设系统分别用下面的差分方程描述

因为x(n)以N 为周期，所以:

x(n 中kN —m) =x(n -m)

第三套

1.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出, 判断系统是否是线性时不变的。 (1) y(n)=2x( n)+3 n

y(n)= Z x(m) m 鱼 解: (1

) 令：输入为x(n- n o )，输出为y '(n) =2x(n-山)+3，因为 y(n- n o ) =2x( n- n o )+3= y '(n)

故该系统是时不变的。又因为

T[ax 1 (n) + bx 2( n)] = 2ax 1 (n) +

2bx 2( n) + 3

T[ax i (n)] =2ax i (n)+3，T[bx 2(n)] =2bx 2(n) + 3 T[ax 1(n) + bx 2(n)] h aTIxJn)] +bT[x 2(n)]

故该系统是非线性系统。 n

令：输入为x(n- n o )，输出为y(n)=2： x(m-r t )，因为

m=0

n 』0

I

y(n - n 。)= S x(m)北 y (n) m zzO

故系统是时变系统。又因为

n

T[ax 1 (n) + bx 2(n)]=送(ax 1 (m) + bx 2(m)^ aT[x 1(n)] +bT[x 2(n)]

m =0

2. 故系统是线性系统。

如果时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应为 为周期的周期序列， 证明：

h(n),输入x(n)是以N

试证明其输出 y(n)亦是以N 为周期的周期序列。 y( n)=h( n)*x( n)=

□C

y( n+kN)= Z

m z=-oc

h(m)x(n+kN - m) , k 为整数

□c

y(n +kN)=送 h (m)x( n —m) = y( n) 即y(n)也是周期序列，且周期为No

3.

已知x(n)又傅立叶变换X(e jw )，用X(e jw )表示下列信号的傅立叶变换:

X 1(n)=x(-n )+x(n )

X 2(n) = ( n —1)2

x( n)

解:

因为 DTFT[x*( — n) ]= X *( e jw

)，所以

x i

jw )] 因为X(e jw

^f x(n)e 」wn ，所以

n z^-oc

dX(e jw ) .dX(e jw

)

=j

(-j)dw dw

同理

DTFT[h(n)=亠(a 1n

u(-n-1)+a 2n

u(n)),]=j 臼叮)一咛

dw dw dw

而 X 2(n) =n 2x(n)-2nx(n)+x(n)，所以:

DTFT[

x 2(n)]=DTFT[ n 2

x(n) ]-2DTFT[ nx(n) ]+DTFT[x(n)]

-必导-2j dX ^+X(e jw )

dw

dw

4. 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满

10

足y( nT)- y(n) + y( n+1) = x( n)，并已知系统是稳定的。试求其单位抽

3

样响应。

(1) DTFT[

dX(e jw ) dw

送(-jn)x(n 归如

n =oC

DTFT[ nx( n)]=

a 2 -a i

解：

n ￡

对给定的差分方程两边作z 变换，得：

z 」Y(z) -10Y(z)+zY(z)=X(z)

可求其极点为

a 1 Z

1 =3,Z

2 =-

3

为了使系统稳定，收敛区域必须包括单位圆，故取

1/3v|z|v3,所以,

1 n n 1

h(n) = ---- (a 1n u(-n - 1pHa 2n u(n)), a^3,a 2 =-

-a 1 3

即可求得

3 1 h(n )— 8[3n 吩-1)+(3儿5)]

5. 设x(n) =R 4(n), x(n) =x((n))6，试求 X(k)。 解：

由 X(k) =!； x(n)W nk =2 x(n)=1 +e —+e —‘申

卅

x(n) =6(n — n 0), 0

解:

N -4

. 2 兀 N

X

y 宀J

因为 x(n) =6(n -n 0), 0 c n 0 < N ，所以

N 斗

dnk

X(k)=2 x(n)e N

^(k)

n=0 N4

.2兀

-d —nk

列

n —n op R N (k)

n z0

计算求得

n Z0

X(0)=4,

X(1>-b/3, X(2)=1

X( 3)=0, 6. 试求以下有限长序列的 X⑷=1, X( 5) = j 73

N 点 DFT

(1)

x(n) =a n

R N ( n); (1) 因为 x(n) =a n

R N (n)，所以

-1

7.用微处理器对实数序列作谱分析, 为1 kHz ，试确定以下各参数： 要求谱分辨率 F < 50Hz ，信号最高频率 （1）最小记录时间T pmin ； （ 2）最大采样间 隔T max ；（ 3）最少采样点数N min ;（4）在频带宽度不变的情况下，将频率 分辨率提高一倍的N 值。 解： （1） 已知 F=50 Hz T p min 1

= 0.02 s 50 (3) T max

1 _1 f

2 f I smin 厶 I max 1 = ------ =0.5 ms 2x10 N min

丄竺容

40

T 0.5咒

10 频带宽度不变就意味着米样间隔 为0.04s 实现频率分辨率提高 ,, 0.04s CC

Nmin = C L =80 0.5ms

8. N = 16时，画出基2按时间抽取法的 然顺序） 解：略。 9. 写出下图中流图的系统函数。 (4) T 不变，应该使记录时间扩大一倍 1倍（F 变为原来的1/2 ）。 FFT 流图（采用输入倒位序，输出自

y(n)

x (n)

(a )

1/2

1/4

y( n)

(b )

% =0?

2+lz 」 4

8

1 1 H(z)= — 1--z^ ^-z^

2 4

解:

或者

1

()彳 1 二 3」3 _2 . 1 _1 3 _2 1__Z +-z — z 1+-z --z

2 4 8 4 8

10.假设某模拟滤波器H a (s)是一个低通滤波器，又知H (z) = H a (s) I A '

Z_1

数字

滤波器H(z)的通带中心位于下面那种情况？并说明原因。 (1) w=0(低通)。 (2) w =兀(高通)。

(3) 除0或；！以外的某一频率(带通)。 解：

按题意可写出

H(z)=H a (s)| Z 十

S -- Z 」

z +j e ^+1

o

cos —

o c

j ——=j

cot- .⑷ 2 sin

2

mWcot —| 2 原模拟低通滤波器以0=0为通带中心，由上式可知，0时，对 =兀，故答案为(2)。 11.用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。已知B =0.5沢，N =21。 求出h(n)。 解： 因为 吋丄轨(e 计如煮j e %诗Si n [5詈

其中 2化10,

2

(a )

(b)

—SI n ( 2 )

h d (n)w(n) =< —:

，0

- n

兰20

其中w (n )是窗函数。

5 -10)

0, n 为其

h(n)=