武汉中学高二下学期数学总复习试题(8)
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高二上·长治月考) 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是（）A .B .C .D .2. （2分）在棱长为1的正方体中，则平面与平面间的距离（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·城关期中) 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁4. （2分）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）已知A={x|x2+（P+2）x+4=0}，M={x|x＞0}，若A∩M=∅，则实数P的取值范围________．6. （1分）(2019·浙江) 复数（i为虚数单位），则|z|=________7. （1分）(2019·金华模拟) 位同学分成组，参加个不同的志愿者活动，每组至少人，其中甲乙人不能分在同一组，则不同的分配方案有________种．（用数字作答）8. （1分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。
9. （1分）如图，在四面体ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且AD⊥AB，BC⊥AB，则二面角C﹣AB﹣D的余弦值为________．10. （1分） (2018高二上·武邑月考) 过点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为________．11. （1分）已知i是虚数单位，则i2015=________12. （1分）一组数据的方差等于零，则极差等于________一组数据的方差等于1，则标准差等于________．13. （1分） (2019高二上·城关期中) 在圆x2＋y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ，最长弦长为an ，若公差，那么n的取值集合为________.14. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 长方体的8个顶点都在球O的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为________.15. （1分） (2017高二下·寿光期中) 某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是________．16. （1分） (2019高二下·上海期末) 对于无理数x,用表示与x最接近的整数,如 , .设，对于区间的无理数x,定义 ,我们知道,若 , 和 ,则有以下两个恒等式成立：① ；② ,那么对于正整数和两个无理数 , ,以下两个等式依然成立的序号是________；① ；② .三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2016高二上·嘉兴期中) 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：（1）AP∥平面BDM；（2）AP∥GH．18. （10分） (2015高二下·徐州期中) 已知（x+ ）n展开式的二项式系数之和为256（1）求n；（2）若展开式中常数项为，求m的值；（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值．19. （15分） (2016高二下·辽宁期中) 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党中央、国务院有关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．20. （15分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 .（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.21. （15分）已知数列的前n项和，其中．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2023-2024学年湖北省武汉市高中数学人教A版 必修二第七章 复数章节测试-8-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省武汉市高中数学人教A 版 必修二第七章复数章节测试(8)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）第一象限第二象限第三象限第四象限1. 复数（ 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A.B. C.D. 2. 复数满足， 则（ ）A. B. C. D.133. 已知 ，则 （ ）A.B. C. D.12 4. 已知复数z 满足 ，则（ ）A. B. C. D. -222或-2以上都不对5. 若是纯虚数（ 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A. B. C. D. 1-2i 2-2i -1+2i -2-2i 6. 若复数(i 为虚数单位)，为其共轭复数，则 （ ）A. B. C. D. 7. 复数 （ 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A. B. C. D.-28. 设复数 ， 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 1-19. 已知复数 ， 则复数的共轭复数的虚部是（ ）A. B. C. D.2-2或2 3.-3或310. 已知复数 满是且 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. -11i -i11. 已知为虚数单位，则复数( )A. B. C. D. 12. 复数等于（ ）A. B. C. D.13. 已知 是虚数单位，复数 ，则 ．14. 已知复数（为虚数单位）是关于x 的方程（其中）的一个根，则 .15. 计算： （为虚数单位）16. 复数z=（1+i ）+（﹣2+2i ）在复平面内对应的点位于第 象限．17. 已知复数z 1= +（a 2﹣3）i ，z 2=2+（3a+1）i （a ∈R ，i 是虚数单位）．(1) 若复数z 1﹣z 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；(2) 若虚数z 1是实系数一元二次方程x 2﹣6x+m=0的根，求实数m 值．18. 现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.(1) 请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；(2) 设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.19. 已知复数，，.(1) 若为纯虚数，求实数的值；(2) 在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第二象限，求实数的取值范围.20. 已知复数，设(1) 求复数；(2) 若复数z满足，，求 .21. 解答下面两个问题：（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；（Ⅱ）复数z1=2a+1+（1+a2）i，z2=1﹣a+（3﹣a）i，a∈R，若是实数，求a的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.。
2020年湖北省武汉市数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年湖北省武汉市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知点P 是椭圆22194x y +=上的动点,当点P 到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P 的坐标是（ ）A ．98(,)55-B ．89(,)55-C ．98(,)55-D．3(5-2．已知向量()(),,1,2a x y b ==-r r ，且()1,3a b +=rr ，则2a b -r r 等于（ ）A ．1B ．3C ．4D ．53． “中国梦”的英文翻译为“China Dream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ） A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种4．已知圆22(2):1E x y -+=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线相切，则C 的离心率为（ ） ABCD ．25．已知函数()331f x x x =--，若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3D ．06．直线12,2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）被圆224x y +=截得的弦长为（ ）A ．3BC．D ．47．给出一个命题p ：若,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零，在用反证法证明p 时，应该假设（ ） A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 全都大于或等于0D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数8．已知函数()sin f x a x =且()'2f π=，则a 的值为( ) A ．1B ．2CD ．-29．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( )A ．出现7点的次数B ．出现偶数点的次数C ．出现2点的次数D ．出现的点数大于2小于6的次数10．若函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．2()ln f x x a x =-在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞12．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ） A ．5B 7C ．4D ．3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知α为第二象限角，1sin cos 5αα+=，则tan α=____________. 14．已知5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++…，2a =________.15．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.16．某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2ρρθ=+．(1)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (2)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标． 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=-．（1）求A ．（2）若4a =，求ABC ∆面积S 的最大值．19．（6分）已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 是等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ．20．（6分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球2个，黑球3个，白球5个．()1从中1次随机摸出2个球，求2个球颜色相同的概率；()2从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X ； ()3每次从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续取3次，求取到红球的次数大于取到白球的次数的概率．21．（6分）已知函数()2121f x x x =+--，x ∈R （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集；（Ⅱ）若方程()2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围. 22．（8分）已知函数(1)lg 2x f x x-=- (1)求函数()f x 的解析式;(2)解关于x 的不等式()lg(31)f x x +…． 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为20x y c -+=，与椭圆方程联立，利用0∆=，解得c ，即可得出结论.详解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为20x y c -+=，联立2219420x y x y c +=-+=，化为2225164360y cy c -+-=， ()()22164254360c c ∴∆=-⋅⋅-=，解得5c =±，取5c =时，22580640y y -+=，解得85y =，95x ∴=-，98,55P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭.故选：C.点睛：本题考查了直线与椭圆的相切与一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -r r 的坐标和2a b -r r 的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-v v ，且()1,3a b +=r r ，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=vv ，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-v v ，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-v v ，所以25a b -==r r ，故答案为D 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C 【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea ”进行全排列,共有4555600C A =,故选B.4．B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，根据圆心到切线的距离等于半径，求出,a b 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案． 【详解】由题意，根据双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=．