2021-2022年高三上学期期初数学试卷含解析

2021年高三上学期期初数学试卷含解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．已知=3+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b= ．

2．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取人．

3．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“a=1”的条件．（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）

4．按如图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出的k= ．

5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

（1）若l⊥α，m?α，则l⊥m；

（2）若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

（3）若l∥α，m?α，则l∥m；

（4）若l∥α，m∥α，则l∥m

则其中正确的命题是．（填序号）

6．将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y=x下方的概率为．

7．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=．

8．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．

9．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．

11．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，若AB=2，则实数m的值为．12．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

13．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为﹣，则f（x）在该区间上的最大值是．

14．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||，?=?=?=﹣2，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是．

二、解答题：本大题共6小题，共计70分．

15．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f（x）=sin2x?（1+cos2C）﹣cos2x?sin2C+的图象过点（，）．

（1）求sinC的值；

（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长．

16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点

（1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．

17．如图，某隧道的截面图由矩形ABCD和抛物线型拱顶DEC组成（E为拱顶DEC的最高点），以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，已知拱顶DEC的方程为y=﹣x2+6（﹣4≤x≤4）．

（1）求tan∠AEB的值；

（2）现欲在拱顶上某点P处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB的张角∠APB最大，求此时点P到AB的距离．

18．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；

（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．

19．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

20．设等比数列{a n}的前n项的和为S n，公比为q（q≠1）．

（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14成等差数列；

（2）若S m，S k，S t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{a n}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；

（3）若q为大于1的正整数．试问{a n}中是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．

第Ⅱ卷（附加题共40分）[选修4-2：矩阵与变换]

21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线x+y﹣b=0（a，b∈R），求a+b的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B，求线段AB 的长．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；

（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，

求出AM的长，若不存在，请说明理由．

24．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．

（1）求恰好摸4次停止的概率；

（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．

xx江苏省南京市溧水中学高三（上）期初数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．已知=3+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=6．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【解答】解：∵=3+i，∴a+bi=（2﹣i）（3+i）=7﹣i，

∴a=7，b=﹣1．

∴a+b=6．

故答案为：6．

2．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取16人．

【考点】分层抽样方法．

【分析】由题意知从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用O型血型的人数乘以概率得到这种血型所要抽取的人数，得到结果．【解答】解：根据题意知用分层抽样方法抽样．

∵=，

故O型血抽：200×=16人，

故答案为：16．

3．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“a=1”的必要不充分条件．（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）

【考点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】做出两个集合的并集是全体实数时，看出a与1之间的关系，得到a的取值范围，比较两个条件对应的范围，看出两个范围的大小，得到前者不能推出后者，后者能推出前者．【解答】解：∵集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，

当A∪B=R时，a≤1，

∵a≤1不一定得到a=1

当a=1时一定可以得到a≤1

∴“A∪B=R”是“a=1”的必要不充分条件，

故答案为：必要不充分条件

4．按如图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出的k=3．

【考点】流程图的概念；选择结构．

【分析】这是一道直到型循环结构题，直到满足条件跳出循环体，不满足条件就进入循环体．每次执行完循环体后，把每个变量的值都标清楚，这样就很容易得到结果．

【解答】解：当输入x=8时，

第一次循环结束后x=88，k=1，不满足x＞xx，继续进入循环体；

第二次循环结束后x=888，k=2，不满足x＞xx，继续进入循环体；

第三次循环结束后x=8888，k=3，满足x＞xx，跳出循环体；此时输出的k值为3

故答案为：3

5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

（1）若l⊥α，m?α，则l⊥m；

（2）若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

（3）若l∥α，m?α，则l∥m；

（4）若l∥α，m∥α，则l∥m

则其中正确的命题是．（填序号）

【考点】平面的基本性质及推论．

【分析】根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析四个结论，由线面垂直的判定定理，我们可得①不满足定理，故①错误；③中若l∥α，m?α，则l与m可能平行也可能垂直，故③错误；④中若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故④错误；分析后即可得到结论．

