线性代数2011A
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
2011线性代数试卷A标准答案和评分标准
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（B ）成立(A) AB = AC ，A ≠ 0，则B = C (B) AB = AC ，A 可逆，则B = C (C) A 可逆，则AB = BA (D) AB = 0，则有A = 0，或B = 02. 设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2= I ，其中I 为单位阵（下同），则必有（C ）(A) A 的行列式等于1 (B) A 的逆矩阵等于I (C) A 的秩等于n (D) A 的特征值均为13．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（A ）(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 (B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 (C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 (D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4．设n 元齐次线性方程组x 0A =的系数矩阵A 的秩为r ，则x 0A =有非零解的充分必要条件是（B ）5. 设A 为n 阶方阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵。
则：*A 等于 (C )(A) n r =(B) n r <(C) n r >(D) n r ≥(A) A(B)A1 (C) 1-n A(D) nA二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 已知行列式011103212=-a ，则数a =3.7. 设向量组1(,1,1)T k α=,2(1,2,1)T α=-, 3(1,1,2)T α=-线性相关，则数k =2-. 8. 设(1,1,5,3)T α=--, (9,2,3,5)T β=---,则α与β的距离为9，内积为37. 9. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …, n ，则使tI A -为正定矩阵的数t 取值范围是t n >．10. 设矩阵A 和B 相似，其中A = 20022311x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B = 10002000y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则x =0，y =2-.三、计算题11.(满分8分) 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T .解答：C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 T A 计算正确2分，T 4BA 正确分， C BA +T 2分12.（满分8分）计算行列式 D = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1 2 … n 1 x 2 … n 1 2 x … n … … … …1 2 3 … x 的值。
2011线性代数(答案)
线性代数复习参考2011A1、 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111111111，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--154211321，求3AB-2A 及A T B 。
解:111123111323111124211111105111110A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≠ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .B 中的1-1应该是-1吧 如果是1-1=0 则答案如下;1111231113231110242111111051111A B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1581111132231562111117201901111292⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,111123158111024156111051190TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3121，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101，问： （1） AB=BA 吗？ （2）（A+B ）2=A 2+2AB+B 2吗？ （3）（A+B ）(A-B)=A 2-B 2吗？ (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA 因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 3、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101x，求A 2，A 3，……，A k 。
华中科技大学2011-2012学年期末线性代数课程考试A卷
∗ 的特征值为 3
1
−1
1
−2
−2
取3 ，4 位自由变量得X = 3 [ ] + 4 [ ] + [ 1 ]
1
0
0
0
1
0
（3）当3×3 的特征值为 3 时，
∗ 的特征值为 2。
∴通解为X = 1 [1, −2,1,0] + 2 [1, −2,0,1] + [−1,1,0,0] ,
（3）方程组由无穷多解时，
∴ a = 1 且 b = −1
3
⋮ 0
⋮ 1]
⋮ 1
⋮ −1
华中科技大学 2011-2012 学年第二学期《线性代数》课程考试试卷 A 卷
此时{
1 + 2 + 3 + 4 = 0
= −1 + 3 + 4
⇒{ 1
2 + 23 + 24 = 1
2 = 1 − 23 − 24
1
[− − ] = [ 0 −1 −1] → [0
0 −1 −1
0
0 0
1 1]，
0 0
1
0
1
0 −
4
0
⋯
→ 0
⋯ −1
1
2
1
1
0
2
[
0
得3 = −1对应的线性无关的特征向量3 = [0,1, −1] 。因此可取
1 0
P = [1 , 2 , 3 ] = [0 1
0 1
0
1 ],则−1 =
（
）1.若 n 阶方阵 A 的行向量组与列向量组不等价，则|A|＝0。
1 0 1
2.设 A=[0 2 0]，对正整数n ≥ 2,则 − 2−1 =_______。
线性代数1-8试题2011.10.11
《线性代数》试题1一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每题只有一个正确答案，错选、多选或未选均不给分。
）1. 若1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111211132122212331323133232323a a a a a a a a a a a a ++=+【 】 A ．2 B. 4 C. 8 D.16 2．设A 是n 阶方阵，且3A =，则13A =【 】 A ．113n -B ．13n -C ． 3nD ．13．设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭且，则A 的伴随矩阵A *=【 】 A ．d b ca ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．设给向量组 321,,:αααA ； :B 4321,,,αααα ， 则下列命题中正确的是【 】A.若A 线性无关，则B 线性无关；B. 若B 线性无关，则A 线性无关；C.若A 线性无关，则B 线性相关；D. 若B 线性相关，则A 线性相关。
