弯曲内力例题(0509)
弯曲内力习题与答案
弯曲力1. 长l的梁用绳向上吊起，如图所示。
钢绳绑扎处离梁端部的距离为x。
梁由自重引起的最大弯矩|M|max为最小时的x值为：(A) /2l；(B) /6l；(C…) 1)/2l。
l；(D) 1)/22. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。
下列结论中哪个是正确的？(A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同；(B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同；(C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同；(D….) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。
3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的(A) 剪力图、弯矩图都相同；(B…) 剪力图相同，弯矩图不同；(C) 剪力图不同，弯矩图相同；(D) 剪力图、弯矩图都不同。
4. 图示梁，当力偶M e的位置改变时，有下列结论：(A) 剪力图、弯矩图都改变；(B…) 剪力图不变，只弯矩图改变；(C) 弯矩图不变，只剪力图改变；(D) 剪力图、弯矩图都不变。
5. 图示梁C截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e= ；为使全梁不出现正弯矩，则M e≥。
6. 图示梁，已知F、l、a。
使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P= 。
7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B端支反力为，弯矩图为 次曲线，|M |max 发生在 处。
8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值，m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为：S d ();d F x x = d ()d M x x = 。
9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。
10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则=e21e /M M 。
1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e2M ql -；42ql ；22ql 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /28. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/211-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。
材料力学典型例题及解析 4.弯曲内力典型习题解析
弯曲内力典型习题解析1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出maxSF 和maxM。
解题分析：作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程，根据方程描点作图。
在能熟练地作剪力、弯矩图后，可采用如下简便作图法：在表中列出特殊截面（如有位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值，再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系判断各区段的内力图形状，连线相邻特殊截面对应的点。
下面按两种方法分别作图。
解I ：1、求支反力qa F Ay =，qa F Cy 2=2、将梁分成AB 、BC 和CD 三个区段 以A 为原点，向右取x 坐标。
AB 段，如图d ：qa F F Ay ==S ，()a x <<02qa(c)(b)(a)M(d)(e)MSSSM(f)题1图qax x F M Ay ==，()a x ≤≤0BC 段，如图e：)2()(S x a q a x q F F Ay −=−×−=，(a x a 2<<))/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 2≤≤)CD 段，如图f：)()(S x a q F a x q F F Ay −=−−×−=，(a x a 32<<))/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 32≤≤)3、按照步骤2所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图b 和图c。
4、计算剪力和弯矩的最大值qa F 2maxS=， 2max23qa M=解II ：1、计算支反力qa F Ay =，qa F Cy2=2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。
