解决问题——瓶子的容积
五年级数学容积的公式
五年级数学容积的公式在五年级的数学课堂上，容积的公式可是一个不容小觑的话题哦！想想看，容积就像是你家那大大的水桶，能装多少水，或者是你平时喝的可乐瓶子，能装多少汽水，嘿，这可是个有趣的事情呢！说到容积，首先得知道什么是容积。
简单来说，就是一个物体内部能够容纳多少东西，比如水、沙子，甚至是那些你最爱的零食，哈哈。
我们常常会用到“立方厘米”和“立方米”这两个词，这可是数学界的“流行语”哦！你可能会问，容积到底怎么计算呢？其实很简单，我们可以用公式来搞定它。
比如，长方体的容积公式是“长×宽×高”。
想象一下你在玩积木，长方体就是那些经典的长方块。
你先量一量它的长度、宽度和高度，然后把这三个数字都乘起来。
就像在做一道好吃的菜，调料得搭配得当，结果就会让人惊喜哦！用这个公式计算出来的数字，就是这个长方体的容积了，真是太酷了！接下来咱们再聊聊正方体。
它可比长方体简单多了，正方体的每一面都是一样大的，你只需量一个边长，然后把它自己乘以三次，也就是“边长×边长×边长”。
听起来是不是很简单？这就像是你每天吃的苹果，虽然外表相同，但每一个苹果都是独特的存在，只是计算方式不一样。
容积这个事儿，真的是让人兴奋啊，有了这些公式，你就可以轻松地知道各种盒子能装多少东西，简直像魔法一样！哎，别忘了，还有圆柱体和球体的容积呢！圆柱体的公式是“底面积×高”。
这就好比你在喝饮料的时候，那个圆柱形的瓶子。
你得找出瓶子的底面是多少，接着再乘以瓶子的高度。
这样一来，你就能知道这个瓶子到底能装多少饮料了，爽快吧？而球体的公式就更有趣了，听起来像是在玩谜语，公式是“4/3×π×半径的立方”。
别被这个复杂的公式吓到，π是一个神奇的数字，大概就是3.14，也许你已经听过它的名字了。
然后，半径就是球心到球面的一条线。
这个球的容积可是无穷无尽的哦，想象一下你最爱的足球，如果能装下多少气，那可就太不可思议了！说到容积，其实生活中处处都有它的身影。
小升初 正倒放瓶子的容积问题
⑴我们利用了什么体积不变的特性？ ⑵用了什么方法计算空气的体积？ ⑶我们还用“转化“”的思想解决过哪些问题？
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H 7cm h 18cm
总结
1、瓶子的容积=水的体积+空气的体积 瓶子的容积 = 底面积x(H+h) H 代表正放水的高度 h 代表倒放空气的高度 2、把水的体积和空气的体积合
10cm
巩固新知、按下暂停键，做完再核对！
1.一瓶装满的矿泉水，小明喝了一些，把瓶 盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm， 内直径是6cm。小明喝了多少水？
解：喝的谁等于空气的体积
公式： 喝了水的体积 = 底面积 x h
= π x (d÷2)2 x h = 3.14 x 9 x 10 = 282.6 (cm3) = 282.6 (mL） 答：小明喝了282.6 毫升 的水。
巩固新知、按下暂停键，做完再核对！
2、有一个内直径是10厘米的瓶子里，水的高度 是15厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是 一个圆柱，高5厘米，这个瓶子的容积是多少？
解：瓶子的容积=水的体积+空气的体 积
瓶子的容积 = 底面积x(H+h) H 代表正放水的高度 h 代表倒放空气的高度 =π x (d÷2)2 x（ h+H） =3.14x25x25 =1962.5 (cm3) = 1962.5 (mL) 答：这个瓶子的容积是1962.5 毫升
7cm 18cm
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是 7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是 圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是