【解答】解：∵l⊥α，m?a，∴l⊥m，故（1）正确；

若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故（2）正确；

若l∥α，m?α，则l与m可能平行也可能垂直，故（3）错误；

若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故（4）错误；

故答案为：（1），（2）．

6．将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y=x下方的概率为．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】根据古典概型的概率公式分别求出基本事件以及满足y=x的事件的个数即可得到结论．

【解答】解：一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，

则共有6×6=36种结果，

满足点P（m，n）在直线y=x下方的有：（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（5，2），（6，2）共有6种，

则由古典概型的概率公式可得y=x下方的概率为P==，

故答案为：

7．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=3．【考点】正弦函数的图象．

【分析】由正弦函数图象及性质可知=，求得周期T，由ω==即可求得ω的值．

【解答】解：由题意可知：x=，为函数f（x）=sinωx的最大值点，

∴=，T=，

由ω===3，

故答案为：3．

8．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得B（3，﹣1），

x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（﹣1）2=10，

故答案为：10．

9．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为3+2．

【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．

【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，

即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，

求得q=1±，

∵各项都是正数，

∴q＞0，q=1+，

∴==q2=3+2．

故答案为：3+2

10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，即双曲线中c=3，根据双曲线中a，b，c的关系求出a的值即可得到结论．

【解答】解：抛物线的焦点坐标为（﹣3，0），

则c=3，

即a2+1=c2=9，

即a2=9﹣1=8，则a==2，

即双曲线的渐近线为y=±x=x=±x，

故答案为：

11．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，若AB=2，则实数m的值为﹣．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】利用弦长公式，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求出实数m的值．

【解答】解：由题意，|AB|=2，

∴圆心到直线的距离d=3，

∴=3，

∴m=﹣．

故答案为：﹣．

12．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．

【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m2＜m（m＞0），

即m2＞3m（m＞0），

解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

故答案为：（3，+∞）．

13．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为﹣，则f（x）在该区间上的最大值是．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】由f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2+2a+，当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上先增后减，由f（x）在x∈[1，4]上的最小值为，知f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}=min{2a ﹣，8a﹣}=8a﹣=﹣，故a=1．由此能求出f（x）在该区间上的最大值．

【解答】解：f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2+2a+，

当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上先增后减

∵f（x）在x∈[1，4]上的最小值为，

∴f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}

=min{2a﹣，8a﹣}=8a﹣=﹣，

∴a=1

∴f（x）在该区间上的最大值=f（2）=．

故答案为：．

14．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||，?=?=?=﹣2，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由||=||=||，?=?=?=﹣2，可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣）．由

动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ）．M．再利

用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．

【解答】解：∵||=||=||，?=?=?=﹣2，

∴可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），

动点P，M满足||=1，=，

可设：P（2+cosθ，sinθ）．M．

∴=．

则||2=+

=≤，当且仅当=1时取等号．

故答案为：．

二、解答题：本大题共6小题，共计70分．

15．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f（x）=sin2x?（1+cos2C）﹣cos2x?sin2C+的图象过点（，）．

（1）求sinC的值；

（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长．

【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理．

【分析】（1）把点代入f（x）的解析式，解方程求得sinC 的值．

（2）由，2sinA=sinC，可得c=4，根据sinC的值求得cosC的值，三角形ABC中，由余弦定理可得

16=4+b2﹣4bcosC，解方程求出b值．

【解答】解：（1）把点代入f（x）的解析式可得，

∴sinC=±．

再由∠C 是△ABC的一个内角可得sinC=．

（2）由，2sinA=sinC，可得，c=2a=4．

∵，∴cosC=±．三角形ABC中，由余弦定理可得16=4+b2﹣4bcosC ①，

当cosC= 时，代入①解得b=2，或b=﹣2（舍去）．

当cosC=﹣时，代入①解得b=，或b=﹣2（舍去）．

综上，c=4，b=2，或b=．

16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点

（1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．

（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由?=0，?=0，即可证明AP⊥平面A1CD．

【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，

∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，

∵D是AB的中点，

∴△ABC1中，OD∥BC1，

又∵OD?平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD．

（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，

则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），

可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），

所以：由?=0，可得：AP⊥A1C，由?=0，可得：AP⊥A1D，

又：A1 C∩A1 D=A1，

所以：AP⊥平面A1CD．

17．如图，某隧道的截面图由矩形ABCD和抛物线型拱顶DEC组成（E为拱顶DEC的最高点），以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，已知拱顶DEC的方程为y=﹣x2+6（﹣4≤x≤4）．

