上海市2020届交大附中高一下学期数学4月份期中考试卷
上海交大附中高一下学期期中考试数学试题
上海市交大高一下学期期中考试数学试题（满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上）一、填空题（每题3分）1、 若1sincos225αα-=，则sin α=_________。
2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。
3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。
4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。
6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。
7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。
8、 设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x -α)是偶函数，则α 的值为_________。
9、 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的大小为_____________。
（结果用反三角表示）。
10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若sin α，则(4cos2)f α的值为___________________。
11、 设tan α和tan β是方程mx 2+(2m -3)x+m -2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。
12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}；②若2sin 1cos =+x x ，则tan2x 必为12；③0≠ab ，sin cos ),()+=+<a x b x x ϕϕπ中，若0>a ，则arctan=ba ϕ；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[，2]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。
上海市交大附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题
11．函数 的值域是_______
12．设函数 ，其中 、 为已知实常数， .
下列所有正确命题的序号是____________．
①若 ，则 对任意实数 恒成立；
②若 ，则函数 为奇函数；
③若 ，则函数 为偶函数；
④当 时，若 ，则 .
17．在 ，角A，B，C所对的边分别为 ，b，c，已知 ， ，且 .
（1）当 ， 时，求 ，c的值；
（2）若B为锐角，求实数 的取值范围.
18．已知函数 ， .
（1）若直线 是函数 的图像的一条对称轴，求 的值；
（2）若 ，求 的值域.
19．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足 ，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
5．函数 的单调递增区间是________
6．已知 ，将 从小到大排列___________
7．若 是偶函数,则有序实数对( )可以
是.
8．若函数 的图像与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的取值范围是______
9．将 图像上所有点向右平移 个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为________
本题考查余弦定理的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题．
4．
【分析】
利用诱导公式化简所给的式子，即可得答案．
【详解】
因为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查诱导公式应用，求解时注意函数名和符号问题，属于基础题．
5．
【分析】
2019-2020学年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷(附答案解析)
2019-2020学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．（4分）若2arcsin（x﹣2）＝，则x＝．2．（4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6＝17，且a3，a11，a43成等比数列，则d ＝．3．（4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6＝4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝．4．（4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是．5．（4分）在△ABC中，a2+b2﹣mc2＝0（m为常数），且+＝，则m的值是．6．（4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝．7．（4分）已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+4c的最小值为9．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2﹣12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则的最小值．10．（4分）在等差数列{a n}中，若S10＝100，S100＝910，S110＝．11．（4分）设函数f（x）＝，函数g（x）＝，则方程f （x）＝g（x）根的数量为个．12．（4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且＝，则使得为整数的正整数k有个．13．（4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为．14．（4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M＝a201+a202+a203+…+a401的最大值为．二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15．（3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．16．（3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝2，B，A，C 成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．17．（3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A．{λa n}（λ为常数）B．{a n+b n}C．{a n2﹣b n2}D．{{a n•b n}}18．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝15，b＝24，A＝60°，则这样的三角形解的个数为（）A．1B．2C．0D．不确定19．（3分）已知函数，下列说法中错误的是（）A．函数f（x）的定义域是B．函数f（x）图象与直线没有交点C．函数f（x）的单调增区间是D．函数f（x）的周期是220．（3分）函数y＝cos（2x+），x∈[0，]的值域为（）A．[0，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣，] 21．（3分）函数y＝sin x，x的反函数为（）A．y＝arcsin x，x∈[﹣1，1]B．y＝﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]C．y＝π+arcsin x，x∈[﹣1，1]D．y＝π﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝b2+c2﹣4，a＝2，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．2πD．4π23．（3分）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C224．（3分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1﹣x2|的最小值为，则φ等于（）A．B．C．D．25．（3分）若等比数列{a n}的前n项和S n＝3（2n+m），则a12+a22+…+a n2＝（）A．B．4n﹣1C．3（4n﹣1）D．无法确定26．（3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．27．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A．恒为负数B．恒为正数C．恒为0D．可正可负28．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sin x﹣a cos x 的一条对称轴可以为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝。
上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题(含解析)
上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题〔含解析〕一． 填空题1.计算矩阵的乘积 : ()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为 : (3,)a ac【点睛】此题主要考查矩阵的乘积 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.2.计算 : 012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++ , 再利用二项式定理得解. 【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为 : 4n【点睛】此题主要考查二项式定理的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知23sincos 223θθ+= , 那么sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】 把等式23sin cos 223θθ+=两边同时平方化简即得解.【详解】由题得221sincos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为 : 13【点睛】此题主要考查二倍角的正弦公式的应用 , 考查同角的平方关系的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.假设双曲线2214x y m-=的焦距为6 , 那么该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=. 所以双曲线的虚轴长为25.故答案为 : 25【点睛】此题主要考查双曲线的简单几何性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.5.在首项为21 , 公比为12的等比数列中 , 最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项 , 再列举出数列的前几项 , 比拟即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为 : 5【点睛】此题主要考查等比数列的通项 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.6.如以下图 , 二面角l αβ--的大小是3π , 线段AB ⊂α , B l ∈ , AB 与l 所成的角为6π , 那么AB 与平面β所成的角是_____〔用反三角函数表示〕【答案】3arcsin4【解析】【分析】 如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC , 证明3ACO π∠=, 不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC . 因为AO β⊥ , 所以AO l ⊥ , 因为AC l ⊥ ,,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC , 所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角 , 所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,,2AC AB AO =∴==由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠, 所以332sin 24ABO ∠==. 所以3arcsin 4ABO ∠=. 故答案为 : 3arcsin 4【点睛】此题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算 , 考查空间直线和平面所成的角的作法和计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边 , 2a = , 且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C - , 那么△ABC 面积的最大值为_____. 【答案】3【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=- , 结合余弦定理可求A 的值 , 由基本不等式可求4bc , 再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=- ,又因为2a = , 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴= , ABC ∆面积13sin 24S bc A bc == , 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以13sin 324S bc A bc == , 即ABC ∆面积的最大值为3．故答案为 : 3．【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用 , 考查了计算能力和转化思想 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+ , ()g x 是以2为周期的偶函数 , 且当01x ≤≤时 , 有()g x =()f x , 那么函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈- , 0]上的解析式 , 再根据周期为2求出[1x ∈ , 2]上的解析式 , 最后求出反函数．【详解】当10x -时 , 01x - , ()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+ ,当12x 时 , 120x -- , ()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+ ,()310g x x ∴-+= , ()310g x x ∴=- ,所以1()310x g x -=- ,()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数 ,()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=- , (02)x lg .故答案为 : 310([0,lg2])x x -∈【点睛】此题主要考查反函数的求法 , 考查根据函数的奇偶性周期性求解析式 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数 , 方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解 , 那么这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-= , 再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】假设α满足(2019)0f α+= ,那么取1x α=- , 那么(2020)(2019)0f x f α-=+= , 那么1α-也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1αα+-= ,既然有7个根 , 所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为 : 3.5 【点睛】此题主要考查方程的零点 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数 , 其中a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 假设集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N , 那么A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和 , 可得分数形式 , 再由列举法可得集合A , 求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数 ,即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==- , 1{|0.A n ab n== , *110}{|99a b n N n n +∈== , *}n N ∈ , a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 可得0a = , 1b = , 99n = ; 0a = , 3b = , 33n = ; 0a = , 9b = , 11n = ;0a ≠时 , 不存在满足题意的n ,那么A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为 : 143【点睛】此题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法 , 注意运用列举法 , 考查化简运算能力 , 属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数〔*n ∈N 〕 , 127k a =⋅〔k 是一个已知的正整数〕 , 假设存在*m ∈N , 当n m >且n a 为奇数时 , n a 恒为常数p , 那么p =_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出当1k =时 , 当2k =时 , 得1p = , 再说明127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=列举出该数列 , 即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数 , 所以112272722k k a a -=== , 当1k =时 , 234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a = , 所以1p = ; 当2k ≥时 , 1227k a -=是偶数 , 所以223272k a a -== , 当2k =时 , 同理可得1p = ;; 所以127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为 : 1【点睛】此题主要考查递推数列的性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.假设实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.那么xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件 , 再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+ , ∴10x y -+＞ , ()()()()2221121111111x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥ , 当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈ ,即()12k x y k Z π+==∈ , 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭〔当且仅当0k =时取等号〕 , 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时 , 要特别注意〞拆、拼、凑〞等技巧 , 使其满足基本不等式中〞正〞(即条件要求中字母为正数)、〞定〞(不等式的另一边必须为定值)、〞等〞(等号取得的条件)的条件才能应用 , 否那么会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数 , 那么对任意12,x x ∈R , 〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的〔 〕条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性 , 再证明必要性 , 即得解.【详解】当12x x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12()()f x f x < , 所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分条件 ;当12()()f x f x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12x x < , 所以所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的必要条件. 综合得〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分必要条件.应选 : C.【点睛】此题主要考查充分必要条件的判定 , 考查函数单调性的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知11z ≠- ,111i 1z b z -=+〔b ∈R 〕 , 2141(+1)z z =- , 那么z 对应的点在〔 〕 A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上【答案】B【解析】【分析】先求出214+1bi z b z =- , 再求出12221+1bi z b+=+ , 代入得22z b bi =-- , 设,z x yi =+即得解.【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+ , 所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+ , 代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=- , 消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.应选 : B【点睛】此题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中 , O 是坐标原点 , 两定点A , B 满足2OA OB OA OB ==⋅= , 由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB , |λ|＋|μ|≤1 , λ , μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 22B. 23C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知 :21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OBOA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y === , 那么 : 23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123y y x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域 , 如以下图． 那么所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 此题选择D 选项.16.