高中一年级竞赛练习(2)
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。
A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。
A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。
A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。
A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。
高中一年级 第2试
３×４２０＋２，４×４２０＋２，即共有５个符合题意的自然数，其中最大的自然数是４×４２０＋２＝１６８２．２３．当ｂ＝０时，｜ｘ２－１｜＝１１０ｘ，此时要求ｘ≥０，去掉绝对值，解一元二次方程得ｘ＝－１±槡４０１２０或ｘ＝１ ±槡４０１２０，舍去两负根，因此Ａ中只有２个元素．当ｂ＝１时，｜ｘ２－１｜＝１１０ｘ＋１，此时要求ｘ≥－１０，去掉绝对值，解一元二次方程得ｘ＝０，－１１０或１ ±槡８０１２０．它们都满足ｘ≥－１０，因此Ａ中有４个元素．２４．ａｎ＝｛２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，…｝，若｛ａｎ｝中的元素在｛ｃｎ｝中，则必须满足减２以后能被３整除，则只有８，３２，１２８，５１２，…满足条件，即２３，２５，２７，２９，…故ｃｎ＝２２ｎ＋１，即公比ｑ＝２２（ｎ＋１）＋１２２ｎ＋１＝２２ｎ＋３２２ｎ＋１＝４，所以Ｓｎ＝８（１－４ｎ）１－４＝８３（４ｎ－１）．２５．第ｎ组中有２ｎ－１个数对，则前ｎ组共有１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１）＝ｎ２个数对．因为４４２＝１９３６＜２００５＜４５２＝２０２５，所以２００５在第４５组．因为前４４组共有１９３６个数对，且２００５－１９３６＝６９，所以第２００５个数对是第４５组中的第６９个数对．观察规律可知，由于４５为奇数，所以第一个数对为（０，４４），数对中的第一个数逐步增加到４４，即第４５个数对为（４４，４４），然后第二个数４４逐步减去１，所以第４５组中第６９个数对是（４４，２０）．高中一年级第２试一、选择题１．已知等差数列｛ａｎ｝中（ａｎ∈Ｚ，ｎ∈Ｎ＊），ａ１＝５，ａ２＝ｂ，则ａｎ≠０的充要条件为（）（Ａ）ｂ≠０．（Ｂ）ｂ≠４．（Ｃ）ｂ≠０或ｂ≠４．（Ｄ）ｂ≠０且ｂ≠４．２．对１９４９°，１９６６°，２００５°，２００８°依次求余弦，则余弦值最大及最小的角依次是（）（Ａ）１９４９°，１９６６°．（Ｂ）１９６６°，１９４９°．（Ｃ）２００８°，１９６６°．（Ｄ）２００５°，２００８°．３．下列函数中，值域为Ｒ＋的是（）（Ａ）ｙ＝２－｜ｘ－１｜．（Ｂ）ｙ＝３ｘ＋１（ｘ＞０）．（Ｃ）ｙ＝ｘ２＋ｘ＋２．（Ｄ）ｙ＝１ｘ２．４．设集合Ｍ＝ｘ ｘ＝ｋ２＋１４，ｋ∈Ｚ｛｝，Ｎ＝ｘ ｘ＝ｋ４＋１８，ｋ∈Ｚ｛｝，Ｐ＝ｘ ｘ＝ｋ８＋１４，ｋ∈Ｚ｛｝，则下面的结论中正确的是（）（Ａ）Ｍ∪Ｎ＝Ｐ．（Ｂ）Ｍ∩Ｎ＝Ｐ．（Ｃ）Ｍ∩Ｐ＝Ｐ．（Ｄ）Ｍ∩Ｎ＝Ｍ．５．偶函数ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）满足：ｆ（－４）＝ｆ（１）＝０，在区间［０，３］与［３，＋∞）上分别递减和递增，则不等式ｘ３ ｆ（ｘ）＜０的解集为（）（Ａ）（－∞，－４）∪（４，＋∞）．（Ｂ）（－４，－１）∪（１，４）．（Ｃ）（－∞，－４）∪（－１，０）．（Ｄ）（－∞，－４）∪（－１，０）∪（１，４）．·１４·６．如果ｆ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ｝（ｘ∈Ｒ），则下面命题正确的是（）（Ａ）函数ｆ（ｘ）的值域是［－１，１］．（Ｂ）当且仅当ｘ＝２ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）取得最大值．（Ｃ）函数ｆ（ｘ）的最小正周期是π．（Ｄ）当且仅当２ｋπ＋π＜ｘ＜２ｋπ＋３π２（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）＜０．７．Ｆｏｕｒ ｐｅｏｐｌｅ，Ａ，Ｂ，Ｃａｎｄ Ｄａｒｅ ａｃｃｕｓｅｄｉｎ ａ ｔｒｉａｌ．