3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来，得到剪力图和弯矩图。
力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 F Ay 向上 q =0无集中力q =负常数 F 向下 q =负常数 F Dy 向上F S突跳F Ay水平(+)连续 下斜线(+) 突减F 下斜线(-) 突跳F DyM 0 上斜线 相切上凸抛物线转折上凸抛物线4、计算剪力弯矩最大值qa F 2maxS=， 2max23qa M=讨论：利用剪力弯矩方程作图时，注意坐标轴x 的正向一般由左至右。
力学(弯曲)例题
AB段：由键力图上查得Q=－ qa＜0，由 知，M图斜率为负值。
BC段：因q＜0，由 知，Q图斜率为负值，在Q图上，随着x的增加，剪力由正值变为负值；因为 ，故M图的斜率由正值变为负值，当Q=0时，M取得最大值。
CD段:情况同AB段。
【例3】矩形截面松木梁两端搁在墙上，
承受由梁板传来的荷载作用如图所示。已知梁的间距a=1.2m，两墙的间距为L=5m，楼板承受均布荷载，起面集度为P=3KN/ ，松木的弯曲许用应力［σ］=10MPa。试选择梁的截面尺寸。设 。
(a)
解：此题可以采用下面四种不同方法求解。
解一：利用附录五上简支梁受集中载荷作用的解答。由查表可知，当简支梁上作用集中载荷P时，梁中点的挠度为
令梁在左半跨作用均布载荷,如图a所示,稍作变化即可得中点挠度
=-
解二：利用对称性求解。原题半跨均布载荷可分解为正对称载荷和反对称载荷两种情况的叠加(图b)。
解：梁计算简图如图所示荷载的线集中度为：q=
最大弯矩在跨中截面，其值
1．按正应力强度条件选择截面尺寸
h=1.5b,W =
b≥
取b=150mm，h=1.5b=225mm。
2．该梁为木梁，须校核剪应力强度。在邻近支座的截面上有
Q
矩形截面梁
剪切强度足够。故选定b=150mm，h=225mm。
【例4】简支梁在半个跨度上作用的均布载荷q，如图a所示，试求梁中点的挠度。
（d）（e）
4.对于3-3截面(图d)
∑Y=0Q3=YA－2qa－p=－30kN
∑MC=0M3=2YAa－2qa2－pa=20kN•m
5.对于4-4截面(图e)
∑Y=0Q4=YA－2qa－p=－30kN
05第五章 材料力学习题解答(弯曲内力)
a
a
(i)
解：(a) (1) 求约束反力
qa
2qa qa
C
A
B
q
a
a
a
a
(j)
MA
A x
2P
C
M0=Pa
B
RA
∑Y = 0 RA − 2P = 0
RA = 2P
∑ M A = 0 M A − 2Pa + M0 = 0
(2) 列剪力方程和弯矩方程
M A = Pa
Q(x)
⎧= ⎨⎩=
RA RA
= −
2P 2P
q
M2
C
a
求内力
P=qa
B
Q2 = P + qa = 2qa
M2
=
−P
×
a
−
qa
×
a 2
+
M
=
−
1 2
qa 2
(b) (1)求约束反力
P=200N
1
23
A
1C
DB
RA 200
23
200 200
RD
∑ MD = 0 RA × 400 − P × 200 = 0
RA = 100N
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
=
x 0
∈ (0,a) x ∈(a,
2a]
上海理工大学 力学教研室
3
M
(x)
⎧= ⎨⎩ =
RA RA
× ×
x x
+ +
MA MA
= −
2Px − Pa 2P × (x − a)
=
Pa
(3) 画 Q 图和 M 图
第5章-弯曲内力例题详解
剪力弯矩最大值: 剪力弯矩最大值
FS max = qa
M max
4. 讨论
作用处， 在 Me 作用处，左右横截面 上的剪力相同， 上的剪力相同，弯矩值突变
单辉祖,材料力学教程
M 右 − M左 = Me
5
例 5-4 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩 载荷可沿梁移动， 解：1. FS 与 M 图 ：
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 = bF l FS2 = − aF l
弯矩图: 弯矩图
M1 =
bF x1 l
M2 =
aF x2 l Fab = l
最大值: 最大值
FS,max
bF = （b > a 时） l
M max
4. 讨论
作用处, 在 F 作用处 左右横截面上 的弯矩相,
∑M
A
= 0,
∑F
y
=0
FAx = qa, FCy = FAy = qa/2
2. 建立内力方程 BC 段：
qa FS1 = − , 2
qa M1 = x1 2
AB 段：
FS2 = qx 2 ,
qa q 2 M 2 = a − x2 2 2 qa FN2 = 2
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14
3. 画内力图
FSA+ = − FAy = −2F
单辉祖,材料力学教程
M A+ = M e − FAy ⋅ ∆ = Fl
M D− = F ⋅0=0 =
1
FSD− = F
例 题
例 5-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 建立剪力与弯矩方程，
FAy = bF l FBy = aF l
解：1. 支反力计算 ： 2. 建立剪力与弯矩方程
