利用抛物线的特点比较二次函数值的大小
数学九年级上册《二次函数》单元测试含答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．2m (m 2﹣4)B ．12 m 2﹣2C ．2m (4﹣m 2)D ．2﹣12m 2 2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣12或( )A ．0B ．1C ．2D ．33．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -4．如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,45OBC ∠=︒,则下列各式成立的是( ).A ．10b c --=B ．10b c ++=C ．10b c -+=D ．10b c +-=5．将抛物线y=3x 2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为( ) A ．y=3(x ﹣2)2﹣1B ．y=3(x ﹣2)2+5C ．y=3(x+2)2﹣1D ．y=3(x+2)2+56．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是( )A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)8．抛物线y＝﹣13(x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=x2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b的值是()A．4 B．5 C．6 D．711．抛物线y＝3(x﹣2)2+5的顶点坐标是()A．(﹣2,5) B．(﹣2,﹣5) C．(2,5) D．(2,﹣5)12．抛物线y＝x2+x﹣1的对称轴是()A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣12D．直线x＝12二、填空题13．如图,抛物线y＝14x2＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____． 15．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．三、简答题17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．18．已知243(3)5mm y m x +-=++是关于x 的二次函数.(1)求m 的值. (2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？19．如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形,求S△AB C;20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S与x之间的函数关系．21．已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(﹣4,0)．(1)求m的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m时,则水面的宽度为多少？23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．参考答案1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．(m 2﹣4)B ． m 2﹣2C ．(4﹣m 2)D ．2﹣m 2 【答案】B【解析】【分析】先求出A 的坐标,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,根据题意可知x 1+x 2=2,x 1﹣x 2=m ,从而求出x 1与x 2的表达式．【详解】∵y =﹣2x 2+4x =y =﹣2(x -1)2+2,∴抛物线的对称轴为：x =1,令y =0代入y =﹣2x 2+4x ,∴0=﹣2x 2+4x ,∴x =0或x =2,∴A (2,0),∴OA =2,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,∴． ∵抛物线向右平移m (m ＞2)个单位长度,∴PQ =m ,∴x 1﹣x 2=m ,∴,解得：x 1=,x 2=． 把x 1=代入y =﹣2x 2+4x ,∴y =2﹣＜0,∴在△PCD 中,CD 边上的高为：﹣2． ∵OA =CD =2,∴S △PCD =×2×()=﹣2． 故选B ．2m 122m 121212x x +=12122x x x x m +=⎧⎨-=⎩22m +22m -22m +22m 22m 12222m -22m【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点,解题的关键是求出P 的坐标,然后根据三角形面积公式即可求出△PCD 的面积,本题属于中等题型．2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣或．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】关键函数的增减性,以及M 的定义,逐一判断即可．【详解】解：∵x ＞0时,函数y 2的图象在上面,∴y 2＞y 1,故①错误．当x ＜0时,M 的值=y 1或y 2,122∵x ＜0,y 随x 增大而增大,∴x 值越大,M 值越大,故②正确．刚才图象可知M 的最大值为2,∴使得M 大于2的x 值不存在,故③正确,y 2=1时,x=-, y 1=1时观察图象可知：x=-或时,M=1,故④正确．故选D ．【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用函数的性质解决问题3．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项．其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．【详解】解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6．故选A ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 121222316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=4．