】【例4】（2021秋•江门期末）如图，点B 在线段AC 上，D 是AC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则BD ＝（ ）A ．12b −12a B ．12a −12b C ．b −12aD ．a −12b【解题思路】根据已知条件可得AC ＝AB +BC ＝a +b ，由D 是AC 的中点，可得CD =12AC ，由题意可知BD ＝BC ﹣CD ，代入计算即可得出答案． 【解答过程】解：∵AB ＝a ，BC ＝b ， ∴AC ＝AB +BC ＝a +b ， ∵D 是AC 的中点，∴CD =12AC =12a +12b ， ∵BC ＝b ，∴BD ＝BC ﹣CD ＝b ﹣（12a +12b ）=12b −12a ．故选：A ．【变式4-1】（2021秋•沙湾区期末）如图，已知A ，B ，C ，D 是同一直线上的四点，看图填空：AC ＝ AB +BC ，BD ＝AD ﹣ AB ，AC ＜ AD ．【解题思路】从图上可以直观的看出各线段的关系及大小．【解答过程】解：由图可知各线段的关系为AC ＝AB +BC ，BD ＝AD ﹣AB ，AC ＜AD ． 故答案为AB ；AB ；AD ．【变式4-2】（2021春•莱阳市期末）线段AB 的长为2cm ，延长AB 到点C ，使AC ＝3AB ，再延长BA 到点D ，使BD ＝2BC ，则线段CD 的长为 12 cm ． 【解题思路】根据已知分别得出BC ，AD 的长，即可得出线段CD 的长．【解答过程】解：∵线段AB ＝2cm ，延长AB 到C ，使AC ＝3AB ，再延长BA 至D ，使BD ＝2BC ，∴BC ＝2AB ＝4cm ，BD ＝4AB ＝8cm ， ∴AD ＝BD ﹣AB ＝3AB ＝6cm∴CD ＝AD +AB +BC ＝6+2+4＝12（cm ）， 故答案为：12．【变式4-3】（2021秋•成都期末）已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D ，E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若AB ＝15，DE ＝6，线段DE 在线段AB 上移动． ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；②点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，AF ＝3AD ，CF ＝3，求AD 的长；【解题思路】根据已知条件得到BC ＝5，AC ＝10，①由线段中点的定义得到CE ＝2.5，求得CD ＝3.5，由线段的和差得到AD ＝AC ﹣CD ＝10﹣3.5＝6.5；②如图1，当点F 在点C 的右侧时，当点F 在点C 的左侧时，由线段的和差即可得到结论；【解答过程】解：∵AC ＝2BC ，AB ＝15，∴BC ＝5，AC ＝10， ①∵E 为BC 中点， ∴CE ＝2.5， ∵DE ＝6， ∴CD ＝3.5，∴AD ＝AC ﹣CD ＝10﹣3.5＝6.5； ②如图1，当点F 在点C 的右侧时， ∵CF ＝3，BC ＝5， ∴AF ＝AC +CF ＝13， ∴AD =13AF =133； 当点F 在点C 的左侧时，∵AC ＝10，CF ＝3， ∴AF ＝AC ﹣CF ＝7， ∴AF ＝3AD ＝7， ∴AD =73；综上所述，AD 的长为133或73；【题型5 两点之间线段最短】【例5】（2021春•莱州市期末）如图，A ，C 两村相距6km ，B ，D 两村相距5km ．现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村的距离之和最小．下列说法正确的是（ ）A ．自来水厂应建在AC 的中点B ．自来水厂应建在BD 的延长线上C ．自来水厂到四个村的距离之和最小为11kmD ．自来水厂到四个村的距离之和可能小于11km【解题思路】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．【解答过程】解：如图所示，连接AC，BD交于点E，在平面内任取一点E'，连接AE'，BE'，CE'，DE'，∵AE'+CE'≥AC，BE'+DE'≥BD，∴AE'+CE'+BE'+DE'≥BD+AC＝11km，∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为11km，故选：C．【变式5-1】（2021秋•丛台区校级期末）下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解题思路】①②根据“两点确定一条直线”解释，③④根据两点之间线段最短解释．【解答过程】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线根据“两点确定一条直线”，故选：A．【变式5-2】（2021秋•兴义市期末）如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是两点之间，线段最短．【解题思路】根据连接两点的所有线中，线段最短的公理解答．【解答过程】解：∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有AC是直线段，∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【变式5-3】（2021秋•渠县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【解题思路】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．