多少？3.分析与解答：
思考
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方法一： 瓶子的容积=水的体积+空气的体积
人教版六年级数学下册第三单元_第04课时_解决问题-求不规则物体的容积例7(教学设计)
第三单元第4课时求不规则物体的容积例7 教学设计教学流程1.复习提问。
（1）圆柱的体积怎么计算？体积和容积有什么区别？（学生结合给出的条件利用公式法求圆柱的体积）（2）已知圆柱的底面直径和高，如何计算它的体积？如果已知底面周长和高，又如何计算呢？出示几个图形。
导入：这节课我们应用圆柱的体积计算公式解决实际问题。
知识链接—构“联系”提问：还记得我们是怎样测出这个石块的体积的吗？课件展示：利用排水法求不规则物体的体积的方法。
我们用到了转化的方法。
将不规则的石头转化成规则的圆柱来求它的体积。
揭示：这种的转化的思想方法可以帮助我们解决类似的问题。
同学们，我们已经学会了求圆柱体的体积，但生活中不少物体是不规则的，那应该如何来计算它们的体积呢？比如屏幕上的这个瓶子，你会求它的容积吗？说一说。
学习任务一：阅读与理解，分析问题。
【设计意图：通过回顾求不规则物体的体积的方法，让学生能够在解决例7问题时也想到转化的方法，再通过做题复习求圆柱体积方法及计算公式，为新知学习打基础。
让学生通过小组讨论，明确题意与已知条件，分析出解决问题的关键点以及解决问题的方法。
】新知探究—习“方法”1.阅读与理解。
课件出示例7。
（1）读题，明确题意，获得数学信息。
引导学生思考交流，在解决问题的过程中，你发现了什么问题？（通过观察思考会发现：瓶子不是规则的立体图形，无法直接计算容积）（2）组织学生在小组内讨论，找出解决问题的方法。
学生操作讨论后会发现：无论瓶子是正置还是倒置，水的体积、瓶子的容积都不变，那么无水部分的容积也是不变的。
所以可以把正置放平时水的体积（圆柱）加上倒置放平时无水部分（圆柱）的体积，就是瓶子的容积。
即瓶子的容积可以转化成两个圆柱的体积。
(3)课件演示转化的过程。
学习任务二：用转化的方法求圆柱的容积问题【设计意图：通过“理解——分析——回顾”的教学过程，让学生在探讨、交流中体会把不规则图形转化成规则图形的过程，发展学生的思维，提高学生解决问题的能力，注重容积计算方法的推导过程。
小学数学六年级《解决瓶子容积问题》优秀教学设计
《解决瓶子容积问题》教学设计教学内容：人教版新教材六年级下册第27页例7解决瓶子容积问题（2011新课标）教学目标：1、使学生较熟练地运用长正方体、圆柱体积计算公式解决实际问题；2、引导学生经历发现问题、分析问题、解决问题的完整过程，积累一定的数学解决问题的经验，不断领悟问题解决的一些策略，培养应用意识；3、在解决问题过程及回顾反思中，使学生体会灵活转化、分析推理、变中有不变的数学思想。
教学重点：通过观察分析，把不规则图形灵活转化为规则图形，并运用已有知识解决瓶子容积的问题。
教学难点：1、如何转化不规则图形为规则图形；2、转化过程中的等量关系的分析推理。
教学准备：教师演示课件、学生操作课件、矿泉水瓶若干、例7贴图教具。
教材简析：本课例题是人教版新教材新加入的例题，其问题与生活实际联系密切。
“转化”的思想在我们小学阶段的数学学习中无处不在，这种思想对于学生解决问题起着关键性的作用，为此这个例题的编排有利于我们让学生经历解决问题的过程，从中加强学生解决问题的意识和提升解决问题的能力。
根据等量关系适时进行等量替换并进行合理推理也是相当重要的一环，该例题的情境分析也很注重这方面，为此对于提升学生的数学分析推理能力也有一定的促进作用。
教学思路：本课将以实际问题“瓶子容积怎样计算”为载体，引导学生经历提出问题分析问题解决问题的过程，又一次体验如何运用转化进行解决新问题。