Ｉｔ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ｔｈａｔ（１）ｉｆ Ａｉｓ ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ Ｂｉｓ ｇｕｉｌｔｙ；（２）ｉｆ Ｂｉｓ ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ Ｃｉｓ ｇｕｉｌｔｙ ｏｒ Ａｉｓｎｏｔ ｇｕｉｌｔｙ；（３）ｉｆ Ｄｉｓ ｎｏｔ ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ Ａｉｓ ｇｕｉｌｔｙ ａｎｄＣｉｓ ｎｏｔ ｇｕｉｌｔｙ；（４）ｉｆ Ｄｉｓ ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ Ａｉｓ ｇｕｉｌｔｙ．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｃｕｓｅｄ ａｒｅ ｇｕｉｌｔｙＡｎｓｗｅｒ：（）（Ａ）２．（Ｂ）３．（Ｃ）４．（Ｄ）Ｉｎｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ．８．已知ｆ１（ｘ）＝ｘ＋１，ｆ２（ｘ）＝２ｘ，ｆ３（ｘ）＝－３ｘ＋５，Ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）｝，则Ｆ（ｘ）的最大值为（）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）４．（Ｄ）８．９．满足ａ２－３ｂ－９＝０（ａ，ｂ∈Ｚ），且｜ｂ｜≤１０００的数组（ａ，ｂ）的个数是（）（Ａ）５７．（Ｂ）５４．（Ｃ）３７．（Ｄ）１０９．１０．有“黄河源头第一县”之称的青海省果洛藏族自治州玛多县，被称作“千湖之县”．受连续干旱影响，该县有数百个湖泊相继干涸，且鼠害十分猖獗，草原在加速退化，每年因鼠害造成的退化面积达２０％．按这样的退化速度，自２００５年起，经过（）草原退化总面积将开始超过２００５年草原总面积的一半．（Ａ）３年．（Ｂ）４年．（Ｃ）５年．（Ｄ）６年．二、填空题１１．设集合Ａ＝｛１，２，３，４，５，６｝，则从Ａ到Ａ的映射ｆ有个，其中，满足ｆ（Ａ）≥ａ的映射有个．１２．若ｆ（ｘ）＝ｘ＋１，１，烅烄烆ｘ≥０，ｘ＜０．则ｆ（ｃｏｓ２）＝；当ｘ∈［０，２π）且满足ｃｏｓｘ＋ｆ（ｓｉｎｘ）＞１的ｘ的集合为．１３．一个三位数与它的各位数字和的比值为ｐ（例如对于三位数４６２，ｐ＝４６２４＋６＋２＝７７２），若三位数的各位数字都不为０，则当ｐ取得最小值时，此三位数是；当ｐ取得最大值时，此三位数是．１４．函数ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２ ２ｘ－ｘ槡２＋４的最大值为，最小值为．１５．如果△ＡＢＣ边上的点的坐标（ｘ，ｙ）在映射ｆ：（ｘ，ｙ）→（２ｘ＋２，２ｙ－５）的作用下的像的集合所对应的图形是△Ａ′Ｂ′Ｃ′，已知△ＡＢＣ的面积为６，则△Ａ′Ｂ′Ｃ′的面积等于．１６．Ｌｅｔ ａａｎｄ ｂ ｂｅ ｔｈｅ ｔｗｏ ｒｅａｌ ｒｏｏｔｓ ｏｆｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｘ２－（ｋ－１）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋４＝０，ｗｈｅｒｅ ｋ ｉｓ ｓｏｍｅ ｒｅａｌ ｎｕｍ ｂｅｒ．Ｔｈｅｌａｒｇｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ２＋ｂ２ ｉｓ．１７．某校高一新生共有７８４人，每班分配５６人．方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画的顺序），然后按Ｓ形顺序编班．例如：若有８个班，按编号１至８号分别编在１至８班，９至１６号分别编在８至１班，１７至２４号分别编在１至８班……．该校高一新生中编号为３００（每号只对应１人）的同学编在班．１８．函数ｙ＝ｘ２（－２≤ｘ≤２）与函数ｙ＝ｘ＋ｍ的图象恰有１个公共点在ｙ轴的右侧，则·２４·ｍ的取值范围是．１９．数列｛ａｎ｝的前三项依次为５，５５，５５５，但第４项不是５５５５，请写出一个适合题意的通项公式：ａｎ＝．２０．集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＝９ｎ，ｎ＝０，１，２，…，２００５｝，已知９２００５是１９１４位数，则在Ｍ中最高位是９的数共有个．