根据圆22(2):1E x y -+=的圆心(2,0)到切线的距离等于半径1，1=a =，即223b a =，又由222c a b =+，则2234c a =，可得c e a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 5．A 【解析】 【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论． 【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，∴f′（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1）， ∵x ∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减， ∴f （x ）max =f （2）=f （﹣1）=1，f （x ）min =f （﹣3）=﹣19， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20， 故答案为A 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 6．B 【解析】分析：先消去参数，得到直线的普通方程，再求出圆心到直线的距离，得到弦心距，根据勾股定理求出弦长，从而得到答案.详解：Q 直线12,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），1x y ∴+=，即10x y +-=，Q 圆224x y +=，∴圆心()0,0O 到直线10x y +-=的距离为2d ==. ∴直线12,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）被圆224x y +=截得的弦长为==故选：B.点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、弦心距与弦长的关系，难度不大，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由“a b c d ,,,中至少一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”即可求解. 【详解】因为“a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”, 所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a b c d ,,,全都大于等于0”, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题. 8．D 【解析】分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a 的值即可. 详解：由题意可得：()'cos f x a x =，则()'cos 2f a ππ==，据此可知：2,2a a -=∴=-. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．A 【解析】 【分析】根据随机变量的定义可得到结果. 【详解】Q 抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件∴出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A 【点睛】本题考查随机变量的定义，属于基础题. 10．A 【解析】由函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1. y ＝log a |x|在()0,∞+上为单调递减，排除B,C,D又因为y ＝log a |x|为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确. 故选A. 11．D 【解析】 【分析】利用函数()f x 在()1+¥，连续可导且单调递增，可得导函数在()1+¥，大于等于0恒成立即可得到a 的取值范围． 【详解】因为函数()f x 在()1+¥，连续可导且单调递增，所以()20af x x x'=-≥在()1+¥，恒成立，分离参数得22a x ≤恒成立，即2a ≤，故选D ． 【点睛】本题考查函数在区间内单调递增等价于()0f x '≥在该区间内恒成立． 12．D 【解析】 【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出． 【详解】由余弦定理可得：22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 解得3a =.故选D. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．43-【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系和α的范围可求得sin ,cos αα，根据同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】αQ 为第二象限角，sin 0α∴>，cos 0α<，由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，4sin 45tan 3cos 35ααα∴===--. 故答案为：43-. 【点睛】本题考查根据同角三角函数平方关系和商数关系求解三角函数值的问题，属于基础题. 14．-80 【解析】 【分析】将()51x -改写为()512x +-⎡⎤⎣⎦，根据展开式的通项公式即可求解出()21x +项的系数，即为2a . 【详解】因为()()551=12x x -+-⎡⎤⎣⎦，所以()()51512rrrr T C x -+=+-，当52r -=时，3r =，所以()21x +项的系数为()335280C ⋅-=-，所以280a =-. 故答案为：80-. 【点睛】本题考查利用配凑法求解展开式中指定项的系数，难度较易.对于展开式是形如()()()212...nn a x b a x b a x b ++++++的式子，可考虑利用配凑的方法将原二项式变形后再展开去求解对应项的系数. 15．23-【解析】复数z 1=2+3i,z 2=t−i ， ∴2z =t+i ，∴12·z z =(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i ， 由12·z z 是实数,得3t+2=0,即23t =-. 16．496 【解析】 【分析】通过系统抽样的特征，即可计算出最大编号. 【详解】 由于间距为5001050=，而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项，10为公差的等差数列，因此最大编号为()650110496+-⨯=，故答案为496. 【点睛】本题主要考查系统抽样的相关计算，难度不大. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）244y x =+；（2）(2,)2π【解析】试题分析：⑴由题意可知当cos sin 0t t αα==时直线l 经过定点()11-，，设()22sin 2x cos y cos ρθρθρρθ===+，，，即可求出曲线C 的普通方程；⑵将4πα=代入直线l 的参数方程，可求出直线l 的普通方程，将sin x cos y ρθρθ==，代入即可求得直线l 的极坐标方程，然后联立曲线C ：cos 2ρρθ=+，即可求出直线l 与曲线C 的交点的极坐标 解析：（1）直线l 经过定点()1,1-， 由cos 2ρρθ=+得()22cos 2ρρθ=+，得曲线C 的普通方程为()2222x y x +=+，化简得244y x =+；（2）若4πα=，得11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的普通方程为2y x =+， 则直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+， 联立曲线C ：cos 2ρρθ=+. ∵0ρ≠得sin 1θ=，取2πθ=，得2ρ=，所以直线l 与曲线C 的交点为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭.18．（1）3A π=；（2）【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到222b c a bc +-=，再由余弦定理得到2221cos 22b c a A bc +-==，根据特殊角的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：222a b c bc =+-，根据重要不等式和a=4得到162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤，再由ABC ∆面积1sin23S bc π==≤，最终得到结果. 【详解】（1）根据正弦定理可知：()()()a b a b c c b +-=-， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理的推论得2221cos 22b c a A bc +-==，Q 0A π<<，∴ 3A π=．（2）根据余弦定理可知：222222cos3a b c bc b c bc π=+-=+-，Q 222b c bc +≥且4a =，∴ 162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤.∴ABC ∆面积1sin 234S bc π==≤，当且仅当4b c ==时等号成立．故ABC ∆面积S 的最大值为 【点睛】1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解. 19． (I)32n a n =-；(Ⅱ)7254S =，或786S =-【解析】【分析】（I ）由323a a -=，2414a a +=可计算出首项和公差，进而求得通项公式．（Ⅱ）由22b a =，46b a =并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得7S .【详解】(I)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵32243,14a a a a -=+=．∴3d =，12414a d +=，解得11a =，3d =， ∴()13132n a n n =+-=-．(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q ，2214b a b q ===，346116b a b q ===，联立解得12b q ==，12b q =-=，∴()7722125421S ⨯-==-，或()()772128612S ⎡⎤-⨯--⎣⎦==---． 【点睛】本题考查数列的基本公式．等差数列的通项公式()11n a a n d +-= , 等比数列的前n 项和公式()()111,11,(1)nn a q S q q na q ⎧-⎪=≠⎨-⎪=⎩ .20．（1）1445；（2）详见解析；（3）9100. 【解析】【分析】 ()1利用互斥事件的概率求和公式计算即可；()2由题意知X 的可能取值，计算所求的概率值，写出X 的概率分布，求出数学期望值；()3由题意知事件包含一红两黑和两红一黑，两红一白，求出对应的概率值．【详解】解：()1从袋中1次随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为2222352101445C C C P C ++==； ()2从袋中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，则X 的可能取值是0，1，2，3；则()30553101012C C P X C ⋅===，()21553105112C C P X C ⋅===， ()12553105212C C P X C ⋅===， ()0355*******C C P X C ⋅===， ∴随机变量X 的概率分布为；数学期望()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()3记3次摸球后，取到红球的次数大于取到白球的次数为事件A ，则()122233232359()()1010101010100P A C C ⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．21．（Ⅰ）14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，；（Ⅱ）1122a -<< 【解析】【分析】（Ⅰ）分别在12x ≤-、1122x -<<、12x ≥三种情况下去掉绝对值，得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将方程变为1122a x x x =+--+，分类讨论得到()1122h x x x x =+--+的图象，通过数形结合求得取值范围.【详解】（Ⅰ）当12x ≤-时，()()212121f x x x =--+-=-≤，可得：12x ≤- 当1122x -<<时，()212141f x x x x =++-=≤，解得：1124x -<≤ 当12x ≥时，()21212f x x x =+-+=，则()1f x ≤无解 综上所述：不等式()1f x ≤的解集为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（Ⅱ）由方程()2f xa x+=可变形为：1122a x x x=+--+令()1122h x x x x=+--+，则()11,211,2211,2x xh x x xx x⎧+<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩作出函数()h x的图象如下图所示：结合图象可知：1122h a h⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1122h⎛⎫-=⎪⎝⎭，1122h⎛⎫=-⎪⎝⎭1122a∴-<<【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将方程根个数问题转化为直线与函数交点的个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.22． (1)1()lg(11)1xf x xx+=-<<-(2)11,0,133⎛⎤⎡⎫-⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）令1t x=-，得1x t=+，求出x的范围，得出t的范围，再将1x t=+代入题中函数解析式即可得出函数()y f x=的解析式与定义域；（2）将所求不等式转化为13101xxx+≥->-，然后解出该不等式组即可得出答案．【详解】（1）令1t x=-，则1x t=+，02xx>-，由题意知02xx>-，即02x<<，则11t-<<．所以()()11lg lg211t tf tt t++==-+-，故()1lg (11)1x f x x x+=-<<-． （2）由()()lg 31f x x +…，得()11lg lg 3131011x x x x x x ++≥+⇔≥+>--． 由310x +>，得13x >-，因为11x -<<，所以10x ->， 由1311x x x++-…，得()()1311x x x ++-…， 即230x x -…，()310x x -…， 解得13x …或0x „.又13x >-，11x -<<， 所以103x -<≤或113x ≤<. 故不等式的解集为11,0,133⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题第（1）问考查函数解析式的求解，对于简单复合函数解析式的求解，常用换元法，但要注意新元的取值范围作为定义域，第（2）问考查对数不等式的解法，一般要转化为同底数对数来处理，借助对数函数的单调性求解，同时也要注意真数大于零这个隐含条件．。
