北京一零一中学2015-2016学年高二上学期期末数学(理)试题(无答案)
2015-2016年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2016北京101中高二(上)期末数学(理科)
2016北京101中高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P32．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s23．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出i的值是（）A．27 B．63 C．15 D．314．（5分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人．则这三个社团共有（）A．130人B．140人C．150人D．160人5．（5分）下列结论中正确的个数是（）①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②若¬p是q的必要条件，则p是¬q的充分条件；③命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；④∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）若区间（0，1）上任取一实数b，则方程x2+x+b=0有实根的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C．2 D．48．（5分）已知点M（﹣3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y2=2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|﹣|QF|的最小值是（）A．B．3 C．D．2二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是．10．（5分）若直线x﹣my+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则m的值为．11．（5分）在某省举办的运动会期间，某志愿者小组由12名大学生组成，其中男生8名，女生4名，从中抽取3名学生组成礼宾接待小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为．12．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．13．（5分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若：=2：1则直线PF 1的斜率为．14．（5分）已知直线（a，b为非零实数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．（12分）某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．16．（12分）如图，已知O（0，0），E（﹣，0），F（，0），圆F：（x﹣）2+y2=5．动点P满足|PE|+|PF|=4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．17．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．（13分）已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k AM和k AN，求证：k AM+k AN为定值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．【解答】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．2．【解答】由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．2故选：D．3．【解答】该程序框图为循环结构经第一次循环得到s=1，i=3；第二次循环得到s=2，i=7；经第三次循环得到s=5，i=15经第四次循环得到s=26，i=31；经第五次循环得到s=262+1，i=63，此时满足判断框中的条件，执行输出63故选B4．【解答】（I）围棋社共有60人，由×30=150，可知三个社团一共有150人，故选：C．5．【解答】①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确，故①正确；②若￢p是q的必要条件，则￢q是p的必要条件，即p是￢q的充分条件，正确，故②正确；③命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是若a＜b，则am2＜bm2，当m=0时，命题不成立，即逆命题为假命题；故③错误，④∀x∈R，由x2+2x＞4x﹣3得x2﹣2x+3＞0，即（x﹣1）2+2＞0，即④∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立正确，故④正确，故正确的是①②④，故选：C6．【解答】由方程x2+x+b=0有实根可得△=1﹣4b≥0，解得b≤，∴所求概率P==故选：A7．【解答】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S==6，高h=2，故棱锥的体积V==4，故选：D．8．【解答】由抛物线定义知|QF|=点Q到准线的距离，设点Q到准线的垂线交准线与H，即|MQ|﹣|QF|=|MQ|﹣|QH|，当QM和QH共线时|MQ|﹣|QH|的值最小由抛物线方程知抛物线准线方程为x=﹣，点M到准线的距离为3﹣=，故选C．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．【解答】由已知可得该同学四次考试的成绩分别为：114，126，128，132，平均成绩为：=（114+126+128+132）=125，故该同学数学成绩的方差s2=[（114﹣125）2+（126﹣125）2+（128﹣125）2+（132﹣125）2]=45，故答案为：45．10．【解答】由x2+y2﹣2x=0，得圆心坐标为（1，0），半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得m=±．故答案为：±11．【解答】从12名学生中随机抽取3名学生的选法数为C123=220，若按性别进行分层抽样，则应抽取男生2名，女生1名，选法数为C82C41=112，因此这3名学生恰好是按性别分层抽样组成的概率为=．故答案为：．12．【解答】由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）∵双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，∴c=1∵双曲线的离心率为，∴∴∴∴∴双曲线的渐近线方程为故答案为：y=±2x13．【解答】设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的直线方程为y=k（x+c），即kx﹣y+kc=0∵：=2：1∴A到直线PF1的距离是F2到直线PF1的2倍∴=2×∴|﹣b+kc|=4|kc|∵离心率为，∴∴b=c∴∴k=﹣或k=∵点P为第一象限内椭圆上的一点，∴k=故答案为14．【解答】x2+y2=100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），如图，共12个点，直线（a，b为非零实数），∴直线与x，y轴不平行，不经过原点，任意两点连线有C122条，与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，其中有两条既过原点又与x，y轴平行，∴共有C122+12﹣14﹣6+2=60．故答案为：60．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．【解答】（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．…（2分）（Ⅱ）平均分为：（分）．…（4分）（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15（人）；…（5分）[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3（人）；…（6分）因为用分层抽样的方法在8（0分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所以[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．