已知1a , {}234,,1,2,3,4a a a ∈ , ()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类 ,如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，， , 求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为〔 〕A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D 【解析】 【分析】此题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、 , 然后分别计算出每一种取值所对应的概率 , 最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值．【详解】由题意可知 :当()1234,,,1N a a a a =时 , 14114464P =⨯= ; 当()1234,,,2N a a a a =时 , ()1214442468421425664C C C P ⨯++=== ;当()1234,,,3N a a a a =时 , ()34436+3+31449425616P ⨯=== ; 当()1234,,,4N a a a a =时 , 4444243==425632A P = ,综上所述 , 所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为 :121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯ , 应选D ． 【点睛】此题考查了平均值的计算 , 能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决此题的关键 , 考查推理能力与计算能力 , 是难题． 三． 解答题17.如以下图 , 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 , 放在水平桌面上 , 被一阵风吹倒．〔1〕求该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕求该圆锥被吹倒后 , 其最高点到桌面的距离d ． 【答案】〔1〕=50S π厘米 , 12533V π=立方厘米 ; 〔2〕53h =厘米． 【解析】 【分析】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 求出圆锥的高 , 利用公式即可求出该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕根据圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ．【详解】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 那么10l =厘米 , 且r l 2π=π , 解得 : =5r 厘米 ,外表积=50S rl ππ=〔平方厘米〕 , 圆锥的高2253h l r =-=〔厘米〕 , ∴体积21125333V r h ππ==〔立方厘米〕． 〔2〕∵圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米 , ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高 , 53h =厘米．【点睛】此题主要考查圆锥的外表积和体积的计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++〔0A > ,, 2πϕ<〕的图象如以下图所示〔1〕求出函数()f x 的解析式 ; 〔2〕假设将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14〔纵坐标不变〕得到函数()y g x =的图象 , 求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】〔1〕1()4sin()223f x x π=++ ;〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈ , (,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】〔1〕通过函数的图象求出振幅 , 周期 , 以及b ．求出函数f 〔x 〕的解析式 ;〔2〕利用平移变换的运算求出函数y ＝g 〔x 〕的解析式 , 通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心． 【详解】〔1〕 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++〔2〕显然()4sin(2)26g x x π=++由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】此题考查三角函数的解析式的求法 , 平移变换以及正弦函数的单调区间 , 对称中心的求法 , 考查计算能力．19.假设函数()y f x =满足〞存在正数λ , 使得对定义域内的每一个值1x , 在其定义域内都存在2x , 使12()()f x f x λ=成立〞 , 那么称该函数为〞依附函数〞．〔1〕分别判断函数①()2x f x = , ②2()log g x x =是否为〞依附函数〞 , 并说明理由 ; 〔2〕假设函数()y h x =的值域为[,]m n , 求证 : 〞()y h x =是‘依附函数’〞的充要条件是〞0[,]m n ∉〞．【答案】〔1〕①是 , ②不是 ; 理由详见解析〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】〔1〕①可取1λ= , 说明函数()2x f x =是〞依附函数〞 ; ②对于任意正数λ , 取11x = , 此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , 说明2()log g x x =不是〞依附函数〞 ;〔2〕先证明必要性 , 再证明充分性 , 即得证.【详解】〔1〕①可取1λ= , 那么对任意1x ∈R , 存在21x x =-∈R , 使得12221x x ⋅=成立 ,〔说明 : 可取任意正数λ , 那么221log x x λ=-〕 ∴()2x f x =是〞依附函数〞 ,②对于任意正数λ , 取11x = , 那么1()0g x = ,此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , ∴2()log g x x =不是〞依附函数〞． 〔2〕必要性 : 〔反证法〕假设0[,]m n ∈ ,∵()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的1x , 使得1()0h x = , ∴对任意正数λ , 关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解 , 即()y h x =不是依附函数 , 矛盾 , 充分性 : 假设0[,]m n ∉ , 取0mn λ=> ,那么对定义域内的每一个值1x , 由1()[,]h x m n ∈ , 可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈= , 而()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的2x , 使得21()()h x h x λ= , 即12()()h x h x λ=成立 ,∴()y h x =是〞依附函数〞．【点睛】此题主要考查函数的新定义 , 考查充分必要条件的证明 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如以下图 , 已知点P 是x 轴下方〔不含x 轴〕一点 , 抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ= , PE EB λ= , 其中λ为常数 , 且D 、E 两点均在C 上 , 弦AB 的中点为M ．〔1〕假设P 点坐标为(1,2)- , 3λ=时 , 求弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕在〔1〕的条件下 , 如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点 , 过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点 , 求证 : 假设1l 和2l 的斜率都存在 , 那么1l 与2l 的交点N 在直线PM 上 ;〔3〕假设直线PM 交抛物线C 于点Q , 求证 : 线段PQ 与QM 的比为定值 , 并求出该定值．【答案】〔1〕230x y -+= ; 〔2〕详见解析 ; 〔3〕证明详见解析 , 定值为1+λλ． 【解析】 分析】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 得到211230x x --=和222230x x --= , 即得,A B 的坐标 , 即得弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕先求出1:690l x y --= , 2:210l x y ++= , 再求出交点(1,3)N - , 即得证 ;〔3〕先求出直线PM 的方程为0x x = , 得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+= , 20Q y x = , 即得线段PQ 与QM 的比.【详解】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 由3PD DA = , 3PE EB = ,可得111323(,)44x y D +-+ , 221323(,)44x y E +-+ , 由D 点在C 上可得 :2112313()44y x -++= , 化简得 : 211230x x --= , 同理可得 : 222230x x --= ,∵A 、B 两点不同 , 不妨设(3,9)A , (1,1)B - , ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．〔2〕由〔1〕可知 , (3,9)A , (1,1)B - , 设11:9(3)l y k x -=- , 与2:C y x =联立 , 并令0∆= , 可得16k = , 同理2l 的斜率22k =- , ∴1:690l x y --= , 2:210l x y ++= ,解方程组得交点(1,3)N - , 而直线PM 的方程为1x = , 得证．〔3〕设00(,)P x y , 211(,)A x x , 222(,)B x x , 由PD DA λ= , 得20101(,)11x x y x D λλλλ++++ ,代入2yx , 化简得 : 22101002(1)0x x x y x λλλ-++-= , 同理可得 : 22202002(1)0x x x y x λλλ-++-= ,显然12x x ≠ , ∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根 ,∴1202x x x += , 20012(1)y x x x λλ+-⋅=,∴1202M x x x x +== , 即直线PM 的方程为0x x = , ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==, 20Q y x = , ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=, 200Q P y y x y -=- ,所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】此题主要考查直线和抛物线的位置关系 , 考查直线方程的求法 , 考查抛物线的定值问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列 , 满足6713a a a += , 2224967a a a a +=+ , 设正项数列{}n b 的前n 项和为n S , 且423n n S b +=．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 ;〔2〕在1b 和2b 之间插入1个数11x , 使1b 、11x 、2b 成等差数列 ; 在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x , 使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列 ; ⋅⋅⋅ ; 在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x , 使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++ ;② 对于①中的n T , 是否存在正整数m 、n , 使得12m n ma T a +=成立 ？