武汉中学高二下学期数学总复习试题(8)
武汉中学高二下学期数学总复习试题(8)武汉中学 柏任俊一．选择题〔每题5分,共50分〕1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球,都是白球B ．至少有1个白球,至少有1个红球C ．恰有1个白球,恰有2个白球D ．至少有1个白球,都是红球2．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,设1123AC xAB yBC zCC =++,那么x ＋y ＋z 等于( ) A ．1B ．23C ．56D ．1163.(1－3x ＋2y)n展开式中不含y 的项的系数和为( )A 、2nB 、－2nC 、(－2)nD 、14.在正三棱锥S-ABC 中,M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点,且MN ⊥AM,假设侧棱SA=32,那么此正三棱锥S-ABC 外接球的外表积是〔 〕A. 12πB. 32πC. 36πD. 485．在某一试验中事件A 出现的概率为p ,那么在n 次试验中A 出现k 次的概率为〔 〕〔A 〕 1－k p 〔B 〕 ()k n kp p --1〔C 〕 1－()kp -1〔D 〕 ()k n kk n p p C --16．以下命题中〔1〕假设四点中任何三点都不共线,那么这四点不共面；〔2〕在空间,两条直线没有公共点是这两条直线平行的充分不必要条件； 〔3〕假设直线l 与平面α、β满足条件：l α⊄且,l βαβ⊥⊥,那么//l α； 〔4〕底面为矩形,且有两个侧面是矩形的平行六面体是长方体. 其中真命题的个数为〔 〕()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 47．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成6名课外兴趣味小组,如果按性别分层随机抽样,试问组成课外兴趣小组的概率是 〔 〕A ．61525410C C CB ．61535310C C C C ．615615A CD ．61525410A A C 8．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=〔1,0,1〕, b=〔0,1,1〕,那么这条斜线与平面所成的角是 〔 〕 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°9．有一排7只发光二级管,每只二级管点亮时可发出红光或绿光,假设每次恰有3只二级管点亮,但相邻的两只二级管不能同时点亮,根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息,那么这排二级管能表示的信息种数共有 〔 〕10．甲、乙两地都在北纬45的纬线上,甲地在东经690,乙地在西经210,那么甲、乙两地在纬度圈上的劣弧长与它们在地球外表的球面距离之比为( ) (A) 32 ：4 (B)42：3(C) 3：2 (D) 2：3二．填空题〔每题5分,共30分〕11．某学校共有学生4500名,其中初中生1500名,高中生3000名,用分层抽样法抽取一个容量为300的样本,那么初中生应抽取 名．12．半径为10的球面上有A 、B 、C 三点, AB = 6, BC =8 , CA =10 ,那么球心O 到平面ABC 的距离是________． 13．n xx )23(-展开式中第9项为常数,那么n 的值为 ．14．每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰,混合100人的血清,那么混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为 . (参考数据：0.996100≈0.6698,0.997100≈0.7405,0.998100≈0.8186)15．如图,PA ⊥平面ABC,∠ABC ＝90°且PA ＝AB ＝BC ＝a, 那么异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．16．m 、n 是直线,α、β、γ是平面,给出以下命题：①假设α⊥β,α∩β=m,n ⊥m ,那么n ⊥α或n ⊥β； ②假设α∥β,α∩γ=m ,β∩γ=n ,那么m ∥n ；③假设m 不垂直于α,那么m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④假设α∩β=m ,n ∥m,且n ⊄α,n ⊄β,那么n ∥α且n ∥β．其中正确的命题序号是 ．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)做题卷一、选择题二填空题11._____12._____13._____14._____15._____16._____三．解做题17．〔本小题总分值12分〕某学生语、数、英三科测试成绩,在一次测试中排名全班第一的概率：语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问一次测试中：〔1〕三科成绩均未获得第一名的概率是多少？〔2〕恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？18．〔本小题总分值14分〕(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45,求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．19．(本小题总分值14分)斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α (0°＜α＜90°),点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． (1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)假设AB 1⊥BC 1,D 为BC 的中点,求α ；(3)假设α = arccos 13 ,且AC=BC=AA 1时,求二面角C 1—AB —C 的大小．C 1ABCDA 1B 120．〔本小题总分值14分〕一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．〔1〕从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率；〔2〕从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率．21．〔此题共16分〕四棱锥P－ABCD⊥底面ABCD, ∆ABC和∆ACD都是边长为1的等边三角形,点E分侧棱PA所成的比PEEAλ=．(1)当λ为何值时,能使平面BDE⊥平面ABCD?并给出证实；(2)当平面BDE⊥平面ABCD时,求P点到平面BDE的距离；(3)当λ=1时,求二面角A－BE－D的大小．PDC BEA参考答案一．1-5 CDCCD 6-10 AABDA二．11．100 12. 13.12 14.0.2595 15. 3 16.2,4三．17．解 分别记该生语、数、英测试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C,那么P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85． (1))()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)] =(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85) =0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．(2)P(C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅) = P()()()A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．18．解：⑴由题设知2245,45,10.n nn C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r rrrr r r T C x x C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为 ⑵系数最大的项为中间项,即55302551212610252.T C xx -==19．解 (1)∵ B 1D ⊥平面ABC, AC ⊂平面ABC,∴ B 1D ⊥AC, 又AC ⊥BC, BC ∩B 1D=D ．∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．(2) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ,AB 1⊥BC 1 ,由三垂线定理可知, B 1C ⊥BC 1．∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形,此时,BC=BB 1．又∵ B 1D ⊥BC,D 为BC 中点,B 1C= B 1B,∴△BB 1C 为正三角形, ∴ ∠B 1BC= 60°．(3)过C 1作C 1E ⊥BC 于E,那么C 1E ⊥平面ABC ．∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角． 设AC=BC=AA 1=a,在Rt △CC 1E 中,由∠C 1BE=α=1arccos3,C 1E=322a ．在Rt △BEF 中,∠EBF=45°,EF=22BE=322a ． ∴∠C 1FE=45°,故所求的二面角C 1—AB —C 为45°． 解法二：(1)同解法一(2)要使AB 1⊥BC 1,D 是BC 的中点,即11BC AB ⋅=0,|BB 1→ |=|B 1C →|, ∴11()0AC CB BC +=, ||||11B BC ⋅=0,∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==,故△BB 1C 为正三角形,∠B 1BC=60°； ∵ B 1D ⊥平面ABC,且D 落在BC 上, ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时,AB 1⊥BC 1,且D 为BC 中点．(3)以C 为原点,CA 为x 轴,CB 为y 轴,经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系,那么A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,-34a ,322a), 平面ABC 的法向量n 1=(0,0,1),设平面ABC 1的法向量n 2=(x,y,z)． 由⋅n 2=0,及⋅1BC n 2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0－43y ＋2 2 3 z=0 . ∴n 2=(22,22,1)．cos ＜n 1, n 2＞=112 +12+1 =2 2, 故n 1 , n 2所成的角为45°,即所求的二面角为4520．解析：〔1〕记“摸出两个球,两球恰好颜色不同〞为A ,摸出两个球共有方法1025=C 种,其中,两球一白一黑有61312=⋅C C 种． ∴ 53)(251312==C C C A P ． 〔2〕法一：记摸出一球,放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同〞为B ,摸出一球得白球的概率为4.02=,摸出一球得黑球的概率为6.03=∴ P 〔B 〕＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48 法二：“有放回摸两次,颜色不同〞指“先白再黑〞或“先黑再白〞． ∴ 2512552332)(=⨯⨯+⨯=B P ∴“有放回摸两次,颜色不同〞的概率为0.48． 21．解：〔1〕依题设,底面ABCD 为菱形,设AC BD ＝O,连结OE,那么OE ⊥BD ．假设平面BDE ⊥平面ABCD,那么OE ⊥平面ABCD, ∵CP ⊥平面ABCD,∴OE ‖CP ． ∵O 为AC 中点,∴E 为PA 中点,且1PEEAλ==． 〔2〕由〔1〕知,OE ⊥平面ABCD,CP ‖OE,CP ‖平面BDE, 故P 到平面BDE 的距离即为C 到平面BDE 的距离,易证CO ⊥ 平面BDE,∴CO 即为C 到平面BDE 的距离, 而CO ＝12AC ＝12,∴点P 到平面BDE 的距离为12． 说明 亦可化为求点A 到平面BDE 的距离．〔3〕1λ=时,即有平面BDE ⊥平面ABCD,交线为BD,∵AO ⊥BD,AO ⊂平面ABCD,∴AO ⊥平面BDE,过O 作OQ⊥BE 于Q,连结QA,那么由三垂线定理知QA ⊥BE, ∴∠AQO 就是二面角A －BE －D 的平面角．在Rt ΔBOE 中,∵OE ＝12PC ＝12,OB AB ,∴BE 1=,故由OQ BE OB OE ⋅=⋅得,OQ =在Rt ΔAOQ 中,tan OA AQO OQ ∠==即二面角A －BE －D 的大小为。
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷(理科)
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） S=（x﹣1）5+5（x﹣1）4+10（x﹣1）3+10（x﹣1）2+5（x﹣1）+1，则合并同类项后S=（）A . （x﹣2）5B . （x+1）5C . x5D . x5+5x4+10x3+10x2+5x+12. （2分）(2017·温州模拟) 设离散型随机变量X的分布列为X123P P1P2P3则EX=2的充要条件是（）A . P1=P2B . P2=P3C . P1=P3D . P1=P2=P33. （2分） (2018高二下·重庆期中) 重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的赛，两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·通许期末) 随机变量服从二项分布，且，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）有以下命题：①命题“,”的否定是：“”；②已知随机变量X服从正态分布，则；③函数的零点在区间内；其中正确的命题的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（）A . 11种B . 20种C . 21种D . 12种7. （2分）某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，则直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）某班某学习小组共7名同学站在一排照相，要求同学甲和乙必须相邻，同学丙和丁不能相邻，则不同的站法共有（）种．A .B .C .D .10. （2分）方程的解共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分）某电台现录制好10首曲目，其中美声唱法2首，民族唱法4首，通俗唱法4首.拟分两期播出，每期播放其中5首，要求三种唱法每期都有，通俗唱法曲目不得相邻，且第一期的最后一首曲目必须是美声唱法. 则不同的编排方法种数为（）A . 40320B . 80640C . 35712D . 