概率论试题7

0 2/3
11/6⎦⎤,
⎡Y ⎣P
0 2/3
11/3⎦⎤，且 P{XY=0}=1，
求(1) (X,Y)的联合分布律； (2) X,Y 是否相互独立。
FX(x)= y→lim+∝F(x,y) 或简记为 FX(x)= F(x,+∞)
本题：根据边缘分布函数 FX(x)的定义得到 FX(x)= y→lim+∝F(x,y)。
选B 。
6．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分布律分别为⎣⎡PX
-1 1/4
0 1/2
11/4⎦⎤,
⎡Y ⎣P
-1 1/4
0 1/2
种病者占 5%，又知患 A, B, C 三种病的病人化验结果为阳性的可能性分别为 80%，35%， 和 85%。假定每个病人只可能患其中的一种病。 (1)该地区随机抽一个病人，问化验结果为阳性的概率α； (2)现有某位病人的化验结果为阳性，求该病人确实患 A 种病的概率β。 [解]：设事件 D 为化验结果是阳性，设事件 A、B、C 分别为患 A、B、C 种病。 则由已知 P(A)=0.35, P(B)=0.6, P(C)=0.05,
解：因为 P(A-B)=P(A)-P(AB) ⇒ P(AB)=0.7-0.5=0.2 .
P(A-B)=P(A)-P(AB).
所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.4-0.2 = 0.9
12．一批产品的废品率为 0.1，每次取一个检验，取后放回再任取一个，共重复四次，求恰有两次取到废 品的概率。
解：由随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 1 e-(x1-28)2 ，得到 X~N(μ,σ2)，其中μ=2, σ2=32.. 3 2π
⇒ EX=2, DX=9. ⇒ E(X2)=DX+(EX)2= 9+22 = 13
17.设随机变量 X 服从区间[0，1]上的均匀分布，由切比雪夫不等式求 P{|X-21|≥21}的上界。
D、13
4
∑(xi-1)2
i=1
i=1
【讲评】考点：统计量概念，指不含未知参数的样本 X1,X2,…,Xn 的函数 F(X1,X2,…,Xn)称为统计量。
4
∑ 本题：因为σ2(≠0)未知，所以 4 个表达式中只有13
(xi-1)2 σ2
不是统计量。
i=1
选C 。 二、简答题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．设 P(A)=0.7，P(B)=0.4，P(A-B)=0.5，求 P(A∪B)。 【讲评】考点：事件的运算与概率。基本公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
本题：随机变量 X,Y 的相关系数ρXY=0，则 X,Y 不一定独立。
选C 。
10．设 x1, x2, x3, x4 取自总体 X 的样本，X~N(1,σ2)，其中σ2(≠0)未知，则下列表达式中不是统计量的为( )
A、x1+ x2+x3+ x4
4
B、∑(xi-X¯ )2
i=1
4
∑ C、13
(xi-1)2 σ2
选D 。
9．设随机变量 X、Y 的相关系数ρXY=0，则下面结论正确的是 A、X,Y 一定独立 B、X,Y 一定不独立 C、X,Y 不一定独立
() D、以上结论度不对
【讲评】考点：设随机变量 X,Y 的相关系数ρXY=0 与 X,Y 相互独立的关系。 X,Y 相互独立 ⇒ X,Y 的相关系数ρXY=0； 反之当 X,Y 的相关系数ρXY=0 不能导出 X,Y 相互独立。
2-a b-a
,
1/3=P{X>5}=1-F(5)= 1-
5-a b-a
, ⇒ a=1,b=7;
(2) X 的概率密度 f(x)= ⎩⎨⎧10/6 其1≤他x≤7； (3) P{1<X<5}=F(5)-F(1)= 4/6 – 0 = 2/3 .
21.已知随机变量 X 与 Y 的分布律分别为⎣⎡XP
-1 1/6
杉达 各 专业 2007 级 本 科
《概率论与数理统计》试卷 A 评析
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.设事件 B⊂A，则
()
A、P(A¯ ∪B¯)=P(A¯ )+P(B¯) B、P(A¯ B¯)=1-P(A) C、P(A∪B)=P(A)+P(B). D、P(B-A)=P(B)-P(A).
【讲评】考点：事件的运算与概率。基本公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB). P(B-A)=P(B)-P(AB).
