4.3.1利用平方差公式因式分解ppt课件
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湘教版数学七年级下册3.3《利用平方差公式进行因式分解》课件 (共17张PPT)
第3章 因式分解
3.3 公式法
第1课时 利用平方差公式进行因式分解
学习目标
1.能说出平方差公式的结构特征．（重点） 2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点）
导入新课
回顾与思考
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 从左边到右边的这个过程叫__整__式__乘__法___. 2.反过来，a2-b2=_(_a_+_b_)_(a_-_b_)_. 从左边到右边的这个过程叫___分__解__因__式__. 因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式.
3.把下列各式因式分解:
(1)-9x2 +y2
(y3x)(y-3x)
（3）9x4-36y2
9(x2+2y)(x2-2y) （5）25x4y2-x2
x2(5xy+1)(5xy-1)
( 2)4a2c4 - 1 b2
(2ac291b)(2ac2-1b)
3
3
（4）a3-ab2
a(a+b)(a-b)
（6）2a(x2+1)2-2ax2 2a(x2+x+1)(x2-x+1)
能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解:原式＝（2n+1+5）(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 所以， （2n+1)2-25能被4整除.
课堂小结
多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：
1.多项式是二项式或可以成二项式； 2.两项符号相反； 3.每项都可以写成某数或某式的平方形式.
3.3 公式法
第1课时 利用平方差公式进行因式分解
学习目标
1.能说出平方差公式的结构特征．（重点） 2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点）
导入新课
回顾与思考
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 从左边到右边的这个过程叫__整__式__乘__法___. 2.反过来，a2-b2=_(_a_+_b_)_(a_-_b_)_. 从左边到右边的这个过程叫___分__解__因__式__. 因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式.
3.把下列各式因式分解:
(1)-9x2 +y2
(y3x)(y-3x)
（3）9x4-36y2
9(x2+2y)(x2-2y) （5）25x4y2-x2
x2(5xy+1)(5xy-1)
( 2)4a2c4 - 1 b2
(2ac291b)(2ac2-1b)
3
3
（4）a3-ab2
a(a+b)(a-b)
（6）2a(x2+1)2-2ax2 2a(x2+x+1)(x2-x+1)
能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解:原式＝（2n+1+5）(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 所以， （2n+1)2-25能被4整除.
课堂小结
多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：
1.多项式是二项式或可以成二项式； 2.两项符号相反； 3.每项都可以写成某数或某式的平方形式.
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式
,
y
3. 2
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问 题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
1 2
(x a p)2 (x b q)2
(x p) (x q) (x p) (x q)
(2x p q)( p q).
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因 式分解.
针对训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除.
平方差公式因式分解名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
随堂演练
1、下列哪些多项式能够用平方差公式 分解因式？
(1) 4x2+y2；
(2) 4x2-(-y)2；
(3) -4x2-y2；
(4) -4x2+y2；
(5) a2-4；
(6) a2+32.
2、把下列各式分解因式:
(1) 36-25x2 (2) 16a2-9b2 解：(1) 36-25x2 =62-(5x)2
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
巩固练习 1.把下列各式分解因式：
(1)(m - a)2 - (n + b)2
(2)49(a - b)2 -16(a + b)2
=(6+5x)(6-5x)
(2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
3、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(ab=)[]32(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)]
5、把多项式2x3-8x分解因式.