7142412. （2分）若的二项展开式中x3的系数为，则a＝（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分）已知ξ～N（3，σ2），若P（ξ≤2）=0.2，则P（ξ≤4）等于________14. （1分） (2017高二下·景德镇期末) 已知随机变量X～N（10，22），定义函数Φ（k）=P（X≤k），则Φ（12）﹣Φ（6）=________．15. （1分）在一个由三个元件A，B，C构成的系统中，已知元件A，B，C正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为：________．16. （10分）(2018·河北模拟) 已知数列的前项和恰好与的展开式中含项的系数相等.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求 .三、三.解答题 (共8题；共95分)17. （15分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∶1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.18. （15分）(2013·天津理) 已知函数f（x）=x2lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．19. （15分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知（x+ ）n展开式的二项式系数之和为256（1）求n；（2）若展开式中常数项为，求m的值；（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值．20. （10分）(2018·绵阳模拟) 设函数 .（1）若的最小值是4，求的值；（2）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.21. （15分）某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；（2）两个唱歌节目不相邻；（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．22. （10分） (2015高三上·日喀则期末) 下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：月份91011121历史（x分）7981838587政治（y分）7779798283（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程 = x+（附： = = ， =y﹣ x）23. （10分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高二年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表.附表及公式：0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；（2）规定80分以上者为优分（含80分），请你根据已知条件作出列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.24. （5分）(2017·淄博模拟) 为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②比赛前两人答题的先后顺序通过抽签决定后，双方轮流答题，每次回答一道，；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得 3 分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为和，且每次答题的结果相互独立．（Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为 X，求X的分布列和数学期望 EX．分数段男39181569女64510132参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、三.解答题 (共8题；共95分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、。
2020年湖北省武汉市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年湖北省武汉市数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．球的体积是323π，则此球的表面积是（ ） A ．12π B ．16π C ．163πD ．643π【答案】B 【解析】 【分析】先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】设球的半径为R ，则由已知得343233R ππ=，解得2R =，故球的表面积2416S R ππ==表. 故选：B 【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.2．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数” 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件的概念即可判断． 【详解】“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立， 故选D ． 【点睛】本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，第一循环：24N =，能被3整除，24833N ==≤不成立， 第二循环：8N =，不能被3整除，817,73N N =-==≤不成立， 第三循环：7N =，不能被3整除，6716,233N N =-===≤成立， 终止循环，输出2N =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．若对任意实数x ，有52012(2)(2)x a a x a x =+-+-55(2)a x +⋅⋅⋅+-，则024a a a ++=（ ）A ．121B ．122C ．242D ．244【答案】B 【解析】分析：根据()5522x x ⎡⎤=+-⎣⎦，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出024,,a a a 的值，即可求得答案. 详解：()()()()51250514235055552222222...22x C C x C x C x ⎡⎤+-=⋅+⋅-+⋅-++⋅-⎣⎦， 且()()2501222x a a x a x =+-+- ()552a x +⋅⋅⋅+-，52341024555222328010122a a a C C C ∴++=⋅+⋅+⋅=++=.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数. 5．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】A 【解析】由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A.7．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种. A ．18 B ．20 C ．24 D ．30【答案】A 【解析】 【分析】分类：（1）2人中有1人是男生；（2）2人都是男生. 【详解】若2人中有1人是男生，则有1143C C =12⨯种；若2人都是男生，则有24C =6种；则共有24种选法. 【点睛】排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.8．已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，则平面1ACD 截球O 所得的截面面积为( ) A ．9π B ．6π C ．66π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的特征，求出球的直径和球心O 到平面1ACD 的距离，求出截面圆的半径，即可得到面积. 【详解】球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，其体对角线就是球的直径，所以球的半径为3， 根据正方体的性质O 到平面1ACD 的距离为1333⨯=， 所以平面1ACD 截球O 所得的截面圆的半径为22332263⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以其面积为22233ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】此题考查求几何体外接球问题，根据几何特征求出外接球的半径，根据圆心到截面的距离求截面圆的半径，进而求解面积. 9．设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素的个数为 ( )A ．60B ．100C ．120D ．130【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案. 【详解】集合A 中满足条件“”中取0的个数为2,3,4. 则集合个数为：故答案选D 【点睛】本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键.10．已知,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，通过截距式可求得最大值. 【详解】作出可行域，求得(1,1)B --，11(,)22A ，(2,1)C -,通过截距式可知在点C 取得最大值，于是max 2213z =⨯-=.【点睛】本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果.11．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（ ）种不同的取法 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 【分析】直接由组合数定义得解． 【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中， 从中取3个球，共有种不同的取法.故选D 【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题．12．若函数()f x ＝sinxcosx,x∈R,则函数()f x 的最小值为 A ．14-B ．12-C ．32-D ．1-【答案】B 【解析】∵函数()1sin cos sin 22f x x x x ==，1sin 21x -≤≤ ∴函数()f x 的最小值为12- 故选B二、填空题：本题共4小题 13．观察下列算式：311=，3352+=，379113++=，3131517194+++=，…，3111113115m n ++++=，则m n +=____． 【答案】142； 【解析】 【分析】观察已知等式的规律，可猜想第n 行左边第一个奇数为(1)1n n -+后续奇数依次为：(1)3,(1)5,,(1)(21),n n n n n n n -+-+-+-由第n 行第一个数为111，即：111(1)1n n =-+，解得：11n =，可得：(111)11(2111)131m =-⨯+⨯-=，即可得解. 【详解】第n 行等号左边第一个加数为第(123)n ++++个奇数，即(1)1n n +-，于是第一个加数为(1)12n n --+，所以第n 个等式为3[(1)1][(1)1]n n n n n -++++-=，11n =，131m =【点睛】本题主要考查归纳与推理，猜想第n 行左边第一个奇数为(1)1n n -+进而后续奇数依次为：(1)3,(1)5,,(1)(21),n n n n n n n -+-+-+-是解题的关键.14．不等式12x<的解集是_________. 【答案】()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由不等式12x <得120x -<，所以210x x ->，等价于(21)0x x ->，解之得所求不等式的解集. 【详解】 由不等式12x <得120x -<，即120x x -<，所以210x x->，此不等式等价于 (21)0x x ->，解得0x <或12x >， 所以不等式的解集是：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 故填：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题. 15．二项式()()*1nx n N +∈的展开式中2x的系数为15，则n 等于______．【答案】1 【解析】 【分析】 根据题意，()()*1n x n N +∈展开式的通项为1r rr n TC x +=，令2r 即可求解n 可得答案．【详解】 根据题意，()()*1n x n N +∈展开式的通项为1r r r n TC x +=，令2r ，则2156n C n =⇒=故答案为1． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数． 16．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为__________．【答案】20% 【解析】分析：设10件产品中存在n 件次品，根据题意列出方程求出n 的值，再计算次品率. 详解：设10件产品中存在n 件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ. 由()16145P ξ==得， 11102101645n nC C C -⋅=，化简得210160n n -+=， 解得2n =或8n =，又该产品的次品率不超过40%，4n ∴≤， 应取2n =，∴这10件产品的次品率为220%10=. 故答案为：20%.点睛：本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二下学期期末考试质量检测数学试卷及解析