本课由教师主导下，组织学生通过小组合作互动、课件辅助自学、独立完成练习等手段完成知识的探究。
在解决问题的同时，关注知识、方法、思想的习得，通过类比推理概括出数学问题探索的一些常用策略，强化学生解决问题时“灵活转化”的意识。
在巩固练习中，关注知识的理解与灵活运用，通过题目的练习得出“具体问题具体分析”的经验，以培养学生细心审题解题的习惯。
教学过程：一、创设情境，提出问题谈话引入：通过解决问题可以锻炼我们的数学思维，今天我们继续解决有关数学问题。
解决数学问题发展应用意识——以“瓶子的容积”一课教学为例
数学2016·6案例剖析［摘要］培养和发展学生的应用意识是数学教学的重要目标。
课堂教学中，教师应引导学生发现生活中的数学问题，经历解决问题方法的探究过程，使学生最终能自主解决生活中的实际问题，从而有效增强学生的应用意识。
［关键词］发现问题探究方法解决问题应用意识容积［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（201６）17-0３６《数学课程标准》（2011版）中明确指出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学教学还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
”下面，笔者以“瓶子的容积”一课教学为例，谈谈发展学生应用意识的实践与体会。
一、发现数学问题，沟通生活与数学的联系“数学源于生活，用于生活。
”因此，教师在教学中要培养学生的应用意识，应从数学与生活的密切联系入手，让学生从生活中发现数学问题，使学生学会用数学的眼睛看待生活问题，这是培养学生应用意识的基本前提和条件。
例如，教学“瓶子的容积”一课时，课伊始，教师出示一个空的矿泉水瓶并提问：“你们能提出关于这个空的矿泉水瓶的数学问题吗？”于是，学生纷纷提出以下问题：“这个空的矿泉水瓶的底面积有多大？”“这个空的矿泉水瓶的高是多少？”“这个空的矿泉水瓶的容积是多少？”……同时，教师追问：“怎样才能知道这个空的矿泉水瓶的容积是多少呢？”有学生回答：“测量出这个空的矿泉水瓶的底面直径和高，就可以用圆柱体积公式计算出这个空的矿泉水瓶的容积。
”这时有学生马上提出反对意见：“这个空的矿泉水瓶是个不规则的形状，无法计算出容积。
”又有学生说：“可以把这个空的矿泉水瓶装满水，然后把水倒入一个圆柱形的容器中，就可以算出水的体积，那么这个空的矿泉水瓶的容积也就知道了。
”……生活中有很多数学问题，教师从众多问题中选择本课要研究的内容，引导学生通过观察与思考，发现问题：这个空的矿泉水瓶是个不规则的形状，无法通过计算来得到结果。
于是，学生只好另辟蹊径，最终想出了利用转化的思想方法解决问题，为新课的学习奠定了经验基础。
瓶子容积的计算(教案)六年级下册数学人教版
瓶子容积的计算（教案）六年级下册数学人教版教学内容本节课将引导学生学习如何计算瓶子的容积。
学生需要了解容积的定义，并掌握如何通过测量瓶子的尺寸来计算其容积。
学生还将学习如何利用体积守恒原理来计算不规则形状瓶子的容积。
教学目标1. 理解容积的概念及其计算方法。
2. 能够通过测量瓶子的尺寸来计算其容积。
3. 能够利用体积守恒原理计算不规则形状瓶子的容积。
4. 能够在实际问题中运用所学知识进行容积计算。
教学难点1. 对不规则形状瓶子的容积计算方法的理解和运用。
2. 理解体积守恒原理及其在容积计算中的应用。
教具学具准备1. 各种形状的瓶子（规则和不规则）。
2. 量筒或量杯。
3. 水或其他液体。
4. 尺子或软尺。
5. 计算器。
教学过程第一阶段：导入1. 向学生介绍容积的概念，解释其与体积的区别。
2. 引导学生思考如何计算瓶子的容积。
第二阶段：探究与发现1. 让学生分组，每组发一个规则形状的瓶子、量筒、水和尺子。
