南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义

第一章 线性空间线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。

§1.1 线性空间的定义和性质为下面讨论需要，先引入数域的概念。

定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。

显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。

另外，数集},3{)3(Q b a b a Q ∈+=也是一个数域，但整数集不是数域。

我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。

另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。

还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。

我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。

定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足：（1）交换律 αββα+=+（2）结合律 )()(γβαγβα++=++（3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0；（4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）；2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任意P l k ∈,，任意V ∈α，满足（5）αα=1；（6）结合律 αα)()(kl l k =；（7）左分配律 αααl k l k +=+)(；（8）右分配律 βαβαk k k +=+)(；则称非空集合V 为数域P 上的一个线性空间。

在本书中，我们主要讨论实数域或复数域上的线性空间，分别简称为实线性空间或复线性空间。

例1 全体n 维实向量构成的向量空间},,,),,,{(2121R a a a a a a R n n n ∈= ，对于通常的向量的加法及数与向量的乘法满足定义2中的八条规律，因此n R 是一实线性空间；同样},,,),,,{(2121C c c c c c c C n n n ∈= 对于通常的向量加法及数与向量的乘法构成一复线性空间，也可构成一实线性空间。

例2 全体n m ⨯阶实矩阵构成的集合n m R⨯，对于矩阵的加法及数与矩阵的乘法，构成一实线性空间。

例3 所有实系数一元多项式构成的集合][x R ，对于通常的多项式的加法及实数与多项式的乘法构成一实线性空间；同样，次数小于n 的所有实系数一元多项式添上零多项式对于][x R 中的加法与数乘也构成实线性空间, 记为n x R ][.例4 实数区间],[b a 上的所有实值连续函数构成的集合],[b a C ，对于通常函数的加法及实数与函数的乘法构成实线性空间，称之为连续函数空间。

记)(R C 为由所有定义在实数R 上的连续函数组成的空间。

线性空间是从向量空间推广而抽象出来的，因此线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间。

从以上例题可看出，构成线性空间的向量可以是数组、矩阵，也可以是多项式、函数等，它的含义比原来n 维向量要广泛得多。

从线性空间的定义，可推导出它的一些简单性质。

（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）ααα-=-==)1(,00,00k ；（4）若0=αk ，则0=k 或0=α。

证明 这里仅证明（1）、（3），其余的证明留作练习。

（1） 设0和10都是零元素，则由定义中的规律（3）有：10＋0＝10，0＋10＝0，又 10＋0＝0＋10，∴10＝0 ，∴零元素是唯一的。

(3) 先证00=α（注意等号两边的“0”代表不同的对象）；对任意V ∈α，ααααααα==+=+=+1)01(010；∴α0是V 中的零元素，根据零元素的唯一性得 00=α。

再证αα-=-)1(；00))1(1()1(==-+=-+αααα ，α)1(-∴是α的负元素，根据负元素的唯一性得 αα-=-)1(；最后证 00=k ；αααααα)1()())((0-+=-+=-+=k k k k k k00))(()(==-+=-+=ααααk k k k 。

§1.2 线性空间的基、维数与向量的坐标在线性代数中讨论n 维向量时，我们曾引进了线性组合、线性相关(无关)、等价向量组、极大无关组等许多重要概念, 而这些概念仅与n 维向量的加法及数乘有关，所以不难将它们推广到一般的数域P 上的线性空间V 。

定义3 设V r ∈ααα,,,21 ，P k k k r ∈,,,21 ，则向量rr k k k αααα+++= 2211称为向量组r ααα,,,21 的一个线性组合，或称α是r ααα,,,21 的线性表示。

定义4 设r ααα,,,21 （1）s βββ,,,21 （2）是V 中两个向量组。

如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表示，则称向量组（1）可用向量组（2）线性表示。

如果（1）与（2）可以互相线性表示，则称向量组（1）与（2）等价。

定义5 设r ααα,,,21 是V 中的向量组，若存在不全为0的数P k k k r ∈,,,21使得02211=+++r r k k k ααα （3）则称向量组r ααα,,,21 是线性相关的，反之，仅当021====r k k k 时，才有（3）式成立，则称r ααα,,,21 是线性无关的。