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二下学期期末考试质量检测数学试卷★祝考试顺利★（含答案）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，2）【分析】求出集合B，利用交集定义能求出结果．解：集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：A．2．复数的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴复数的共轭复数是2﹣i．故选：B．3．若tanα＝2，则sin（2α﹣）的值为（）A．B．﹣C．D．【分析】由同角三角函数的关系式可推出cos2α＝，再结合诱导公式与二倍角公式，得解．解：∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，∴cos2α＝，∴sin（2α﹣）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝1﹣2×＝．故选：D．4．设a＝20.2，b＝，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．解：∵，log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴c＜a＜b．故选：D．5．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，给出下列四种说法：①函数f（x）的周期为π；②函数f（x）图象的一条对称轴方程为；③函数f（x）的递减区间为；④当时，函数f（x）的值域为．其中，正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象判断①②③④的结论．解：根据函数的图象：A＝1，，故T＝π，所以ω＝2，当x＝时，f（）＝sin（φ）＝0，故φ＝kπ（k∈Z），故φ＝kπ﹣（k∈Z），当k＝0时，φ＝﹣，k＝1时，φ＝，根据函数的图象，φ＝﹣，故f（x）＝sin（2x﹣），对于①，函数f（x）的周期为π，故①正确；对于②，当x＝时，f（）＝，故②错误；对于③，令（k∈Z），整理得：，故函数f（x）的递减区间为，故③正确；④当时，故，函数f（x）的值域为，故④错误．故选：B．6．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by﹣2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay﹣2ab＝0相切，可得原点到直线的距离＝a，化简即可得出．解：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点（0，0），半径为r＝a，圆的方程为x2+y2＝a2，直线bx﹣ay﹣2ab＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得a2＝3b2，即a2＝3（a2﹣c2），即2a2＝3c2，从而，则椭圆的离心率，故选：A．7．三棱锥P﹣ABC的顶点均在一个半径为4的球面上，△ABC为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，求出等边△ABC外接圆的半径，计算△ABC外接圆的圆心与球心的距离，判断点P的位置，再计算三棱锥P﹣ABC体积的最大值．解：三棱锥P﹣ABC是半径为4的球面上四点，△ABC为等边三角形，所以×AB2•sin60°＝×6×6×＝9，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然P是O′O的延长线与球的交点，如图所示：计算O′C＝××6＝2，OO′＝＝2，所以三棱锥P﹣ABC高的最大值为2+4＝6，所以三棱锥P﹣ABC体积的最大值为×9×6＝18．故选：B．8．已知a﹣4＝ln≠0，b﹣5＝ln≠0，c﹣6＝ln≠0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】通过构造函数f（x）＝x﹣lnx，求导可推得，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，结合已知条件和构造函数的单调性，即可求解．解：设f（x）＝x﹣lnx，求导可得f'（x）＝，∴f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∵a﹣4＝ln≠0，∴a﹣lna＝4﹣ln4，∴f（a）＝f（4），同理可得f（b）＝f（5），f（c）＝f（6），∵当x→0+时，f（x）→+∞，且f（x）在（0，1）单调递减，∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，又∵f（4）＜f（5）＜f（6），∴f（a）＜f（b）＜f（c），又∵f（x）在（0，1）单调递减，∴c＜b＜a．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A．10．对于非零向量，下列命题中错误的是（）A．若，则B．若，则C．D．【分析】根据平面向量数量积的性质和运算判断即可．解：A选项，＝＝0，由是非零向量，所以，，故cosθ＝0，所以，即，故A错误；B选项，＝，，∴＝，不能得到，故B错误；C选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误；D选项，由平面向量数量积运算律可知，D正确；故选：ABC．11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面的一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（）A．有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在平面平行D．当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可．解：由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故选项A正确；因为睡眠EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故选项B错误；因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故选项C正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故选项D正确．故选：ACD．12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，则（）A．双曲线C的离心率为B．四边形AMBO的面积为（O为坐标原点）C．双曲线C的渐近线方程为D．直线MA与直线MB的斜率之积为定值【分析】先根据|F1F2|2＝16|MA|•|MB|可得到，进而可判断A，B，C，D四个选项．解：双曲线C的两条渐近线分别为bx+ay＝0和bx﹣ay＝0，设M（x0，y0），则所以，又M点在双曲线上，则，所以，因为，所以，即c4＝4a2b2⇔c4＝4a2（c2﹣a2）⇔e4＝4（e2﹣1）⇔（e2﹣2）＝0，又e＞1，所以，故A正确；因为，所以，所以OA⊥OB，所以四边形OABM是矩形，故四边形OABM的面积为，故B正确；因为a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故C错误；k⋅k MB＝k OB⋅k OA＝（﹣1）⋅1＝﹣1，故D正确．MA故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中x2的系数为60 ．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式，求出x的指数，通过指数为2，求出所求数值．解：的通项公式为：＝．令，得r＝2．可得x2项的系数为C62（﹣2）2＝60，故答案为：60．14．甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有24 种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①将除甲乙丙之外的2人全排列，②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将除甲乙丙之外的2人全排列，有A22＝2种情况，②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，有2（C32+A31）＝12种情况，则有2×12＝24种不同的站法；故答案为：24，15．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；③若α∥c，β∥c，则α∥β；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是①④．【分析】由平行公理判断①；由平行于同一平面的两直线的位置关系判断②；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断③；由平面平行的传递性判断④．解：①若a∥c，b∥c，由平行公理可得a∥b，故①正确；②若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故②错误；③若α∥c，β∥c，则α∥β或α与β相交，故③错误；④若α∥γ，β∥γ，由平面与平面平行的传递性可得α∥β，故④正确．故答案为：①④．16．设函数f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，x∈R，其中a，b∈R．若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，则x1+2x0＝ 4 ．【分析】利用f′（x0）＝0，f（x1）＝f（x0），联立化简即可得结果．解：f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，f′（x）＝3x2﹣8x+a，因为x0是极值点，所以f′（x0）＝0，即，又即，因为f（x1）＝f（x0），所以，即，因为x1≠x0，所以，把代入化简得（x1﹣x0）（x1+2x0﹣4＝0），因为x1≠x0，所以x1+2x0﹣4＝0，即x1+2x0＝4．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD＝20m，并且在点C，D两点分别测得∠BCA＝45°，∠ACD ＝60°，∠BDC＝30°，∠BDA＝60°，试求A，B两点间的距离（精确到0.1m）．附：，，．【分析】由已知可得△ADC是直角三角形，从而可求得AC，在△BCD中，利用正弦定理可求得BC，在△ABC中，由余弦定理可求得AB．解：在△ADC中，CD＝30，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°+30°＝90°，所以，△ADC是直角三角形，求得．在△BCD中，∠BDC＝30°，∠BCD＝45°+60°＝105°，所以∠CBD＝45°．由正弦定理，得，所以．在△ABC中，∠ACB＝45°，由余弦定理，得，所以，A，B两点间的距离为31.6m．18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（Ⅰ）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．（Ⅱ）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值是0，1，2，3P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，X的概率分布如下表：X0 1 2 3PEX＝，（或EX＝3•＝1.5）；（Ⅱ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1+B2，B1，B2为互斥事件．∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为19．已知数列{a n}是递增的等比数列，前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列．数列{b n}的首项为1，其前n项和为S n，且2S n＝（n+1）b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．（2）设cn【分析】（1）先利用利用等比数列的通项公式求出公比q，从而求出数列{a n}的通项公式，利用前n项和与第n项之间的关系，求出数列{b n}的递推公式，然后利用叠乘法求解数列{b n}的通项公式即可；（2）利用（1）中的结论，得到数列{c}的通项公式，然后由错位相减法求和即可．n解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，因为前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列，所以，（其中舍去），所以数列{a n}的通项公式为；因为2S n＝（n+1）b n，所以2S n﹣1＝nb n﹣1（n≥2），两式相减，得2b n＝（n+1）b n﹣nb n﹣1，化简得，于是，所以b n＝n；（2）由（1）知，，则，所以，故，所以．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，侧面PAD是等边三角形，AD＝2AB，点P在平面ABCD上的射影恰是线段BC的中点E．求：（1）二面角P﹣AD﹣E的大小；（2）异面直线PA与CD所成角的余弦值．【分析】（1）可设AB＝a，则AD＝2a，然后取AD的中点F，连接EF，PF，然后可说明∠PFE是二面角P﹣AD﹣E的平面角，根据条件可得出△PEF是Rt△PEF，且得出，从而得出∠PFE＝60°；（2）可过A作AG∥CD，从而得出∠PAG为异面直线PA与CD所成的角，可求出，从而可求出，并得出AG＝a，PA＝2a，然后根据余弦定理即可求出cos∠PAG的值．解：设AB＝a，则AD＝2a，（1）如图，取AD的中点F，连接EF，PF，因为ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点，所以EF⊥AD于F．因为PAD是等边三角形，F为AD的中点，所以PF⊥AD于F．所以∠PFE是二面角P﹣AD﹣E的平面角．∵点P在平面ABCD上的射影为E，∴PE⊥EF，∠PEF＝90°．于是Rt△PEF中，，所以∠PFE＝60°．即二面角P﹣AD﹣M的大小是60°．（2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角．由GADC是平行四边形，得．在Rt△PEF中，．在Rt△PEG中，．在△PAG中，由余弦定理得，∴异面直线PA与CD所成角的余弦值为．21．抛物线C的方程为y＝﹣x2，过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k1+k2＝0．（1）若线段AB的中点为M，证明线段PM的中点在y轴上；（2）若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．【分析】（1）设直线PA，PB的方程，联立直线PA与抛物线方程，求出k1＝﹣x1﹣x0，同理可得k2＝﹣x2﹣x0，利用中点坐标公式，得到x M+x P＝0，即可证明；（2）利用（1）中的结论，得到y1和y2，求出A、B的坐标，利用，求出k1的范围，再求出y1的范围．解：（1）证明：设直线PA的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），直线PB的方程为y﹣y0＝k2（x ﹣x0），点P（x0，y0）和点A（x1，y1）的坐标是方程组的解，消去y，整理得x2+k1x﹣k1x0+y0＝0，于是x1+x0＝﹣k1，即k1＝﹣x1﹣x0，同理可得，k2＝﹣x2﹣x0，因为k1+k2＝0，所以2x0+x1+x2＝0，因为线段AB的中点为M，所以，因为x M+x P＝0，所以线段PM的中点在y轴上；（2）由（1）知，当点P的坐标为（1，﹣1）时，x1＝﹣k1﹣1，代入y＝﹣x2，求得，同理可得，，因此直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，，于是，，所以，因为∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，所以，即k1（k1+2）（2k1+1）＜0，解得k1＜﹣2或，又，所以当k1＜﹣2时，y1＜﹣1；当时，，综上所述，∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为．22．已知函数f（x）＝x﹣e x+a．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：2x1+x2＜0．【分析】（1）求导得f'（x）＝1﹣e x，分析导数的正负，f（x）的单调区间，进而可得f （x）有最大值f（0）＝a﹣1，分三种情况：当a＜1时，当a＝1时，当a＞1时，f（x）的零点个数．（2）由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a＞1，且﹣a＜x1＜0＜x2＜a，要证2x1+x2＜0，只需证x2＜﹣2x1，结合f（x）单调性，推出只需证f（x2）＞f（﹣2x1），只需证f （x1）＞f（﹣2x1），其中﹣a＜x1＜0．令g（x）＝f（x）﹣f（﹣2x），﹣a＜x＜0，求导分析单调性，推出g（x）＞g（0）＝0，即可得出答案．解：（1）f'（x）＝1﹣e x．当x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增；在（0，+∞）单调递减．所以，当x＝0时，f（x）有最大值f（0）＝a﹣1．当a＜1时，f（0）＝a﹣1＜0，函数f（x）无零点；当a＝1时，f（0）＝a﹣1＝0，函数f（x）有1个零点：当a＞1时，f（0）＝a﹣1＞0，f（﹣a）＝﹣e﹣a＜0，f（a）＝2a﹣e a，f'（a）＝2﹣e a．当a＜ln2时，f'（a）＞0；当a＞ln2时，f'（a）＜0．所以，f（a）在（﹣∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）单调递减．所以，即f（a）＜0．所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有两个零点．综上，当a＜1时，函数f（x）无零点；当a＝1时，函数f（x）有1个零点；当a＞1时，f（x）有两个零点．（2）证明：由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a＞1，且﹣a＜x1＜0＜x2＜a．要证2x1+x2＜0，只需证x2＜﹣2x1．因为f（x）在（0，+∞）单调递减，所以只需证f（x2）＞f（﹣2x1）．因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以只需证f（x1）＞f（﹣2x1），其中﹣a＜x1＜0．令g（x）＝f（x）﹣f（﹣2x），﹣a＜x＜0，则g（x）＝（x﹣e x+a）﹣（﹣2x﹣e﹣2x+a）＝3x﹣e x+e﹣2x，所以g'（x）＝3﹣e x﹣2e﹣2x，因为g''（x）＝4e﹣2x﹣e x＞g''（0）＞0，所以g'（x）在（﹣∞，0）单调递增，从而g'（x）＜g'（0）＝0，所以g（x）在（﹣∞，0）单调递减，所以g（x）＞g（0）＝0，即f（x）＞f（﹣2x），于是f（x2）＞f（﹣2x1），所以2x1+x2＜0．。