5．设21,ηη是非齐次线性方程组β=Ax 的解，则下列向量中齐次线性方程组0=Ax 的解的是【 】.A ． 121233ηη+ B ．12ηη+ C ．12ηη-D ． 122ηη-6．设λ是可逆阵A 的一个特征值，则23A -必有一个特征值是【 】A ．23λB ．32λC ．13λD ．23λ二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.四阶行列式|a |D ij =中,含有因子1221a a 且带负号的项为 2．若方阵A 满足2230A A E +-=，则=-1A .3．设三阶方阵A 等价于122111231-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭，则()R A =____ _4．设101n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则nA = 5．若2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与00xB y ⎛⎫= ⎪⎝⎭相似，则x = ，y = 。
线性代数A_复习题2011-1
4．0000000004321a a a a =（ ）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（ ） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（ ）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D)B A OBA O ⋅=9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（ ） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（ ）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A 2=（ ）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（ ） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16． 如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（ ） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 119．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（ ） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（ ）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（ ）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（ ）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（ ）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O（C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ） （A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（ ） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+BA等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（ ）(A ) 1-*=n AA (B) A A =* (C) nA A =* (D) 1-*=A A33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（ ） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ （C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的 (D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A kn 1(C) *A k n (D) *-A k139．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（ ） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 0 41．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（ ） （A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆 （C ）A ，B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（ ） （A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O（C ）A+B=O （D ）O B A =+ 44．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B46．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（ ） （A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（ ）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a48．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1302α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7033α与向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5122β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333x β等秩，则x=（ ）(A) －1 (B) －2 (C) 3 (D ) 1 49．设有向量组()4,2,1,11-=α，()2,1,3,02=α，()14,7,0,33=α，()0,2,2,14-=α，()10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组是( )(A) ;321,,ααα (B ) ;421,,ααα (C) ;521,,ααα (D) ;5421,,,αααα 50．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组4312ααα++，42αα-，43αα+，2αα+，3212ααα++的秩是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 51．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，AB=0则（ ）(A) B=0 (B ) 00==A B 或 (C) BA=0 (D) ()222B A B A +=-52．A ，B 为n 阶方阵，则（ ） (A) A 或B 可逆，必有AB 可逆 (B ) A 或B 不可逆，必有AB 不可逆 (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆(D) A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆53．A 为n 阶方阵，则下列矩阵中是对称矩阵的有（ ） (A)A A '- (B)()阶矩阵为任意n C C CA ' (C )A A ' (D)A A '+254．设A 为三阶方阵，且2=A ，则*-+A A 14=（ ）(A) 214(B) 12 (C)6 (D ) 10855．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 56．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 57．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 58．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 59．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示60．