假设存在 , 求出所有的正整数对(,)m n ; 假设不存在 , 请说明理由． 【答案】〔1〕n a n = , 1123n nb -=⋅ ; 〔2〕①123(3)43n nn T +=- ; ②存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)． 【解析】 【分析】〔1〕求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式 , 由题得当2n ≥时 ,423n n S b += , 11423n n S b --+= , 相减即得{}n b 的通项公式 ;〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ , 再利用错位相减法求和得解 ; ②假设存在正整数,m n , 使得12m n m a T a +=, 化简得2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ , 证明4n ≥时 ,2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 列举得解. 【详解】〔1〕设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 , 那么由6713a a a +=可得1a d = ,再由2224967a a a a +=+化简得 : 244d d = , 解得 : 1d = , ∴n a n = ,当1n =时 , 11423S b +=得 : 112b =; 当2n ≥时 , 423n n S b += , 11423n n S b --+= ,两式相减得113n n b b -=, ∴1123n n b -=⋅．〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ ,123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++ , 设2135211333n n P --=++++ ,所以2311352133333nn P -=++++, 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-, 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=-- , ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n , 使得12m n ma T a +=, 代入化简得23(23)3n nn m -+= , 即2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ ,那么由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得 : (1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时 , ()(4)480f n f ≥=> ,∴3(23)2(23)n n n -+>+ , 即2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 舍去 ; 当1n =时 , 3m =- , 舍去 ; 当2n =时 , 9m = , 符合题意 ;当3n =时 , 3m = , 符合题意 ;综上 : 存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】此题主要考查数列通项的求法和数列求和 , 考查数列的存在性问题的求解 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试卷(word,简答)
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷(满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上)一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)1、若52arcsin(2),43xπ-=则x=____.2、在公差d不为零的等差数列{}n a中，617,a=且31143,,a a a成等比数列,则d=____3、已知等比数列{}n a中，160,4,na a a>=则22232425log log log loga a a a+++=____4、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是____5、在△ABC中，2220a b mc+-=(m为常数)，且cos cos cos,sin sin sinA B CA B C+=则m的值是____6、已知等比数列{}n a的各项都是正数,n S为其前n项和,若488,24,S S==则16S=___7、已知函数f(x)=3sinx+4cosx12,[0,],x xπ∈则12()()f x f x-的最大值是_____8、在△ABC中,角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,且22,BD=则a+4c的最小值为____9、已知数列{}n a的前n项和2212,nS n n=-数列{||}na的前n项和,nT则nTn的最小值____10、在等差数列{}n a中,若10100110100,910,S S S===___11、设函数|sin|,0(),2,0xx xf xx<⎧=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x xg xx x-<⎧=⎨≥⎩则方程f(x)=g(x)根的数量为___个.12、已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和,n T且736,2nnS nT n+=+则使得2kkab为整数的正整数k有_____个.13、设等差数列{}n a的各项都是正数,公差为d,前n项和为,n S若数列{}n S也是公差为d的等差数列,则{}na的前6项和为_____14、若等差数列{}n a满足22120110,a a+≤则201202203401M a a a a=++++L的最大值为_____二、选择题(本大题共20题，每题3分，满分60分)15、已知数列{}n a为等差数列,若1598,a a aπ++=则28cos()a a+的值为()1.2A -.2B -1.2C2D16、△ABC 的内角A,B,C 所对应边分别为a,b,c 若a 6,,b B A ==，C 成等差数列,则B=().6A π5.6B π.6C π或56π2.3D π 17、若等差数列{}{}n n a b 和的公差均为d(d≠0),则下列数列中不为等差数列的是().{}n A a λ(λ为常数) .{}n n B a b +22.{}n n C a b -.{}n n D a b ⋅18、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,若a=15,b=24,A=60°,则这样的三角形解的个数为()A.1B.2C.0D.不确定19、已知函数()2tan().23f x x ππ=-+下列说法中错误的是()A.函数f(x)的定义域是1{|2,}3x x k k Z ≠+∈ B.函数f(x)图象与直线12,3x k =+k ∈Z 没有交点 C.函数f(x)的单调增区间是51(2,2),33k k k -++∈Z D.函数f(x)的周期是2 20、函数cos(2),[0,]32y x x ππ=+∈的值域为()A.[0,1]1.[1,]2B -1.[]22C -11.[,]22D -21、函数y=sinx,3[,]22x ππ∈的反函数是()A.y=arcsinx,x ∈[-1,1]B.y=-arcsinx,x ∈[-1,1]C.y=π+arcsinx,x ∈[-1,1]D.y=π-arcsinx,x ∈[-1,1]22、在△ABC 中,若△ABC 的面积为S,且2244,S b c =+-a=2,则△ABC 的外接圆的面积为()4Aπ.2B πC.2πD.4π23、已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是() A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位,得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移12π个单位,得到曲线2C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2C 24、已知()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称,若存在12,,x x R ∈使得对于任意x 都有12()()(),f x f x f x ≤≤且12||x x -的最小值为,2π则φ等于().12A π.6B π.4C π.3D π25、若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),nn S m =+则22212n a a a +++=L () 41.3n A - B.4n -1.3(41)n C -D.无法确定26、已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项和为,n S 则数列1{}nS 的前n 项和为() .2(1)nA n +1.2(1)B n n +2.(1)C n n +2.1nD n + 27、已知函数f(x)是定义在R 上的单调递减函数,且f(x)为奇函数,数列{}n a 是等差数列,1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值()A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28、已知函数f(x)=asinx+cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g(x)=sinx-acosx 的一条对称轴可以为()9.22A x π=13.22B x π=10.11C x π=13.11D x π=29、《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一文为十尺，一尺为十寸.问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30、已知等差数列{},{},n n a b 其前n 项和分别为23,,,31n n n n a n S T S n +=-则1111ST =() 15.17A25.32B C.1D.231、已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在m ∈N *满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为()B.2CD.432、已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为,n S 则下列结论正确的是() A.若120,a a +>则130a a +> B.若130,a a +>则120a a +> C.若a>0,则20210S >D.若10,a >则20200S >33、设等比数列{}n a 的公比为q,其前n 项之积为,n T 并且满足条件:2019120192020202011,1,0,1a a a a a ->><-给出下列结论:①02019202120191;10;q a a T <<->②③是数列{}n T 中的最大项;④使1n T >成立的最大自然数等于4039;其中正确结论的序号为()A.①②B.①③C.①③④D.①②③④34、对于无穷数列{},n a 给出下列命题:①若数列{}n a 既是等差数列,又是等比数列,则数列{}n a 是常数列. ②若等差数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列. ③若等比数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列.④若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020,n a ≤≤则数列{}n a 是常数列. 4.1B.2C.3D.4三、解答题(本大题共2题，满分34分)35、(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分) 已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,满足9()134f π=- (1)求a 的值;(2)求f(x)的最小正周期;(3)是否存在正整数n,使得f(x)=0在区间[0,)4n π内恰有2020个根.