【解答过程】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：（需画出图形，并标明P点位置）理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价．【题型6 两点间的距离】【例6】（2021秋•罗湖区校级期末）如果在数轴上的A、B两点所表示的有理数分别是x，y，且|x|＝3，|y|＝1，则A，B两点间的距离是（）A．4B．2C．4或2D．以上都不对【解题思路】先根据绝对值的性质求出x，y的值，再分两种情况讨论，当x与y是同号时和x与y是异号时，然后根据距离公式即可求出答案．【解答过程】解：∵|x |＝3，∴x ＝±3，∵|y |＝1，∴y ＝±1，∴当x 与y 是同号时，A 、B 两点间的距离是2；当x 与y 是异号时，A 、B 两点间的距离是4；∴A 、B 两点间的距离是2或4；故选：C ．【变式6-1】（2021秋•奉化区校级期末）如图，已知点A 、点B 是直线上的两点，点C 在线段AB 上，且BC ＝4厘米．点P 、点Q 是直线上的两个动点，点P 的速度为1厘米/秒，点Q 的速度为2厘米/秒．点P 、Q 分别从点C 、点B 同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ 的长为5厘米．【解题思路】由于BC ＝4厘米，点P 、Q 分别从点C 、点B 同时出发在直线上运动，当线段PQ 的长为5厘米时，可分三种情况进行讨论：①点P 向左、点Q 向右运动；②点P 、Q 都向右运动；③点P 、Q 都向左运动；④点P 向右、点Q 向左运动；都可以根据线段PQ 的长为5厘米列出方程，解方程即可．【解答过程】解：设运动时间为t 秒．①如果点P 向左、点Q 向右运动，由题意，得：t +2t ＝5﹣4，解得t =13；②点P 、Q 都向右运动，由题意，得：2t ﹣t ＝5﹣4，解得t ＝1；③点P 、Q 都向左运动，由题意，得：2t ﹣t ＝5+4，解得t ＝9．④点P 向右、点Q 向左运动，由题意，得：2t ﹣4+t ＝5，解得t ＝3．综上所述，经过13或1或3秒9秒时线段PQ 的长为5厘米．【变式6-2】（2021秋•秦淮区期末）直线l 上的三个点A 、B 、C ，若满足BC =12AB ，则称点C 是点A 关于点B 的“半距点”．如图1，BC =12AB ，此时点C 就是点A 关于点B 的一个“半距点”．若M 、N 、P 三个点在同一条直线m 上，且点P 是点M 关于点N 的“半距点”，MN ＝6cm ．（1）MP ＝ 3cm 或9 cm ；（2）若点G 也是直线m 上一点，且点G 是线段MP 的中点，求线段GN 的长度．【解题思路】（1）根据点P 是点M 关于点N 的“半距点”，可得PN =12MN ，分两种情况画图求解；（2）根据点G 是线段MP 的中点，结合（1）分两种情况即可求线段GN 的长度．【解答过程】解：（1）如图所示：∵点P 是点M 关于点N 的“半距点”，∴PN =12MN ，①∵MN ＝6cm ．P 1N =12MN ＝3cm ，∴MP 1＝MN ﹣P 1N ＝3cm ；②∵MN ＝6cm ．P 2N =12MN ＝3cm ，∴MP 2＝MN +P 2N ＝9cm ；∴MP ＝3cm 或9cm ；故答案为：3cm 或9；（2）如图所示：①点G 1是线段MP 1的中点，∴MG 1=12MP 1=32cm ，∴G 1N ＝MN ﹣MG 1＝6−32=92（cm ）；②点G 2是线段MP 2的中点，∴MG 2=12MP 2=92cm ，∴G 2N ＝MN ﹣MG 2＝6−92=32（cm ）．∴线段GN 的长度为92cm 或32cm ．【变式6-3】（2021秋•姜堰区期末）如图，点C 在线段AB 上，AC ＝6cm ，CB ＝4cm ，点M 以1cm /s 的速度从点A 沿线段AC 向点C 运动；同时点N 以2cm /s 从点C 出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【解题思路】（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t ＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=14 3；（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．【解答过程】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，∴0≤t≤6，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，解得：t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，解得：t＝2（舍去）；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，解得：t=14 3；综上所述，当t ＝2或143时，点C 为线段MN 的中点.（3）如图2，①当0≤t ≤2时，点N 从C 向B 运动，CN ＝2tcm ，∵点P 是线段CN 的中点，∴CP =12CN ＝tcm ，∴PM ＝MC +CP ＝6﹣t +t ＝6cm ，此时，PM 的长度保持不变；②当2＜t ＜4时，点N 从B 向C 运动，CN ＝（8﹣2t ）cm ，∵点P 是线段CN 的中点，∴CP =12CN =12（8﹣2t ）＝（4﹣t ） cm ，∴PM ＝MC +CP ＝6﹣t +（4﹣t ）＝（10﹣2t ）cm ，此时，PM 的长度变化；③当4≤t ≤6时，点N 从C 向B 运动，CN ＝（2t ﹣8）cm ，∵点P 是线段CN 的中点，∴CP =12CN =12（2t ﹣8）＝（t ﹣4）cm ，∴PM ＝MC +CP ＝6﹣t +（t ﹣4）＝2cm ，此时，PM 的长度保持不变；综上所述，当0≤t ≤2或4≤t ≤6时，使PM 的长度保持不变；PM 的长度分别为6cm 或2cm ．