…（8分）因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分）为”事件A，…（9分）则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种…（11分）所以恰有1人的分数不低于9（0分）的概率为．…（12分）16．【解答】（Ⅰ）∵|PE|+|PF|=4＞|EF|，∴根据椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．设P（x，y），则点P的轨迹方程为+y2=1．…（6分）（Ⅱ）证明：设圆P与圆F的另一个公共点为T，并设P（x0，y0），Q（x1，y1），T（x2，y2），则由题意知，圆P的方程为（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+y02．又Q为圆P与圆F的一个公共点，故所以（x0﹣）x1+y0 y1﹣1=0．同理（x0﹣）x2+y0 y2﹣1=0．因此直线QT的方程为（x0﹣）x+y0y﹣1=0．连接PF交QT于H，则PF⊥QT．设|QH|=d （d＞0），则在直角△QHF中|FH|=．又，故|FH|=．在直角△QHF中d=．所以点Q到直线PF的距离为1．…（15分）17．【解答】（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．18．【解答】（Ⅰ）由题意得，解得，．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣3），由得（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k4﹣4（1+2k2）（18k2﹣6）=24（1﹣k2）＞0，解得﹣1＜k＜1．设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）．所以=（1+k2）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]==．因为﹣1＜k＜1，所以．故的取值范围为（2，3]．（Ⅲ）由（Ⅱ）得k AM+k AN=====．所以k AM+k AN为定值﹣2．。
2015海淀区高二(上)期末数学(理科)
2015海淀区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为A．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】对于A，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1，1，0）=x（0，1，1）+y（1，0，1）=（y，x，x+y）；∴，此方程组无解，∴、、三向量不共面；同理，C、D中三向量也不共面；对于B，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1、1、0）=x（0、1、1）+y（1、0、﹣1）=（y、x、x﹣y）；∴，此方程组有唯一的解，∴、、三向量共面．故选：B．6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是[，1]．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．14．【解答】设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．17．【解答】（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．Word下载地址第11页共11。
北京人大附中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)含解析
2015-2016 学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8 小题，每题 4 分，共 32 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上. ）1．已知会合A={1 ， a} ， B={1， 2，3} ，则“ a=3”是“A ? B“的（）A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件2．已知命题p：? x∈ R，2x＞ 0，则（）A．￢ p： ? x?R，2x≤ 0 B．￢ p： ? x∈ R， 2x≤ 0C．￢ p： ? x∈ R， 2x＜ 0D．￢p：? x?R，2x＞ 03．如图，在三棱锥O﹣ ABC中，点 D 是棱 AC的中点，若= ，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原命题：“若a2+b2=0，则 a、b 全为 0”，那么以下命题形式正确的选项是（）A．抗命题：若a、 b 全为 0，则 a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠ 0，则 a、b 全不为 0C．逆否命题：若a、 b 全不为 0，则 a2+b2≠ 0D．否认：若a2+b2=0，则 a、b 全不为 05．双曲线﹣=1 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A． x±2y=0 B．2x ± y=0 C．x ± y=0D． x±y=06．已知点P 是双曲线﹣=1 上一点，若PF1⊥PF2，则△ PF1F2的面积为（）A．B．C．5D．107．已知 AB是经过抛物线y2=2px 的焦点的弦，若点A、 B 的横坐标分别为 1 和，则该抛物线的准线方程为（）A． x=1 B． x=﹣1C．x= D ． x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x， y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1， 1）的距离，记点P 的轨迹为曲线W，则以下命题中：①曲线 W对于原点对称；②曲线 W对于 x 轴对称；③曲线 W对于 y 轴对称；④曲线 W对于直线y=x 对称全部真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 . 请把结果填在答题纸中9．以y=± x 为渐近线且经过点（ 2，0）的双曲线方程为．. ）10．已知=（ 2，﹣ 1， 2）， =（﹣ 4， 2， x），且∥，则11．设 F1、F2是椭圆+=1 的两个焦点， P 是椭圆上一点，x=．若|PF 1| ﹣ |PF 2|=1 ，则 |PF 1|=，||PF 2|=．12．已知△ ABC的极点 A（1， 0， 0）， B（ 0，2， 0），C（ 0， 0，1）， CD是 AB 边上的高，则点D 的坐标为．13．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（ m﹣ 2） x+1=0 无实根．若p∨ q 为真，（ p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（ 0， 2），点B（ 0，﹣ 2），直线MA、 MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C（I ）曲线 C 的方程为；（II ）设QP，为曲线 C 上的两点，知足OP⊥OQ（ O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共 3 小题，共15．已知向量 =（ 2，﹣ 1，﹣ 2），（1）计算 2 ﹣3 和|2 ﹣3 | ；38 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤=（ 1， 1，﹣ 4）．. ）（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，∠ ACB=90°， AC=3，BC=CC1=4（1）求证： AB1⊥ C1 B（2）求直线 C1B 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线 C 的极点在座标原点O，焦点为F（ 1，0），经过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点．（1）求抛物线 C的标准方程；（2）若△ AOB的面积为 4，求 |AB|一、填空题（此题共 2 小题，每题10 分，共 20 分 . 