信号检测与估计理论 第六章 波形估计
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信号检测与估计理论
平方检测算法是一种简单而有效的信 号检测算法，它通过比较输入信号的 平方和与阈值来判断是否存在信号。
信号估计理论
02
信号估计的基本概念
信号估计
利用观测数据对未知信号或系统状态进行推断或预测 的过程。
信号估计的目的
通过对信号的处理和分析，提取有用的信息，并对未 知量进行估计和预测。
信号估计的应用
在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有 广泛应用。
阈值设置
03
在信号检测中，阈值是一个关键参数，用于区分信号和噪声。
通过调整阈值，可以控制错误判断的概率。
信号检测的算法
最大后验概率算法
最大后验概率算法是一种常用的信号 检测算法，它基于贝叶斯决策准则， 通过计算后验概率来判断是否存在信 号。
平方检测算法
多重假设检验算法
多重假设检验算法是一种处理多个假 设的信号检测算法，它通过比较不同 假设下的似然比来确定最佳假设。
医学影像信号处理
X光影像处理
通过对X光影像进行去噪、增强、分割等处理，可以提取出 病变组织和器官的形态特征，为医生提供诊断依据。
MRI影像处理
磁共振成像（MRI）是一种无创的医学影像技术，通过对MRI 影像进行三维重建、分割、特征提取等技术处理，可以更准确
地诊断疾病。
超声影像处理
超声影像是一种实时、无创的医学影像技术，通过对超声影像 进行实时采集、动态分析、目标检测等技术处理，可以为临床
03
估计的精度和效率。
深度学习在信号检测与估计中的应用
01
深度学习是人工智能领域的一种重要技术，在信号检
测与估计中信号进行高效的特征
提取和分类，提高信号检测的准确性和稳定性。
7-波形估计2013
T 0
gx
(t, , ξ ) dξ
• 时变滤波器的脉冲响应h(t, ξ)求解困难。
维纳法求解积分方程：
假定 x ( t )和g ( t ) 平稳且 x ( t )和g ( t ) 联合平稳：
也即对系统有两个限制： ① 观测时间自t=-∞即开始，因此，系统过渡过程对输出 的非平稳影响已经消失； ② 系统是时不变的； 此时求解积分方程所得到的滤波器称为Wiener滤波器
A) B) C)
ˆ ( t + α ), S ˆ ( t ), S ˆ ( t + α ), S
α >0 α =0 α <0
预测
滤波
平滑
线性估计器的分类
线性最小均方估计、最小二乘估 计等都是直接的线性估计。 当观测噪声是高斯分布时，从波 形中估计非随机参量的最大似然估 计、估计高斯随机参量的最大后验估 计，都实现为线性估计器。
(j=k,
or
j=k-l,
or
j=k+l )
最佳线性滤波的起源
最佳线性滤波理论起源于四十年代美国科学家维纳 （Wiener）和前苏联科学家柯尔莫哥洛夫等人的研究工 作，后人统称为维纳滤波理论。维纳滤波的基本思想 是：寻找线性滤波器的最佳冲激响应或传递函数，使得 滤波器的输出波形作为输入波形的最佳估计，这种估计 使估计的均方误差达到最小。 从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限的 过去数据，因而不适合于实时处理。为了克服这一缺 点，以及当时航空航天科技发展的需要，60年代卡尔曼 把状态空间模型引入滤波理论，得到一套递推估计的方 法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波的基本思 想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻 的估计值和现时刻的观察值，来更新对状态变量的估 计，求出现时刻的估计值。卡尔曼的方法适合于实时应 用和计算机处理。
gx
(t, , ξ ) dξ
• 时变滤波器的脉冲响应h(t, ξ)求解困难。
维纳法求解积分方程：
假定 x ( t )和g ( t ) 平稳且 x ( t )和g ( t ) 联合平稳：
也即对系统有两个限制： ① 观测时间自t=-∞即开始，因此，系统过渡过程对输出 的非平稳影响已经消失； ② 系统是时不变的； 此时求解积分方程所得到的滤波器称为Wiener滤波器
A) B) C)
ˆ ( t + α ), S ˆ ( t ), S ˆ ( t + α ), S
α >0 α =0 α <0
预测
滤波
平滑
线性估计器的分类
线性最小均方估计、最小二乘估 计等都是直接的线性估计。 当观测噪声是高斯分布时，从波 形中估计非随机参量的最大似然估 计、估计高斯随机参量的最大后验估 计，都实现为线性估计器。
(j=k,
or
j=k-l,
or
j=k+l )
最佳线性滤波的起源