【题型7 简单的线段的长短比较】【例7】（2021秋•攀枝花校级期中）从A 地到B 地有两条路，第一条从A 地直接到B 地，第二条从A 地经过C ，D 到B 地，两条路相比，第一条的长度 ＝ 第二条的长度（填“＜”“＞”“＝”）【解题思路】由图可得，大圆的直径为小圆直径的3倍，根据周长C ＝πd 求出半圆的周长，然后对两个路径进行比较即可．【解答过程】解：设小圆的直径为d ，则大圆的直径为3d ，则第一条线路的长度为：π•3d ÷2＝1.5πd ，第二条线路的 长度为：3πd ÷2＝1.5πd ，故这两条线路长度一样．故答案为：＝．【变式7-1】（2021秋•双流区期末）体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解题思路】比较线段OM、ON、OP、OQ的长短即可．【解答过程】解：由点M、N、P、Q所在扇形区域中的位置可知，OP＞ON＞OQ＞OM，故选：C．【变式7-2】（2021秋•南海区期末）我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．（1）已知线段AB，C是线段AB上一点（如图①）．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短，并简单说明理由（要求保留作图痕迹）；（2）如图②，小明用刻度尺量得AC＝4cm，BC＝3cm，若D是AC的中点，E是BC的中点，求DE的长．【解题思路】（1）先以点A为圆心，以BC的长为半径画圆，此圆与直线AB相交于点B′，则线段AB′的即为线段BC的长；（2）先根据D是AC的中点，E是BC的中点求出CD及CE的长，故可得出结论．【解答过程】解：（1）如图所示：；（2）∵AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，E是BC的中点，∴CD=12AC=12×4＝2cm，CE=12BC=12×3＝1.5cm，∴DE＝CD+CE＝2+1.5＝3.5cm．【变式7-3】（2021秋•宁波期末）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a ＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的【解题思路】先根据a＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0判断出a、b、c的符号及关系，再根据数轴上两点间的距离比较出线段AB与BC的大小即可．【解答过程】解：∵a＜b＜c，abc＜0，a+b+c＝0，∴a＜0，b＞0，c＞0，|a|＝b+c，∴AB＝|a﹣b|＝b﹣a＞|a|，BC＝|b﹣c|＝c﹣b＜|a|，∴AB＞BC．故选：A．【题型8 与线段的长短比较有关的应用】【例8】（2021秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．A住宅区B．B住宅区C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处【解题思路】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答【解答过程】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×1500+45×2500＝142500m；当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×1500+45×1000＝67500m；当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×2500+20×1000＝57500m；当停靠点在D区时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：15×（1500+x）+20x+45（1000﹣x）＝﹣10x+67500，由于k＝﹣10，所以，x越大，路程之和越小，∴当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和最小．故选：C．【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【解题思路】可结合题意及图，直接对三个选项本身进行分析，确定对错．【解答过程】解：①通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故正确；②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果一样，故错误；③工厂到车站的距离是线段的长，和各段的弯曲的小公路无关，故正确；故选：C．【变式8-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼150米处．【解题思路】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．【解答过程】解：假设车站距离1号楼x米，则总距离S＝|x|+2|x﹣50|+3|x﹣100|+4|x﹣150|+5|x﹣200|，①当0≤x≤50时，S＝2000﹣13x，最小值为1350；②当50≤x≤100时，S＝1800﹣9x，最小值为900；②当100≤x≤150时，S＝1200﹣3x，最小值为750（此时x＝150）；当150≤x≤200时，S＝5x，最小值为750（此时x＝150）．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．故答案为：150．【变式8-3】（2021•烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．【解题思路】（1）分n为偶数时，n为奇数时两种情况讨论P应设的位置．（2）根据绝对值的几何意义，找到1和617正中间的点，即可求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．【解答过程】解：（1）当n为偶数时，P应设在第n2台和（n2+1）台之间的任何地方，当n为奇数时，P应设在第n+12台的位置．（2）根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172．。