请把结果填在答题纸上. ）18．已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的一个动点，过点 P 作⊙ A：（ x﹣ 3）2 +y2=1 的两条切线 PM、PN，切点为 M、 N（ I ）当 |PA|最小时，点P 的坐标为；（ II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四周体 ABCD中，若 E、 F、 H、 I 、 J、K 分别是棱 AB、 CD、AD、 BC、AC、 BD的中点，则EF、 HI、 JK 订交于一点 G，则点 G为四周体 ABCD的重心．设 A（0， 0， 2）， B（ 2，0，0），C（ 0， 3， 0）， D（2， 3， 2）．（ I ）重心 G的坐标为；（ II ）若△ BCD的重心为 M，则=．二、解答题（本大题共 2 小题，满分30 分 . 请把解答过程写在答题纸上. ）O，两焦点分别为F1（﹣， 0）、 F2（， 0），过20．已知椭圆C的中心在座标原点点 P（ 0， 2）的直线l 与椭圆 C 订交于A、 B 两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若原点 O对于直线 l 的对称点在椭圆 C上，求直线 l 的方程．21．如图（ 1），在△ ABC中， AC=BC=1，∠ ACB=90°， D是 AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（ 2），使得二面角B﹣ CD﹣ A 是直二面角．（1）若 D 是 AB边的中点，求二面角 C﹣ AB﹣D 的大小；（2）若 AD=2BD，求点 B 到平面 ACD的距离；（ 3）能否存在一点D，使得二面角C﹣ AB﹣ D 是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明原因．2015-2016 学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（本大题共8 小题，每题 4 分，共 32 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上. ）1．已知会合A={1 ， a} ， B={1， 2，3} ，则“ a=3”是“A ? B“的（）A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断；会合的包括关系判断及应用．【剖析】先有a=3 成立判断能否能推出A? B 成立，反之判断“A ? B”成立能否能推出a=3 成立；利用充要条件的题意获得结论．【解答】解：当a=3 时， A={1 ， 3} 所以 A? B，即 a=3 能推出 A? B；反之当 A? B 时，所以a=3 或 a=2，所以 A? B成立，推不出a=3故“ a=3”是“A ? B”的充足不用要条件应选 A．2．已知命题p：? x∈ R，2x＞ 0，则（）A．￢ p： ? x?R，2x≤ 0 B．￢ p： ? x∈ R， 2x≤ 0C．￢ p： ? x∈ R， 2x＜ 0D．￢p：? x?R，2x＞ 0【考点】命题的否认．【剖析】直接利用全称命题的否认是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否认是特称命题，所以，命题p： ? x∈ R， 2x＞0，则￢ p： ? x ∈R， 2x≤0．应选： B．3．如图，在三棱锥O﹣ ABC中，点 D 是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【剖析】利用向量的三角形法例，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点 D 是棱 AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．应选： C．4．给定原命题：“若a2+b2=0，则 a、b 全为 0”，那么以下命题形式正确的选项是（）A．抗命题：若a、 b 全为 0，则 a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠ 0，则 a、b 全不为 0C．逆否命题：若a、 b 全不为 0，则 a2+b2≠ 0D．否认：若a2+b2=0，则 a、b 全不为 0【考点】四种命题间的逆否关系．【剖析】依据四种命题之间的关系，分别写出原命题的抗命题、否命题、逆否命题，再写出原命题的否认命题即可得出结论．【解答】解：原命题：“若a2+b2=0，则 a、 b 全为 0”，所以抗命题是：“若 a、 b 全为 0，则 a2+b2=0”，选项 A 正确；否命题是：“若 a2+b2≠ 0，则 a、 b 不全为 0”，选项 B 错误；逆否命题是：“若 a、 b 不全为 0，则 a2+b2≠0”，选项 C错误；22否认命题是：“若 a +b =0，则 a、 b 不全为 0”，选项 D 错误．5．双曲线﹣=1 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A． x±2y=0 B．2x ± y=0 C．x ± y=0 D． x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【剖析】经过双曲线的离心率，求出a， b 的比值，而后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1 的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x ± y=0．应选： C6．已知点P 是双曲线﹣=1 上一点，若PF1⊥ PF2，则△ PF1F2的面积为（）A．B．C．5D．10【考点】双曲线的简单性质．【剖析】利用勾股定理，联合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得a=2 ， b=，c=3，∴ F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt △ PF1 F2中，由勾股定理得4c2=|PF 1| 2+|PF 2| 2=（|PF 1| ﹣ |PF 2| ）2+2?|PF 1| ?|PF 2|=4a 2+2?|PF 1| ?|PF 2| ，∴36=4× 4+2?|PF1 | ?|PF 2| ，∴ |PF1| ?|PF 2|=10 ，∴△ PF1 F2面积为?|PF 1| ?|PF2 |=5 ，应选： C．7．已知 AB是经过抛物线y2=2px 的焦点的弦，若点A、 B 的横坐标分别为 1 和，则该抛物线的准线方程为（）A． x=1 B． x=﹣1C．x=D． x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【剖析】求出A，B 的坐标，利用两点间的距离公式联合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴ |AB|==，∴=1++p，∴ p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．应选： D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x， y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1， 1）的距离，记点 P 的轨迹为曲线 W，则以下命题中：①曲线 W对于原点对称；②曲线 W对于 x 轴对称；③曲线 W对于 y 轴对称；④曲线 W对于直线y=x 对称全部真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】轨迹方程．【剖析】依据距离相等列出方程化简求出y 对于 x 的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|= ﹣ 2x﹣ 2y+2，即 |xy|+x+y=1，①若 xy＞ 0，则 xy+x+y+1=2 ，即（ x+1）（ y+1） =2，∴ y=，函数为以（﹣1，﹣ 1）为中心的双曲线的一支，②若 xy＜ 0，则 xy ﹣ x﹣ y+1=0，即（ x﹣ 1）（y﹣ 1） =0，∴x=1（y＜ 0）或 y=1（ x＜0）．作出图象如下图：∴曲线 W对于直线 y=x 对称；应选 A．二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 . 请把结果填在答题纸中. ）9．