若存在,求出n 的值,若不存在,请说明理由.36、(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知{},{},n n a b 前n 项和分别记为,.n n S T(1)若{},{}n n a b 都是等差数列，且满足2,4,n n n n b a n T S -==求30S ； (2)若{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列,1302,1,n n b a n a T -==求(3)数列{},{}n n a b 都是等比数列,且满足n≤3时,2,n n b a n -=若符合条件的数列{}n a 唯一,则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项,即*1(,),k a b k l N =∈若存在请找出所有对应相等的项,若不存在,请说明理由.。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1.若52arcsin(2),43x π-=则x =____.【答案】2 【解析】 【分析】由反三角函数的定义得5sin (2)64x π=-，即可求解x . 【详解】由题意，52arcsin(2)43x π-=，所以5arcsin(2)46x π-=，由反三角函数的定义，5sin 264x π=-，即15224x =-，解得2x =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题. 2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617,a =且31143,,a a a 成等比数列，则d =____【答案】3 【解析】 【分析】由数列{}n a 是等差数列得61517a a d =+=，由31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，联立两式求出1a 和d 即可.【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，所以61517a a d =+=①， 又31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，即()()()211124210a d a d a d ++=+②， 联立①②式，解得，12a =，3d =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 中，160,4,n a a a >=则22232425log log log log a a a a +++=____【答案】4 【解析】 【分析】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=，再由等比数列的下标性质，1623454a a a a a a ===，即可得到答案.【详解】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=， 由等比数列下标性质，1623454a a a a a a ===， 所以()222425234lo log g 4log 24a a a a ===，即22232425log log log log 4a a a a +++=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题. 4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______. 【答案】765 【解析】 【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.令()100271n =+-，解得15n =.∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为()1521007652⨯+=.故答案为：765.【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.5.在ABC ∆中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式可得2sin sin sin cos C A B C =，再由正弦定理将角化边得到2cos c ab C =，最后由余弦定理求出cos C 代入化简，即可求出参数的值. 【详解】解：cos cos cos sin sin sin A B CA B C+= ()cos sin cos sin sin sin sin cos A B B A C A B C ∴+= ()sin sin sin sin cos A B C A B C ∴+=2sin sin sin cos C A B C ∴=由正弦定理可得2cos c ab C =①根据余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=②由①②得2223a b c += 又因为2220a b mc +-= 所以3m = 故答案为：3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若488,24,S S ==则16S =___【答案】120 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用等比数列求和公式分别表示出4S 和8S ，再计算16S 即可.【详解】由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >且1q ≠，则()441811a q S q--==，()8814112a q Sq-=-=，所以48413S q S =+=，解得42q =， 又()41118a q q--=，所以181a q=--， ()()16141618121201a q S q-==-⨯-=-.故答案为：120【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且22,BD =则a +4c 的最小值为____【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式找到a 和c 的关系，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】根据题意，90ABC ∠=，所以12ABC S ac =△， 因为BD 是ABC ∠的平分线，所以45ABD CBD ∠=∠=， 由三角形面积公式，112sin 22222ABDSBD c ABD c c =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 112sin 22222CBDSBD a CBD c a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 因为ABCABD CBD S SS=+，所以12ac a c =+， 化简得，221a c+=， 所以()222828*********a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28a cc a=，即2a c =，即6a =，3c =时，等号成立， 故答案为：18【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【解析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断nT n的最小值. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N*∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=，当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n =-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6； 当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，n Tn有最小值5；综上所述，n Tn的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题. 10.在等差数列{}n a 中，若10100110100,910,S S S ===___【答案】990【分析】由等差数列前n 项和公式，利用1a 、d 来表示10S 和100S ，求出1a 和d ，再计算110S 即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 公差为d ， 由等差数列前n 项和公式，101109101002S a d ⨯=+=， 1100109099100021a S d ⨯==+，解得，11009100a =，150d =-，所以11010091101091110990100250S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：990【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.11.设函数sin ,0(),2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___个. 【答案】7 【解析】 【分析】作函数()f x 和()g x 的图象，利用数形结合的方法求解即可.【详解】由题意，作函数sin ,0()2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩和2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩的图象，当0x <时，0sin 1x ≤≤，()lg 101--=⎡⎤⎣⎦，所以10x <-时，()f x 和()g x 没有交点，100x -<<时，结合图像，()f x 和()g x 有5个交点；当0x ≥时，()2x f x =和2()g x x =有两个交点，分别为()2,4和()4,16；所以()()f x g x =根的数量为7个. 故答案为：7【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和,n T 且736,2n n S n T n +=+则使得2k ka b 为整数的正整数k 有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式和7362n n S n T n +=+，设出n S ，求出n a ，设出n T ，求出n b ，再得到2k ka b 的表达式，即可求出2kka b 为整数的正整数k 的个数.【详解】由7362n n S n T n +=+，设()736n S mn n =+， 当1n =时，1143S a m ==，当2n ≥时，()11429n n n a S S m n -=-=+，1143S a m ==符合上式，所以()11429n n n a S S m n -=-=+；设()2n T mn n =+， 当1n =时，113T b m ==，当2n ≥时，()121n n n b T T m n -=-=+，113T b m ==符合上式，所以()121n n n b T T m n -=-=+；则()()2282915142121k k m k a b m k k +==+++， 当1,2,7k =时，2k ka b 为整数，所以使得2kka b 为整数的正整数k 有3个.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.13.设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为,n S若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，由数列为等差数列，表示出数列()1n d =-，联立两式求解出1a 和d ，即可计算{}n a 的前6项和.【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，又数列()1n d =-，所以)()22111n S a n d n d =+-+-，所以)()()22111112n n a n d n d na d -+-+-=+， 解得，()2112na n d d =-+-， 当2n =时，21a d d =+-，当3n =时，21322a d d =+-，联立两式，解得114a =，12d =， 所以{}n a 的前6项和6165169422S ⨯=⨯+⨯= 故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.14.