如图,抛物线与轴交于点、,与轴交于点,,则下列各式成立的是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据,有,可设点C 、B 的坐标为,代入解析式,即可解得答案.【详解】,OB=OC,可设点C 、B 的坐标为(0,c)、(c,0),把B(c,0)代入,得即故选：B【点评】本题考查了抛物线与x 轴有交点,根据题意得到点C 、B 的坐标是解题的关键.2y x bx c =++x A B y C 45OBC ∠=︒10b c --=10b c ++=10b c -+=10b c +-=45OBC ∠=︒OB OC =()()0,,0c c、45OBC ∠=︒∴2y x bx c =++20,c bc c ++=(1)0c c b ++=0c ≠∴10b c ++=5．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为() A．y=3(x﹣2)2﹣1 B．y=3(x﹣2)2+5C．y=3(x+2)2﹣1 D．y=3(x+2)2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3(x+2)2+2；再向下平移3个单位为：y=3(x+2)2+2﹣3,即y=3(x+2)2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律：左加右减,上加下减．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y1与y2的大小关系是( ) A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向,可得C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),∴抛物线的对称轴是：直线x=-1,且开口向下,∵C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,∴y1>y2,故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小,是解题的关键．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是()A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可.【详解】由函数图像可知,对称轴是直线x ＝1故选项A 正确；当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大,故选项B 正确；图象的顶点坐标是(1,4),故选项C 正确；图象与x 轴的另一个交点是(3,0),故选项D 错误.故选D【点评】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键.8．抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( ) A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【答案】D 【解析】【分析】通过解方程﹣(x ﹣4)2+1＝0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点,通过计算自变量为 0 对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点,从而可判断抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数． 【详解】解：当 y ＝0 时,﹣(x ﹣4)2+1＝0,解得 x 1＝x 2＝4则抛物线与x 轴的交点坐标为(4+；13131313当 x ＝0 时,y ＝﹣( x ﹣4)2+1＝﹣,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,﹣)． 故选D ．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ＝ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )①设正方形的边长为x 面积为y,则y 与x 有函数关系；②x 个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y 与x 有函数关系；④若一辆汽车以120km/h 的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题意列出函数关系式,然后由二次函数的定义进行判断．【详解】①依题意得：y=x 2,属于二次函数关系,故正确；②依题意得：y=x(x-1)=x 2-x,属于二次函数关系,故正确；③依题意得：y=6x 2,属于二次函数关系,故正确；④依题意得：y=120x,属于一次函数关系,故错误；综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C ．【点评】本题考查二次函数的定义：一般地,形如y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数．其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．y═ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式．1313313310．二次函数y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴,结合条件可得到关于b 的方程,可求得b 的值．【详解】∵y=x 2+bx+1, ∴对称轴为x=-, ∵y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=-3,∴-=-3,解得b=6, 故选C ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴,掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键,即二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-． 11．抛物线y ＝3(x ﹣2)2+5的顶点坐标是( )A ．(﹣2,5)B ．(﹣2,﹣5)C ．(2,5)D ．(2,﹣5)【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,∴二次函数图象的顶点坐标是(2,5),故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等．