以 y=± x 为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【剖析】依据题意设双曲线方程为x2﹣ y2=λ（λ ≠ 0），代入题中的点的坐标，即可获得λ =4，将方程化成标准形式，即可获得该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=± x 为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣ y2=λ（λ≠ 0）∵点（ 2， 0）是双曲线上的点，∴ 22﹣ 02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣ y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（ 2，﹣ 1， 2），=（﹣ 4， 2， x），且∥，则x=．【考点】向量的数目积判断向量的共线与垂直．【剖析】利用向量共线的充要条件：坐标交错相乘的积相等，列出方程求出x 的值．【解答】解：∵∥，∴2× 2=﹣ 2× x∴x=﹣4．故答案为：﹣ 411．设 F1、F2是椭圆+=1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，若|PF 1| ﹣ |PF 2|=1 ，则|PF 1|= 2.5，||PF2|= 1.5．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，联合 |PF 1| ﹣ |PF 2|=1 ，可得结论．【解答】解：椭圆+=1 中， a=2，∵ P 是椭圆+=1 上的点， F1， F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a=4 ，∵|PF 1| ﹣|PF 2|=1 ，∴|PF 1|=2.5 ， ||PF 2 |=1.5 ．故答案为： 2.5 ，1.5 ．12．已知△ ABC的极点 A（1， 0， 0）， B（ 0，2， 0），C（ 0， 0，1）， CD是 AB 边上的高，则点D 的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【剖析】=（﹣ 1，2，0）．设=λ，可得：= （ 1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得?=0，解得λ，即可得出．【解答】解：= （﹣ 1，2， 0）．设=λ，可得：=+λ=（ 1﹣λ， 2λ， 0）．∴=（1﹣λ， 2λ，﹣ 1）．∵⊥，∴?=﹣（ 1﹣λ） +4λ =0，解得：λ =，∴=．故答案为：．13．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（ m﹣ 2） x+1=0 无实根．若∴＜，p∨ q 为真，（ p∧q）为假，则＞ =．m的取值范围为（ 1，2] ∪∪，16．如图，在直三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，∠ ACB=90°， AC=3，BC=CC1=4（1）求证： AB1⊥ C1 B（2）求直线 C1B 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【剖析】（1）证明 AC，CB， CC1两两垂直，以 C 为原点成立坐标系，求出，的坐标，计算其数目积为0 得出 AB1⊥ C1B；（ 2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜【解答】（ 1）证明：连结B1C交 BC1于点 O．＞ | 即为所求．∵CC1⊥底面 ABC， AC? 平面 ABC， BC? 平面 ABC，∴CC1⊥ AC， CC1⊥BC，又 AC⊥BC，∴AC，CB， CC1两两垂直，以 CA所在直线为x 轴， CB所在直线为y 轴，CC1所在直线为z 轴成立如下图的空间直角坐标系．∵AC=3， BC=CC1=4，∴ A（ 3， 0， 0），B（ 0， 4， 0）， B1（ 0， 4， 4）， C1（ 0， 0，4）．∴=（﹣ 3，4， 4），=（ 0，﹣ 4， 4），∴=﹣3?0+4?（﹣ 4） +4?4=0，∴AB1⊥ BC1．（ 2）解：∵ A1（ 3，0， 4）， A（ 3， 0， 0）， B（0， 4， 0），B1（ 0， 4， 4）， C1（0， 0， 4）．∴=（﹣ 3， 4，0），=（ 0，0， 4），=（ 0，4，﹣ 4）．设平面 ABBA 的法向量=（x， y， z），11则，∴．令 x=4 得 =（ 4， 3， 0）．==．∴ cos ＜＞=∴直线 C1B 与平面 ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线 C 的极点在座标原点O，焦点为F（ 1，0），经过点 F 的直线l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点．（ 1）求抛物线C的标准方程；（ 2）若△AOB的面积4，求 |AB|为【考点】直线与抛物线的地点关系．【剖析】（ 1）设出抛物线的方程，求出p 的值，进而求出抛物线的标准方程即可；（ 2）经过议论直线l 的斜率，求出 |AB| 的表达式，求出k 的值，进而求出|AB| 即可．【解答】解：（ 1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px （ p＞0），由其焦点为F（ 1， 0）易得： 2p=4，得： p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（ 2）①当直线l 斜率不存在即与x 轴垂直时，易知：|AB|=4 ，此时△ AOB的面积为 S△AOB=|OF| ?|AB|=× 1× 4=2，不切合题意，故舍去．②当直线l 斜率存在时，可设其为k（ k≠ 0），则此时直线l 的方程为y=k（ x﹣ 1），将其与抛物线C的方程： y2=4x 联立化简整理可得：k2x2﹣ 2（ k2+2） x+k2=0，（k≠ 0），设 A、 B 两点坐标分别为（ x1， y1），（ x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得： |AB|=x 1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线 l 的距离为d=，故△ AOB的面积为 S△AOB=|AB|d=2（+|k| ）==4，==16，解得： k=±，k2=，又 |AB|=+4=12+4=16，所以，当△ AOB的面积为 4 时，所求弦AB 的长为 16．一、填空题（此题共 2 小题，每题10 分，共 20 分 . 请把结果填在答题纸上. ）18．已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的一个动点，过点 P 作⊙ A：（ x﹣ 3）2 +y2=1 的两条切线 PM、PN，切点为 M、 N（ I ）当 |PA| 最小时，点P 的坐标为（ 2， 2）或（2，﹣ 2）；（ II ）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【剖析】（ I ）设 P（ x，y），则 |PA| 2=（ x﹣ 3）2+y2=（ x﹣ 3）2+2x=（ x﹣2）2+5，即可求出当 |PA|最小时，点P 的坐标；（ II ）由圆的方程为求得圆心C（ 3， 0）、半径 r 为： 1，若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小，利用距离公式，联合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（ I ）设 P（ x， y），则 |PA| 2=（ x﹣ 3）2+y2=（ x﹣ 3）2+2x=（ x﹣ 2）2+5，∴x=2 时， |PA| 最小，此时 y=± 2，∴点 P 的坐标为（ 2，± 2）；（ II ）圆 C：（ x﹣3）2+y2=1 圆心 C（ 3， 0）、半径 r 为： 1依据题意，若四边形面积最小，则圆心与点 P 的距离最小．由（ I ）， |PA| 最小为，∴四边形 PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（ 2，2）或（ 2，﹣ 2）；．19．在四周体 ABCD中，若 E、 F、 H、 I 、 J、K 分别是棱 AB、 CD、AD、 BC、AC、 BD的中点，则EF、 HI、 JK 订交于一点 G，则点 G为四周体 ABCD的重心．设 A（0， 0， 2）， B（ 2，0，0），C（ 0， 3， 0）， D（2， 3， 2）．（ I ）重心 G的坐标为；（ II ）若△ BCD的重心为 M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【剖析】（ I ）利用重心的坐标计算公式即可得出．