例5 在连续函数空间C （R ）中，讨论向量组x x 2cos ,2cos ,1的线性相关性。

解 1cos 22cos 2-=x x 0cos )2(2cos 12=-++∴x x∴ 根据定义5，向量组x x 2cos ,2cos ,1是线性相关的，但向量组x x 2cos ,2cos ,1中任意两个都是线性无关的。

例6 在多项式空间[]x R 中，讨论向量组12,,,,1-n x x x 的线性相关性。

解 若0112210=++++--n n xk x k x k k ，则必有01210=====-n k k k k 。

∴12,,,,1-n x x x 是线性无关的。

仿照以前的证明，可得以下常用的一些结论。

1. 单个向量α是线性相关的充要条件是α＝0; 两个以上的向量r ααα,,,21 线性相关的充要条件是其中一个向量可用其余向量线性表示。

2. 若向量组r ααα,,,21 线性无关，但向量组r ααα,,,21 ，β线性相关，则β可由r ααα,,,21 唯一地线性表示。

3. 若向量组r ααα,,,21 线性无关，而且可以被s βββ,,,21 线性表示，则s r ≤。

由此推出，两个等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量。

有了以上的准备之后，我们可以引入下列定义。

定义6 设V 是数域P 上的线性空间，若V n ∈ααα,,,21 满足（1）n ααα,,,21 是线性无关的；（2）V 中任意向量α都可表示为n ααα,,,21 的线性组合：n n x x x αααα+++= 2211则n ααα,,,21 称为线性空间的一个基（或一组基），n 称为线性空间V 的维数，记为n V =dim ，而n x x x ,,,21 称为α在基n ααα,,,21 下的坐标，记为（n x x x ,,,21 ）或),,,(21'n x x x 。

注意：1. 若线性空间V 只含有一个零向量，则称V 是零空间，并称零空间的维数为0。

2. 若V 中有任意多个线性无关的向量，则称V 是无限维的。

例如实多项式空间][x R 中，对任意正整数12,,,,1,-n x x x n 都是线性无关，从而][x R 是无限维的。

本课程主要讨论有限维线性空间，不讨论无限维线性空间。

3. 若V 有一个基，则基是不唯一的。

但由于V 的不同基是等价的，从而不同基含有相同个数的向量，因此V 的维数是唯一确定。

另外，根据前面的结论2，α在V 的一个基n ααα,,,21 下的坐标（n x x x ,,,21 ）是唯一的。

例7 求复数集C 分别作为实线性空间和复线性空间（对于通常的加法与数乘）的一个基、维数及任一复数bi a +=α在对应基下的坐标。

解（1）C 看成实线性空间，则可验证1,i 是V 的一个基，其维数2dim =C ，复数bi a +=α在基i ,1下的坐标为),(b a 。

（2） C 看成复线性空间，则可验证1是V 的一个基，其维数1dim =C ，复数bi a +=α在基1下的坐标为bi a +。

例8 求实线性空间}.3,2,1,,)({2222=∈==⨯⨯j i R a a A R ij ij 的一个基、维数及任意矩阵22)(⨯=ij a A 在这个基下的坐标。

解 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012E ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010021E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100022E 若有实数4321,,,k k k k ，使得0224213122111=+++E k E k E k E k则容易推得04321====k k k k ，故22211211,,,E E E E 是22⨯R 中线性无关组，又对任意22)(⨯=ij a A 22⨯∈R，有2222212112121111E a E a E a E a A +++=∴22211211,,,E E E E 是22⨯R 的—个基，4dim 22=⨯R ,任意矩阵A 在这个基下的坐标为(22211211,,,a a a a )。

例9 求实线性空间n x R ][的一个基、维数及多项式1110)(--+++=n n x a x a a x f 在这个基下的坐标。

解 由例6可知，1,,,1-n x x 是线性无关的，且任意1110)(--+++=n n x a x a a x f n x R ][∈可由1,,,1-n x x 线性表示，所以1,,,1-n x x 为n x R ][的一个基，其维数n x R n =][dim ，)(x f 在这个基下的坐标为（110,,,-n a a a ）。

另外，容易验证121)(,,,1--=-==n n a x a x ααα （a 为任一实数）也是n x R ][的一个基。