图１三、解答题２１．如图１所示，在凸四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝２，∠Ａ＝θ．（１）求ＢＤ的长（用θ表示）；（２）设△ＡＢＤ的面积为Ｓ１，△ＢＣＤ的面积为Ｓ２，ｆ（θ）＝Ｓ２１＋Ｓ２２，求函数ｆ（θ）的值域．２２．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法：（１）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）；（２）再将五进制中的５个数码与集合｛Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ｝中的元素建立一个一一对应关系．后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成ＶＹＺ，ＶＹＸ，ＶＶＷ．求被编成ＶＷＸＹＺ的数所对应的十进制数．２３．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｋｘ＋１ｘ２＋ｘ＋１．（１）当ｋ＝２时，求ｆ（ｘ）的值域；（２）若存在实数ａ，ｂ，ｃ，使ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）＜ｆ（ｃ），求实数ｋ的取值范围．参考答案一、选择题１．等差数列公差ｄ＝ｂ－５．如果等差数列不存在值为零的项，那么对于任意非零自然数ｎ，不等式５＋（ｎ－１）（ｂ－５）≠０恒成立，即ｎ≠５５－ｂ＋１ Ｎ＊，所以５－ｂ≠１且５－ｂ≠５，即ｂ≠４，且ｂ≠０．反之，可证当ｂ≠４且ｂ≠０时，５５－ｂ＋１Ｎ＊，即对于任意非零自然数ｎ，当ｂ≠４且ｂ≠０时，不等式５＋（ｎ－１）（ｂ－５）≠０恒成立．所以这个数列中不存在零项的充要条件为ｂ≠０且ｂ≠４．故选（Ｄ）．２．ｃｏｓ１９４９°＝ｃｏｓ１４９°，ｃｏｓ１９６６°＝ｃｏｓ１６６°，ｃｏｓ２００５°＝ｃｏｓ２０５°＝ｃｏｓ１５５°，ｃｏｓ２００８°＝ｃｏｓ２０８°＝ｃｏｓ１５２°，在区间（９０°，１８０°）内，余弦函数是减函数，故ｃｏｓ１４９°＞ｃｏｓ１５２°＞ｃｏｓ１５５°＞ｃｏｓ１６６°，故选（Ａ）．３．ｙ＝２－｜ｘ－１｜的值域是（０，１］；ｙ＝３ｘ＋１（ｘ＞０）的值域是（１，＋∞）；ｙ＝ｘ２＋ｘ＋２的值域是７４，＋∞［）．故选（Ｄ）．４．因为Ｍ＝ｘ｜ｘ＝ｋ２＋１４，ｋ∈Ｚ｛｝＝ｘ｜ｘ＝２（２ｋ＋１）８，ｋ∈Ｚ｛｝，Ｎ＝ｘ｜ｘ＝ｋ４＋１８，ｋ∈Ｚ｛｝＝ｘ｜ｘ＝２ｋ＋１８，ｋ∈Ｚ｛｝，Ｐ＝ｘ｜ｘ＝ｋ８＋１４，ｋ∈Ｚ｛｝＝ｘ｜ｘ＝ｋ＋２８，ｋ∈Ｚ｛｝，所以Ｍ∪Ｎ≠Ｐ，Ｍ∩Ｎ≠Ｐ，Ｍ∩Ｎ＝ ，·３４·故排除（Ａ），（Ｂ），（Ｄ），又Ｍ Ｐ，所以Ｍ∩Ｐ＝Ｍ．故选（Ｃ）．５．由偶函数性质及单调性，知图２ｆ（－４）＝ｆ（－１）＝ｆ（１）＝ｆ（４）＝０，画出ｆ（ｘ）对应的大致图象，如图２所示．当ｘ＜－４或－１＜ｘ＜１或ｘ＞４时，ｆ（ｘ）＞０；当－４＜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４时，ｆ（ｘ）＜０．当ｘ＜０时，ｘ３＜０；当ｘ＞０时，ｘ３＞０．所以ｘ３ ｆ（ｘ）＜０的解集为｛ｘ｜ｘ＜－４或－１＜ｘ＜０或１＜ｘ＜４｝．故选（Ｄ）．图３６．作出函数ｆ（ｘ）的图象，如图３所示，只有（Ｄ）是正确的．７．从Ｄ入手，分有罪和无罪两种情况讨论：假设Ｄ无罪，由（３）知，Ａ犯罪且Ｃ无罪；由（１）知，Ｂ犯罪．由（２）知，Ａ无罪或Ｃ犯罪，与Ａ犯罪且Ｃ无罪矛盾，故假设Ｄ无罪不成立，即Ｄ犯罪．由（４）知，Ａ犯罪；由（１）知，Ｂ犯罪；由（２）知，Ｃ也犯罪．因此犯罪的共有４人．故选（Ｃ）．８．如图４所示，作出ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ），易得Ｆ（ｘ）的图象．由Ｆ（ｘ）的图象，可知Ｆ（ｘ）的最大值为２．故选（Ｂ）．图４９．由ａ２－３ｂ－９＝０，得ｂ＝ａ２３－３．①由｜ｂ｜≤１０００，有－１０００≤ａ２３－３≤１０００，０≤ａ２≤３００９，所以－槡３００９≤ａ≤槡３００９．因为ａ是整数，所以－５４≤ａ≤５４．②因为ｂ是整数，即ａ２３－３是整数，所以ａ２是３的倍数，即ａ·ａ３是整数，所以ａ是３的倍数．结合②知，ａ的值为－５４，－５１，－４８，…，５１，５４共３７个．故选（Ｃ）．１０．