（ II ）利用重心的坐标计算公式可得 M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（ I ） x G==1， y G==，z G==1，∴重心 G的坐标为．（II ）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：； 3．二、解答题（本大题共 2 小题，满分30 分 . 请把解答过程写在答题纸上. ）20．已知椭圆C的中心在座标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点 P（ 0， 2）的直线l 与椭圆 C 订交于 A、 B 两点，且△ AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若原点 O对于直线 l 的对称点在椭圆 C上，求直线 l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（ 1）设椭圆 C 的标准方程为=1（ a＞ b＞ 0），由题意可得： c=，2a+2c=4+2， a2=b2+c2，联立解出即可得出；（ 2）由题意易知：直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为： y=kx+2 ，（k≠ 0）．设原点 O关于直线 l 的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段 OO′的中点 D 的坐标为，由题意可知：=k+2，+=1，× k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（ 1）设椭圆 C 的标准方程为=1（a＞ b＞ 0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得： c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．y=kx+2 ，（k≠ 0）．（ 2）由题意易知：直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为：设原点 O对于直线l 的对称点O′的坐标为（ x0， y0）．则线段 OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点 D 在直线 l 上，故有=k+2，①点 O在椭圆 C 上，故有+=1，②线段 OO′与直线l 垂直，故有× k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l 的方程为：y=x+2．21．如图（ 1），在△ ABC中， AC=BC=1，∠ ACB=90°， D是 AB边上一点，沿 CD将图形折叠成图（ 2），使得二面角 B﹣ CD﹣ A 是直二面角．（1）若 D 是 AB边的中点，求二面角 C﹣ AB﹣D 的大小；（2）若 AD=2BD，求点 B 到平面 ACD的距离；（ 3）能否存在一点D，使得二面角C﹣ AB﹣ D 是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明原因．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【剖析】（ 1）取 AB 中点 M，连结 CM， DM，则∠ CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（ 2）利用在余弦定理求出∠BCD，则 B 到平面 ACD的距离为BC?sin∠ BCD；（ 3）以 A 为原点成立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算能否为0 即可得出结论．【解答】解：（ 1）在图（ 1）中，∵ AC=BC=1，∠ ACB=90°，∴ AB=．当 D 为 AB 边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥ AB．在图（ 2）中取 AB的中点 M，连结 DM， CM．∵ CA=CB=1， AD=BD=，AB=1，∴DM= ， CM=，且CM⊥ AB，DM⊥ AB．∴∠ CMD为二面角C﹣ AB﹣D 的平面角．在△ CDM中，由余弦定理得cos ∠CMD===．∴二面角 C﹣ AB﹣D 的大小为 arccos．（ 2）在图（ 1）中，当 AD=2BD时， BD=AB=，在△ BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴ sin ∠BCD==．在图（ 2）中，∵二面角 B﹣ CD﹣A 是直二面角，∴∠ BCD为 BC与平面 ACD所成的角，∴点 B 到平面 ACD的距离为BC?sin∠ BCD=．（ 3）设=λ（λ＞ 0），则 AD=， BD=．在平面 ACD中过 A 作 AC的垂线 Ay，过 A 作平面 ACD的垂线 Az，以 A 为原点成立空间直角坐标系A﹣xyz ，如下图：设 B 到平面 ACD的距离为 h，则 A（ 0，0，0），C（ 1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设 AB 的中点为 M，则 M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB， M为 AB的中点，∴ CM⊥ AB，假定二面角 C﹣ AB﹣ D 是直二面角，则CM⊥平面 ABD，∴ CM⊥ AD．∵=?++0=≠0．与 CM⊥ AD矛盾．∴不存在一点 D，使得二面角 C﹣ AB﹣ D 是直二面角．2016年 10月 28日。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
北京一零一中学2015-2016学年高二上学期统练(二)数学试题 含答案
试卷编号：924北京一零一中2015-2016年度第一学期高二数学统练二班级：_________学号：__________姓名：__________成绩：__________一，选择题共8小题,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．已知方程221259x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )A ．925m -<< B ．825m << C ．1625m << D ．8m > 2．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，则椭圆离心率等于（ ）A ．13B ．C ．12D 3．椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2,N是1MF 的中点，则||ON 等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．324．直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点,则m 的取值范围是（ )A ．(0，1）B ．(0，5）C ．[1,5)(5,)+∞D ．(1,)+∞5．己知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足120MFMF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．[26．已知12(4,0),(4,0)F F -,又(,)P x y 是曲线||||153x y +=上的点，则（ )A ．12||||10PF PF += B ．12||||10PF PF +<C ．12||||10PF PF +≥ D ．12||||10PF PF +≤7．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条8．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )A ．B ．C ． 2D1二、填空题共6小题。