比较线段的长短练习题
比较线段的长短练习题线段是几何学中的一个基本概念，我们可以通过比较线段的长短来研究和分析它们在空间中的相对位置和性质。
在本篇文章中，我们将给出一些比较线段长短的练习题，以帮助读者提高对线段的理解和应用能力。
练习题一：请比较以下两个线段的长短：线段A：起点坐标(2, 3)，终点坐标(8, 5)线段B：起点坐标(1, -2)，终点坐标(7, -4)解析：要比较线段的长短，我们可以计算线段的长度。
线段的长度可以通过计算起点和终点之间的距离得到，即利用勾股定理。
线段A的长度计算公式为：√((8-2)^2 + (5-3)^2) = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 ≈ 6.32线段B的长度计算公式为：√((7-1)^2 + (-4-(-2))^2) = √(6^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 ≈ 6.32由计算结果可知，线段A和线段B的长度相等，约为6.32个单位长度。
练习题二：请比较以下三个线段的长短：线段C：起点坐标(-1, 0)，终点坐标(3, 4)线段D：起点坐标(2, 3)，终点坐标(6, 7)线段E：起点坐标(-3, -4)，终点坐标(1, 1)解析：同样地，我们可以通过计算线段的长度来比较它们的长短。
线段C的长度计算公式为：√((3-(-1))^2 + (4-0)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66线段D的长度计算公式为：√((6-2)^2 + (7-3)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66线段E的长度计算公式为：√((1-(-3))^2 + (1-(-4))^2) = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.40由计算结果可知，线段C和线段D的长度相等，均约为5.66个单位长度，而线段E的长度约为6.40个单位长度。
七年级数学线段的长短比较水平测试题及答案详解
七年级数学线段的长短比较水平测试题及答案详解数学线段的长短比拟水平测试题及答案详解如下一、填的圆圆满满(每题3分，共24分)1. 中画出的直线有_____条，区分是________.2. 要在墙上钉一根水平方向的木条，至少需求_____个钉子，用数学知识解释为____________________.3.如以下图，线段AC=BD，那么AB=_____.4.线段AB=2cm，延伸AB到C，使BC=2AB，假定D为AB的中点，那么线段DC的长为______.5. 线段的中点只要 ____个，线段的五等分点有____个.6. 如图,从城市A到城市B有三种不同的交通任务:汽车、火车、飞机,除去速度要素,坐飞机的时间最短是由于___________.7.如图是用火柴棍摆成边长区分是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，假定摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，那么S=(用含n的代数式表示，n为正整数).8.n(n2)个点P1，P2，P3，，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同不时线上. 设Sn表示过这n个点中的恣意2个点所作的一切直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，，由此推断，Sn=______________.二、做出你的选择(每题3分，共24分)1.手电筒发射出去的光线，给我们的笼统似( ).(A)线段 (B)射线 (C)直线 (D)折线2.同一平面内有四点，过每两点画一条直线，那么直线的条数是( )(A)1条 (B)4条 (C)6条 (D)1条或4条或6条3.如图，点A、B、C、D在同不时线上，那么这条直线上共有线段( ).(A) 3条 (B)4条 (C)5条 (D)6条4.某工程队，在修建兰宁高速公路时，有时需将弯曲的路途改直，依据什么公理可以说明这样做能延长路程( ). (A) 直线的公理 (B)直线的公理或线段的公理(C)线段最短的公理 (D) 平行公理5.以下说法中.正确的选项是( ).(A)延伸射线OA (B)作直线AB的延伸线(C)延伸线段AB到C,使AC= AB.(D) 延伸线段AB到C,使AC=2AB.6.如图4，C是AB的中点，D是BC的中点。
比较线段的长短中的专题
线段中的专题姓名：专题一：中点的应用1、如图，C，D是线段AB上的两点，AC=5cm，AD=8cm，D是CB的中点，求DB ，AB。
A C D B2、长为12cm的线段AB上有一点P，M，N分别为PA，PB的中点，求线段MN专题二：线段的比的关系1、线段AB被C点分成3：5两部分，又被D点分成7：5两部分，已知CD=2.5•厘米，•求AB的长．2、如图所示，线段AB被分成2：3：3三部分，其中AP长为4厘米，•则线段的总长为3、线段AB被分成2:3:4三部分，已知第一部分和第三部分中点的距离是5.4厘米，求线段AB的长4、画线段AB=5厘米，延长AB至C，使AC=2AB，反向延长AB至E，使AE=13CE，再计算：（1）线段CE的长；（2）线段AC是线段CE的几分之几？（3）线段CE是线段BC的几倍？5、如图所示，如果延长线段AB到C，使BC= AB，D为AC中点，DC＝2.5，求AB的长6、如图所示，点C分线段AB为5：3，点D分线段AB为3:5,已知CD的长是10cm,求AB 的长。