2. 引导学生通过测量瓶子的尺寸并利用公式来计算其容积。
第三阶段：深入理解1. 向学生介绍体积守恒原理，解释其在容积计算中的应用。
2. 让学生分组，每组发一个不规则形状的瓶子、量筒、水和尺子。
3. 引导学生利用体积守恒原理来计算不规则形状瓶子的容积。
第四阶段：实践与应用1. 让学生分组，每组发一个未知容积的瓶子、量筒、水和尺子。
2. 引导学生利用所学知识来计算瓶子的容积。
3. 让学生分享计算过程和结果，讨论可能出现的错误和解决方法。
2. 让学生分享在计算瓶子容积过程中的体会和收获。
3. 对学生的表现进行评价和反馈。
板书设计1. 容积的定义和计算方法。
2. 体积守恒原理及其在容积计算中的应用。
3. 计算瓶子容积的步骤和注意事项。
作业设计1. 让学生选择一个瓶子，测量其尺寸并计算其容积。
2. 让学生选择一个不规则形状的瓶子，利用体积守恒原理计算其容积。
课后反思本节课通过引导学生探究和发现，让学生掌握了计算瓶子容积的方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
小升初数学素材期末专项复习：解决问题应用题(精编版)带答案解析(1)1
小升初数学素材期末专项复习：解决问题应用题(精编版)带答案解析(1)1一、人教六年级下册数学应用题1．为了测量一个空瓶子的容积，一个学习小组进行了如下实验。
①测量出整个瓶子的高度是22厘米；②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6厘米；③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5厘米；④把瓶盖拧紧，将瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，测量出无水部分圆柱的高度是12厘米。
（1）要求这个瓶子的容积，上面记录中的哪些信息是必须有的？________（填实验序号）（2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。
2．某商品按定价出售，每个获利45元，现在按定价的八五折出售8个，所获利润与按定价每个减价35元出售12个所获利润一样。
这个商品每个的定价是多少元?3．—个棱长是6分米的正方体。
（1）它的表面积是多少？（2）如果把它削成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少？（3）如果把它削成一个最大的圆锥体，削去的体积是多少立方分米？4．一个底面半径是6cm的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9cm的圆锥形铅锥，当铅锥从水中取出后，水面下降了0.5cm，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？5．商店卖一种书包，如果每个售价为150元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是赚的钱。
现在要搞促销活动，为保证一个书包赚的钱不少于30元，应该怎样确定折扣？6．张华家有一只底面直径40厘米、深50厘米的圆柱形无盖水桶，这只水桶盛满了水，把水倒入长40厘米、宽30厘米、高50厘米的长方体玻璃鱼缸内，水会溢出吗？请用喜欢的方式解答，（水桶和鱼缸的厚度都忽略不计）7．一批零件20人去做需要15天，照这样计算，如果增加5人，几天可以做完？（用比例知识解答）8．一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行24千米，15小时到达；返回时逆水，速度降低了25%，返回时用了多少小时？（用比例解）9．张大伯为了知道种植多少千克蔗种，采取随机抽样的方法抽取3千克蔗种，剥叶砍断，按常规排列长5米，那么3亩地（沟长2500米）要多少千克蔗种？（用比例解）10．一种儿童玩具﹣陀螺（如图），上面是圆柱体，下面是圆锥体，经过测试，只有当圆柱直径4厘米，高5厘米，圆锥的高是圆柱高的时，才能旋转时又稳又快，试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）11．小明调制了两杯蜂蜜水。
