设系统分别用下面的差分方程描述

因为x(n)以N 为周期，所以:
x(n 中kN —m) =x(n -m)
第三套
1.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出, 判断系统是否是线性时不变的。

(1) y(n)=2x( n)+3 n
y(n)= Z x(m) m 鱼 解: (1
) 令：输入为x(n- n o )，输出为y '(n) =2x(n-山)+3，因为 y(n- n o ) =2x( n- n o )+3= y '(n)
故该系统是时不变的。

又因为
T[ax 1 (n) + bx 2( n)] = 2ax 1 (n) +
2bx 2( n) + 3
T[ax i (n)] =2ax i (n)+3，T[bx 2(n)] =2bx 2(n) + 3 T[ax 1(n) + bx 2(n)] h aTIxJn)] +bT[x 2(n)]
故该系统是非线性系统。

n
令：输入为x(n- n o )，输出为y(n)=2： x(m-r t )，因为
m=0
n 』0
I
y(n - n 。

)= S x(m)北 y (n) m zzO
故系统是时变系统。

又因为
n
T[ax 1 (n) + bx 2(n)]=送(ax 1 (m) + bx 2(m)^ aT[x 1(n)] +bT[x 2(n)]
m =0
2. 故系统是线性系统。

如果时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应为 为周期的周期序列， 证明：
h(n),输入x(n)是以N
试证明其输出 y(n)亦是以N 为周期的周期序列。

y( n)=h( n)*x( n)=
□C
y( n+kN)= Z
m z=-oc
h(m)x(n+kN - m) , k 为整数
□c
y(n +kN)=送 h (m)x( n —m) = y( n) 即y(n)也是周期序列，且周期为No
3.
已知x(n)又傅立叶变换X(e jw )，用X(e jw )表示下列信号的傅立叶变换:
X 1(n)=x(-n )+x(n )
X 2(n) = ( n —1)2
x( n)
解:
因为 DTFT[x*( — n) ]= X *( e jw
)，所以
x i
jw )] 因为X(e jw
^f x(n)e 」wn ，所以
n z^-oc
dX(e jw ) .dX(e jw
)
=j
(-j)dw dw
同理
DTFT[h(n)=亠(a 1n
u(-n-1)+a 2n
u(n)),]=j 臼叮)一咛
dw dw dw
而 X 2(n) =n 2x(n)-2nx(n)+x(n)，所以:
DTFT[
x 2(n)]=DTFT[ n 2
x(n) ]-2DTFT[ nx(n) ]+DTFT[x(n)]
-必导-2j dX ^+X(e jw )
dw
dw
4. 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满
10
足y( nT)- y(n) + y( n+1) = x( n)，并已知系统是稳定的。

试求其单位抽
3
样响应。

(1) DTFT[
dX(e jw ) dw
送(-jn)x(n 归如
n =oC
DTFT[ nx( n)]=
a 2 -a i
解：
n £
对给定的差分方程两边作z 变换，得：
z 」Y(z) -10Y(z)+zY(z)=X(z)
可求其极点为
a 1 Z
1 =3,Z
2 =-
3
为了使系统稳定，收敛区域必须包括单位圆，故取
1/3v|z|v3,所以,
1 n n 1
h(n) = ---- (a 1n u(-n - 1pHa 2n u(n)), a^3,a 2 =-
-a 1 3
即可求得
3 1 h(n )— 8[3n 吩-1)+(3儿5)]
5. 设x(n) =R 4(n), x(n) =x((n))6，试求 X(k)。

解：
由 X(k) =!； x(n)W nk =2 x(n)=1 +e —+e —‘申
卅
x(n) =6(n — n 0), 0 <n 0 c N
解:
N -4
. 2 兀 N
X
y 宀J
因为 x(n) =6(n -n 0), 0 c n 0 < N ，所以
N 斗
dnk
X(k)=2 x(n)e N
^(k)
n=0 N4
.2兀
-d —nk
列
n —n op R N (k)
n z0
计算求得
n Z0
X(0)=4,
X(1>-b/3, X(2)=1
X( 3)=0, 6. 试求以下有限长序列的 X⑷=1, X( 5) = j 73
N 点 DFT
(1)
x(n) =a n
R N ( n); (1) 因为 x(n) =a n
R N (n)，所以
-1
7.用微处理器对实数序列作谱分析, 为1 kHz ，试确定以下各参数： 要求谱分辨率 F < 50Hz ，信号最高频率 （1）最小记录时间T pmin ； （ 2）最大采样间 隔T max ；（ 3）最少采样点数N min ;（4）在频带宽度不变的情况下，将频率 分辨率提高一倍的N 值。

解： （1） 已知 F=50 Hz T p min 1
= 0.02 s 50 (3) T max
1 _1 f
2 f I smin 厶 I max 1 = ------ =0.5 ms 2x10 N min
丄竺容
40
T 0.5咒
10 频带宽度不变就意味着米样间隔 为0.04s 实现频率分辨率提高 ,, 0.04s CC
Nmin = C L =80 0.5ms
8. N = 16时，画出基2按时间抽取法的 然顺序） 解：略。

9. 写出下图中流图的系统函数。

(4) T 不变，应该使记录时间扩大一倍 1倍（F 变为原来的1/2 ）。

FFT 流图（采用输入倒位序，输出自
y(n)
x (n)
(a )
1/2
1/4
y( n)
(b )
% =0®
2+lz 」 4
8
1 1 H(z)= — 1--z^ ^-z^
2 4
解:
或者
1
()彳 1 二 3」3 _2 . 1 _1 3 _2 1__Z +-z — z 1+-z --z
2 4 8 4 8
10.假设某模拟滤波器H a (s)是一个低通滤波器，又知H (z) = H a (s) I A '
Z_1
数字
滤波器H(z)的通带中心位于下面那种情况？并说明原因。

(1) w=0(低通)。

(2) w =兀(高通)。

(3) 除0或；！以外的某一频率(带通)。

解：
按题意可写出
H(z)=H a (s)| Z 十
S -- Z 」
z +j e ^+1
o
cos —
o c
j ——=j
cot- .⑷ 2 sin
2
mWcot —| 2 原模拟低通滤波器以0=0为通带中心，由上式可知，0时，对 =兀，故答案为(2)。

11.用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。

已知B =0.5沢，N =21。

求出h(n)。

解： 因为 吋丄轨(e 计如煮j e %诗Si n [5詈
其中 2化10,
2
(a )
(b)
—SI n ( 2 )
h d (n)w(n) =< —:
，0
- n
兰20
其中w (n )是窗函数。

5 -10)
0, n 为其
h(n)=。