最佳线性滤波理论起源于四十年代美国科学家维纳 （Wiener）和前苏联科学家柯尔莫哥洛夫等人的研究工 作，后人统称为维纳滤波理论。维纳滤波的基本思想 是：寻找线性滤波器的最佳冲激响应或传递函数，使得 滤波器的输出波形作为输入波形的最佳估计，这种估计 使估计的均方误差达到最小。 从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限的 过去数据，因而不适合于实时处理。为了克服这一缺 点，以及当时航空航天科技发展的需要，60年代卡尔曼 把状态空间模型引入滤波理论，得到一套递推估计的方 法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波的基本思 想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻 的估计值和现时刻的观察值，来更新对状态变量的估 计，求出现时刻的估计值。卡尔曼的方法适合于实时应 用和计算机处理。
信号检测与估计PPT课件
is unbiase ˆdm2 l if E[
] = σ 2. That is,
E [K 1k K 1 (y k m )2 ] K 1E [K m 2 k K 1 Y k 2 2 m k K 1y k]2
Hence,
ˆ
2 m
l
is unbiased.
可编辑课件PPT
21
6.4 贝叶斯估计
(a) Assuming the constant m is not known, obtain the ML estmiˆ mm late
of
the mean.
(b) Suppose now that the mean m is known, but the variance σ 2 is unknown.
等式两边同取对数得 利用式6.1.2 解似然方程得到似然估计得
得到 the ML estimator is
。 Thus,
可编辑课件PPT
6
6.1 最大似然估计
(b) 最大似然估计式为
方程两边取对数得
其中对lnL(σ 2)最大化等价于对σ 2最小化
由似然函数的不变性得
可编辑课件PPT
7
6.1 最大似然估计
可编辑课件PPT
24
6.4 贝叶斯估计
Figure 6.3.1 Density function of the unbiased estimator θˆ .
可编辑课件PPT
19
6.3 优良估计评价标准
无偏最小方差： ˆ 是θ的最小方差和无偏估计，对所有的参数θ'都有E(θ')=θ,则对所有 ˆ
var( )≤var(θ')
也就是说，对于所有θ无偏估计， 具有最小的方差。
现代信号处理技术-6信号检测与估计理论(估计理论)
ˆ
使条件平均代价最小，应该使
p2
ˆ
x
d
取到最大值
2
当 很小时，为保证上式最大，应当选择估计量 ˆ ，
使它处于后验概率密度函数 p x 最大值的位置。
6.2 随机参量的贝叶斯估计
4. 最大后验估计
根据上述分析，得到最大后验概率估计量为
两种等价形式
p x
0
ˆmap
ln p x
0
ˆmap
ln px ln p
0 ˆmap
p
x
px p
px
6.2 随机参量的贝叶斯估计
5. 条件中值估计
选定的代价函数为
c~ ˆ
C ˆ x
c ~
p
x d
ˆ p x d
ˆ ˆ
p
x d ˆ ˆ
p
x d
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
6.1 引言
1. 通信系统中的估计问题
载波频率 信号的幅度 信道噪声的均值和方差
2. 参量估计的数学模型和估计量的构造
参量空间 θ
观测空间 R
px θ
估计规则
θˆ x
6.1 引言
➢参量空间： 需要接收端作出估计的参量集合 ➢观测空间： 接收端收到的观测信号的集合
➢概率映射： 信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参数的
x d
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
6.2 随机参量的贝叶斯估计
第6章信号检测与估计理论(2)
最佳线性滤波问题，就是根据观测信号 x t ，按照线性最小均方
ˆ t 。 误差准则，对 g t 进行估计，以获得波形估计的结果 g
设 x t 和 g t 都是零均值的随机过程，则 g t 的线性估计可以
表示为
ˆ t lim g
其中，x
uk 是 t k 时刻 x t 的采样，h t, uk u是加权系数。 ˆ t 是采样 x uk 的线性加权和。 g
于滤去某些干扰频率谱线有较好的效果。对于混在随机信号中的
噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是因为 信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应 K(j) ，均不可
能做到噪声完全滤掉，使信号波形的不失真恢复。因此，需要寻 找一种使误差最小的最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。
维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则下的最佳线性 滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向）
由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波基础上发展