关注核心素养 凸显思想方法——《求瓶子的容积》教学实录与评析
关注核心素养凸显思想方法——《求瓶子的容积》教学实录与评析教学目标：1、使学生熟练运用圆柱的体积公式解决实际问题。
2、使学生经历发现问题、提出问题和分析问题的完整过程，掌握问题的解决策略，培养应用意识。
3、使学生在解决问题的过程中体会转化、变中有不变的数学思想。
教学实录：一、激发情趣，提出问题教师：（出示大屏幕）学生活中的物品，牙膏盒，魔方，笔筒，土豆，空瓶子等物品。
教师：要想计算这些物体的体积，你有哪些办法？（学学生独立思考后，提出解决办法。
）1、量出牙膏盒、魔方的长、宽、高，利用公式进行计算。
笔筒量出底面半径或直径、高，再利用公式计算。
教师小结：这些都是我们学过的规则的立体图形，那么土豆的体积怎么求呢？2、学学生回忆以前学过地把土豆浸在水里的办法。
教师小结：这是不规则物体完全浸在水中，物体的体积等于它完全浸入水中后排开水的体积。
3、教师引导学生观察：上图中还剩下什么体积没求出来？（学生：一个空瓶子。
）试想：能不能用公式来解决？学生：它不规则不能用公式。
教师：那怎么办，浸在水里？学生演示：把空瓶子放在水里一直浮在水面，没有排出水怎么办？（学学生表现出疑惑。
）教师：今天我们就来共同研究怎样求出瓶子的容积。
（板书课题：解决问题：瓶子的容积。
）二、探究新知，解决问题1、假设情境，探求方法教师：给你一个瓶子，你能知道它的容积是多少吗？学生：可以看瓶子上的标签，有容量。
教师：还可以用什么方法？学生：把里面装满的水倒出来用带有刻度的量杯量一量。
教师：如果水没装满，又没有量杯，只有直尺和水，你怎么办呢？（学学生疑惑）下面我们就来探究这个问题。
2、动手操作，理解转化大屏幕出示例7：仔细阅读找出数学信息。
（读出已知条件。
）教师：所求问题？学生：瓶子的容积是多少？教师：拿出一个装有一些有颜色水的瓶子，问：这瓶子里都有什么？学生：一些水和一些空气。
教师：那么这个瓶子的容积等于什么？学生：水的体积+空气的体积=瓶子的容积。
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（三）回顾与反思
出示“回顾与反思”
1.师：一起回顾一下，瓶子的容积问题是怎样解决的？
师：在没有别的容器可借助的情况下，可以将瓶子装一部分水，这时瓶子的容积就包含水和空气两部分，水的体积我们会求，但空气部分
学生解答过程及结果的正确性，以及不同思考方法的比较
（三）关注学生解决问题经验的积累和学习方法的提升
《解决问题》
教学内容：人教版六年级数学下册第三单元《圆柱与圆锥》第 27 页例 7
教学目标：
1.使学生通过本课的学习，学会运用转化的思想，将瓶子不规则部分的容积转化成规则圆柱容积的方式解决瓶子的容积问题。
2.使学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，掌握解决这类问题的策略。
3.使学生在解决问题的过程中体会转化、推理和变中有不变的的数学思想。
重难点：
重点：经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，体会转化思想。难点：体会转化思想。
教学准备:课题、例题、饮料瓶、课件、磁性小黑板2块
环节
教学过程
评价
关注点
一、复习旧知：
1.白板出示圆柱形容器
师:你有办法知道这个容器的容积吗?要知道哪些必要数据? 2.出示容器1