P(A¯ ∪B¯)=P(A¯ )+P(B¯)-P(A¯ B¯) . B⊂A⇒A¯ ⊂B¯
本题： 因为 B⊂A，所以A¯ ⊂B¯，则 P(A¯ B¯)= P(A¯ )=1-P(A)。其余结论都不对。
A-3
P(D|A)=0.8, P(D|B)=0.35, P(D|C)=0.85, (1) 于是 α=P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+ P(C)P(D|C)=0.28+0.21+0.0425=0.5325
(2)
所求
β=P(A|D)=
P(AD) P(D)
P(A)P(D|A) = P(D)
本题：设事件 A 为洗衣机使用 3 年无故障，设事件 B 为使用 5 年无故障。
由已知得到 P(A)=0.9,
P(B)=0.6。特别 B⊂A，所以 P(BA)=P(B)=0.6
，于是
P(BA) 2 P(B|A)= P(A) =3.
选A 。
3．设 f(x)为连续型随机变量 X 的概率密度，则有
()
A、0≤f(x)≤1
+∞
(2) ∫ -∞f(x)dx=1，所以本题答案为 C。注意对于连续型随机变量 X，P{X=x}=0。
选C 。
4．设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ⎩⎨⎧1-e0-x xx≥<00，则 P{X>3}=Βιβλιοθήκη ()A、1-e-3
B、1-e-2
C、0
D、e-3
【讲评】考点：已知分布函数求概率，基本公式 P{a<X≤b}=F(b)-F(a),
本题：P{X>3}=1-P{X≤3} = 1-(1-e-3) = e-3 .
选D 。
5．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)，则关于 X 的边缘分布函数 FX(x)为
()
A、y→lim-∝F(x,y)
B、y→lim+∝F(x,y)
C、F(x,0)
D、F(+∞, y)
【讲评】考点：二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)的边缘分布函数 FX(x), FY(y)的定义。
P{Y=aX+b}=1 或ρxy=±1。
本题：根据 X 与 Y 相互独立，所以 E(XY)=E(X)E(Y)。
A-1
选B 。
⎧0 x<0 7．设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ⎨x3 0≤x<1，则 E(X)=
()
⎩1 x≥1
1
A、∫ 3x3dx 0
+∞
B、∫ x4dx 0
1
+∞
C、∫ x4dx +∫ xdx
1
1=∫ cx4dx 0
=
x5 1
c
5
|
0
=
c 5
⇒
c=5
15．设随机变量 X, Y 相互独立，其概率密度分别为 fX(x)=
⎨⎧1/2 ⎩0
0≤x≤2 其他 ,
fY(y)=⎩⎨⎧20 e
-2y
y<y>00，
求(X,Y)的联合概率密度 f(x,y)=
。
【讲评】考点：二维连续型随机变量 X 与 Y 独立的充分必要条件是联合概率密度函数等于边缘概率
14．设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)=
⎧cx4
⎨
⎩0
0其≤x他≤1，求常数 c 。
【讲评】考点：连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)的性质，必须满足条件：
+∞
(1) f(x)≥0, -∞<x<+∞； (2) ∫ -∞f(x)dx=F(+∞)=1
解：因为概率密度
+∞
f(x)具有性质∫ -∞ f(x)dx=1，所以
密度函数之积，即 f(x,y)=fX(x)fY(y)。
解：因为 X, Y 相互独立，所以 f(x,y)=fX(x)fY(y)=
⎧e -2y
⎨
⎩0
0≤x≤2.y>0 其它
。
16. 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 1 e-(x1-82)2 ，求 E(X2)。 3 2π
【讲评】考点：正态分布的密度函数，数学期望和方差，E(X2)=DX+(EX)2。
=
0.28 0.5125
=
0.5258
20．设随机变量 X 服从[a,b]上的均匀分布，且 P{X≤2}=1/6，P{X>5}=1/3， 求：(1) a,b 的值；(2)X 的概率密度 f(x)；(3)P{1<X<5}。
[解]：(1) F(x)=bx--aa (a≤x≤b);
1/6=P{X≤2}=F(2)=
B、P{X=x}=f(x)
C、f(x)≥0
+∞
D、∫ f(x)dx=1 0
【讲评】考点：连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)的性质，必须满足条件：
+∞
(1) f(x)≥0, -∞<x<+∞； (2) ∫ -∞f(x)dx=F(+∞)=1
本题：因为连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)的性质，必须满足条件：(1)f(x)≥0, -∞<x<+∞；