解：2x3-8x =2x (x2-4) =2x (x2_22) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然 后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
6、把下列各式分解因式:
(1) a4–b4= (a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)
《平方差公式》PPT教学课件
(是)
（2）(-2a+b)(-2a-b) (是)
（3）(-a+b)(a-b)
(否)
（4）(a+b)(a-c)
(否)
例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2y )( 3x-2y） （2）（-7+2m2 )(-7-2m2 ） （3）（x-1)(x+1)(x2+1）
解：（1）（3x+2y)(3x-2y） =（3x）2-（2y）2 =9x2-4y2
=1002 - 22
=10000-4
=9996
例2计算： 1.102 ×98
2. y 2y 2 y 1y 5
解：2.原式=y2–22- (y2+5y-y-5)
=y2–4 – (y2+4y-5) =y2–4 –y2-4y+5 =-4y+1
注：合并同类项，化到最简。
随堂练习
1. a 3ba 3b
都未添括号。
拓展应用
1.利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1)(1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
1.什么是平方差公式？ 2.运用公式要注意： （1）要符合公式特征才能运用平方差公式； （2）有些例子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。
2.利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a
b
a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3 a (-3)2-a2
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
平方差公式因式分解课件
平方差公式的证明
以几何解释和代数推导的方式，详细介绍平方差公式的证明，并提供一些实例来巩固理解。
平方差公式的应用
展示平方差公式在解决实际数学问题中的应用，包括面积计算、数列求和和方程式的变形等。
因式分解实例1：4x^2 - 9y^2
通过实际例子演示如何应用平方差公式进行因式分解，帮助学生更好地理解 和掌握这一概念。
平方差公式的探究
发掘更深层次的平方差公式相关概念，讨论剩余和约分等概念，并展示它们 是如何相互影响的。
平方差公式的历史背景
介绍平方差公式的历史渊源和相关数学家，帮助学生了解数学知识的发展和演变。
平方差公式在实际生活中的应用
探索平方差公式在实际生活中的实际应用，如建筑设计、物理力学和经济分析等领域。
平方差公式因式分解ppt 课件
本课件将带您了解平方差公式因式分解的概念、应用和推广。深入浅出，轻 松掌握这一数学难题，让您的数学技巧更上一层楼！
平方差公式介绍
通过直观的示意图，了解平方差公式是什么，并掌握其重要性以及在因式分解中的作用。
பைடு நூலகம்
什么是因式分解？
深入分析因式分解的定义，展示因式分解在数学中的重要性，以及为什么它 是数学解决难题的基础。
因式分解实例5：9a^2 - 16b^2
最后一个实例将帮助学生巩固平方差公式因式分解的知识，并解决更具挑战 性的方程式问题。
平方差公式的推广
探讨平方差公式的推广应用，如立方差公式和高次幂差公式，并帮助学生扩 展他们的数学思维。
平方差公式的变形1：(a+b)^3
了解如何将平方差公式应用于(a+b)^ 3的展开，并解决更复杂的代数问题。
平方差公式的变形2：(a+b)^4
湘教版七年级下册数学《公式法—平方差公式因式分解》PPT课件
25x2 -4y2 =(5x)2 -(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
因为25x2 可以写成(5x)2 , 4y2 可以写成(2y)2,
所以能用平方差公式分解。
巩固练习
1.填空：
（1）9y2=(±3y )2（2）36 x2 =（ 6 x ）2
25
5
（3）9 t 2 （ 3 t ）2
4
2
例2 把(x+y)2-(x-z)2因式分解.
a=x+y，b=x-z
(x+y)2-(x-z)2 =[(x+y+x-z)][(x+y-x+z)]
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(2x+y-z)(y+z)
例3 把x4-y4因式分解.
x4-y4
a=x2，b=y2
=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2) (x+y)(x-y)
3.3 公 式 法
第一课时 用平方差公式因式分解
复习导入
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将 它分解因式吗？
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫_整__式___乘__法___.
2、反过来，a2-b2=__(_a_+__b_)_(_a_-.b) 从右边到左边的这个过程叫_因__式___分__解___.
在因式分解 时，必须进行到 每一个因式都不 能分解为止.
例4 把x3y2-x5因式分解.
x3y2-x5 =x3(y2-x2) ……提取公因式x3 =x3(y+x)(y-x) ……因式分解
运用平方差公式因式分解PPT优质课件
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
运用平方差公式分解因式
2020/12/10
1
计算：
平方整差式公乘式法： (a+b)(a-b) = a²-b²
(1) (a+1) (a-1) 反之因：式分解
a²-b²= (a+b)(a-b)
(2) (-2x-3y) (2x-3y)即：两个数的
(3) 99.7 ×100.3
平方差，等于 这两个数的和
(4) 20062－20052 与这两个数的
2020/12/10
项式。
4
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
例1.把下列各式分解因式
(1)16a²- 1
(2) -m²n²+4x²
(3) —9 x²- —1 y4
25
16
(4)( x + z )²- ( y + z )²
2020/12/10
5
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
例2.把下列各式分解因式:
① x4 - 81y4 ② 2a³- 8a
1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²)
= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
2020/12/10
6
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且要分解彻底。
差的积。
北师大版初中八年级下册数学课件 《公式法》因式分解PPT(第1课时)
强化训练
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数） 则(2m＋1) ²-(2n＋1) ² ＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n） ＝4(m-n)(m+n＋1) 可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可， 若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除， 若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除， 所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
解：∵b²+2ab=c²+2ac， ∴b²－c²+2ab－2ac=0， ∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0， （b－c）（b+c+2a）=0． ∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0， ∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形式 2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
强化训练
1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状. 解：a²c²-b²c²=a4-b4， a²c²-b²c²-a4+b4=0， c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=0 (a＋b) (a-b)(c²-a²-b²)=0 其中a＋b≠0， ∴a-b=0或c²-a²-b²=0 ∴a²＋b²=c²或a＝b. ∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.