12．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是( )2b 2b 2b aA ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣D ．直线x ＝ 【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式x ＝﹣可得对称轴． 【详解】∵对称轴x ＝﹣﹣＝﹣＝﹣, ∴对称轴是直线x ＝﹣． 故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴． 13．如图,抛物线y ＝x 2＋x ＋3的顶点为P,与y 轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意求得A,P 的坐标,再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形,以及A′,P 的坐标,然后求得AD,PP′的长,再求出面积即可.【详解】如图,连接AP,AP′,过点A 作AD ⊥PP′于D 点,由题意可得,四边形APP′A′为平行四边形,1212b 2ab 2a 121 121214将x=0代入函数得y=3,∴点A 的坐标为(0,3),又∵抛物线y ＝x 2＋x ＋3=(x 2+4x+4)+2=(x+2)2+2, ∴顶点P 的坐标为(﹣2,2),∵将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位,∴点A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),∴∠AOP ＝45°,∴△AOD 为等腰直角三角形,∴AD=OD,在Rt △AOD 中,AD 2+OD 2=9,即2AD 2=9, ∴则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为×=12. 故答案为12.14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____．【答案】直线x ＝2【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性,即可得到答案．【详解】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,∴其对称轴为：直线x ＝．故答案为：直线x ＝2．14141421522【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性,掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点关于抛物线的对称轴对称,是解题的关键．15．抛物线的顶点坐标是__________.【答案】(-5,-3)【解析】【分析】由于抛物线y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为(h,k),由此即可求解．【详解】∵抛物线y=-2(x+5)2-3,∴顶点坐标为：(-5,-3)．故答案为(-5,-3).【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题． 16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．【答案】y=﹣(x ﹣2)2﹣3【解析】【分析】因知道了顶点坐标,所以可设顶点式求解,即设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入即可求出a 的值.【详解】设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入,得-7=a (0-2)2 -3,解之得,a =-1.∴y =-(x -2)2 -3.故答案为y =-(x -2)2 -3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键. 17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为10022(5)3y x =-+-米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．【答案】(1)利用旧墙AD 的长为10米．(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出AD,表示AB 构成方程；(2)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．【详解】(1)设AD=x 米,则AB=米 依题意得,＝450 解得x 1=10,x 2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米．(2)设AD=x 米,矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得：1002x (100)2x xS=,0＜x ＜a ∵0＜a ＜50∴x ＜a ＜50时,S 随x 的增大而增大当x=a 时,S 最大=50a-a 2②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=,a≤x ＜50+ 当a ＜25+＜50时,即0＜a ＜时, 则x=25+时,S 最大=(25+)2=, 当25+≤a ,即≤a ＜50时,S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大==, 综合①②,当0＜a ＜时,-()=＞0 ＞,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米 2(100)1(50)125022x x x ---+＝1222(1002)[(25)](25)244x a x a a x +---+++＝2a 4a 10034a 4a 21000020016a a ++4a 1003(1002)2a a a +-21502a a -100321000020016a a ++21502a a -2(3100)16a -21000020016a a ++21502a a -21000020016a a ++当≤a ＜50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米； 当≤a ＜50时,围成长为a 米,宽为(50-)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米． 