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量 (C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 61．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关62．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中 (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 63．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中 (A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合 64．设矩阵A=),,,,(54321ααααα经过初等行变换后变为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311012110231111A ，则A 的秩为3，i α为A 的第i 列向量, 且( )成立 (A ) s αααα++=214 (B) s αααα++=21423 (C) s αααα++-=2142 (D)列向量组线性无关 65．设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为η1 ，η2 ，η3 ，η4则()也是该齐次线性方程组的基础解系 （A ）1443,3221,,ηηηηηηηη----（B ）1443,3221,,ηηηηηηηη++++（C ）4321321,211,,ηηηηηηηηηη++++++（D ）1443,3221,,ηηηηηηηη--++66．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关67．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 68．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) 133221,,αααααα-++(B) 3213221,,ααααααα++++(C ) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++69．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关70．设m ααα,,,21 均为n 维向量, 那么下列结论正确的是( ) (A) 若02211=+++m m k k k ααα , 则m ααα,,,21 线性相关(B )若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211≠+++m m k k k ααα ,则m ααα,,,21 线性无关(C)若m ααα,,,21 线性相关则对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211=+++m m k k k ααα(D) 若000021=+++m ααα , 则m ααα,,,21 线性无关 71．已知向量组4321,,,αααα线性无关则向量组 (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关 (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关 (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关72．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数(C )某些特定的不全为零的常数(D)唯一一组不全为零的常数 73．下列命题正确的是( )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关74．如果向量b 可由向量组s ααα,,,21 线性表示, 则下列结论中哪个正确 (A )存在一组数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立(B)存在一组不全为零的数使s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (C)存在一组全为零的数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (D)对b 的线性表达式唯一75．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关 76．设向量组Ⅰ: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3121111a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3222122a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3323133a a a α 向量组Ⅱ: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=413121111a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=423222122a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=433323133a aa a β, 则( ) (A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关77．设向量组Ⅰ: ()1111,,c b a =α,()2222,,c b a =α,()3333,,c b a =α向量组Ⅱ:()11111,,,d c b a =β,()22222,,,d c b a =β,()33333,,,d c b a =β, 则( )(A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 78．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则 (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组79．设t ααα,,,21 和s βββ,,,21 为两个n 维向量组, 且秩(t ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 )=r, 则 (A)两向量组等价, 也即可相互线性表出 (B)秩(t ααα,,,21 ,s βββ,,,21 )=r(C )当t ααα,,,21 被s βββ,,,21 线性表出时,两向量组等价 (D)当s=t 时,两向量组等价80．设向量s αααα+++= 21(s>1), 而s s ααβααβααβ-=-=-=,,,221 则( )(A )秩(s ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 ) (B)秩(s ααα,,,21 )>秩(s βββ,,,21 ) (C)秩(s ααα,,,21 )<秩(s βββ,,,21 )(D)不能确定秩(s ααα,,,21 )与秩(s βββ,,,21 )间的关系 81．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A) s ααα,,,21 均为非零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例(C ) s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示 (D) s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关 82．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关 (C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 83．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 84．设s ααα,,,21 和t βββ,,,21 均为nR 中向量，且秩（s ααα,,,21 ）=秩（t βββ,,,21 ）=r ，则（ ） (A)两个向量组相等价(B)秩(s ααα,,,21 ,t βββ,,,21 )=r(C )当s ααα,,,21 能被t βββ,,,21 线性表示时两向量组等价 (D)当s=t 时两向量组等价 85．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,86．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ ）时321,,ααα线性相关。