设２００５年的草原总面积为ｘ，设经过ｍ年后（即２００５＋ｍ年），草原的面积退化超过ｘ２，即１５ｘ＋１５×４５ｘ（）＋１５×４５（）２ｘ＋…＋１５×４５（）ｍ－１ｘ＞ｘ２，即４５（）ｍ＜１２．当ｍ＝３时，４５（）３＝６４１２５＞１２；·４４·当ｍ＝４时，４５（）４＝２５６６２５＜１２．所以最多经过４年，草原退化总面积就超过２００５年草原总面积的一半．故选（Ｂ）．二、填空题１１．（１）如图５所示，其它元素也如此，因此，从Ａ到Ａ的映射ｆ共有６×６×６×６×６×６＝６６（个）．图５图６（２）如图６所示，其它元素也如此，因此，满足ｆ（Ａ）≥ａ的映射共有１×２×３×４×５×６＝７２０（个）．１２．因为ｃｏｓ２＜０，所以ｆ（ｃｏｓ２）＝１，因此，原不等式等价于ｓｉｎｘ≥０，ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋１＞１，烅烄烆或ｓｉｎｘ＜０，ｃｏｓｘ＋１＞１，烅烄烆解得０≤ｘ＜３π４或３π２＜ｘ＜２π．故满足条件的ｘ的集合为０，３π４［）∪３π２，２π（）．１３．设此三位数为ａｂｃ，则ｐ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃａ＋ｂ＋ｃ．（１）先固定ｂ，ｃ，则ｐ＝１００（ａ＋ｂ＋ｃ）－９０ｂ－９９ｃａ＋ｂ＋ｃ＝１００－９９ｂ＋９９ｃａ＋ｂ＋ｃ．因为ｂ，ｃ固定，所以ａ越小时，ｐ越小．所以当ａ＝１时，ｐ才可能取到最小值．（２）再固定ｃ，则ｐ＝１００＋１０ｂ＋ｃ１＋ｂ＋ｃ＝１０（ｂ＋ｃ＋１）－９ｃ＋９０１＋ｂ＋ｃ＝１０＋９０－９ｃ１＋ｂ＋ｃ．因为９０－９ｃ恒大于零，所以ｂ越大，ｐ越小．从而知当ｂ＝９时，ｐ才可能取到最小值．（３）ｐ＝１００＋９０＋ｃ１＋９＋ｃ＝ｃ＋１０＋１８０ｃ＋１０＝１＋１８０ｃ＋１０．因为ｃ越大，ｐ越小，所以当ｃ＝９时，ｐ才能取到最小值，故可知使ｐ取到最小值的三位数为１９９．同理，使ｐ取到最大值的三位数为９１１．１４．令ｔ＝２ｘ－ｘ槡２＝－（ｘ－１）２ ＋槡１，０≤ｔ≤１，则ｙ＝３（ｘ２－２ｘ）＋２ ２ｘ－ｘ槡２＋４＝－３ｔ ２＋２ｔ＋４＝－３ ｔ－１３（）２＋１３３，由０≤ｔ≤１，得３≤ｙ≤１３３．故ｙ的最大值和最小值分别为１３３和３．１５．作图可知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，且ＡＢＡ′Ｂ′＝１２，又由三角形相似性质，得·５４·Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′＝４Ｓ△ＡＢＣ＝２４．１６．由题意知ｘ２－（ｋ－１）ｘ＋（ｋ２＋３ｋ＋４）＝０有两实数根，所以Δ＝（ｋ－１）２－４（ｋ２＋３ｋ＋４）≥０，解得－３≤ｋ≤－５３．由韦达定理得ａ＋ｂ＝ｋ－１，ａｂ＝ｋ２＋３ｋ＋４，ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝－ｋ２－８ｋ－７＝－（ｋ＋４）２＋９，由－３≤ｋ≤－５３，得ａ２＋ｂ２的最大值为８．１７．因为７８４÷５６＝１４，所以共可分成１４个班．又３００÷（１４×２）＝１０……２０，２０－１４＝６，１４－６＋１＝９，所以编号是３００号的同学应分在９班．１８．当直线与抛物线相切时，即ｘ２－ｘ－ｍ＝０有重根，可得ｍ＝－１４；当ｙ＝ｘ＋ｍ的图象分别过点（２，４）及点（０，０）时，它与ｙ＝ｘ２（－２≤ｘ≤２）的图象都恰有１个在ｙ轴右侧的交点，此时ｍ分别为０和２；当ｍ在区间（０，２）内变化时，也满足题意．所以ｍ的取值范围是［０，２］∪－１４｛｝．１９．ａｎ＝５９（１０ｎ－１）＋（ｎ－１）（ｎ－２）·（ｎ－３）．（答案不唯一）２０．将Ｍ中元素从小到大排列，若从第ｍ个与第ｍ＋１个数的位数没有增加，则第ｍ＋１个数的最高位必是９；反之，最高位是９的数与前一个数的位数一定相同，所以Ｍ中最高位是９的数共有２００６－１９１４＝９２（个）．三、解答题２１．（１）作ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ（如图７所示），图７则ＤＥ＝２ｓｉｎθ，ＡＥ＝２ｃｏｓθ，ＢＥ＝５－２ｃｏｓθ，ＢＤ＝ＤＥ２＋ＥＢ槡２＝４ｓｉｎ２θ＋２５－２０ｃｏｓθ＋４ｃｏｓ２槡θ＝２９－２０ｃｏｓ槡θ．