【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系．18．已知是关于x 的二次函数.(1)求m 的值.(2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？【答案】(1)或.(2)当时,该函数图象的开口向上.(3)当时,该函数有最大值.【解析】【分析】根据题意可知,本题考查是二次函数的基础性质,(1)根据x 的次数为2且二次项系数不为0,判断m 的值；(2)通过二次项系数的正负判断开口方向,为正开口向上,为负开口向下；(3)对任意的x 值,函数有最大值,在函数开口向下时,函数才有最高点,即二次项系数小于0. 【详解】解：(1)根据题意,得解得 ∴或.(2)∵函数图象的开口向上,∴,∴∴.∴当时,该函数图象的开口向上.(3)∵函数有最大值,∴.100310034a 21000020016a a ++10032a 21502a a -243(3)5mm y m x +-=++5m =-1m =1m =5m =-2432,30,m m m ⎧+-=⎨+≠⎩51,3.m m m =-=⎧⎨≠-⎩或5m =-1m =30m +>3m >-1m =1m =30m +<∴,∴.∴当时,该函数有最大值.【点评】本题关键点：二次函数 中,；时开口向下,函数有最高点,即有最大值,时开口向上,函数有最低点,即有最小值.19．如图,抛物线y =2(x -2)2与平行于x 轴的直线交于点A ,B ,抛物线顶点为C ,△ABC 为等边三角形,求S △AB C;【解析】【分析】过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), 于是得到对称轴为直线x=2,设B(m,n),根据△ABC 是等边三角形,得到BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,求出由于PB=n=,于是得到 ,解方程得到m 的值,然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), ∴对称轴为直线x=2,设B(m,n),∴CP=m-2,∵AB ∥x 轴,3m <-5m =-5m =-2y ax bx c =++0a ≠0a <0a >222x -（）222m -（）222m -（）222x -（）∴AB=2m-4,∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,∴∵PB=n=,, 解得不合题意,舍去), ∴, ∴S △ABC =．【点评】本题考查二次函数的性质.20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)若平行于墙的一边长为y 米,直接写出y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S 与x 之间的函数关系．222m -（）222m -（）321322=【答案】(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)S ＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【解析】【分析】(1)由总长度−垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度,根据墙的长度就可以求出的取值范围；(2)由长方形的面积公式建立二次函数即可.【详解】解：(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)设矩形苗圃的面积为SS ＝xy ＝x(30﹣2x)＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型.21．已知二次函数y =x 2+3x +m 的图象与x 轴交于点A (﹣4,0)．(1)求m 的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．【答案】(1)m =-4；(2)(0,﹣4),(1,0)．【解析】【分析】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m ,即可求解；(2)令x =0时,则：y =﹣4,令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,即可求解．【详解】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m 得：16﹣12+m =0,解得：m =﹣4；(2)当x =0时,则：y =﹣4,∴函数图象与y 轴的交点为(0,﹣4)．令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,解得：x 1=1,x 2=﹣4,∴函数图象与x 轴的另一个交点为(1,0)．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点,是二次函数基础类题目．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：x(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m 时,则水面的宽度为多少？【答案】(1)y=﹣x 2+2;(2)【解析】【分析】(1)设出抛物线解析式,由已知条件求出点B 、点C 的坐标,将B 、C 的坐标代入抛物线解析式,列方程组求出未知参数即可；(2)令y =﹣1,解出x ,即可求出水面的宽度.【详解】解：(1)由题意设抛物线解析式为：y =ax 2+b (a ≠0),∵当拱顶离水面2m 时,水面宽4m ,∴点C (0,2),点B (2,0),代入得：, 解得：,∴拱桥所在抛物线的解析式为y =﹣x 2+2； (2)当水位下降1m 时,水位纵坐标为﹣1,令y =﹣1,则﹣1=﹣x 2+2, 解得x 12240b a b =⎧⎨+=⎩122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1212∴水面宽度为.【点评】本题主要考查二次函数的应用,建立直角坐标系,求出抛物线的解析式是解题的关键.23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【答案】y=﹣4t2+24t(0＜t＜6)【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出BP以及BQ的长；然后根据所求三角形的面积与时间的关系,得出S与t的函数关系式；最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间,求出t的取值范围即可.