2015-2016年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1B．￢p：∃x∈R，x≤1C．￢p：∀x∈R，x＜1D．￢p：∃x∈R，x＜12．（5分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．13．（5分）点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2B．C．1D．4．（5分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3B．﹣C．﹣6D．5．（5分）下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2B．4C．9D．168．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．9．（5分）直线y=2x+1的斜率为．10．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是．11．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．13．（5分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为．14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．（13分）已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD 中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（Ⅰ）求点A，B，C，D，P，E的坐标；（Ⅱ）求．16．（13分）已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．17．（13分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．（I）求证：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大小；（Ⅲ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c的位置．20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．2015-2016学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1B．￢p：∃x∈R，x≤1C．￢p：∀x∈R，x＜1D．￢p：∃x∈R，x＜1【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤1，故选：A．2．（5分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．1【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选：A．3．（5分）点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2B．C．1D．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选：B．4．（5分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3B．﹣C．﹣6D．【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得a=﹣6，故选：C．5．（5分）下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选：B．6．（5分）“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2B．4C．9D．16【解答】解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选：D．8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．9．（5分）直线y=2x+1的斜率为2．【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．10．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是若﹣1＜x＜1，则x2＜1．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是：若﹣1＜x＜1，则x2＜1，故答案为：﹣1＜x＜1，则x2＜1．11．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于4．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：故答案为4．13．（5分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为6．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2．∴R=6．故答案为：614．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．（13分）已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD 中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（Ⅰ）求点A，B，C，D，P，E的坐标；（Ⅱ）求．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．（Ⅱ）∵=（﹣2，﹣1，1），∴||==．16．（13分）已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣6），B（1，﹣5），∴AB的中点D坐标为（，﹣），（Ⅱ）k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率是﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+=﹣（x﹣），整理，得x+y+5=0．17．（13分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），C1=（0，2，4），D（0，0，0）=（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），∴•=﹣2×2+2×2+0×（﹣4）=0，•=0+4﹣4=0∴A1C⊥BD，A1C⊥DE又DB∩DE=D，∴A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）∵=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），∴•=﹣2×0+2×2+（﹣4）×4=﹣12，||==2，==2∴cos＜，＞===．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．（I）求证：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大小；（Ⅲ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c的位置．【解答】（I）证明：设PA=AB=2AD=2，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C （2，1，0），N（1，0，0）∴，∴，∴MN⊥CD；（Ⅱ）解：由（I）知，M（1，，1），=（1，，1），=（2，0，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，∴，∴=（2，0，﹣1），∵平面APB的法向量=（1，0，0），∴二面角P﹣AB﹣M的余弦值==；（III）解：假设线段AD上是存在一点G（0，λ，0）（0＜λ＜1），使GM⊥平面PBC，则=（1，﹣λ，1），=（0，1，0），=（2，1，﹣2）由，可得，解得∴线段AD的中点G，使GM⊥平面PBC．20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．【解答】（本小题满分14分）解：（I）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为，∴由已知，，，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，∴椭圆的方程为．（5分）（II）（1）当直线AB的斜率不存在时，=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，（m2≠4）∵k OA•k OB=k AC•k BD，∴=﹣，∴=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==+km•+m2=，∴﹣=，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，（9分）=x1x2+y1y2===2﹣，∴﹣2=2﹣4≤＜2，且的最大值为2∴∈[﹣2，0）∪（0，2]．（10分）证明：（2）设原点到直线AB的距离为d，=|AB|•d=•|x2﹣x1|•则S△AOE====2=2，∴S=4S△AOB=8为定值．（14分）四边形ABCD。
