一类可转债的定价模型的实证研究

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其中 ,μ为期望回报率 ,σ为股票波动率 , d Z 为标准 布朗运动 。 这样 , 可转债的价值就取决于 S, I和 t三个状态 变量 , 记为 V = V ( S, I, t) , 由 It^ o公式 , 以及 Δ - 对冲 技巧 , 易得可转债的无套利价格 V ( S, I, t) 满足的偏 微分方程 : 2 2 2 5V 5V d I σ S 5 V 5V + ・ + + rS - r V = 0 ( 1) 5t 5I d t 2 5S2 5S 其中 , r为无风险利率 , 且设股票不分红 。 定义函数 :
V j, l = V ( S j , tn , Il )
n
1, x > 0 0, x < 0
则方程 ( 1 ) 可写为 : 2 2 2 5V 5V σ S 5 V 5V + H ( S - Sc ) ・ + + rS - r V =0 5t 5I 2 5S2 5S
( 2)
定解区域为 { 0 Φ S < ∞, 0 Φ t Φ T, 0 Φ I Φ D } 。 终值条件 : V ( S, I, T ) = m ax{ F + C tm , KS } , 0 Φ I < D ( 3 )
第 31 卷 第 4期 东 华 理 工 大 学 学 报 (自然科学版 ) 2008 年 12 月 JOURNAL OF EAST CH I NA I N STITUTE OF TECHNOLOGY
Vol131 No14 Dec. 2008
一类可转债的定价模型的实证研究
熊思灿 , 杨志辉
m
V j, l , S < SC V
n +1 j, l +1
n +1
( 10 ) ( 11 )
, S > S c
由此即可通过 t = n + 1 层节点上的转债价值 1 倒推得分数层 t = n + 层节点上的转债价值 。 2 接下来 , 以 V j, l 2 为初值 , 用 C rank 2 N ico lson 有 ( ) 限差分格式离散方程 9 得如下的线性方程组 (现 代应用数学手册编委会 , 2005 ) 1 1 n n n n+ ( C1 jV j+1, l + C3 jV j- 1, l + Z j 2 ) , 2 Φ j Φ V j, l =
n +1 n+
1
当股价 S 很大时 , 持有人会选择转股从而获得 最大收益 。
V ( S, D , t) = m ax{ KS, B c } , 0 Φ S < ∞, 0 Φ t < T ( 6)
n +1
n +1
=0
解得 :
V j, l 2 =
n+
1
当股价 S t 超过触发价 S c 且持续徘徊时间达到 障碍时间 D 时 , 则持有人要么选择转股获得 KS, 要 么被赎回获得 B c 。 当 S ϖ 0 时 , 可转债表现为纯债券 , 其价值可用 贴现法得到 。
在触发价之上停留一段时间 , 发行者才可以赎回 。 软赎回约束中的停留时间就具有所谓的巴黎期权 特性 。Lau 等 ( 2004 ) 首次在可转债的定价模型中 考虑了巴黎期权特性 ,他们试图在定价模型中综合 考虑转换条款 ,赎回条款 ,硬赎回限制 ,赎回公告期 限制和软赎回限制 。然而因其采用的基于三叉树 的前向打靶网格方法需要耗费巨大的计算量和计 算时间 ,计算精度也有限 。龚朴等 ( 2007 ) 通过拓 展巴黎期权定价模型 ,采用有限元方法进行数值求 解 ,计算了招行转债的价值 , 并分析了发行者和持 有者的最优策略 。结果表明 ,巴黎期权特征对可转 债的价值及发行者和持有者的最优策略都有影响 。 然而 ,他们并没有将模型价格与实际价格进行比较 研究 。因此 , 本文将在龚朴等 ( 2007 ) 建立的模型 基础上 ,采用有限差分方法 ,同样以招行转债为例 , 进行实证研究 ,以期得到招行转债的价格路径 。
1 定价模型
假设股票价格 S t 上升到触发价 S c , 且在 S c 上
(不包括 S c ) 持续徘徊时间达到障碍时间 D 时 , 发行
者以 B c 价格赎回可转债 。 如果持续徘徊时间达不到
D, 股价 S t 又下降到 S c , 那么以前累计的高于 S c 的
持续徘徊时间将重新清零 , 即 :
H ( x) =
当股价 S t 重新回到 S c 时 , 徘徊时间将重新返回 5V 零点 。 此外 , 只有当 I = 0时 ,Δ = 才在 S = S c 上 5S 连续 , 而当 I > 0 时 ,Δ一般并不连续 。
2 有限差分数值解
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值 算法 , 具有简单快速的特点 , 在工程技术正演模拟 等的领域有着广泛的应用 (李必红等 , 2006 ) 。 因此 , 本文采用有限差分法求解模型 。 对定解区域 { 0 Φ S < ∞, 0 Φ t Φ T, 0 Φ I Φ D } 进行剖分得网格 { ( S j , tn , Il ) | j = 1, 2, …, j m ax ; n = 1, 2, …, nm ax ; l = 1, 2, …, lm ax } 。 记