【详解】△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化,∵在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,∴BP=12﹣2t,BQ=4t,∴△PBQ的面积S随出发时间t(s)的解析式为：y=(12﹣2t)×4t=﹣4t2+24t,(0＜t＜6)．【点评】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题,用含t的代数式表示出BP以及BQ的长是解答本题的关键.24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．【答案】(1) 抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4；(2) 当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,M的坐标为：(2, 6)；(3) 点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【解析】【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),可求得点A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；(2)首先连接AA′,设直线AA′的解析式为：y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式,再设点M的坐标为：(x,-x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【详解】解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0, 4), ∴点A′的坐标为：(4, 0),∵点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),抛物线经过点C、A、A′,设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,∴{a−b+c=0c=416a+4b+c=0,解得：{a =−1b =3c =4,∴此抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4；(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为：y =kx +b ,∴{b =44k +b =0, 解得：{k =−1b =4, ∴直线AA′的解析式为：y =−x +4,设点M 的坐标为：(x, −x 2+3x +4),则S △AMA′=12×4×[−x 2+3x +4−(−x +4)]=−2x 2+8x =−2(x −2)2+8,∴当x =2时,△AMA′的面积最大,最大值S △AMA′=8,∴M 的坐标为：(2, 6)；(3)设点P 的坐标为(x, −x 2+3x +4),当P,N,B,Q 构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC 中,点A 、C 的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),∴点B 的坐标为(1, 4),∵点Q 坐标为(1, 0),P 为抛物线上一动点,N 为x 轴上的一动点,①当BQ为边时,PN // BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴−x2+3x+4=±4,当−x2+3x+4=4时,解得：x1=0,x2=3, ∴P1(0, 4),P2(3, 4)；当−x2+3x+4=−4时,解得：x3=3+√412,x4=3−√412,∴P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)；②当BQ为对角线时,BP // QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【点评】此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．。
初中数学巧用二次函数的性质比较数值大小
初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。
要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。
以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。
知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。
知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。
根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。
①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。
二次函数与抛物线图像的比较
二次函数与抛物线图像的比较一、二次函数的概念二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
其中，a、b、c分别称为二次函数的系数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、抛物线图像的特点抛物线是二次函数的图像，它是一种平面曲线。
抛物线的一般式为y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）。
抛物线的特点如下：1.抛物线的一般式为y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）。
2.抛物线是一条平面曲线，它开口向上或向下，取决于a的符号。
3.抛物线的对称轴是直线x=-b/(2a)，对称轴是抛物线图像的中心线，将抛物线分为两个对称的部分。
4.抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), c-(b^2)/(4a))，顶点是抛物线图像的最高点或最低点。
5.抛物线与y轴的交点为(0, c)。