若等差数列{}n a 满足22120110,a a +≤则201202203401M a a a a =++++的最大值为_____【答案】1000 【解析】 【分析】由题意，()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则公差200y xd -=，再由等差数列前n 项和公式得301200a M =，则3011322a x y =-+，当301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，由点到直线的距离公式求出301a 的最大值，即可求出M 的最大值.【详解】由题意，22120110a a +≤，即()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则等差数列{}n a 的公差200y xd -=， 则()2014012012022301034012002002a a M a a a a a+⨯===++++，30111330030020022y x a a d x x y -=+=+⨯=-+，即301320x y a -+=， ()221120010a a d ++≤为半径的圆内（包含圆周）， 所以301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，=301a 的最大值为5，所以max 20051000M =⨯=. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 16.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==，,,B A C 成等差数列，则B =（ ） A.6πB.56πC.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ，A ，C 成等差数列，可得2A ＝B +C ＝π﹣A ，解得A ．利用正弦定理可得sin B bsinAa=，即可得出．【详解】∵B ，A ，C 成等差数列，∴2A ＝B +C ＝π﹣A ， 解得A 3π=．则sinB1332sinbsinAaπ===， 又a ＞b ，∴B 为锐角． ∴B 6π=．故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. {}22n n a b - D. {}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列； 对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D .【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 1B. 2C. 0D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin B 即可判断出解的个数 【详解】因为15a =，24b =，60A =︒所以由正弦定理得：sin sin a b A B= 即1524sin 60sin B=︒解得sin 1B =>，故无解 故选：C【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单. 19.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A. 函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B. 函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭D. 函数()f x 的周期是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A,()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.20.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）. A. []0,1 B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解. 【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.函数y =sinx ，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. y =arcsinx ，x ∈[-1，1]B. y =-arcsinx ，x ∈[-1，1]C. y =π+arcsinx ，x ∈[-1，1]D. y =π-arcsinx ，x ∈[-1，1]【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式得到()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据反函数的定义求解即可. 【详解】由题意，3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,1y ∈- 所以()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以arcsin x y π-=，[]1,1y ∈-， 所以arcsin x y π=-，[]1,1y ∈-，即3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数是arcsin y x π=-，[]1,1x ∈- 故选：D【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.22.在ABC 中，若ABC 的面积为S ，且2244,2S b c a =+-=，则ABC 的外接圆的面积为（ ）A.4π B.2π C. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】利用2244,2S b c a =+-=求得A ，由此利用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，进而求得外接圆的面积. 【详解】由2244,2S b c a =+-=得2222sin bc A b c a ⋅=+-，所以222sin cos 2b c a A A bc+-==，由于A 是三角形的内角，所以π4A =.设三角形ABC 外接圆半径为r，由正弦定理得2sin a r r A ====，所以外接圆的面积为2π2πr ⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.23.已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2C 【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式将cos y x =化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据图像变换规律，即可得到答案. 【详解】由题意，1C ：cos sin 2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 故将1C 上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即曲线2C 的图像. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题. 24.已知()()2sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，则ϕ等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()f x 的半周期，由此求得ω的值，结合根据()f x 的对称轴列方程，求得ϕ的值.【详解】依题意存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以()()12,f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值，而12x x -的最小值为2π，所以π,π22T T ==，由()2ππ0T ωω==>解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+.由于()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以ππ2sin 63f ϕ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2或2-，即πsin 3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为1或1-，由于ππ50,2336ππϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25.若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),n n S m =+则22212n a a a +++=（ ）A.413n - B. 4n -1C. 3(41)n-D. 无法确定【答案】C 【解析】 【分析】利用1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，以及数列{}n a 为等比数列求出m 的值，再得到数列2{}n a 是等比数列，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】当1n =时，1113(2)63m m a S =⨯+=+=，当2n ≥时，1113(2)3(2)32n n n n n n m S S m a ---+-+⨯-===，因为数列{}n a 为等比数列，所以当1n =时，13632n m -⨯+=，解得1m =-， 所以数列{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，当2n ≥时，()()212222132432n n n n aa---⨯==⨯，数列2{}n a 是以239=为首项，4为公比的等比数列， 所以()()2221291434114n n n a a a ⨯-+++==--.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.26.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A. 2(1)n n +B. 12(1)n n +C. 2(1)n n +D.21nn + 【答案】A 【解析】 【分析】由题得出数列前n 项和n S ，再用裂项相消法即可求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】等差数列前n 项和公式为()112n n n S na d -=+，又14a =，4d =，所以()242122=+-=+n n n n n S n ，所以()2111111=22212+1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n n n n n n S n ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()111111111+12122312121⎛⎫⎛⎫=--++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n nT n n n n . 故选：A【点睛】本题主要考查求数列前n 项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前n 项和. 27.已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <，所以可得158()0a f <，由等差数列{}n a 的性质可得131515820a a a +=>，即1315()()0f a f a +<，同理可以得到2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅，进而可以得到所求式子的符号.