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学：第四章：弯曲内力习题课
Q M
弯曲内力课堂练习
1. 根据Q、M图的特征，试判断Q、M图的错误，作出 正确的Q、M图。
m A
2a
m / 2a
m / 2a
C
B
错误分析：
•CB段Q=0，Q图上不应有数值；
•CB段Q=0，CB段的M图应是水平 线（M是常数）;
m / 2a
Q图 m M图
m / 2a
•在支座C处有集中力作用（约束反
C
解： （1）求支反力RA、RB RA=2kN，RB=4kN
D
1m
RA
Q
1m
E 1m 1m
B
2kN
-2kN
M
（2） 作Q图 R AC：Q=RA CD：Q=RA DE：Q=RA-P=-2kN EB：QB-=RA-P-q1=-4kN x QB+=RA-P-q1+RB=0kN -4kN （3） 作M图
•DB段M图是二次曲线，凸 向由q(x)确定。
M图(kN . m)
5. 试判断Q、M图是否正确，画出正确的内力图。
P P
B
A a P P Q图 M图
C D a
P P a
x
错误分析：
① Q图的正负号 “左上右下为 正, 且反对称；
②M图画在受压的一侧，且 BC段不为零
Pa Pa P Q图 M图 Pa P
B
5kN.m 3kN.m 2kN.m
3kN.m
x
MA=0 MC-=RA 1=2kN.m MC+=MC-+m0=3kN.m MD= MC++12=5kN.m ME= MD-2.1=3kN.m
归纳：
1.根据微分关系作Q、M图步骤:
材料力学第2版 课后习题答案 第5章 弯曲内力
qa qa
qa
1 qa
qa
2
（a）Q 图
1 qa 2 8
（b）Q 图
1 qa 2 2
（c）Q 图
1 qa 2 2
3qa 2
1 qa 2 2
（a）M 图
qa 2
（b）M 图
qa 2
（c）M 图
8KN
qa
5KN
1KN
8KN
（d）Q 图
1 qa 2 2
3 qa 2 2
（e）Q 图
3KN
（f）Q 图
qa 2 1 KN ⋅ m 4
M3 = 0
（f） Q1 = 10KN
Q2 = 10KN
Q3 = 10KN
M1 = 5KN ⋅ m M 2 = 5KN ⋅ m
M 3 = −10KN ⋅ m
5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|Fmax|和|Mmax|。
解 ：（ a） Q(x) = 3M 0 l
Qmax
2
8
2
4
0.5a
qa
1 qa
2
（j）Q 图
3a
5 ql
8
8
（k）Q 图
3P 4
（l）Q 图
1 qa 2
1 ql 2
1 Pa
2
128
4
qa 2
（j）M 图
1 ql 2 8
（k）M 图
（l）M 图
1 Pa 2
5-3 利用 q、 FS 、M 的微分关系作出下列各梁的剪力图和弯矩图，并求出| FSmax |和|Mmax|。
1 qa 2 4
（a）M 图
qa
（b）Q 图
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和
M max 及其所
P
y
m=Pa
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
AB段:
A
x
x a
B a
C
x
FQ ( x) 0
(0 x a )
M ( x) m Pa (0 x a)
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 BC段: m=Pa P
FQ ( x) P
( a x 2a )
弯矩 立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为
M1 0,
qa2/2
3
qa/2
4
2M4 0
qa/2
1
FAy
材料力学
M
FAx
1 2 1 2 M 2 qa a qa qa , 2 2 1 2 M 3 qa , M 4 0 2
作弯矩图。
弯曲内力/平面刚架内力图
x 3.1m
1 M E F 3.1 FAy 2.1 q 2.12 2
(-)
材料力学
1.41kN.m (+)
-3kN.m
(-)
-2.2kN.m
1.41kN.m M D左 2.2kN.m
q
P qa q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
M
qa 2 qa / 2
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
FQ Fy (一侧)
材料力学
FQc q 2a FBy
qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
3qa 4
2
q
a
a
FQ
3qa / 4
a 7qa / 4 qa
M
qa 2 / 4
2
材料力学
3qa / 4
qa / 2
2
q
3qa
2qa 2qa
a
FQ
q a qa
2qa 2 3qa / 2
qa
qa
M
材料力学
qa q
a
FQ
a
qa
M
qa / 2
2
材料力学
qa
2
2q
q
a
FQ
a
qa
M
qa / 2
2
qa
材料力学
第五章 弯曲内力
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
例5-1 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面） 上的内力。
M1 2qa
A
2