（２）Ｓ１＝１２ＡＢ·ＤＥ＝５ｓｉｎθ，取ＢＤ中点Ｍ，连接ＣＭ（如图７所示），由ＤＣ＝ＣＢ，得ＣＭ⊥ＢＤ，ＣＭ２＝ＤＣ２－ＤＭ２＝４－１４（２９－２０ｃｏｓθ）＝５ｃｏｓθ－１３４，Ｓ２２＝１２ＢＤ·ＣＭ（）２＝１４（２９－２０ｃｏｓθ）５ｃｏｓθ－１３４（）＝－２５ｃｏｓ２θ＋１０５２ｃｏｓθ－３７７１６，于是ｆ（θ）＝Ｓ２１＋Ｓ２２＝２５ｓｉｎ２θ－２５ｃｏｓ２θ＋１０５２ｃｏｓθ－３７７１６＝－５０ｃｏｓ２θ＋１０５２ｃｏｓθ＋２３１６＝－５０ｃｏｓθ－２１４０（）２＋４８７３２．当Ｄ，Ｃ，Ｂ共线时，由余弦定理可得ｃｏｓθ＝１３２０；当Ａ，Ｄ，Ｃ共线时，同理可得ｃｏｓθ＝３７４０．因为ＡＢＣＤ是凸四边形，·６４·所以ｃｏｓθ的取值区间为１３２０，３７４０（）．令ｃｏｓθ＝ｔ，则ｆ（θ）＝－５０ ｔ－２１４０（）２＋４８７３２＝ｇ（ｔ）．因为ｔ∈１３２０，３７４０（），所以ｇ（ｔ）在１３２０，３７４０（）上单调递减，又ｇ１３２０（）＝２３１１６，ｇ３７４０（）＝２３１３２，所以ｆ（θ）的值域为２３１３２，２３１１６（）．２２．由题中给出的对应关系，有Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ∈｛０，１，２，３，４｝．由于三个递增的相邻的自然数被编成ＶＹＺ，ＶＹＸ，ＶＶＷ，所以２５Ｖ＋５Ｙ＋Ｚ＝２５Ｖ＋５Ｙ＋Ｘ－１，２５Ｖ＋５Ｙ＋Ｘ＝２５Ｖ＋５Ｖ＋Ｗ－１，烅烄烆即Ｚ＝Ｘ－１，５（Ｖ－Ｙ）＝Ｘ－Ｗ＋１．烅烄烆①②因为被编成ＶＹＸ，ＶＶＷ的十进制的自然数是递增的，所以Ｖ＞Ｙ．由②知５｜Ｘ－Ｗ＋１，且Ｘ－Ｗ＞０，所以Ｘ－Ｗ＋１＝５，Ｖ－Ｙ＝１，即Ｘ＝４＋Ｗ≥４，但Ｘ≤４，所以Ｘ＝４，Ｗ＝０，Ｚ＝３，于是Ｖ，Ｙ∈｛１，２｝，而Ｖ－Ｙ＝１，所以Ｖ＝２，Ｙ＝１．因此，ＶＷＸＹＺ所对应的十进制数是２×５４＋０×５３＋４×５２＋１×５＋３＝１３５８．２３．（１）即求ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋１ｘ２＋ｘ＋１的值域，易得（ｘ２＋ｘ＋１）ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋１，所以（ｙ－１）ｘ２＋（ｙ－２）ｘ＋（ｙ－１）＝０．当ｙ＝１时，－ｘ＝０，即ｘ＝０；当ｙ≠１时，Δ＝（ｙ－２）２－４（ｙ－１）２≥０，即ｙ（３ｙ－４）≤０，解得０≤ｙ≤４３．综上可知ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋１ｘ２＋ｘ＋１的值域为０，４３［］．（２）由ｙ＝ｘ２＋ｋｘ＋１ｘ２＋ｘ＋１可得（ｘ２＋ｘ＋１）ｙ＝ｘ２＋ｋｘ＋１，即（ｙ－１）ｘ２＋（ｙ－ｋ）ｘ＋（ｙ－１）＝０．当ｋ＝１时，ｙ≡１，所以不存在灾数ａ，ｂ，ｃ使ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）＜ｆ（ｃ）；当ｋ≠１时，若ｙ＝１，则ｘ＝０；若ｙ≠１，则Δ＝（ｙ－ｋ）２－４（ｙ－１）２≥０，即３ｙ２＋（２ｋ－８）ｙ＋（４－ｋ２）≤０，解得４－ｋ－２｜ｋ－１｜３≤ｙ＜１或１＜ｙ≤４－ｋ＋２｜ｋ－１｜３．综上可知ｙ∈４－ｋ－２｜ｋ－１｜３，４－ｋ＋２｜ｋ－１｜３［］．假设对任意的实数ａ，ｂ，ｃ都有ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）≥ｆ（ｃ），则有２（４－ｋ－２｜ｋ－１｜）３≥４－ｋ＋２｜ｋ－１｜３，解得ｋ∈２５，１０７［］．所以若存在实数ａ，ｂ，ｃ使得ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）＜ｆ（ｃ），则ｋ∈－∞，２５（）∪１０７，＋∞（）．·７４·。
高一竞赛赛试题和答案
高一竞赛英语试题（满分100分）第一部分：语言知识应用（共两节，满分45分）第一节：完形填空（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，掌握其大意，然后从1—15各题所给的(A, B, C和D)中，选出最佳选项。