了一种基于状态空间方法的最佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼 滤波。这种滤波器特别适用于对离散时间序列的实时滤波，可以 很方便用计算机处理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动 控制领域起到了重要作用。
滤波器物理不可实现，但估计的均方误差达到最小，为性能 比较提供了度量标准，因此解是有意义的。
rxg h rx d ,
是一个线性卷积，因此在频域上求解方程。两边进行傅里叶变换：
Pxg H Px
则|H()|<1，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因此
随着增加，Pn()逐渐加大，|H()|逐渐减小，直至为零。
第6章 信号波形的估计
基于以下假设
μ δ = 0 C = 0 C = wk−1
w j nk
w j wk
jk
2. s~k｜k1 和 x~k｜k1 的计算 0
3 E（） 将观测方程代入
4. 状态一步预测均方误差阵 Mk｜k1 的计 算
5. E（x~k｜k1x~Tk｜k1）项的计算 6. 状态滤波值 s^k 的计算
6.2.4 维纳滤波器的因果解
当滤波器的输入为一个白色过程，积分方程 就可直接求解
中
为冲击函数
因此，将因果解分为两部分
2
信号检测与估计理论
1、 通过白化滤波器将输入信号白化
2、设计最小均方滤波器
当观测信号是具有有理功率谱密度的平稳 随机过程，则用复频域（相关函数的傅立叶 变化对应复数域，拉普拉斯变换对应复频 域）表示为 （分成左右平面）
6.10.2 线性化离散卡尔曼滤波
信号检测与估计理论
9
6.10.3 推广的离散卡尔曼滤波
10
习题
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
11
12
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
13
14
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
15
16
信号检测与估计理论
信号检测与估计理论
17
18
信号检测与估计理论
第 6 章 信号波形的估计
6.1 引言
静态估计：参量不变化 随时间变化的参量进行估计，连续信号情况 下信号波形的估计，或离散信号情况下信号 状态的估计
6.1.1 信号波形估计的基本概念 只考虑加性噪声
将观测信号输入滤波器，完成以下工作 已知： x(t) 滤波： x(t) → sˆ(t) 预测： x(t) → sˆ(t + a) 平滑： x(t) → sˆ(t − a)
检测、估计与调制理论
检测、估计与调制理论
Detection, Estimation and Modulation Theory
课程代号：学时：45
开课单位：203教研室学分：3
一、课程的目的与地位
检测与估计的统计理论是当代信息科学的一个重要组成部分。
主要研究在噪声背景下消息的提取。
其中，检测问题是研究在噪声中如何判断信号的有无；估计问题是研究在噪声中如何精确提取信号的参数或波形。
本课程可为电子通讯系统中信号接受与处理、参数测量、波形估计、滤波预测等工程问题提供理论依据和指导。
在雷达、导航、遥控遥测、通讯和信息处理中都要涉及到信号的检测和估计问题，因此本课程是一门应用广泛的、与工程问题结合紧密的理论课程。
二、课程主要章节、学时分配
第一章概述2学时
第二章经典检测和估计理论12学时
第三章随机过程的表示法4学时
第四章信号的检测和信号参数估计12学时
第五章连续波估计6学时
第六章最佳线性估计9学时
三、讲授和学习方法
课堂讲授、自学例题、选做习题。
注重物理概念和数学工具，掌握基本理论并联系工程实际，培养独立分析问题和解决问题的能力。
四、考核方式
笔试（闭卷）。
五、先修课程
线性系统、概率与随机过程。
六、主要参考书
[1] H.L.范特里斯著毛士艺等译“检测、估计与调制理论”（卷I）国防工业出版社1983 原文 H.L.Van Trees Detection, Estimation and Modulation Theory
[2] 陈炳和“随机信号处理”国防工业出版社1996。
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
习题1.考虑检测问题：
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
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➢ 状态滤波， xkm ,L , xk1, xk sˆk ➢ 状态预测， xkm ,L , xk1, xk sˆ(kl)|k , l 0 ➢ 状态平滑， xkm ,L , xk1, xk sˆ(kl)|k , l 0
6.1.1 信号波形估计的基本概念
From Steven page 323
信号波形估计理论又称为信号波形滤波理论(抑噪声，提信号)。
➢ 波形滤波， x(t) sˆ(t)