q
C
M 2 2qa2
B a 4a
FAy
a
FBy
解：
1、根据平衡条件求支座反力
M
材料力学
A
0 0
FBy 3qa FAy qa
M
B
弯曲内力/剪力和弯矩
3 M B (左侧) FAy 4 M 0 q 3 2
5kN.m
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A E
1m 1m
F C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B右截面：
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 4kN
a qa / 2
qa qa / 2
qa / 2
2 2
qa / 2
FQ
M
材料力学
qa / 2
qa / 8
q
qa
qa / 2
2
qa qa
a
a
a
FQ
qa
M
qa / 2
2
qa
材料力学
qa / 2
2
q
7qa a 4 7qa FQ 4
2qa
a
3qa 4
5qa 4
M
材料力学
5qa / 4 5qa 2 / 4
qa
F
Mo
水平直线
FQ 图 +
or -
F
上斜直线 下斜直线
(剪力图 无突变)
Mo
斜直线
M 图
or
下凸 抛物线
上凸 抛物线
F处有尖角
材料力学
例：
P
l
q l
FQ ql
FQ
P
M
M
ql 2 2
Pl
材料力学
例：试画图示梁的剪力和弯矩图。
q
A
RA
l
q
C
3ql 8
B
RB
l 2
l 2
l 2
FQ
ql / 2
RA RB ql 8 5ql 8
M Mo (一侧)
材料力学
（力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
弯曲内力/剪力和弯矩
例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、
的内力。
M 0 8KN.m
q=2kN/m
B左 截面和 B右 上
P=2KN
A E C
1m 2m
F
FAy
解：
FBy
B1m 1mD Nhomakorabea1m1、根据平衡条件求支座反力
材料力学
(a x 3a) (a x 3a)
y 弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 F=qa q 3、作梁的剪力图和弯矩图 3 C 3 A x B FQ ( x a ) qa xE a 2 2 F F By a Ay 2a 1 FQ ( x 3a ) qa 3 2 qa 2 (+) dM 5 qa qa a( x a) (-) E (-) -qa
材料力学
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
FQc q 2a FBy
q
M 2 2qa2
B
a
qa
2qa2
Mc
FQc
C
M C FBy 2a 2qa a M 2
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
MC FAy 2a 2qa a M1
2qa
2
M C FBy 2a 2qa a M 2 2 2qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力
材料力学
1 MC MC (左侧) FAy 2 M 0 q 1 2 3kN.m
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A
F
E
1m 1m
C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B左 截面：
FQB左 Fy (左侧) FAy q 3 3kN M B左
qa 2 2
qa 4
2
qa 2 2
例5- 6 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。
q
qa2
D
a
B
A
a a
C
AB 载荷
q0
BC
q0
CD
q C 0
FQ 图
M 图
材料力学
斜直线
斜直线
例
试用叠加法作梁的弯矩图。
M0
l/2
P
l/2 l/2
P
l/2
M0
l
解：
M
Pl 4 M0 2 M 0 Pl 2 4
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩 方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 y F=qa C
q B x 2a
x
A a FAy
x
FBy
解：
1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力
M M
材料力学
A
0 0
B
1 FBy qa 2 5 FAy qa 2
qa / 2
材料力学
2
m a
m/l FQ l m/l b m/l
M
am l
材料力学
bm / l
P
m Pa
a
FQ
P
a
a
P
M
Pa
材料力学
m Pa
P
P
FQ
a
P
a
M
材料力学
Pa
2qa
C
2
q
A B
2qa
a
FQ
2a
a
D
qa qa
5qa
2qa
M 2qa
2
3qa
材料力学
2qa
2
qa / 2
2
q
q a
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
A
q CF
Mc
Qc
由 Fy 0, 得到：