Water costs money．In some places water is hard 1 ．What 2 when a townhas these problems？A small town in California found a happy 3．Very little rain ever fell there．The town had no water of its own．The water it used was 4 froma river 300 miles away．As more people 5 live in the town， 6 water was needed．Now water7 to be brought in from 600 miles away．All these cost 8 money．The town 9 a plan．It found a way to clean its “dirty” water．Once the cleaned water was reused10 many ways．Five man-made lakes were built．Here people could swim and fish and go11 ．They could have picnics in their new parks．Farmers had more water 12 their crops．New factories can be built，now that they have the promise of 13 ．In most places，water is used and thrown 14 ．The town that saved 15 waterhas saved the town！1．A．supplying B．getting C．to get D．to supply2．A．happens B．happening C is happened D．happened3．A．key B．answer C answering D．way4．A．fetch B．take C．brought in D．guided5．A．come to B．came to C．coming to D．came for6．A．many B．plenty of C．more D．many more7．A．has B．had C．must D．needed8．A．many B．a few C．a great many D．a lot of9．A．put B．made C．supply D．noticed10．A．for B．by C．at D．in11．A．boating B．to boat C．to boating D．on boating12．A．as B．with C．for D．to13．A．water enough B．enough waterC. crops enough D．enough crops14．A．off B．of C．away D．out of15．A．it’s B．its C．one’s D．his第二节：语法填空（共10小题，每小题1.5分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求,在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
高一年级数学竞赛试题及答案
1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ……………………………高一年级数学竞赛试题一、填空题1、一个四位数abcd 乘以4后得另一个四位数恰好是dcba ，则原四位数abcd 是 。
2、直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为 。
3、把正奇数依次排列成5列，如右图， 则2001排在从左数第 列。
4、钟表现在是10时整，那么在 时， 分 秒时， 分针与时针首次出现重合。
5、把数1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7这 14个数排成一排，使两个1之间夹1个数，两个2之间夹2个数，两个3之间夹3个数，………，两个7之间夹7个数，则排法为6、公园小路如图，只要把 A,B,C,D,E,F,G 七个点中的 两处设为出口，可实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走。
7、用“十进制”表示数，满十进前一位；用“十四进制”表示数，满十四进前一位。
在“十四进制”中，把十四个数码依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J,Q,K ；那么 十JQK 化成“十进制”数应是 。