（1）求tan∠AEB的值；

（2）现欲在拱顶上某点P处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB的张角∠APB最大，求此时点P到AB的距离．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（1）利用二倍角正切公式求tan∠AEB的值；

（2）利用向量的数量积公式，求出cos∠APB，利用面积公式求出sin∠APB，可得tan∠APB，利用基本不等式可得结论．

【解答】解：（1）由题意：E（0，6），B（4，0），

∴，

∴，…

（2）设P（x0，y0），2≤y0≤6，

∴，

∴，∴…

∵，∴

∴…

∵2≤y0≤6，∴当且仅当时tan∠APB最大，即∠APB最大．

答：位置P对隧道底AB的张角最大时P到AB的距离为米．…

18．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；

（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．

【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．

【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义和AC，BC求得椭圆的长轴，进而根据c求得b，则椭圆的方程可得．

（Ⅱ）先用正弦定理可知=2R，进而求得R，设出圆心坐标，根据勾股定理求的s，则外接圆的方程可得．

（Ⅲ）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标，进而根据PM=PQ，求得关于x的方程，进而列出方程组，消去m，得到关于n的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况．

【解答】解：（Ⅰ）因为AC=5，BC=3，所以椭圆的长轴长2a=AC+BC=8，

又c=2，所以b=2，故所求椭圆的方程为

（Ⅱ）因为=2R，所以2R=4，即R=2

又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为（0，s）（s＞0），

则由4+S2=8，所以△ABC的外接圆的方程为x2+（y﹣2）2=8

（Ⅲ）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t），因为恒有PM=PQ，所以（x ﹣m）2+（x+t﹣n）2=x2+（x+t﹣2）2﹣8，

即（2m+2n﹣4）x﹣（m2+n2﹣2nt+4t+4）=0，对x∈R，恒成立，

从而，消去m，得n2﹣（t+2）n+（2t+4）=0

因为方程判别式△=t2﹣4t﹣12，所以

①当﹣2＜t＜6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M

②当t≥6或t≤﹣2时，因为方程有实数解，且此时直线y=x+t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在．

19．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；

（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）

=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，

求导数，即可确定a的取值范围．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），

当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；

当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，

∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，

则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；

综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，

即证，也就是证，

令h（x）=，则h′（x）=，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，

即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）解：由f （x ）＞g （x ），得

，

设t （x ）=， 由题意知，t （x ）＞0在（1，+∞）内恒成立，

∵t （1）=0，

∴有t ′（x ）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，

令φ（x ）=，

则φ′（x ）=2a=，

当x ≥2时，φ′（x ）＞0，

令h （x ）=，h ′（x ）=，函数在[1，2）上单调递增，∴h （x ）min =h （1）=﹣1．

又2a ≥1，e 1﹣x ＞0，∴1＜x ＜2，φ′（x ）＞0，

综上所述，x ＞1，φ′（x ）＞0，φ（x ）在区间（1，+∞）单调递增，

∴t ′（x ）＞t ′（1）≥0，即t （x ）在区间（1，+∞）单调递增，

∴a ≥．

20．设等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，公比为q （q ≠1）．

（1）若S 4，S 12，S 8成等差数列，求证：a 10，a 18，a 14成等差数列；

（2）若S m ，S k ，S t （m ，k ，t 为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{a n }中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；

（3）若q 为大于1的正整数．试问{a n }中是否存在一项a k ，使得a k 恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．