7、如图B、O两点把线段AD分成3:4:5三部分,M是AD的中点，OD=8，求MC的长。
五、分类讨论1、已知线段AB＝8cm，BC＝3cm.，求AC的长度。
2、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求AM的长.3、已知线段AB=8厘米，在直线AB上画线段BC=3厘米，求线段AC的长．4、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，试求线段AM的长5、已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，求点A与点C之间的距离。
初一数学线段的长短比较典型例题练习
2.线段的长短比较◆典例分析例：如图，点例：如图，点C C 在线段AB 上，上，AC AC AC＝＝8 cm 8 cm，，CB CB＝＝6 cm 6 cm，点，点M 、N 分别是AC AC、、BC 的中点。
（1）求线段MN 的长；的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC AC＋＋CB CB ＝＝ a cm cm，其它条件不变，你能猜想，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由。
你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？吗？并说明理由。
你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC -BC BC ＝＝b cm b cm，，M 、N 分别为AC AC、、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。
的结论，并说明理由。
解：（1）MN 的长为7cm 7cm；；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB = a cm a cm，其它条件不变，则，其它条件不变，则12MN acm =（3）如图MN=21b cm b cm。
评析：本例主要是利用线段中点的定义及线段和差的意义来解。
由特殊从而推断出一般性的规律。
◆随堂检测1、如图：C ，B 在线段AD 上，且AB=CD AB=CD，，则AC 与BD 大小关系是（ ））A 、AC>BDB AC>BD B、、AC=BDC C、、AC<BD D AC<BD D、不能确定、不能确定、不能确定2、线段AB 上有点C ，C 使AC AC：：CB=2CB=2：：3，点M 和点N 分别是线段AC 和CB 的中点，的中点， 若MN=4MN=4，则，则AB 的长是（的长是（ ））A 、6B 、8C 8 C、、10D 10 D、、123、以下给出的四个语句中，结论不正确．．．的有（的有（ ）） A 、延长线段AB 到CB 、如果线段AB=BC AB=BC，则，则B 是线段AC 的中点的中点C 、线段和射线都可以看作直线上的一部分、线段和射线都可以看作直线上的一部分D 、如果线段AB+BC=AC AB+BC=AC，那么，那么A ，B ，C 在同一直线上在同一直线上4、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ））A 、两点之间的连线中，直线最短、两点之间的连线中，直线最短B 、若P 是线段AB 的中点，则AP=BPC 、若AP=BP AP=BP，则，则P 是线段AB 的中点的中点D 、两点之间的线段叫做者两点之间的距离、两点之间的线段叫做者两点之间的距离5、如图：（1）延长AC 至点D ，使CD CD＝＝AC AC，延长，延长BC 到点E ，使CE CE＝＝BC BC；；（2）连结DE DE；；（3）比较图中线段DE 与AB 的长度，你有什么发现？度，你有什么发现？●体验中考1、点A 、B 、C 是数轴上的三个点，且BC=2AB BC=2AB。
比较线段的长短练习题
比较线段的长短练习题线段的长短是数学中一个基本的概念，也是我们日常生活中常常遇到的问题。
通过比较线段的长短，我们可以培养自己的观察力和思维能力。
下面，我们来做一些关于线段长短的练习题，通过解题来加深对这个概念的理解。
练习题一：小明有一条长为8厘米的线段，小红有一条长为5厘米的线段，那么小明的线段比小红的线段长多少厘米？解答：小明的线段长为8厘米，小红的线段长为5厘米。
我们可以通过减法来计算小明的线段比小红的线段长多少厘米。
8厘米 - 5厘米 = 3厘米所以，小明的线段比小红的线段长3厘米。
练习题二：小华有一条长为15厘米的线段，小李有一条长为10厘米的线段，那么小华的线段比小李的线段长多少厘米？小华的线段比小红的线段长多少倍？解答：小华的线段长为15厘米，小李的线段长为10厘米。
我们可以通过减法来计算小华的线段比小李的线段长多少厘米。
15厘米 - 10厘米 = 5厘米所以，小华的线段比小李的线段长5厘米。
我们还可以通过除法来计算小华的线段比小李的线段长多少倍。
15厘米÷ 10厘米 = 1.5倍所以，小华的线段比小李的线段长1.5倍。
通过这两道练习题，我们可以看出，比较线段的长短可以通过减法和除法来解决。
在解决问题的过程中，我们需要运用数学知识，进行计算和推理。
这样的练习可以培养我们的思维能力和逻辑思维能力。
练习题三：小明有一条线段长为12厘米，小红有一条线段长为10毫米，那么小明的线段比小红的线段长多少厘米？解答：小明的线段长为12厘米，小红的线段长为10毫米。
