高数(高等微积分)复习资料
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
高数微积分公式大全(考试必考)
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
高数考前必看知识点
高数考前必看知识点
高数是大学中一门重要的基础课程，涉及到极限、导数、积分、微分方程等多个知识点。
以下是高数考前必看的一些知识点：
1. 函数与极限：函数的定义、性质和分类，极限的概念、性质和计算方法，无穷小量和无穷大量的概念和性质。
2. 导数与微分：导数的概念、几何意义和计算方法，微分的概念和计算方法，导数的应用（如求曲线的切线方程、速度、加速度等）。
3. 积分：积分的概念、性质和计算方法，不定积分和定积分的概念和计算方法，换元积分法和分部积分法，积分的应用（如求平面图形的面积、体积等）。
4. 微分方程：微分方程的概念和分类，一阶微分方程的求解方法（如分离变量法、常数变易法等），二阶线性微分方程的求解方法。
5. 向量与空间解析几何：向量的概念、运算和坐标表示，平面向量的线性相关性和向量组的极大无关组，空间直角坐标系和向量的坐标表示，平面和空间曲线的方程。
6. 多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分的概念和计算方法，多元函数的极值和条件极值。
7. 重积分：二重积分和三重积分的概念和计算方法，重积分的应用（如求曲面的面积、体积等）。
8. 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念和计算方法，第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算方法，格林公式和高斯公式。
以上是高数考前必看的一些知识点，当然，高数的知识点还有很多，需要根据自己的学习情况进行有针对性的复习。
同时，要注重做题，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。
高数(微积分)复习word资料13页
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数：5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数 (2) 需求函数与供给函数二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
微积分Ⅰ总复习 完整版
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
un为常数
un
n 1
un为函数 un ( x )
常数项级数
一 般 项 级 数
在收敛 条件下
取 x x0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
级数与数 相互转化
收 敛 半 径 R
幂级数 泰勒展开式
R( x ) 0
三角级数 傅氏展开式
满足狄 氏条件
泰勒级数 数或函数
傅氏级数
函 数
数
a 等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列x n a 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
" N "定义
0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .
定义 2
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续 非初等函数 的连续性
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
大学高等数学第二册复习资料
大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。
为此，引入了极限的概念。
在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。
1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。
1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。
这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。
2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。
这些都是导数计算的一些扩展应用。
3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。
3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。
第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。
1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。
2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。
2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。
3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。
高数复习知识点及公式
高数复习知识点及公式一、知识点1、 求直线方程和平面方程2、 求条件极值3、 二重积分4、 曲线积分（弧长积分、坐标积分）5、 曲面积分6、 格林公式7、 高斯公式→空间闭曲面 ※8、 幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性） 9、 傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
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第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.
（等价小量与洛必达）
2.
已知
（洛必达）3.
（重要极限）
4.已知a、b为正常数，
（变量替换）5.
解：令
6.
（变量替换）
7.已知在x=0连续，求a
解：令（连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.（洛必达）
2.（洛必达或Taylor）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计
算
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.决定，求
2.决定，求
解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1
3.决定，则
B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0
C.导数应用问题
6.已知，
，求点的性质。
解：令，故为极小值点。
7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域
8.求函数的单调性与极值、渐进线。
解：，
D.幂级数展开问
题10.求
解：
=
E.不等式的证明
11.设，
证：1）令
2）令
F.中值定理问题
12.设函数具有三阶连续导数，且，
，求证：在（-1，1）上存在一点
证：
其中
将x=1，x=-1代入有
两式相减：
13.，求证：
证：
令
令
（关键：构造函数）三、补充习题（作业）
1.
2.曲线
3.
4.证明x>0时,
证：令
第一章：1、极限（夹逼准则）
2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）
第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续
2、求导法则（背）
3、求导公式也可以是微分公式
第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）
2、洛必达法则
3、泰勒公式拉格朗日中值定理
4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）
5、曲率公式曲率半径
第四章、第五章：积分
不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）
定积分： 1、定义 2、反常积分
第六章：定积分的应用
主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难
1、方向余弦
2、向量积
3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面
4、空间旋转面（柱面）。