【精选试卷】武汉数学高二下期末知识点总结(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13881]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f -<< B ．()()()220f f f <-< C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<2．(0分)[ID ：13873]( ) A ．sin2cos2+ B ．cos2sin2- C ．sin2cos2-D ．cos2sin2±-3．(0分)[ID ：13856]已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 4．(0分)[ID ：13854]在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( )A B ．C ．6 D ．1525．(0分)[ID ：13896]ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 6．(0分)[ID ：13894]非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°7．(0分)[ID ：13885]O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形8．(0分)[ID ：13848]已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ）A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ9．(0分)[ID ：13844]将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．1410．(0分)[ID ：13839]设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则|b ⋅c |的值一定等于 （ ） A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积 C ．a ，b 为两边的三角形面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积11．(0分)[ID ：13928]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+12．(0分)[ID ：13922]已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：13920]延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为314．(0分)[ID ：13913]已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦15．(0分)[ID ：13910]在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH二、填空题16．(0分)[ID ：14021]已知12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___．17．(0分)[ID ：14017]设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________． 18．(0分)[ID ：14011]设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.19．(0分)[ID ：13996]空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则·AC BD =_______．20．(0分)[ID ：13994]已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=，(2,1)c =．若//(2)c a b +，则λ=________．21．(0分)[ID ：13980]已知向量(12,)a k =，(1,14)b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________．22．(0分)[ID ：13987]已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝()()11f x f x +-，则f (2018)=________.23．(0分)[ID ：13986]在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆3tan C =__________．24．(0分)[ID ：13952]在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．25．(0分)[ID ：13947]已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距3，则ω值为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：14122]已知点(2,0)A -,(1,9)B ,(,)C m n ，O 是原点. （1）若点,,A B C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； （2）若AOC ∆的面积等于3，且AC BC ⊥,求向量OC . 27．(0分)[ID ：14103]设函数f (x )=cosx −cos (x −π3),x ∈R . （1）求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，b=1，c=√3，求a 的值.28．(0分)[ID ：14054]已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=．（1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值． 29．(0分)[ID ：14032]设函数()sin(2)16f x x π=++.(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域;(2)ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3()2f A ==,求sin C . 30．(0分)[ID ：14038]设两个向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，1e 、2e 的夹角为60︒，若向量2t 127e e +与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．B 8．A 9．B 10．A 11．A13．D14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力17．【解析】因为所以故答案为18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础19．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型20．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件21．【解析】由题意则22．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f（x）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f（x）满足：f（1）=2f（x+1）=∴f（2）=﹣3f（3）=﹣f（4）=f（5）=2……即函数f（x23．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出24．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量25．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得三、解答题26．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）．故选：B ．2．C解析：C 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的二倍角公式和完全平方式结合角在各个象限中的符号化简即可得到答案. 【详解】==，∵22ππ<<，∴sin2cos20->.∴原式sin2cos2=-. 故选C. 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号的应用，属于基础题.3．D解析：D 【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A 是错误的；对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的；对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.4．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单5．A解析：A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.6．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===- 2222222||a a a -=-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．8．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.9．B解析：B【解析】将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 10．A解析：A【解析】【分析】【详解】记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ⋅|=||b |•|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |cosθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于12BOA S ∆=|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 11．A解析：A【解析】【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确； 故选A ．考点：三角函数的性质.12．D解析：D【解析】【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式.【详解】由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．故选D. 【点睛】 本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.13．D解析：D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．14．A解析：A【解析】【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin（ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间．【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=， ∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）．又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=， ∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）． 将f （x ）的图象向左平移 6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]， 故选A ．【点睛】 本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．15．C解析：C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力【解析】【分析】 先计算得到1212e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】 12,e e 是夹角为3π的两个单位向量1212e e ⇒⋅= 12121222()3a b e e e e e e +=-++=-2222121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力. 17．【解析】因为所以故答案为解析：23- 【解析】因为a b ⊥，所以()20,210,3a b x x x ⋅=++=∴=-，故答案为23-. 18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础 解析：32 【解析】 【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果【详解】由图可知：A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.