我们需要将小红的线段的单位转换为厘米，然后再进行比较。
10毫米 = 1厘米所以，小红的线段长为0.1厘米。
现在我们可以通过减法来计算小明的线段比小红的线段长多少厘米。
12厘米 - 0.1厘米 = 11.9厘米所以，小明的线段比小红的线段长11.9厘米。
通过这道练习题，我们可以看出，比较线段的长短时，需要注意单位的转换。
在解决问题的过程中，我们需要灵活运用数学知识，进行单位转换和计算。
线段的长短比较 华东师大版数学七年级上册随堂练习(含答案)
第4章图形的初步认识
4. 5 最基本的图形——点和线
2.线段的长短比较
1．已知A，B，C三点共线，下面能判断C是线段AB中点的是()
A．AB＝AC B．AB＝1
2AC C．AC＝BC D．2AB＝AC
2．如果线段AB＝13厘米，MA＋MB＝17厘米，那么下面说法正确的是() A．M点在线段AB上
B．M点在直线AB上
C．M点在直线AB外
D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
3．点A，B，C在直线l上的位置如图所示，则下列结论中不正确的是()
(第3题)
A．AB>AC B．AB>BC
C．AC>BC D．AC＋BC＝AB
4．[泰安东平期末]线段AB＝5 cm，点C在直线AB上，BC＝3 cm，D为线段AC 的中点，则AD＝______________．
5．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，AB＝CD.
(第5题)
(1)图中共有________条线段；
(2)比较线段的大小：AC________BD(填“＞”“＝”或“＜”)；
(3)若BC＝2
3AC，且AC＝6 cm，则AD的长为________ cm.
参考答案1.C 2.D 3.C
4．1 cm或4 cm
5．(1)6(2)＝(3)8。
北师大版七年级上册数学 4.2比较线段的长短 同步测试(含解析)
4.1比较线段的长短同步测试一．选择题1．如图，从A地到B地有四条路线，由上到下依次记为路线①、②、③、④，则从A地到B地的最短路线是路线（）A．①B．②C．③D．④2．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 3．如图，点D把线段AB从左至右依次分成1：2两部分，点C是AB的中点，若DC＝3，则线段AB的长是（）A．18B．12C．16D．144．如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝（）cmA．4B．3C．2D．15．如图，已知线段AB的长为4，点C为AB的中点，则线段AC的长为（）A．1B．2C．3D．46．如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、BC的中点，若AC＝6cm，MN＝5cm，则线段MB的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm7．如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝6，且AD+BC＝AB，则CD等于（）A．10B．8C．6D．48．下列说法不正确的是（）A．因为M是线段AB的中点，所以AM＝MB＝ABB．在线段AM延长线上取一点B，如果AB＝2AM，那么点M是线段AB的中点C．因为A，M，B在同一直线上，且AM＝MB，所以M是线段AB的中点D．因为AM＝MB，所以点M是AB的中点9．已知线段AB＝4cm，延长线段AB到C使BC＝AB，延长线段BA到D使AD＝AC，则线段CD的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm10．如图，AB＝18，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度是（）A．8B．10C．12D．15二．填空题11．已知点A、B、C在一条直线上，AB＝5cm，BC＝3cm，则AC的长为．12．如图，已知线段AB＝8cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．13．如图，线段AB＝6，AC＝2BC，则BC＝．14．同一直线上有两条等长的线段AB，CD（A在B左边，C在D左边），点M，N分别是线段AB，CD的中点，若BC＝6cm，MN＝4AB，则AB＝cm．15．如图，线段AB＝4cm，延长线段AB到C，使BC＝1cm，再反向延长AB到D，使AD ＝3cm，E是AD中点，F是CD的中点．则EF的长度为cm．三．解答题16．点O是线段AB的中点，OB＝14cm，点P将线段AB分为两部分，AP：PB＝5：2．①求线段OP的长．②点M在线段AB上，若点M距离点P的长度为4cm，求线段AM的长．17．如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且AM＝2MC，BN＝2NC．（1）若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；（2）若MN＝5，求线段AB的长．参考答案1．解：根据两点之间线段最短可得，从A地到B地的最短路线是路线③．故选：C．2．解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．3．解：∵D把线段AB从左至右依次分成1：2两部分，点C是AB的中点，∴AD＝AB＝AB，AC＝AB，∴DC＝AB﹣AB＝AB，∵DC＝3，∴AB＝3×6＝18．故选：A．4．解：∵AB＝10cm，BC＝4cm．∴AC＝AB+BC＝14cm，∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝7cm；∵M是AB的中点，∴AM＝AB＝5cm，∴DM＝AD﹣AM＝2cm．