n+
1
V ( S, I, t) = B ( t) =
i = i0
∑e
- r( t i - t)
C t i + Fe
- r( T - t)
, Sϖ 0 ( 7)
其中 C t i 为第 i次在 ti 时刻付息所支付的利息 , i0 为
t时刻后第一次付息时刻 , m 为最后一次付息时刻 。
C2 j
连接条件 :
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东 华 理 工 大 学 学 报 (自然科学版 ) 2008 年
C1 j = aj + bj , C2 j = 1 + Δ r tn + 2 aj , C3 j = aj - bj , C4 j = 1 - 2 aj. Zj
1 n+2
从上市日 2004 年 11 月 29 日至 2006 年 9 月 28 日 , 共 408 个数据 , 其中 2005年 5月 10日后为转股期 . 统计可得每年两者都有交易的交易日数 M = [ 243, 165 ], 由于第二年数据不足一年 , 因此我们假 设第二年以及后三年交易日数均为 250, 则 M 可以 修订为 M = [ 243, 250, 250, 250, 250 ]。 从而 , 可在交 易年区间 [ 0, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 3 ], [ 3, 4 ], [ 4, 5 ] 中分 别插入 243, 250, 250, 250, 250 个分点 , 得到交易时 刻 tn 。 将历史股价排序 , 对相邻间距较大的股价进 行插值 , 可得股价从 0至 Sm ax (例如取为初始股价的 5 倍 ) 区间的分点 S j。 对于徘徊时间变量 I采取与时 间变量 t相同的离散格式 。 至此 , 可得立体网格 : { ( S j , tn , Il ) | j = 1, 2, …, j m ax ; n = 1, 2, …, nm ax ; l = 1, 2, …, l m ax } 。 在 M a tlab7. 1 软件上编程求解 , 得招行转债的 理论价值与市场价值及股价的比较图 (图 1, 2 ) 。 从 图 1 可以非常清晰地看到招行转债的市场价格以 及理论价格随时间的变化路径 。总体而言 ,理论价 值略低于市场价值 , 二者拟合程度较好 , 总平均偏 差为 4. 873 3% 。 在非转股期 ,即 2004 年 11 月 29 日至 2005 年 5 月 10 日 ,招行转债的市场价格和理论价格平均偏 差为 9. 138 2% 。 进入转股期后 , 二者平均偏差为 3. 395 4% 。 从图 1 可以看出理论价格和市场价格以及标的股 票价格三者的走势非常一致 , 特别是 2006 年 7 月 18 日后 ,因标的股票价格连续 20d 高于当期转股价 的 125% ,即 7. 175 元 (图 2 ) , 触发赎回条款 , 招行 转债的理论价格和市场价格以及股票价格三者的 变化曲线几乎重合 (图 1 ) 。但是 , 招行转债实行的 是软赎回条款 , 公司并没有启动赎回程序 , 而赎回 条款的存在则变相地促使了转债的转股 ,截至 2006 年 9 月 25 日 , 招商银行股份有限公司未转换的可 转债数量少于 3000 万元 ,根据有关规定 , 招行转债 于 2006 年 9 月 29 日起停止交易 。 招行转债的理论价格受标的股价的影响远高 于市场价格受标的股价的影响 ,二者受股价的影响 都表现出滞后性 。同时 ,转债还表现出独有的抗跌 性 。招商银行股份有限公司于 2005 年 6 月 20 日 10 股转增 5 股并派发现金红利 1. 1 元 ,招行转债转 股价格则相应由原来的每股人民币 9. 34 元调整为 每股人民币 6. 23 元 。 2006 年 2 月 27 日实施股权 分置改革方案 ,并按照每 10 股转增 0. 8589 股的比
ΔS j = S j - S j- 1 , j = 2, 3, …, j S1 = 0 m ax , Δ Δtn = tn - tn - 1 , n = 2, 3, …, nmax ,Δt1 = 0 ΔIl = Il - Il- 1 , l = 2, 3, …, lm ax ,ΔI1 = 0 由于 I与 t是同步增长的 , 故令 Δtn = ΔI1 对方程 ( 2 ) 采用算子分裂算法进行算子分裂 得 (罗俊等 , 2004 ) : 1 5V 5V ( 8) ・ + H ( S - Sc ) ・ =0 2 5t 5I
V ( S c , I, t) = V ( S c , 0, t)
j m ax - 1
( 12 )