8、四快相同长方形纸板，长宽各为2和1，形状为现统一锯开 得到小 和小块，请你用这八块纸板拼成一个正方形：班级学号姓名成绩二、解答题：9、证明：整数被表示成两个整数平方和的充要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和。
10、用S表示原地不动，T表示向左转，R表示向右转，L表示向后转。
集合X=｛S,T,R,L｝中的元素有一种运算“＋”表示“紧接着”的意思。
（例如T+S表示向左转紧接着向后转，当然运算结果为向右转，因而有T+L=R）。
若集合X中某元素E，满足E+E=E，则E叫单位，若某两个元素A和B满足A+B=E，则A，B叫做互为逆元。
①求集合X中的单位。
②求集合X中的每个元素的逆元。
11、有2001个小球堆在一起，二人进行轮流拿球游戏，每次可以拿一个、二个或三个球，不能多拿也不能不拿，至拿完全部小球游戏结束。
寒假高中一年级竞赛班校本第二版
冬季班高一物理竞赛班专项训练（第1讲）曲线运动【知识要点】1、曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向.2、物体做直线运动的条件：物体所受合外力为零或所受合外力方向和物体的运动方向在同一直线上.3、物体做曲线运动的条件合外力方向与速度方向不在同一直线上.4、曲线运动的特点：曲线运动一定是变速运动；质点的路程总大于位移大小；质点作曲线运动时，受到合外力和相应的速度一定不为零，并总指向曲线侧. [注意]：①做曲线运动的物体所受合外力不一定变化。
②两个分运动是匀速直线运动，则合运动是匀速直线运动或静止. ③已知两个分运动都是匀加（互成一定角度，不共线）则合运动是：1合合与v a 共线是匀加直线运动；2合合与v a 不共线是匀变曲线运动.④一个分运动是匀速，另一个是匀加（初速度为零），则合运动：1合合与v a 共线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=atv v at v v 00合合反向，同向， 2合合与v a 不共线：匀变速曲线运动.【例题精讲】【例1】画出图中沿曲线ABCDE 运动的物体在A 、B 、C 、D 、E 各点的速度方向.略【例2】某质点在恒力 F 作用下从A 点沿图1中曲线运动到 B 点，到达B 点后，质点受到的力大小仍为F ，但方向相反，则它从B 点开始的运动轨迹可能是图中的[ ]A.曲线aB.曲线bC.曲线CD.以上三条曲线都不可能 答案:A 【夯实双基】1.关于曲线运动，下列说法中正确的是( ).(A)物体作曲线运动时，它的速度可能保持不变(B)物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能作曲线运动(C)所有作曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上(D)所有作曲线运动的物体，加速度方向与所受合外力方向始终一致答案:CD2.物体受到几个力的作用而做匀速直线运动，如果只撤掉其中的一个力，其它力保持不变，它可能做[ ]A.匀速直线运动B.匀加速直线运动C.匀减速直线运动D.曲线运动2、BCD3．（高考科研题）一质点在某段时间做曲线运动，则在这段时间( ) A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变；B．速度一定不断改变，加速度可以不变；C．速度可以不变，加速度一定不断改变；D．速度可以不变，加速度也可以不变。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题一、猜一猜：（每小题2分共16分）1.司药（打一数学名词）——配方2.招收演员（打一数学名词）——补角3.搬来数一数（打一数学名词）——运算4.你盼着我，我盼着你（打一数学名词）——相等5.北（打一数学名词）——反比6.从后面算起（打一数学名词）——倒数7.小小的房子（打一数学名词）——区间8.完全合算（打一数学名词）——绝对值二、试一试：（每小题4分共8分）1.把12、18、7、6、11分别填入下面□中，使算式成立。
□+□=□=□+□12+6=18=7+112.按规律填数1、6、7、12、13、18、( 19 )、( 24 )、( 25 )三、画一画：（6分）24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗? (一个六边形)四、脑筋急转弯：（每小题4分共20分）1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢解答：5根2.一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。