将点7,12π⎛⎝7212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=.所以3(0)22f ϕ===. 【点睛】 本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础19．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型解析：0【解析】【分析】由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可.【详解】因为()()()······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+ ()()222222211··22AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--()()()2222222221111122222BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()()222222111811219490222BC AB AD DC AB BC ++=--+=--+=. 故答案为0【点睛】 本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.20．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件解析：2-【解析】【分析】 首先由,a b 的坐标，利用向量的坐标运算可得2(4,4)a b λ+=+，接下来由向量平行的坐标运算可得412(4)λ⨯=+，求解即可得结果.【详解】因为(1,2),(2,)a b λ==，所以2(4,4)a b λ+=+，因为(2)c a b +，(2,1)c =，所以412(4)λ⨯=+，解得2λ=-，即答案为2-.【点睛】该题是一道关于向量平行的题目，关键是掌握向量平行的条件.21．【解析】由题意则解析：6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-．22．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f （x ）满足：f （1）=2f （x+1）=∴f （2）=﹣3f （3）=﹣f （4）=f （5）=2……即函数f （x解析：-3【解析】【分析】由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案．【详解】∵函数f （x ）满足：f （1）=2，f （x +1）=()()11f x f x +-， ∴f （2）=﹣3，f （3）=﹣12， f （4）=13， f （5）=2，……即函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，∵2018=504×4+2， 故f （2018）=f （2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题．23．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出解析：-【解析】由题意1sin 23ac π=4c =⇒=，则b ==，所以由余弦定理cosC ==sin C ==tan (C ==-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边b ==，然后再运用余弦定理求出cosC ==，进而求出sin C ==tan (C ==- 24．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量 解析：[1,9]【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．25．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得解析：π【解析】由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4x k πωπ-=， k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 1y =251,4k x πω==， 22y =-()()2222121y y x x -+-=，解得ωπ=.三、解答题26．（1）360n m --=（2）()4,3OC =或()5,3OC =-【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m ,n 满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n 的值，然后求解m 的值即可确定向量的坐标.【详解】（1）()3,9AB =，()2,AC m n =+，由点A ，B ，C 三点共线，知AB ∥AC ，所以()3920n m -+=，即360n m --=；（2）由△AOC 的面积是3，得1232n ⨯⨯=，3n =±， 由AC BC ⊥，得0AC BC ⋅=，所以()()2,1,90m n m n +⋅--=，即22920m n m n ++--=,当3n =时，2200m m +-=， 解得4m =或5m =-，当3n =-时，2340m m ++=，方程没有实数根，所以()4,3OC =或()5,3OC =-．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27．（1）f (x )max =1，．（2）a =1或a =2【解析】【分析】【详解】解：f (x )=cosx −(cosxcos π3+sinxsin π3)=12cosx −√32sinx =cos(x +π3)， 则f (x )max =1，此时x 的取值集合为，即．（2）f (B )=cos(B +π3)=0，得B =π6， 由余弦定理，b 2=a 2+c 2−2accosB ，得12=a 2+(√3)2−2√3acos π6， 即，得a =1或a =2． 28．(1) 3πθ= (2) 14m = 【解析】 【分析】 （1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式1cos 2x y x y θ==⋅，即可求出夹角θ的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值．【详解】（1）∵(2)(2)5x y x y --= ∴2225251x x y y x y -⋅+=⇒⋅=∵1cos 2x yx y θ⋅==⋅ ∴3πθ=．（2）∵()x m y y -⊥∴()0x m y y -⋅=，即20x y m y ⋅-= ∴11404m m -=⇒=． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题． 29．（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（262+【解析】【分析】（1）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出A 的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】（1）0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 21226x π⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （2）3()sin 2162f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， 1sin 262A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0,A π<<132666A πππ∴<+<， 5266A ππ∴+=， 即3A π=,2a =由正弦定理得：2A B ==，sin 2B ∴=， 203B π∴<<，则4B π=，sin sin[()]sin()sin cos cos sin 343434342C πππππππππ∴=-+=+=+==【点睛】本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.30．141(7,(,)222--- 【解析】【分析】【详解】试题分析：夹角为钝角可通过数量积为负来解决，但它们之间并不等价，简洁地说，数量积为负排除反向，即可保证夹角为钝角；数量积为正排除同向，即可保证夹角为锐角.不作排除，就要犯错.试题解析：由已知得214e =,221e =，12e e ⋅21cos601=⨯⨯︒=.∴(2t 127e e +)⋅(1e +t 2e )2t =21e 2(27)t ++12e e 7t +22e 22157t t =++ 6分 欲使夹角为钝角，需221570t t ++<.得172t -<<-. 8分 设2t 127e e +λ=(1e +t 2e )(0λ<)2{7t t λλ=∴=227t ∴=10分∴2t =-，此时λ=. 11分即2t =-时，向量1227te e +与12e te +的夹角为π.∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是141(7,(,)222---. 13分考点：向量数量积的应用之一：求夹角.。
高中数学-武汉市部分重点中学23-24高二下期末试题答案
=3,
=35, …………………………………………………………………………………… (
16.(
1)
x
1 分)
y
5
·y
∑xiyi -5x
i=1
∴^
y= 5
2
2
∑xi -5x
i=1
608-525
=
=8.
3,………………………………………………………… (
5 分)
55-45
^
a=35-8.
9 分)
(
2)列联表如下:
青年
中老年
合计
好评
差评
合计
20
30
50
55
45
100
35
15
50
……………………………………………………………………………………………………… (
11 分)
100× 20×15-30×35
100
2
≈9.
∴χ =
=
091>6.
635,……………………………………… (
13 分)
3×3=10.
1,
∴^
3x+10.
1. ………………………………………………………………………………… (
7 分)
y=8.
高二数学试卷参考答案与评分细则
第 1 页(共 5 页)
^
∴x=6 时,
9,
y=59.
∴ 预测 2024 年暑假的业务量约为 59.
9 十万元 .………………………………………………… (
55×45×50×50
11
2
∴ 根据小概率值α=0.
武汉中学高二下学期数学总复习试题(6)
武汉中学高二下学期数学总复习试题（6）武汉中学高二下学期数学总复习试题(6)武汉中学柏任俊一.选择题:1.已知棱长为的正四面体有内切球,经过该棱锥的中截面为,则到平面的距离为( )A．B．C．D．2.如图所示是一个的5_4_4的长方体,上面有2_1_4.2_1_5. 3_1_4穿透的三个洞,那么剩下部分的体积是( )A．50 B．54 C．56 D．583.已知线段AD//平面,且与平面的距离等于4,点B是平面内动点,且满足AB=5,AD=10,则B.D两点之间的距离( )A. 有最大值,无最小值B. 有最小值,无最大值C. 有最大值,最小值D. 有最大值,最小值4.(_ -1)5 +5(_ -1)4 +10(_ -1)3 +10(_ -1)2 +5(_ -1)等于( )A．B．C．D．5.使得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn＜_不成立的最小的正整数n的值为( )A.11B.10C.9D.86.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰好比赛一场,但有3名选手各自比赛了2场就退了下来,这样,全部比赛只进行了50场,那么上述3名选手之间比赛的场数是 ( )A．0 B．1 C．2D．37.已知直线(不全为)与圆有公共点,且公共点的横.纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )A.66条B.72条C.74条D.78条8.要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组,如果按性别分层随机抽样,试问组成课外兴趣小组的概率是( )A． B．C．D．9.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )A． B．C．D．10.设函数f(_)在定义域内可导,y= f(_)的图象如右图所示,则导函数y= f′(_)的图象可能为( )二.填空题:11.在正方体中,过对角线的一个平面交于,交于F,则:①四边形一定是平行四边形;②四边形有可能是正方形;③四边形在底面内的投影一定正方形;④四边形有可能垂直于平面.以上结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)12.正四棱锥P－ABCD的底面ABCD在球O的大圆面上,顶点P在球面上,已知球的体积为,则正四棱锥P－ABCD的体积的最大值为.13.已知的展开式中,所有项的系数之和等于81,那么这个展开式中的系数是.14.从装有个球(其中个白球,1个黑球)的口袋中取出个球,共有种取法.在这种取法中,可以分成两类:一类是取出的个球全部为白球,共有,即有等式:成立.试根据上述思想化简下列式子: ..15.有一组数据:的算术平均值为10,若去掉其中最大的一个,余下数据的算术平均值为9;若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均值为11,第一个数关于的表达式是__________,第个数关于的表达式是___________.16.设函数f(_)=k+3(k-1)+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是 .三.解答题:17.在三棱柱中,侧面底面,且.(1)求证:平面平面;(2)求异面直线与所成的角.18.如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1 中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成600的角, AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点.E是线段BC1上一点,且BE=BC1 ．(１)求证: GE∥侧面AA1B1B ;(２)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．19. 甲.乙.丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲.丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.(Ⅰ)分别求甲.乙.丙三台机床各自加工零件是一等品的概率;(Ⅱ)从甲.乙.丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.20.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家.数学教育家．他的数学著作颇多,他编著的数学书共五种二十一卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关．杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律．古今中外,许多数学家如贾宪.朱世杰.帕斯卡.