【考点】等差数列与等比数列的综合．

【分析】（1）根据S 4，S 12，S 8成等差数列，q ≠1，可得2S 12=S 4+S 8，化简可得2q 8=1+q 4，进而可以证明a 10，a 18，a 14成等差数列；

（2）根据S m ，S k ，S t （m ，k ，t 为互不相等的正整数）成等差数列，可得2S k =S m +S t ，化简可得，从而可得a m +1，a k +1，a t +1成等差数列，即可得出结论；

（3）假设存在一项a k ，使得a k 恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a k =a n +a n +1，可得k ＞n ，q k ﹣n =1+q

，从而可得结论．

【解答】解：（1）若S 4，S 12，S 8成等差数列，q ≠1，则2S 12=S 4+S 8，

∴=+

∴2q 8=1+q 4

∴a 10+a 14====2a 18，

∴a 10，a 18，a 14成等差数列；

（2）若S m ，S k ，S t （m ，k ，t 为互不相等的正整数）成等差数列，则2S k =S m +S t ， ∴=+

∴2q k =q m +q t

∴

∴a m +1，a k +1，a t +1成等差数列，

∴a m +2，a k +2，a t +2成等差数列；

（3）假设存在一项a k ，使得a k 恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a k =a n +a n +1， 则

∵a1≠0，q＞1

∴q k﹣1=q n﹣1+q n

∴q k=q n+q n+1

∵q n+1＞1

∴q k＞q n

∴k＞n，q k﹣n=1+q

当q为偶数时，q k﹣n为偶数，而1+q为奇数，假设不成立；

当q为奇数时，q k﹣n为奇数，而1+q为偶数，假设也不成立，

综上，{a n}中不存在a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续两项的和．

第Ⅱ卷（附加题共40分）[选修4-2：矩阵与变换]

21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线x+y﹣b=0（a，b∈R），求a+b的值．

【考点】几种特殊的矩阵变换．

【分析】根据矩阵的坐标变换，=，整理得，列方程求得a和b的值，求得a+b的值．

【解答】解：设P（x，y）是直线x+﹣2=0上一点，由=，

得：x+ay+（x+2y）﹣b=0，

即，

由条件得，

解得：，

∴a+b=4．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B，求线段AB 的长．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】由曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得曲线C的普通方程．由直线l的极坐标方程为，可得直线l的直角坐标方程．

∴圆心到直线的距离为，利用弦长公式即可得出．

【解答】解：由曲线C的参数方程为（α为参数），

利用cos2α+sin2α=1可得曲线C的普通方程为，表示以为圆心，2为半径的圆．

由直线l的极坐标方程为，可得直线l的直角坐标方程为，

∴圆心到直线的距离为，

∴线段AB的长为．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；

（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，

求出AM的长，若不存在，请说明理由．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

【分析】（I）根据三线合一得出AO⊥AD，利用面面垂直的性质即可得出AO⊥平面ABCD；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBE和平面ABE的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值；

（III）假设存在符合条件的点M（1，x，0），求出平面PAD的法向量，则|cos＜，＞|=，解方程得出x，根据x的范围判断．

【解答】解：（Ⅰ）∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，

∴PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）取BC的中点F，

∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，

∴PO，OF，AD两两垂直．

以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：

则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），

∴=（1，﹣1，），=（2，1，0），=（0，0，）．

显然平面EBA的法向量为=（0，0，）．

设平面PBE的法向量为=（x，y，z），则，

∴，令x=1，得=（1，﹣2，﹣）．

∴=﹣3，||=2，||=，

∴cos＜＞=﹣．

∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．

（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面PAD所在平面成30°角，

∵平面PAD的法向量为=（0，2，0），=（1，x，﹣），

∴cos＜，＞==．

∴sin30°==，解得，符合题意．

∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成30°角．

24．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．

（1）求恰好摸4次停止的概率；

（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．

【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．

【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．

（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，

则．…

（2）由题意，得X=0，1，2，3，

，

，

，

，…

∴X的分布列为

X 0 1 2 3

P

…

xx10月20日