2015-2016学年北京市海淀区高二第一学期期末数学(理科)
2015-2016学年北京市海淀区高二第一学期期末数学（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知圆x+12+y2=2，则其圆心和半径分别为 A. 1,0，2B. −1,0，2C. 1,0，2D. −1,0，22. 抛物线x2=4y的焦点到其准线的距离为 A. 1B. 2C. 3D. 43. 双曲线4x2−y2=1的一条渐近线的方程为 A. 2x+y=0B. 2x+y=1C. x+2y=0D. x+2y=14. 在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=A. −12B. 0 C. 12D. 16. 已知直线l的方程为x−my+2=0，则直线l A. 恒过点−2,0，且不垂直x轴B. 恒过点−2,0，且不垂直y轴C. 恒过点2,0，且不垂直x轴D. 恒过点2,0，且不垂直y轴7. 已知直线x+ay−1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是 A. 2B. −2C. ±2D. 08. 已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为 A. 若a⊥b，且b//α，则a⊥αB. 若a⊥b，且b⊥α，则a//αC. 若a⊥α，且b//α，则a⊥bD. 若a⊥α，且α⊥β，则a//β9. 已知点A5,0，过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=−1垂直且交于点B，若 PB = PA ，则cos∠APB= A. 0B. 12C. −12D. −1310. 如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为 A. 45B. 2C. 2D. 35二、填空题（共6小题；共30分）11. 已知命题p：“∀x∈R,x2≥0”，则¬p：______．12. 椭圆x2+9y2=9的长轴长为______．13. 若曲线C:mx2+2−m y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为______．14. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行.①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为______．15. 已知向量AB=1,0,0，AC=0,2,0，AD=0,0,3，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______．16. 若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为______，表面积为______．三、解答题（共3小题；共39分）17. 已知△ABC的三个顶点坐标为A0,0，B8,4，C−2,4．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值.18. 如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（1）求证：AE∥平面BCC1（2）求证：A1D⊥平面ABE；（3）求二面角D−EF−B的大小，并求CG的长19. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，经过左焦点F1−1,0的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（1）求椭圆G的方程．（2）若AF1= CB ，求直线l的方程．答案第一部分1. D2. B3. A4. B5. A6. B7. A8. C9. C 10. D第二部分11. ∃x∈R，x2<012. 613. 2,+∞14. ①②③15. 6716. 3；3+63第三部分，K AC=−2）17. （1）由已知可得AB=8,4，AC=−2,4，（或者K AB=12×−2=−1因为AB⋅AC=8,4⋅−2,4=−16+16=0,K AB×K AC=12所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．（2）由（1）结论可知△ABC的外接圆的圆心为3,4，半径为5，所以△ABC的外接圆方程为x−32+y−42=25，圆心到直线4x+3y+m=0的距离为24+m，5 =25−32，所以=24+m5所以m=−4或m=−44．18. （1）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，因为ABCD为正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊆平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（2）解法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D的中点，且AA1=AD=2，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．解法2：因为AA1⊥平面ABCD所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B2,0,0，D0,2,0，A10,0,2，E0,1,1，DA1=0,−2,2，AE=0,1,1，AB=2,0,0，因为DA1⋅AE=0，DA1⋅AB=0，所以DA1⊥AE，DA1⊥AB，所以A1D⊥平面ABE．（3）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EDF，所以平面EDF⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D−EF−B为90∘．设CG=λCC1，且λ∈0,1，则G2,2,3λ，因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥平面BG，所以A1D⋅BG=0,2,−2⋅0,2,3λ=4−6λ=0，即λ=23，所以CG=23CC1，CG=2．19. （1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得ca =12，且c=1，所以a=2，所以b2=a2−c2=3，所以椭圆G的方程为x 24+y23=1．（2）由题意可知直线l斜率存在，所以可设直线l:y=k x+1，由y=k x+1,x24+y23=1,消y并化简整理得4k2+3x2+8k2x+4k2−12=0，由题意可知Δ>0，设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=−8k24k+3，x1x2=4k2−124k+3，因为点C，F1都在线段AB上，且AF1= CB ，所以AF1=CB，即−1−x1,−y1=x2,y2−y c，所以−1−x1=x2，即x1+x2=−1，所以x1+x2=−8k24k+3=−1，解得k2=34，即k=±32，所以直线方程l的方程为y=32x+1或y=−32x+1．。
北京市一零一中学高二上学期期末考试(数学理)