【详解】由题意，函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数， 所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <；因为数列{}n a 是等差数列，且1580a >，所以158()0a f <， 又131515820a a a +=>，所以1315()()0f a f a +<， 同理，2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅， 所以123313314315()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++++++<故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题. 28.已知函数f （x ）=asinx +cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g （x ）=sinx -acosx 的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简()()f x x α=+，其中1tan aα=，由()f x 的一条对称轴是11x π=求出α，再根据辅助角公式化简()()g x x β=-，其中tan a β=，利用tan tan 1αβ⋅=，求出α和β的关系，即可求出()g x 的一条对称轴.【详解】由题意，()()sin cos f x a x x x α=+=+，其中1tan aα=， 因为()f x 的一条对称轴是11x π=，所以1,112ππαπ+=+∈k k Z ，解得119,22αππ=+∈k k Z ，函数()()sin cos g x x a x x β=-=-，其中tan a β=， 所以()g x 的对称轴是22,2πβπ=++∈x k k Z ，因为1tan tan 1a aαβ⋅=⋅=，所以sin sin 1cos cos αβαβ=， 即()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ-=+=， 所以33,2παβπ+=+∈k k Z ，所以()()33131,211ππβπαπ=+-=+--∈k k k k k Z ，所以()g x 的一条对称轴()()3123121313,2112222πππππππ=++-+=+-+=+∈x k k k k k k k k Z ， 当0k =时，1322x π=. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期中数学试卷
数学试题一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1．若2arcsin （54x ﹣2）=π3，则x ＝ ．2．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 6＝17，且a 3，a 11，a 43成等比数列，则d ＝ ． 3．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1a 6＝4，则log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5＝ ． 4．前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是 ． 5．在△ABC 中，a 2+b 2﹣mc 2＝0（m 为常数），且cosA sinA+cosB sinB=cosC sinC，则m 的值是 ．6．已知等比数列{a n }的各项都是正数，S n 为其前n 项和，若S 4＝8，S 8＝24，则S 16＝ ． 7．已知函数f （x ）＝3sin x +4cos x ，x 1，x 2∈[0，π]，则f （x 1）﹣f （x 2）的最大值是 ．8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝2√2，则a +4c 的最小值为9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2﹣12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则T n n的最小值 ．10．在等差数列{a n }中，若S 10＝100，S 100＝910，S 110＝ ． 11．设函数f （x ）={|sinx|，x ＜02x ，x ≥0，函数g （x ）={lg(−x)，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）＝g （x ）根的数量为 个．12．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=7n+36n+2，则使得a 2kb k为整数的正整数k 有 个．13．设等差数列{a n }的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为S n ，若数列{√S n }也是公差为d 的等差数列，则{a n }的前6项和为 ．14．若等差数列{a n }满足a 12+a 2012≤10，则M ＝a 201+a 202+a 203+…+a 401的最大值为 ． 二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝5π，则cos （a 2+a 8）的值为（ ） A ．−12B ．−√32C ．12D ．√3216．△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，b ＝2√3，B ，A ，C 成等差数列，则B ＝（ ） A ．π6B ．5π6C ．π6或5π6D ．2π317．若等差数列{a n }和{b n }的公差均为d （d ≠0），则下列数列中不为等差数列的是（ ） A ．{λa n }（λ为常数）B ．{a n +b n }C ．{a n 2﹣b n 2}D ．{{a n •b n }}18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝15，b ＝24，A ＝60°，则这样的三角形解的个数为（ ） A ．1B ．2C ．0D ．不确定19．已知函数f(x)=−2tan(π2x +π3)，下列说法中错误的是（ ） A ．函数f （x ）的定义域是{x|x ≠2k +13，k ∈Z} B ．函数f （x ）图象与直线x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C ．函数f （x ）的单调增区间是(−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D ．函数f （x ）的周期是220．函数y ＝cos （2x +π3），x ∈[0，π2]的值域为（ ）A ．[0，1]B ．[﹣1，12]C ．[−√32，12]D ．[−12，12]21．函数y ＝sin x ，x ∈[π2，3π2]的反函数为（ ） A ．y ＝arcsin x ，x ∈[﹣1，1] B ．y ＝﹣arcsin x ，x ∈[﹣1，1] C ．y ＝π+arcsin x ，x ∈[﹣1，1]D ．y ＝π﹣arcsin x ，x ∈[﹣1，1]22．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝b 2+c 2﹣4，a ＝2，则△ABC 外接圆的面积为（ ） A ．π4B ．π2C ．2πD ．4π23．已知曲线C 1：y =cosx ，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 224．已知f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x =π6对称，若存在x 1，x 2∈R ，使得对于任意x 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），且|x 1﹣x 2|的最小值为π2，则φ等于（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π325．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3（2n +m ），则a 12+a 22+…+a n 2＝（ ） A ．4n−13B ．4n ﹣1C ．3（4n ﹣1）D ．无法确定26．已知等差数列{a n }的首项为4，公差为4，其前n 项和为S n ，则数列{1S n}的前n 项和为（ ） A ．n 2(n+1)B ．12n(n+1)C ．2n(n+1)D ．2nn+127．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 158＞0，则f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 313）+f （a 314）+f （a 315）的值（ ） A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负28．已知函数f （x ）＝a sin x +cos x 的一条对称轴为x =π11，则函数g （x ）＝sin x ﹣a cos x 的一条对称轴可以为（ ） A ．x =9π22B ．x =13π22C ．x =10π11D ．x =13π1129．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸30．已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ，a n b n=2n+33n−1，则S 11T 11=（ ）A ．1517B ．2532C ．1D ．2 31．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N +满足S 2m S m=9，a 2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ） A ．√2B ．2C ．3D ．432．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 1+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＞0，则a 1+a 2＞0 C ．若a 1＞0，则S 2021＞0D ．若a 1＞0，则S 2020＞033．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0，给出下列结论：①0＜q ＜1；②a 2019a 2021﹣1＞0；③T 2019是数列{T n }中的最大项；④使T n ＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④34．对于无穷数列{a n }，给出下列命题：（ ）①若数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n }是常数列． ②若等差数列{a n }满足|a n |≤2020，则数列{a n }是常数列． ③若等比数列{a n }满足|a n |≤2020，则数列{a n }是常数列．④若各项为正数的等比数列{a n }满足1≤a n ≤2020，则数列{a n }是常数列． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题共2题，满分34分）35．已知函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，满足f （9π4）＝13﹣9√2．（1）求a 的值；（2）求f （x ）的最小正周期；（3）是否存在正整数n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ4）内恰有2020个根．若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由．36．（18分）已知{a n }，{b n }，前n 项和分别记为S n ，T n ．（1）若{a n }，{b n }都是等差数列，且满足b n ﹣a n ＝2n ，T n ＝4S n ，求S 30； （2）若{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ﹣a n ＝2n ，a 1＝1，求T 30（3）数列{a n }，{b n }都是等比数列，且满足n ≤3时，b n ﹣a n ＝2n ，若符合条件的数列{a n }唯一，则在数列{a n }、{b n }中是否存在相等的项，即a k ＝b 1（k ，l ∈N *），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．。
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试(答案)