2011秋季线性代数A卷
2011年秋季学期《线性代数I 》期末考试试卷（A 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=，若()R A r =，则（）（A ） 当r m =时，线性方程组Ax b =有解；（B ） 当r n =时，线性方程组Ax b =有唯一解；（C ） 当m n =时，线性方程组Ax b =有唯一解； （D ） 当r n <时，线性方程组Ax b =有无穷多解． 2．设A 和B 都是n 阶方阵，下面结论正确的是（ ）（A ） 若A 和B 均可逆，则A B +可逆； (B) 若A 和B 均可逆，则AB 可逆； （C ） 若A B +可逆，则A B -也可逆； （D ）若A B +可逆，则A 和B 均可逆． 3．设矩阵A m n ⨯的秩为()R A m n =<，m E 为m 阶单位矩阵，下列结论正确的是（ ） （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关；（B ）A 的任意一个m 阶子式不等于零；（C ）若矩阵B 满足0BA =,则0B =； （D ）A 通过行初等变换, 必可化为(,0)m E 的形式． 4．若12βαα，，线性相关，且23βαα，，线性无关，则（ ） （A ）123ααα，，线性相关； （B ）123ααα，，线性无关；（C ）1α可用23βαα，，线性表示； （D ）β可用12αα，线性表示．5．设123,,ααα是线性方程组0Ax =的基础解系，则该方程组的基础系还可以是（ ） （A ）112233k k k ααα++； （B ）123,,ααα的一个等秩向量组； （C ）122331,αααααα---,； （D ）112123,+αααααα++,． 6．n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）（A ）任意行向量都是非零向量； （B ）任意列向量都是非零向量；（C ）Ax b =有解； （D ）当12n x x x x =≠（,,,）0时，0Ax ≠.7. 设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =，其中*A 和TA 分别是A 的伴随矩阵和转置矩阵.若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a =（ ）（A ）3； （B ； （C ）13； （D二、填空题（每小题2分，共10分）1. 设12,,s ααα,是线性方程组Ax b =的解，若1122+++s s C C C ααα也是Ax b =的一个解，则12+++s C C C = .2. 设2)(E B A +=，则当且仅当=2B E 时，A A =2. 3.设矩阵2112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，E 是二阶单位阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 4.设A 是33⨯矩阵，2||=A ，把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ，其中j A )3,2,1(=j 是A 的第j 行，则行列式=-121332A A A A .5. 已知矩阵20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则x = ，y = .三、判断题，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共5分）1．若线性方程组0m n A x ⨯=存在解，则Ax b =存在唯一解. （ ）三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教师…………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………2. A 和TA 具有相同的特征值，但具有不同的特征向量. （ ） 3. 设A 和B 是同阶可逆矩阵，则存在可逆矩阵P 和Q ，使得PAQ B =. （ ） 4. n 方阵A 具有n 个不同特征值是A 可对角化的必要而非充分条件. （ ） 5. 设n 方阵A 的行列式等于零，则零一定是A 的特征值. （ ） 四、（共12分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=120130005A ，求1-A ，2A 和||6A .五、（共12分）已知下列向量组112=13α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，24-1=-5-6α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，30-3=-4-7α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，421=23α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（1） 求出该向量组的秩；（5分）（2） 求出该向量组的一个最大无关组；(4分) （3） 将其余向量用此最大无关组线性表示. (3分)六、（本题15分）求下列非齐次线性方程组的通解及其对应的齐次线性方程组的基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+-=-+=-+-62421351134543214214321x x x x x x x x x x x .七、（共20分）已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=，2)(=f 秩.（1） 求c 的取值；(5分)（2） 求出二次型矩阵A 的特征值和特征向量；（10分） （3） 求正交变换，使得该二次型变为标准形.（5分）八、（共5分）证明：设A 是n 阶方阵，若存在正整数k ，使得线性方程组0=x A k 有解向量α，且01≠-αk A .证明：向量组ααα1,,,-k A A 是线性无关的.。
线性代数A试卷答案(无框版)
−1
B、 A + B
C、 ( A + B ) − 1
D、 A( A + B) B
−1
)5 设 α1 ,α 2 ,… ,α m 是 n 维向量组, 下列命题中正确的是( B )
A、如 α m 不能由 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性表示 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性相关; B、如 α1 ,… ,α m 线性相关 , α m 不能由 α 1 ,… , α m −1 线性表示 , 则 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性相关 ; C、如 α 1 ,α 2 ,… ,α m 中, 任意 m − 1 个向量都线性无关 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性无关; D、零向量不能由 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性表示 .
得分
评阅人
三、计算题（每题 9 分, 共 45 分. ）
⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ x ⋯ a2 0 0 ⋮ 的值. −1 a1 + x
10
x −1 0 0 x −1 计算 n 阶行列式 D = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 an an−1 an−2
解：采用按最后一行展开计算，可得结果 D = a n ( − 1) n + 1 ( − 1) n − 1 + a n − 1 ( − 1) n + 2 ( − 1) n − 2 x + ⋯
四、证明题（每题 10 分, 共 20 分）
n-1
15
设 A 为 n(n ≥ 2) 阶方阵, 证明 : A* = A
n
.