北京一零一中－第一学期期末考试高 二 数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 已知,αβ是两个不同平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 2．如图所示是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．椭圆221x my +=m 的值为（ ）A ．2B ．14C ．2或12D ．14或4 4．设抛物线28y x =上一点M 到y 轴的距离为4，则点M 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．12B ．8C ．6D ．45．已知3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值为 ( ) A ．3 B ．2C ．1D ．06.已知()f x 的导函数'()(1)()f x a x x a =+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)-C ．(,1)-∞-D ．(,0)-∞7．如图，E 为正方体1111ABCD A BC D -的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上一点，190C EF ∠=，则:AF FB = （ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:48．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为（ ）D.3二、填空题：每小题5分，共30分.9．函数()ln f x x x =-的单调减区间是 .10.已知1F 、2F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠=，则12PF F ∆的面积.主视图侧视图俯视图22111C 1A 1CA BB 1DD 1FE11．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1A D 与1BC 所成角为90，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为_________.12．函数()y f x =的图象在点(3,(3))f 处的切线方程是4y x =-+，则(3)'(3)f f +等于___________.13．已知直线l 过点(0,2)，且与抛物线24y x =交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则1211y y +=________．14．如图，正四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox 、Oy 、Oz 上，给出下列四个命题：①多面体O ABC -是正三棱锥； ②直线//OB 平面ACD ；③直线AD 与OB 所成的角为45；④二面角D OB A --为45.其中真命题有_______________（写出所有真命题的序号）.参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。
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北京一零一中学2015-2016学年度第一学期期末考试
高二数学 理科
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，但选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p
A ．123p p p ==
B ．123p p p =<
C ．132p p p =<
D ．321p p p =<
2、某公司10位员工（单位：元）为12310,,,,x x x x ，其均值 和方差分别为x 和2
s ，若从下月起每位员工的月工资增加100
元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为
A ．22,100x s +
B ．22100,100x s ++
C ．2,x s
D ．2100,x s +
3、某程序框图如图所示，该程序框图运行好输出i 的值是
A ．27
B ．31
C ．63
D ．15
4、某学校三个社团的人鱼分布如下表（每名同学只参加一个社团）
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，则这三个社团共有
A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
5、下列结论中正确的个数是
①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2
,0x R x x ∀∈-≤”；
②若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件；
③命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题；
④x R ∀∈，不等式2243x x x +>-均成立。
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6、若曲间(0,1)上任取一个实数b ，则方程20x x b ++=有实根的概率为
A ．14
B ．13
C ．12
D ．34
7、某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 A ．
43 B ．83 C ．2 D ．4 8、已知点(3,2)M -是坐标平面内一定点，若抛物线22y x =的
焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则MQ QF -的最小值是
A ．72
B ．52
C ．3
D ．2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.
9、某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如右图，
则该同学数学成绩的方差是
10、若直线10x my -+=与圆2220x y x +-=相切，则m 的值为
11、在某省举办的运动会期间，某志愿者小组由12名大学生组成，其中男生8名，女生4名，从中抽取3名学生组成礼宾接待小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为
12、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且该双曲线的离心率
13、如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F 上顶点为A ，离心率为12
，点P 为椭圆在第一象限内的一点， 若11:2:1PF A PF A S S ∆∆=，则直线1PF 的斜率为
14、已知直线1(,x y a b a b
+=是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
三、解答题：本大题共4小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分12分）某校从参加环保知识竞赛的学生中抽取60名，将其成绩（均为整数）分成六段
[40,50),[50,60),[90,100] 后得到频率分布直方图（如右图所示）
（1）求分数在[70,80)内的概率；
（2）根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；
（3）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看出一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率。
18、（本小题满分12分）如图，已知(0,0),(O E F
圆22:(5F x y +=，动点P 满足4PE PF +=，以P 为圆心，
OP 为半径的圆P 与圆F 的一个公共点为Q 。
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）证明：点Q 到直线PF 的距离为定值，并求此值。
17、（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，//,,4,2AB CD AB AD AB AD CD ⊥===
PA ⊥平面,4ABCD PA =
（1）设平面PAB 平面PCD m =，求证：//CD m ；
（2）求证：BD ⊥平面PAC ；
（3）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与
平面PAC ，求PQ PB 的值。
18、（本小题满分14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,1)A ，离心率为2
，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求BM BN ⋅ 的取值范围；
（3）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值。