故选：C．5．解：因为点C为AB的中点，AB的长为4，所以AC＝AB＝4＝2．则线段AC的长为2．故选：B．6．解：∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC＝6cm，∴MC＝AC＝3cm，CN＝BN，∵MN＝5cm，∴BN＝CN＝MN﹣MC＝5﹣3＝2cm，∴MB＝MN+BN＝5+2＝7cm，故选：B．7．解：∵AD+BC＝AB，∴5（AD+BC）＝7AB，∴5（AC+CD+CD+BD）＝7（AC+CD+BD），∵AC+BD＝6，∴CD＝4，故选：D．8．解：A、因为M是线段AB的中点，所以AM＝MB＝AB，故本选项正确；B、如图，由AB＝2AM，得AM＝MB；故本选项正确；C、根据线段中点的定义判断，故本选项正确；D、如图，当点M不在线段AB时，因为AM＝MB，所以点M不一定是AB的中点，故本选项错误；故选：D．9．解：由线段的和差，得AC＝AB+BC＝4+4＝6（cm），由线段中点的性质，得CD＝AD+AC＝2AC＝2×6＝12（cm），故选：A．10．解：∵AB＝18，点C为AB的中点，∴BC＝AB＝×18＝9，∵AD：CB＝1：3，∴AD＝×9＝3，∴DB＝AB﹣AD＝18﹣3＝15．故选：D．11．解：若C在线段AB上，则AC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2（cm）；若C在线段AB的延长线上，则AC＝AB+BC＝5+3＝8（cm），故答案为2cm或8cm．12．解：∵D为线段AC的中点，∴AC＝2AD＝2×1.5cm＝3（cm），∵AB＝8cm，∴CB＝AB﹣AC＝8﹣3＝5（cm）．故答案为：5．13．解：∵AB＝6，AC＝2BC，∴BC＝AB﹣AC＝AB＝6＝2，故答案为：2．14．解：如图1，设AB＝CD＝x，∵M，N分别是线段AB，CD的中点，∴AM＝AB，DN＝CD，∵BC＝6cm，∴AD＝AB+CD+BC＝2x+6．∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝2x+6﹣x＝6+x；∵MN＝4AB＝4x，∴6+x＝4x，∴x＝2，∴AB＝2，如图2，设AB＝CD＝x，∵M，N分别是线段AB，CD的中点，∴AM＝AB，DN＝CD，∵BC＝6cm，∴AD＝BC﹣CD﹣AB＝6﹣2x，∴MN＝AD+DN+AM＝6﹣2x+x＝6﹣x；∵MN＝4AB＝4x，∴6﹣x＝4x，∴x＝，∴AB＝，综上所述，AB＝2或．故答案为：2或．15．解：CD＝AD+AB+BC＝3+4+1＝8cm；∵E是AD中点，F是CD的中点，∴DF＝CD＝×8＝4cm，DE＝AD＝×3＝1.5cm．∴EF＝DF﹣DE＝4﹣1.5＝2.5cm，故答案为：2.5．16．解：①∵点O是线段AB的中点，OB＝14cm，∴AB＝2OB＝28cm，∵AP：PB＝5：2．∴BP＝cm，∴OP＝OB﹣BP＝14﹣8＝6（cm）；②如图1，当M点在P点的左边时，AM＝AB﹣（PM+BP）＝28﹣（4+8）＝16（cm），如图2，当M点在P点的右边时，AM＝AB﹣BM＝AB﹣（BP﹣PM）＝28﹣（8﹣4）＝24（cm）．综上，AM＝16cm或24cm．17．解：（1）如图，AC＝9，BC＝6，则AB＝AC＝BC＝9+6＝15，∵AM＝2MC，BN＝2NC．∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN＝MC+NC＝（AC+BC）＝AB＝×15＝5，答：MN的长为5；（2）由（1）得，MN═AB，若MN＝5时，AB＝15，答：AB的长为15．。
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一、选择题
1. 过A、B、C三点，最多可确定直线的条数是（）
A.1条
B.3条
C.1条或2条
D.1条或3条
2. 下面说法正确的是（）
A.射线AB与射线BA是同一条射线
B.线段AB=2，线段BC=3，则线段AC=5
C.过两点有且只有二条直线
D.两点之间，线段最短
3. 下列说法中正确的是（）
A.射线AB和射线BA是同一条射线
B.射线就是直线
C.延长直线AB
D.经过两点有一条直线，并且只有一条直线
4. 下列说法中，正确的是（）
A.两点之间直线最短
B.连接两点的线段叫两点的距离
C.过两点有且只有一条直线
D.若点C在线段AB外，则AC+BC<AB
5. 下列现象：
(1)用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
(2)从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．
(3)植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
(4)把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）
A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)
6. 如图，以A、B、C、D、O为端点的线段共有（）条．
A.4
B.6
C.8
D.10
7. 如图，下列等式中错误的是（）
A.AD−CD=AB+BC
B.BD−BC=AD−AC
C.BD−BC=AB+BC
D.AD−BD=AC−BC
8. 如图，C是线段AB的中点，下列写法正确的个数是（）
①AC=1
2BC；②BC=1
2
AB；③AC=CB；④AB=2AC；⑤AB=2BC．
A.5
B.4
C.3
D.2
9. 已知线段AB=8cm，在直线AB上画线BC，使它等于3cm，则线段AC等于（）
A.11cm
B.5cm
C.11cm或5cm