师:对于圆柱形物体的体积和容积的计算大家已经很熟练了,如果瓶子是这样的，一个不完整的圆柱，你有办法知道它的容积吗?你有别的办法知道瓶子的容积吗？
引导探究
，互评对话
前水的体积加上倒置后空气的体积，就可以解决问题了。
预设2：通过倒置，将瓶子的容积转化成一个大圆柱的体积——空气部分的体积转化成圆柱的体积，与原来水的体积拼接在一起，而这个大
对分析过程 语言的表达。
圆柱的体积等于瓶子的容积。
师：我把大家的方法记录下来：V瓶=倒置前V水+倒置后V空
3.梳理方法
3.关注学生
是否灵活运
用转化的策
略
是……？（不规则物体），我们就利用体积不变的原理，将瓶子倒置， 空气部分的体积转化成规则的来算，最后两部分相加，就是这个瓶子的容积。
2.师：在以前的学习中我们用过转化的方法吗？
请学生发言，教师课件再相应出示或补充以前学习中用到的转化。
【设计意图：】使学生对转化思想有更为深刻和更为一般性的理解和掌握。
2.交流反馈
师：怎样求瓶子的容积？
（一）关注小组实践操作情况及解决方法的探索
引导探究
师：为什么要把瓶子倒过来呢？
师：倒过来后，空气部分的体积没有变，变的是它的什么？（形状） 师：谁能结合教具完整地再跟大家讲解一下如何求瓶子的容积？
预设1：通过倒置，将瓶子的容积转化成两个小圆柱的体积——倒置
关注学生分析和解决问题的策略，
2.出示“阅读理解”，并在瓶子图上标注信息。
3.提出问题：
师：没有别的容器可借助，只是装有部分水，这个瓶子的容积能求吗？
（不能求）为什么不能求？（已知信息只能求出水的体积）你有什么好办法求它的容积吗?
（二）分析与解答
1.出示“分析与解答”，小组讨论
师：请以小组为单位，讨论一下你们打算用什么办法解决瓶子的容积问题。
师（演示白板）：水的体积是规则的可以求，但空气部分是不规则的，所以将瓶子倒置过来，将空气部分变成规则图形来计算，再把倒置前水
（二）关注
的体积加上倒置后空气部分的体积就等于瓶子的容积了。
【设计意图：】让学生亲身经历、体验分析问题，解决问题的过程， 掌握、理解转化这一重要的数学思想及策略。
4.补充信息
师：我们已经找出了解决这个问题的方法，现在回到题目中来，水的体积可以求，但是空气部分体积要求的话还缺什么呢？（高度）
【设计意图：】考查学生对新知识的运用，帮助学生积累解决问题的经验，正确运用解决问题的策略。
四、全课小结。
师：请同学们仔细看看课本p27，想一想，对于今天所学的内容，还有什么问题？通过这节课的学习，你有什么感受和想法？
1.关注学生
是否会运用
今天所学转
化的策略
梳理总结
，赏评延展
2.关注学生是否能分析不同情况灵活处理
师：出示例7其他信息：“把瓶子倒置放平”“无水部分高度12厘米”
师：现在你能求出这个不是完整圆柱瓶子的容积吗? 5.学生解答
学生在作业本上独立完成，再选代表板演在小磁性黑板上。
预设1：3.14×（6÷2）²×8+3.14×（6÷2）²×12=565.2（厘米³） 预设2：3.14×（6÷2）²×（8+12）=565.2（厘米³）
师：瓶子的形状不规则，可以借助水的体积求瓶子的容积。板书:不规则→规则
3.课题:解决问题——瓶子的容积
师:这节课我们继续研究关于瓶子的容积问题。
【设计意图：】复习旧知，揭示今天所要学习的内容。
圆柱的体积
创设情境
计算方法是否熟练
，
点评
激思
二、 聚焦问题
（一）阅读与理解
1.出示例7的部分信息和问题：一个内直径为6厘米的瓶子，水的高度是8厘米,求瓶子的容积？
三、巩．想一想：
出示三个同样的瓶子，装的水不一样多。
(1)用今天的方法，这三个瓶子的容积可求吗？
师：不完整的圆柱瓶子容积虽然可求，但是水量要适中。
(2)第1、2个瓶子的容积一样吗？
师：两个同样的瓶子，虽然装的水不一样多，但是容积都是一样的。
3．试一试：
有一种饮料瓶容积是500毫升。正放时饮料高度为15厘米，倒放时空余高度为10厘米。瓶内现有饮料多少毫升？