问他赚了多少？答案：2元3.一根绳子两个头，三根半绳子有几个头?解：8个头，(半根绳子也是两个头)4.一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟?答：15分钟5.如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。
按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要( )分钟时间。
解：5分钟6.100个包子，100个人吃，1个大人吃3个，3个小孩吃1个，多少个大人和多少小孩刚好能吃完？解答：25个大人，75个小孩五、算一算：（每小题5分共25分）1. 兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱?解：老大8 老二12 老三5 老四202. 幼儿园新买回一批小玩具。
如果按每组10个分，则少了2个;如果按每组12个分，则刚好分完，但却少分一组。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。
解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。
根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。
我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。
由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。
通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。
我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。
接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。
则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。
根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。
比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。
综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。
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高中一年级练习（2）
一、选择题（以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的）
1、已知，则的值为（）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）
2、一个半径为R的球，在一个内半径也为R的半圆柱形槽内恰好可以无滑动地滚动一周，设球的表面积为S，槽的内壁面积为S′，则S与S′的大小关系是（）
（A）S＝S′（B）S＜S′
（C）S＞S′（D）不能确定的
3、设，且，则的单调减区间是（）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空题
1、若方程的根是正数，则参数a的取值范围是（）
2、正三棱锥A－BCD的侧棱长与底面边长相等，顶点A、B、C、D在同一
个球面上，和是该球的直径，则平面ABC与平面所成角的正弦值为（）
3、函数对于任意的，都有，则实数a的取值范围是（）
4、偶函数的定义域为R，且对于任意，都有，
又当时，，则当时，（）
5、A、B、C是同一条直线上的三点，AB＝BC＝1千米，塔M在A的正东北方向，在B的正东方向，在C的南偏东60°，则塔与直线AC的距离等于（）
6、集合，则实数m的取值范围是（）
7、正三棱锥V－ABC底面边长及锥高都等于4，过AB的截面将棱锥体积二等分，则锥顶V到该截面的距离等于（）
三、解答题
1、设，函数的定义域为[0，1]且，，当
时，有，求
（1）；
（2）的值；
（3）函数的单调递增区间。