D.8cm或11cm
10. 直线L⊥线段AB于点O，且OA=OB，点C为直线L上一点，且有CA=8cm，则CB的长度为（）
A.4cm
B.8cm
C.16cm
D.无法求出
11. 如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的
中点，如果MC比NC长3cm，AC比BC长（）
A.6cm
B.4cm
C.3cm
D.1.5cm
12. 如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中
点．若AB=12，则MN的长度为（）
A.6
B.4
C.5
D.2
二、填空题
13. 已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D是AB中点，则线段CD=________cm．
14. 如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是________．
15. 如下左图所示，AF=________．（用a，b，c表示）
16. 已知点P是线段AB的中点，若AB=8cm，则PB=________cm．
17. 已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB的一个三等分点且AB=24cm，则CD=________cm．
18. 如图，C是AB上的一点，AC=7cm，CB=3cm，D是AB的中点，则CD的长为________．
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）
19. 数学是从实际生活中来的，又应用于生活．请将下列事件与对应的数学原理用连线连接起来．
事件数学原理
教室的门要用两扇合页才能自由开关直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
飞机从萧山飞往北京，它的航行路线是直
的
经过两点有且只有一条直线测量跳运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳
线保持垂直
两点之间，线段最短
20. 如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个数所得线段的条数所得射线的条数1________ ________
2________ ________
3________ ________
4________ ________
（2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？
21. 线段MN=10cm，延长MN至P，使MP=16cm，如果A、B分别为MN和MP的中点，求AB的长．（自己画出示意图求解）
22. M，N是线段EF上两点，已知EA:AB:BF=1:2:3，M、N分别为FA，BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．
23. 如图，E、F分别是线段AC、AB的中点，若EF=20cm，求BC的长．
24. 如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．
（1）如果AC=8cm，BC=6cm，求MN的长．
（2）如果AM=5cm，CN=2cm，求线段AB的长．
参考答案与试题解析
2019年7月5日初中数学
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）
1.【解答】故选D．
2.【解答】故选：D．
3.【解答】故选：D．
4.【解答】故选：C．
5.【解答】故选：B．
6.【解答】故选C．
7.【解答】故选C．
8.【解答】故选：B．
9.【解答】所以线段AC等于5cm或11cm，故选C．
10.【解答】故选B．
11.【解答】故选A．
12.【解答】故选A．
二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）
13.【解答】故答案为：12．
14.【解答】故答案为：两点之间线段最短．
15.【解答】故答案为2a−2b−c．
16.【解答】故答案为：4．
17.【解答】故答案为4．
18.【解答】故答案为：2cm．
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）
19.【解答】解：
20.【解答】解：（1）表格如下：
（2）可以得到n(n−1)
条线段，2n条射线．
2
21.【解答】解：如图
∵MN=10cm，MP=16cm，A，B分别是MN，MP的中点，
∴MA=1
2MN=5cm，MB=1
2
MP=8cm，
∴AB=MB−MA=8−5=3cm
22.【解答】解：设EA、AB、BF分别为xcm、2xcm、3xcm，
∵M、N分别为FA，BF的中点，
∴MF=1
2AF=5
2
xcm，NF=1
2
BF=3
2
xcm，
MN=MF−NF=5
2x−3
2
x=8，
解得x=8，
则EF=EA+AB+BF=48cm．
23.【解答】解：∵E、F分别是线段AC、AB的中点，∴AC=2AE=2CE，AB=2AF=2BF，
∵EF=AF−AE=20cm，
2AF−2AE=AB−AC=2EF=40cm，
BC=AB−AC=2EF=40cm．
故BC的长是40cm．
24.【解答】解：（1）∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN=MC+CN=1
2AC+1
2
BC=1
2
AB=7cm．
则MN=7cm．
（2）∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，若AM=5cm，CN=2cm，
∴AB=AC+BC=10+4=14cm．。