华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作．下面是一个11阶的杨辉三角:试回答:(其中第(1)_(4)小题只须直接给出最后的结果,无须求解过程．)(1)记第i(i∈N_)行中从左到右的第j(j∈N_)个数为,则数列{}的通项公式为;n阶杨辉三角中共有个数．(2)第k行各数的和是．(3)n阶杨辉三角的所有数的和是．(4)第p(p∈N_,且p≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p 一定为．A．奇数 B．质数C．非偶数 D．合数(5)在第3斜列中,前5个数依次为1.3.6.10.15;第4斜列中,第5个数为35．显然,1+3+6+10+15=35．事实上,一般地有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m.k(m.k∈N_)的数学公式表示上述结论并证明其正确性．数学公式为:．21.设函数(a.b.c.d∈R)图象关于原点对称,且_=1时,取极小值(1)求a.b.c.d的值;(2)当时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论;(3)若时,求证:.参考答案:CCDBC BBABD3.〖解〗V＝80－(8＋10＋12)＋(2＋3＋2)－1＝56,选C.7.提示:先考虑时,圆上横.纵坐标均为整数的点有..,依圆的对称性知,圆上共有个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条,所以满足题意的直线共有条,故选B.11.【答案】①③④;12.【答案】16 / 3;13.【答案】32;14.【答案】;根据题中的信息,可以把左边的式子归纳为从个球(n个白球,k个黑球)中取出m个球,可分为:没有黑球,一个黑球,……,k个黑球等类,故有种取法.15.【答案】;.16.【答案】.17.解法一(1)平面平面,,平面在中,为菱形.平面.又平面平面平面.(2)延长到,使,连为平行四边形.为异面直线与所成的角.设平面在菱形,又从而在中,异面直线与所成的角的大小为.解法二建立如图所示的空间直角坐标系.设则,则,(1),平面.又平面,平面平面.(2)..异面直线与所成的角为.18.解:(1)延长B1E交BC于F,∵ΔB1EC∽ΔFEB,BE＝ＥＣ1∴ＢＦ＝Ｂ１Ｃ１＝ＢＣ,从而Ｆ为ＢＣ的中点．∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心,∴Ａ.Ｇ.Ｆ三点共线,且＝＝,∴GE∥AB1,又GE侧面AA1B1B,∴GE∥侧面AA1B1B.(２)在侧面AA1B1B内,过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ,垂足为Ｈ,∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,∴B1Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角, AA1= 2,∴∠B1ＢＨ＝６００,ＢＨ＝１,B1Ｈ＝．在底面ABC内,过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ,垂足为Ｔ,连B1Ｔ．由三垂线定理有B1Ｔ⊥ＡＦ,又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ,∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角．∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３,∠ＨＡＴ＝３００, ∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝, 在ＲｔΔB1ＨＴ中,ｔａｎ∠B1ＴＨ＝＝,从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan.19.20.解:(1);;(2)2k;(3);(4)B．(5)．证明．21.解(1)∵函数图象关于原点对称,∴对任意实数,,即恒成立,时,取极小值,解得(2)当时,图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点.,使得过此两点处的切线互相垂直, 则由知两点处的切线斜率分别为,且( _).,此与(_)相矛盾,故假设不成立.证明(3),或,上是减函数,且∴在[－1,1]上,时,.。
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武汉中学高二下学期数学总复习试题(8)一．选择题（每题5分，共50分）1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球2．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设1123AC xAB yBC zCC =++，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．1B ．23C ．56D ．1163.(1－3x ＋2y)n展开式中不含y 的项的系数和为( )A 、2nB 、－2nC 、(－2)nD 、14.在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA=32，则此正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是（ ）A. 12πB. 32πC. 36πD. 485．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）（A ） 1－k p （B ） ()k n kp p --1（C ） 1－()kp -1（D ） ()k n kkn p p C --16．下列命题中（1）若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面；（2）在空间，两条直线没有公共点是这两条直线平行的充分不必要条件； （3）若直线l 与平面α、β满足条件：l α⊄且,l βαβ⊥⊥，则//l α； （4）底面为矩形，且有两个侧面是矩形的平行六面体是长方体。
其中真命题的个数为（ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 47．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成6名课外兴趣味小组，如果按性别分层随机抽样，试问组成课外兴趣小组的概率是 （ ）A ．61525410C C CB ．61535310C C C C ．615615A CD ．61525410A A C 8．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1）， b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°9．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ） Ａ．10 Ｂ．48 Ｃ．60 Ｄ．8010．甲、乙两地都在北纬45的纬线上，甲地在东经690，乙地在西经210，则甲、乙两地在纬度圈上的劣弧长与它们在地球表面的球面距离之比为( ) (A) 32 ：4 (B)42：3(C) 3：2 (D) 2：3二．填空题（每题5分，共30分）11．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取 名．12．半径为10的球面上有A 、B 、C 三点， AB = 6， BC =8 ， CA =10 ，则球心O 到平面ABC 的距离是________． 13．n xx )23(-展开式中第9项为常数，则n 的值为 ．14．已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为 . (参考数据：0.996100≈0.6698，0.997100≈0.7405，0.998100≈0.8186)15．如图，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°且PA ＝AB ＝BC ＝a ， 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．16．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β．其中正确的命题序号是 ．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)答题卷一、选择题二填空题11._____12._____13._____14._____15._____16._____三．解答题17．（本小题满分12分）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？18．（本小题满分14分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α (0°＜α＜90°)，点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． (1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)若AB 1⊥BC 1，D 为BC 的中点，求α ；(3)若α = arccos 13 ，且AC=BC=AA 1时，求二面角C 1—AB —C 的大小．C 1ABCDA 1B 1一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．21．（本题共16分）已知四棱锥P－ABCD⊥底面ABCD, ∆ABC和∆ACD都是边长为1的等边三角形,点E分侧棱PA所成的比PEEAλ=．(1)当λ为何值时,能使平面BDE⊥平面ABCD?并给出证明；(2)当平面BDE⊥平面ABCD时,求P点到平面BDE的距离；(3)当λ=1时,求二面角A－BE－D的大小．参考答案PDC BEA一．1-5 CDCCD 6-10 AABDA二．11．100 12. 13.12 14.0.2595 15. 3 16.2,4三．17．解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85． (1))()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)] =(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85) =0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．(2)P(C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅) = P()()()A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．18．解：⑴由题设知2245,45,10.n n n C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r r rrr r r T C x x C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为 ⑵系数最大的项为中间项，即55302551212610252.T C xx -==19．解 (1)∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，∴ B 1D ⊥AC ， 又AC ⊥BC ， BC ∩B 1D=D ．∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．(2) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知， B 1C ⊥BC 1．∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形，此时，BC=BB 1．又∵ B 1D ⊥BC ，D 为BC 中点，B 1C= B 1B ，∴△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°．(3)过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ．过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ．设AC=BC=AA 1=a ，在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos3，C 1E=322a ． 在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°． 解法二：(1)同解法一(2)要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →|， ∴11()0AC CB BC +=， ||||11B BC ⋅=0，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点．(3)以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(0，-34a ，322a)， 平面ABC 的法向量n 1=(0，0，1)，设平面ABC 1的法向量n 2=(x ，y ，z)． 由⋅n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43y ＋2 2 3 z=0 . ∴n 2=(22，22，1)．cos ＜n 1， n 2＞=112 +12+1 = 22 ，故n 1 ， n 2所成的角为45°，即所求的二面角为4520．解析：（1）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A ，摸出两个球共有方法1025=C 种，其中，两球一白一黑有61312=⋅C C 种． ∴ 53)(251312==C C C A P ．（2）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B ，摸出一球得白球的概率为4.052=，摸出一球得黑球的概率为6.053= P B法二：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”． ∴ 2512552332)(=⨯⨯+⨯=B P ∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为0.48．21．解：（1）依题设，底面ABCD 为菱形，设AC BD ＝O ，连结OE ，则OE ⊥BD ．若平面BDE ⊥平面ABCD ，则OE ⊥平面ABCD ， ∵CP ⊥平面ABCD ，∴OE ‖CP ． ∵O 为AC 中点，∴E 为PA 中点，且1PEEAλ==． （2）由（1）知，OE ⊥平面ABCD ，CP ‖OE ，CP ‖平面BDE ， 故P 到平面BDE 的距离即为C 到平面BDE 的距离，易证CO ⊥ 平面BDE ，∴CO 即为C 到平面BDE 的距离， 而CO ＝12AC ＝12，∴点P 到平面BDE 的距离为12． 说明 亦可化为求点A 到平面BDE 的距离．（3）1λ=时，即有平面BDE ⊥平面ABCD ，交线为BD ，∵AO ⊥BD ，AO ⊂平面ABCD ，∴AO ⊥平面BDE ，过O作OQ ⊥BE 于Q ，连结QA ，则由三垂线定理知QA ⊥BE ， ∴∠AQO 就是二面角A －BE －D 的平面角．在Rt ΔBOE 中，∵OE ＝12PC ＝12，OB ，∴BE 1，故由OQ BE OB OE ⋅=⋅得，OQ =在Rt ΔAOQ 中，tan OA AQO OQ ∠==A －BE －D 的大小为。