6.抛物线与x轴的交点为(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，这些交点称为抛物线的零点。
7.二次函数y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是抛物线图像的理论表达式，抛物线图像是对二次函数在平面直角坐标系中的图形表示。
8.二次函数的系数a、b、c决定了抛物线图像的开口方向、对称轴位置、顶点坐标以及与x轴、y轴的交点。
9.抛物线图像的形状、位置和大小都可以通过二次函数的系数来确定。
10.二次函数的图像是一条抛物线，而抛物线图像只是二次函数图像的一部分，即当x取特定值时，二次函数的值所形成的图形。
二次函数与抛物线图像之间存在密切的关系。
二次函数是抛物线图像的理论表达式，抛物线图像是对二次函数在平面直角坐标系中的图形表示。
通过分析二次函数的系数，可以确定抛物线图像的开口方向、对称轴位置、顶点坐标以及与x轴、y轴的交点。
掌握二次函数与抛物线图像的关系，有助于更好地理解和解决与二次函数相关的问题。
习题及方法：1.习题：已知二次函数y=x^2+2x-3，求：(1)该二次函数的顶点坐标；(2)该二次函数与x轴的交点坐标；(3)该二次函数与y轴的交点坐标。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
[论文]二次函数特点及应用
![[论文]二次函数特点及应用](https://img.taocdn.com/s3/m/85dced83dc88d0d233d4b14e852458fb770b381f.png)
二次函数特点及应用次函数的图像.特点：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)]抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
二次函数与指数函数的比较
二次函数与指数函数的比较在数学中，二次函数和指数函数都是两类常见的函数形式。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
而指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数且大于0。
这两种函数在数学中发挥重要的作用，并在实际问题中经常被应用。
本文将对二次函数和指数函数进行比较，并探讨它们在不同方面的特点和应用。
一、函数形态比较二次函数的图像为一条抛物线，具有顶点，可以开口向上或向下。
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为函数在顶点的函数值。
而指数函数的图像则呈现出一种以原点为中心的曲线形态。
指数函数的图像随着自变量的增加而迅速增大，且递增速度越来越快。
二、增长速度比较就函数的增长速度而言，指数函数的增长速度远远大于二次函数。
当自变量趋向于无穷大时，指数函数的值呈现出爆炸式的增长，即指数函数的增长速度呈现出指数级的特点。
而二次函数的增长速度相对较慢，随着自变量的增大，函数值的增长速度也会逐渐变缓。
三、解方程比较二次函数和指数函数都可用于解方程。
对于二次函数而言，可以通过求解二次方程来确定其解集。
而对于指数函数，通常通过取对数的方式将指数方程转化为对数方程，然后再进行求解。
值得注意的是，在解方程时应考虑指数函数的定义域限制。
四、应用领域比较二次函数和指数函数在不同领域的应用也有所差异。
二次函数经常被用于描述抛物线的轨迹，如物体的运动轨迹、抛射物的轨迹等。
而指数函数则常常用于描述与增长和衰减有关的现象，如人口增长、投资收益、物质衰变等。
二次函数和指数函数在实际问题中都具有广泛的应用，通过选取合适的函数模型，可以更准确地描述和分析现象。
五、总结综上所述，二次函数和指数函数在函数形态、增长速度、解方程和应用领域等方面存在一定的差异。
二次函数的图像为一条抛物线，增长速度较慢；而指数函数的图像为一条曲线，增长速度非常快。
二次函数和指数函数在解方程和应用领域上也有所不同。
二次函数的定义及特点
二次函数的定义及特点二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的数学函数，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。
特点一：二次函数的图像是抛物线。
抛物线可以是开口向上的，也可以是开口向下的，这取决于二次项系数a的正负。
特点二：二次函数的对称轴垂直于x轴，具有形如x=-b/(2a)的垂直线对称轴方程。
特点三：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，具有形如(-b/(2a),f(-b/(2a)))的坐标。
特点四：二次函数的自变量x在整个实数范围内都有定义，即定义域为全体实数R。
特点五：二次函数的值域的范围是根据二次项系数a的正负而定。
若a>0，则值域为[f(-b/(2a)),+∞)，即抛物线开口向上的情况；若a<0，则值域为(-∞,f(-b/(2a))]，即抛物线开口向下的情况。
特点六：根据二次函数的图像，可以分析二次函数的零点和极值。
零点是函数图像与x轴的交点，是方程ax² + bx + c = 0的根；极值则是函数图像的最高或最低点，是顶点坐标的纵坐标值。
特点七：二次函数的导数是一次函数，导数函数f'(x) = 2ax + b，而且对于开口向上的二次函数，导数恒大于0；对于开口向下的二次函数，导数恒小于0。
特点八：二次函数的最大值或最小值是在其顶点处取得的，与一次函数不同，二次函数的最大值或最小值唯一存在。
特点九：二次函数与x轴的交点个数根据二次方程ax² + bx + c = 0的判别式来确定。
若判别式Δ = b² - 4ac > 0，则有两个不同实根，即抛物线与x轴有两个交点；若Δ = 0，则有一个重根，即抛物线与x 轴有一个交点；若Δ < 0，则无实根，即抛物线与x轴无交点。
特点十：二次函数的图像可以通过平移图像、伸缩图像、翻转图像等操作来得到其他二次函数的图像。
根据平移、伸缩和翻转的参数不同，可以得到不同形状和位置的抛物线图像。
正定二次函数求最小值的不同方式
正定二次函数求最小值的不同方式正定二次函数求最小值的不同方式在数学中，正定二次函数是一种特殊的二次函数，其中二次项系数为正值，使得函数图像开口向上。
对于这样的二次函数，我们通常需要求解其最小值，以确定函数的最优解。
在本文中，我将介绍几种不同的方法来求解正定二次函数的最小值。
我们可以使用函数的图像来确定最小值。
对于一个正定二次函数，我们可以通过观察函数图像的凹性来判断最小值的位置。
具体来说，如果函数图像是一个开口向上的抛物线，那么最小值一定在抛物线的顶点处取得。
通过求解抛物线的顶点坐标，我们可以得到最小值的具体数值。