➢ 波形预测， x(t) sˆ(t ), 0 ➢ 波形平滑， x(t) sˆ(t ), 0
2、离散信号情况（只考虑加性噪声）
xk Hk sk nk , k 1, 2,L
信号状态估计理论又称为信号状态滤波理论(抑噪声，提信号)。
E[s(t )s(t ) as(t)s(t )] 0
rs
(0)
ars
(
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t) bs&(t) minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ] a
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t))s(t)] 0 a rs ( )
rs (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t)
rs (0)
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t))s(t )] E[(s(t ) as(t))as(t)]
ars
(
)
br&s (
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
r&s2 ( )
&r&s (0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 （续）例题相关结论的证明
r&s (
)
drs ( d
)
,
&r&s ( )
d2rs ( d 2
)
s&(t) lim s(t t) s(t) , &s&(t) lim s&(t t) s&(t) , s&(t) lim s(t t) s(t)
)
E[s&(t)s&(t
)]
E
lim
t1 0
s(t
t1 ) t1
s(t)
lim
t2 0
s(t
t2 ) t2
s(t
)
=
lim
t2 0
lim
t1 0
rs
(
t2
t1) t1t2
rs
(
t2
)
lim
t1 0
rs
(
t1) t1t2
rs
(
)
lim
t2 0
r&s ( t2 t2
)
r&s ( t2
rs (0)
b r&s ( )
&r&s (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t) r&s ( ) s&(t)
rs (0)
&r&s (0)
见习题6.1
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t )] 0 0
rs
(0)
理论基础：
随机过程及其统计描述(2.3, P.30) 线性系统对随机过程的响应(2.5, P.44) 随机噪声理论(2.6, P.46) 正交投影原理(6.4, P.400)
6.1.1 信号波形估计的基本概念
1、连续信号情况（只考虑加性噪声）
x(t) s(t) n(t)
x(t)
sˆ(t )
H ()
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
信号波形（状态）估计准则：线性最小均方误差准则。 维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完 成信号波形（状态）估计的两种线性最佳估计方法。 维纳滤波
要求知道随机信号的统计特性，即相关函数或功率普密度， 得到的结果是封闭解（解析式）；
由于采用频域设计方法，仅适用于一维平稳随机信号。
t 0
t
t 0
tt 0trss()E[s&(t)s(t
)]
E
lim
t 0
s(t
t) t
s(t
)
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rss&(
)
E[s(t)s&(t
)]
E
lim
t 0
s(t)
s(t
t) t
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rs&s&(
a,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) E[(s(t)
as(0) as(0)
bs(T ))s(0)] bs(T ))s(T )]
0 0
rs
rs (t) (T
t)
ars (0) brs (T ) ars (T ) brs (0)
0
0
a rs (0)rs (t) rs (T )rs (T t) , b rs (0)rs (T t) rs (t)rs (T )
)
lim
t2 0
r&s (
t2 ) t2
r&s (
)
&r&s (
)
rs ( ) rs ( ) 为偶函数，其导数 r&s ( ) 为奇函数，故有 r&s () 0 r&s (0) 0
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.3 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（平滑）
sˆ(t) as(0) bs(T ) minimize E[(s(t) sˆ(t))2 ]