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巩固练习
1.把下列各式分解因式：
(1)(m a) (n b)
2
2
2
2
( 2 ) 49 ( a b ) 16 ( a b )
( 4 )3ax
4
( 3)( x 2 y 2 ) 2 4 x 2 y 2
3ay
4
2.简便计算：
(1 )565 435
2 2
1 2 1 2 ( 2)( 65 ) (34 ) 2 2
4.3.1 利用平方差公式因式分解
学习目标 1、让学生掌握运用平方差公式分解因式.
2、会将某些单项式化为平方形式，再用平方差公
式进行分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
填空：
复习回顾 2 （1）(x+5)(x-5) = x –25 ；
（2）(3x+y)(3x-y)= 解计算
联系拓广
例3.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一 个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求 当a=3.6，b=0.8时的面积．
解:a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2 当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4cm2
★被分解的多项式含有两项,且这两项异号,并且能写成( )２－( )２ 的形式.
(2)公式右边:（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
试一试 写一写
下列多项式能转化成( )２－( )２的形式吗？如果能， 请将其转化成( )２－( )２的形式。 (1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式
问题解决
如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
2 解: R2- r2= (R+r)(R-r)cm 当R=8.45，r=3.45 时,
( 3.14)
原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
a b (a b) a b) ( 结论： 3(m n) (m n)
2 2
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被 分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式 因式分解.
(3) 4x3-9xy2 解：原式 =x(4x2-9y2) =x(2x+3y)(2x-3y)
2
1 1 (3a b)(3a b) 2 2
先确定a和b
(1) x y ( x y)(x y);
2 2
2 2
1.判断正误：
(3) x y ( x y)( x y); × 2 2 (4) x y ( x y)(x y). ×
a2和b2的符号相反
（3）(3m+2n)(3m–2n)= 9m –4n ． 2 2 它们的结果有什么共同特征？ (a b)(a b) a b
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： 2 （x+5）（ x-5） __; x 25 __________ __________
（3x+y）（ 3x-y） _; 9 x y __________ __________
例2.分解因式： 4 2 (1) ( 2m n) 25
把括号看作一个整体
解：原式 3(m n) (m n)
2
(2)9(m n) (m n)
2
2
2
3(m n) (m n)3(m n) (m n) (4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
范例学习
例1.分解因式：
(1)25 16x
2
2
解:原式 5 (4 x)
2
(5 4 x)(5 4 x)
1 2 (2)9a b 4 1 2 2 解:原式 (3a ) ( 2 b)
× 2 2 (2) x y ( x y)(x y); √
2.分解因式：
(1) 9 4 x
2 2
2
(2 x 3)(2 x 3)
1 2 1 1 ( 2) x y z ( xy z )( xy z ) 4 2 2 (3)0.25q 2 121p 2 (0.5q 11p)(0.5q 11p)
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分 解因式.
结论：
分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
自主小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？ （1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式 是互逆关系； （3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是 多项式；
=186.83cm2
完成课本习题 拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面的问题吗? 你知道992-1能否被100整除吗？
再攀高峰 如图，在边长为6.8cm正方 形钢板上，挖去4个边长为1.6cm 的小正方形，求剩余部分的面积.
(4) p 4 1 ( p 2 1)( p 2 1)
( p 1)( p 1)( p 1)
2
分解因式需“彻底”！
2 2 2 ( ) ( 2 m n ) 解：原式 5 2 2 ( 2m n) ( 2m n) 5 5 2 2 ( 2m n)( 2m n) 5 5
2 2
9m 4n （ __________ __________ . 3m+2n）（ 3m–2n）
2 2
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说一说 找特征
a
2
▲
b
2
(a ▲ b )( a b) ▲
(1)公式左边： （是一个将要被分解因式的多项式）