证：因为 AA* = A E. ，所以 A A* = A . 分两种情况证明
(1) A ≠ 0. 由上式可知 A* = A
2011-2012线代A卷答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 2-2. 222061⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. -34. 12-5. 2b 二. 选择题（每小题3分，共15分）1. （B ）2. （B ）3. （D ）4. （A ）5. （B ）三. 计算题 （本题60分）1．解：432114321433214)4(2=f ………………………….…. (2分) = =43211432143101010102432114321431111102 ………………………….…. (6分) =440040121103211211211032111211213000110--=---=---2…….….……. (8分) 160= ………………….….……. (10分)2 解：（1）301100100121( )110 010010 012014001001001r A E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦….……. (4分)故1121012001A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………………….….…….…（5分） （2）因为A 可逆，由AX B =，得1X A B -=121140122500113--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭……………（7分）4901113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭………………….….…….…（10分）3. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα=11304014211032271),,,(4321A …….….….…….………（3分）~r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000010011302271 .….…….……….….…….………（6分） 故 向量组的秩为3 .….…….………（8分）321,,ααα为向量组的一个最大无关组。
.….…….………（10分）4. 解：对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换101510151015210301270127111201270000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………….…（5分） 由于()24R A =<，基础解系含2个自由未知量 .…（7分）原方程组等价于134237527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩，取34,x x 为自由未知量。
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
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诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力，
考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
上海财经大学成人高等教育考试卷（A ）闭卷
课程名称： 线性代数
2010—2011学年第二学期
姓名 学号 专业 班级
一、 单选题(每小题2分，共计10分) 1. 设,A B 均为方阵，且A 为可逆阵，0AB =, 则以下结论中不正确的是 ( ) . (1) 0B = (2) 0B = (3) 0B ≠ (4) 0B ≠ 2. 设ABCD E =,则以下结论正确的是 ( ). (1) CDAB E = (2) ABDC E = (3) BACD E = (4) DCAB E = 3. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( ). (1) 105021513⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (2) 101010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3) 001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 100022023⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
4. 如果向量组123,,ααα的秩等于3，则下列结论不正确的是( ) . (1) 123,,ααα线性无关 (2) 123,,ααα线性相关 (3) 12,αα 线性无关 (4) 12213,,ααααα--线性相关
5. 下列矩阵中是分块矩阵0A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 (
). (1) 1110A B C ---⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2) 1110C B A ---⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3) 11110A A BC C ----⎛⎫- ⎪⎝⎭ (4) 11110A A BC
C ----⎛⎫ ⎪-⎝⎭
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装
订
线
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二、 填选题(每小题3分，共计30分)
6. 行列式 2
31234_____.
322
=
7. 设5阶行列式的第三列元素为1，2，3，4，5，其对应的余子式为1，2，3，4,5，则该行列式的值等于______.
8. 设A 是3阶方阵，T A 是A 的转置矩阵且 3,A =则 (2)____.T A -=
9. 设1221,3453A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 则 ______AB B -=，
10．设矩阵 2300210000300005A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -=__________. 11. 设矩阵 123221343A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则*AA =__________.（*A 是A 的伴随矩阵）. 12. 设矩阵 123024003A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*2A =__________.
13. 设矩阵 1
2121121211
2121,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，且AP B =, 则初等阵P _____________. 14. 矩阵124132142A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则T A A = _______.
15. 设
1234(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)αααα====，
则 1234,,,αααα的秩等于 ____.
三、 计算题（共计50分)
16. 求行列式的值: 2222
22222222
2222x x y y
++++ (本题满分10分)
17. (1) 用初等行变换法求矩阵121112124A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
的逆矩阵1
A - ；
(2) 设 A X B = 其中 1
12233B -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
, 求 X （本题满分15分）
18. 设向量组1234(1,2,1,1),(1,1,2,1),(1,5,2,7),(3,8,1,)t αααα==-=-= 问t 为何值时，4α可由123,,ααα 线性表出；且写出表达式 。
（本题满分15分）
19. 解下列矩阵方程：AX X = ， 其中 222223305A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （本题满分10分）
四、 证明题（共计10分) 20．设矩阵 ,A B 为n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是A 与B 可交换。
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装
订 线………………………………………………………
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