我们可以应用微积分的知识来求解正定二次函数的最小值。
对于任意一个二次函数，我们可以通过求导数来寻找函数的极值点。
对于正定二次函数来说，由于函数图像是一个开口向上的抛物线，其最小值对应着函数的极小值点。
求解函数的导数为零的点可以帮助我们确定最小值的位置。
通过求解导数方程，我们可以得到最小值点的横坐标，进而得到最小值的具体数值。
另外，我们还可以利用完全平方式求解正定二次函数的最小值。
利用完全平方式，我们可以将二次函数表示为一个平方项和一个常数项的和，进而可以利用平方完成了的公式来求解最小值。
具体来说，对于一个一般形式的正定二次函数，我们可以通过将二次项进行配方，将函数转化为一个完全平方式。
我们可以利用平方完成了的公式求解最小值。
通过这种方法，我们可以很方便地得到最小值的数值。
我们还可以使用解析几何中的方法来求解正定二次函数的最小值。
利用解析几何的知识，我们可以将正定二次函数表示为平面上的一个二次曲线方程。
在平面上，我们可以通过观察二次曲线的几何特征来确定最小值的位置。
具体来说，对于一个开口向上的二次曲线，其最小值一定对应着曲线的顶点。
我们可以通过求解曲线的顶点坐标得到最小值的具体数值。
通过以上几种不同的方法，我们可以求解正定二次函数的最小值。
无论是通过函数图像、微积分、完全平方式还是解析几何，这些方法都可以帮助我们确定最小值的位置，进而得到最小值的具体数值。
二次函数知识点复习
二次函数知识点复习二次函数是数学中重要的一类函数，由形如y=ax^2+bx+c的表达式表示，其中a、b、c为常数且a不为0。
本文将从函数图像、性质、方程、最值等几个方面对二次函数进行全面复习。
首先，我们来看二次函数的图像特点。
二次函数的函数图像是一条抛物线，具体形状取决于a的正负和大小。
当a>0时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负抛物线。
二次函数的图像关于与抛物线的对称轴对称，对称轴的x坐标为-x轴的系数的一半，即x=-b/2a。
通过对称轴可以确定抛物线的对称中心。
其次，我们来了解一些二次函数的性质。
首先是定义域和值域。
对于所有的实数x，二次函数的定义域为实数集R。
对于正抛物线，其值域为二次函数的最低点（即最小值）到正无穷大的开区间；对于负抛物线，其值域为负无穷大到二次函数的最高点（即最大值）的开区间。
其次是奇偶性。
二次函数关于y轴是对称的，所以它具有关于y轴对称的特点，即二次函数为偶函数。
最后是单调性。
对于正抛物线，它在抛物线的两侧是递减的，在对称轴两侧是递增的；对于负抛物线，它在对称轴两侧是递减的，在抛物线的两侧是递增的。
接下来，我们来看二次函数的方程。
二次函数的方程一般有三种形式：一元二次方程、一次二次方程和二次二次方程。
一元二次方程是最常见的形式，由ax^2+bx+c=0表示，其中a、b、c为常数且a不为0。
一元二次方程的求解可以利用因式分解、配方法、求根公式等方法。
一次二次方程和二次二次方程是根据实际问题的特点而表示的方程形式。
例如，一次二次方程可能表示一些物理量与时间的关系，二次二次方程可能表示一些函数与另一个函数的复合关系。
最后，我们来讨论二次函数的最值问题。
对于任意的二次函数y=ax^2+bx+c，其中a不为0，其最值和最值点的求解需要根据a的正负情况进行讨论。
当a>0时，函数的最小值为c-a^2/(4a)，其最小值点的x 坐标为-x轴的系数的一半，即x=-b/2a。
二次函数的极值点与顶点
二次函数的极值点与顶点二次函数是数学中的重要概念，它具有一定的特点和性质。
其中，极值点和顶点是二次函数中一个重要的概念。
本文将深入探讨二次函数的极值点与顶点，并解析其意义和应用。
一、什么是二次函数的极值点和顶点？在研究二次函数的极值点和顶点之前，我们需要先了解什么是二次函数。
二次函数的一般形式可以表示为：y = ax² + bx + c （其中a≠0）二次函数的图像是抛物线，这个抛物线的开口的方向由a的正负决定，若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
极值点和顶点的概念是用来描述二次函数图像上的一个特殊点的位置。
顶点，也称为抛物线的最值点，是二次函数图像上的一个转折点。
它的横坐标记为x₀，纵坐标记为y₀。
极值点，指的是二次函数在某个区间内具有最大值或最小值的点。
二、如何求二次函数的极值点和顶点？1. 求顶点对于一般形式的二次函数 y = ax² + bx + c，我们可以通过以下步骤求解顶点的坐标：步骤一：计算顶点的横坐标 x₀。
二次函数的顶点横坐标计算公式为 x₀ = -b/2a。
即将二次函数的一次项系数b带入公式得到。
步骤二：计算顶点的纵坐标 y₀。
将顶点的横坐标x₀带入原始的二次函数公式中，即可求得顶点的纵坐标y₀。
顶点的坐标为 (x₀, y₀)。
2. 求极值点寻找二次函数的极值点是要确定函数在某个区间内的最大值或最小值。
首先，我们需要找到二次函数的顶点，然后再根据抛物线的开口方向来判断极值。
若抛物线开口向上，顶点是最小值点；若抛物线开口向下，顶点是最大值点。
二次函数的极值点就是顶点。
三、二次函数极值点和顶点的意义与应用二次函数的极值点和顶点在数学和实际问题中具有重要意义和应用。
1. 数学意义极值点和顶点是二次函数研究中的一个重要概念，通过求解极值点和顶点，我们可以研究二次函数的性质和特征。
对于复杂的二次函数，通过求解极值点和顶点，可以简化问题，更好地理解和分析二次函数的行为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用抛物线的特点比较函数值的大小
开口向下
观察抛物线不难发现这样的规律：
当开口向上时，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大
当开口向下时，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越小
利用这个发现做下题：
例、已知二次函数()2
32y x m =-+的图像经过A ()13,y -、B )22,y
、C ()35,y 三个点则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ） A 1y >2y > 3y B 2y >1y >3y C 1y >3y > 2y D 3y >2y >1y
在本题中抛物线开口向上，对称轴是x=2，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大
A 、
B 、
C 三点到对称轴是x=2的距离分别是32-2252
且有32-2252即A 点最远、C 点最近
所以1y >2y > 3y
使用这种方法比较函数值的大小时，你只需要比较它们到对称轴的距离就行了。
-1 1
x
O y
x =1
开口向上
－4。