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）（5 、霏1、若2arcsin —工一2 二一，则工二〔4 ）3【答案】:22、在公差d不为零的等差数列｛%｝中，气=】7,且％, %,七3成等比数列，则〃= 【答案】：33、己知等比数列｛□"｝中，a n>Q f a^a6 =4, KO log2a2+ log2a3 + log2a4 + log2a5 = 【答案】：44、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是.【答案】:7655、在AABC中，a2 + b2-mc2= 0为常数），且竺4 +竺旦=竺£,则小的值是一sin/ sing sinC【答案】：36、已知等比数列｛%｝的各项都是正数，％为其前〃项和，若$4 = 8, 58 = 24 ,则Sy=【答案】：1207、已知函数，（x）= 3sinx + 4cosK , \x2e[0,^]» 则f（x l）~f（x2）的最大值是_______ .【答案】：98、在AABC中，角处、8、C所对应边分别为1、b、c , ZABC=9Q°, ZAB C的平分线交0C于点O,且BD^2^2,则a + 4c的最小值为.【答案】；18T9、已知数列｛%｝的前&项和S H=2«2-12n,数列｛|%|｝的前〃项和L，则土的最小值是. 4【答案】：510、在等差数列｛%｝中，若二100, A。
二910, S“Q=【答案】：990lg （—x ）,x<0 ,、 ，、' 7则方程/（x ） = g （X ）根的数量为个.x 2,x > 0【答案】：712、己知两个等差数列｛%｝和｛如｝的前此项和分别为S,,和，，且?=芸；6，则使得芒为整数的正整数左有.个• 【答案】:313、设等差数列｛a,,｝的各项都是正数，公差为d,前弗项和为S”，若数列｛属｝也是公差为d 的等差数列，则｛a,,｝的前6项和为.【答案】：914、若等差数列｛%｝满足a ； + a ；oiWl 。
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交大附中高一期中数学试卷一. 填空题1. 若52arcsin 243x π-=（），则x =2. 在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617a =，且3a 、11a 、43a 成等比数列，则d =3. 已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=4. 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是5. 在△ABC 中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是= 6. 已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若48S =，824S =，则16S = 7. 已知函数()3sin 4cos f x x x =+，12,[0,]x x π∈，则12()()f x f x -的最大值是 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，ABC ∠平分线交AC 于点D ，且22BD =，则4a c +的最小值为9. 已知数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-，数列{||}n a 的前n 项和n T ，则nT n的最小值是 10. 在等差数列{}n a 中，若10100S =，100910S =，110S = 11. 设函数|sin |0()20xx x f x x <⎧=⎨≥⎩，函数2lg()0()0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩，则方程()()f x g x =根的 数量为 个12. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且7362n n S n T n +=+，则使得 2kka b 为整数的正整数k 有 个 13. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为n S ，若数列{}n S 也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为14. 若等差数列{}n a 满足22120110a a +≤，则201202203401M a a a a =++++L 的最大值为二. 选择题15. 已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +的值为（ ） A. 12- B. 32- C. 12D. 3216. △ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若6a =，23b =，B 、A 、C 成等差数列，则B =（ ） A.6π B. 56π C. 6π或56π D. 23π17. 若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为(0)d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. 22{}n n a b - D. {}n n a b ⋅18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 不确定 19. 已知函数()2tan()23f x x ππ=-+，下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的定义城是1{|2,}3x x k k ≠+∈ZB. 函数()f x 图象与直线123x k =+，k ∈Z 没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是51(2,2)33k k -++，k ∈ZD. 函数()f x 的周期是220. 函数cos(2)3y x π=+，[0,]2x π∈的值域为（ ）A. [0,1]B. 1[1,]2-C. 31[]2D. 11[,]22-21. 函数sin y x =，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. arcsin y x =，[1,1]x ∈-B. arcsin y x =-，[1,1]x ∈-C. arcsin y x π=+，[1,1]x ∈-D. arcsin y x π=-，[1,1]x ∈- 22. 在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2244S b c =+-，2a =，则△ABC 的外接 圆的面积为（ ） A.4π B. 2πC. 2πD. 4π 23. 已知曲线1:cos C y x =，22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是（ ）A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个 单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个 单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个 单位，得到曲线2C24. 已知()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<）的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x ∈R ，使得对于任意的x 都有12()()()f x f x f x ≤≤，且12||x x -的最小值为2π，则ϕ 等于（ ） A.12π B. 6π C. 4πD. 3π25. 若等比数列{}n a 的前n 项和3(2)n n S m =+，则22212n a a a +++=L （ ） A. 413n - B. 41n - C. 3(41)n - D. 无法确定26. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1{}nS 的前n 项和为（ ） A.2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 2(1)nn +27. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调递减函数，且()f x 为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580a >，则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负 28. 已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为11x π=，则函数()sin cos g x x a x =-的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π= 29. 《周碑算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一丈为十尺，一尺为十寸．问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 30. 已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T =（ ）A.1517 B. 2532C. 1D. 231. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在m *∈N 满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则 数列{}n a 的公比为（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 432. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若120a a +>，则130a a +> B. 若130a a +>，则120a a +> C. 若10a >，则20210S > D. 若10a >，则20200S >33. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：① 01q <<；② 2019202110a a ->；③ 2019T 是数列{}n T 中的最大项；④ 使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④ 34. 对于无穷数列{}n a ，给出下列命题：① 若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数列； ② 若等差数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列； ③ 若等比数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列；④ 若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020n a ≤≤，则数列{}n a 是常数列． 其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 三. 解答题35. 已知函数()(|sin ||cos |)4sin 29f x a x x x =+++，满足9()13924f π=-. （1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）是否存在正整数n ，使得()0f x =在区间[0,)4n π内恰有2020个根，若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.36. 已知数列{}n a 、{}n b ，前n 项和分别记为n S 、n T .（1）若{}n a 、{}n b 都是等差数列，且满足2n n b a n -=，4n n T S =，求30S ； （2）若{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，2n n b a n -=，11a =，求30T ；（3）数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，且满足3n ≤时，2n n b a n -=，若符合条件的数列{}n a 唯一，则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项，即(,)k l a b k l *=∈N ，若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由.。