估计理论与信号检测
第六章 信号波形的估计
内容提要
6.1 引言 6.2 连续过程的维纳滤波 6.3 离散过程的维纳滤波 6.4 正交投影原理 6.5 离散卡尔曼滤波的信号模型 6.6 离散卡尔曼滤波 6.7 状态为标量时的离散卡尔曼滤波
6.1 引言
研究内容：
信号的波形估计(状态估计)
若被估计的量是随机过程或未知的非随机过程，则称这种 估计为信号的波形估计或状态估计。
a ,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t)] 0 E[(s(t ) as(t) bs&(t))s&(t)] 0 rs&s ( ) r&s ( ), rs&s&( ) &r&s ( ), r&s ( ) 0 0
a rs ( ) ,
卡尔曼滤波（庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划）
采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型； 可解决多输入多输出非平稳随机信号的估计问题； 采用递推算法非常适合于计算机处理，计算效率高。
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.1 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t)
6.1.1 信号波形估计的基本概念
From Steven page 323
信号波形估计理论又称为信号波形滤波理论(抑噪声，提信号)。
➢ 波形滤波， x(t) sˆ(t)
➢ 波形预测， x(t) sˆ(t ), 0 ➢ 波形平滑， x(t) sˆ(t ), 0
2、离散信号情况（只考虑加性噪声）
xk Hk sk nk , k 1, 2,L
信号状态估计理论又称为信号状态滤波理论(抑噪声，提信号)。
E[s(t )s(t ) as(t)s(t )] 0
rs
(0)
ars
(
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t) bs&(t) minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
minimize E[(s(t ) sˆ(t ))2 ] a
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t))s(t)] 0 a rs ( )
rs (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t)
rs (0)
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t))s(t )] E[(s(t ) as(t))as(t)]
ars
(
)
br&s (
)
rs
(0)
rs2 rs
( )
(0)
r&s2 ( )
&r&s (0)
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.2 （续）例题相关结论的证明
r&s (
)
drs ( d
)
,
&r&s ( )
d2rs ( d 2
)
s&(t) lim s(t t) s(t) , &s&(t) lim s&(t t) s&(t) , s&(t) lim s(t t) s(t)
)
E[s&(t)s&(t
)]
E
lim
t1 0
s(t
t1 ) t1
s(t)
lim
t2 0
s(t
t2 ) t2
s(t
)
=
lim
t2 0
lim
t1 0
rs
(
t2
t1) t1t2
rs
(
t2
)
lim
t1 0
rs
(
t1) t1t2
rs
(
)
lim
t2 0
r&s ( t2 t2
)
r&s ( t2
rs (0)
b r&s ( )
&r&s (0)
sˆ(t ) rs ( ) s(t) r&s ( ) s&(t)
rs (0)
&r&s (0)
见习题6.1
E[(s(t ) sˆ(t ))2 ]
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t )] 0 0
rs
(0)
理论基础：
随机过程及其统计描述(2.3, P.30) 线性系统对随机过程的响应(2.5, P.44) 随机噪声理论(2.6, P.46) 正交投影原理(6.4, P.400)
6.1.1 信号波形估计的基本概念
1、连续信号情况（只考虑加性噪声）
x(t) s(t) n(t)
x(t)
sˆ(t )
H ()
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
信号波形（状态）估计准则：线性最小均方误差准则。 维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完 成信号波形（状态）估计的两种线性最佳估计方法。 维纳滤波
要求知道随机信号的统计特性，即相关函数或功率普密度， 得到的结果是封闭解（解析式）；
由于采用频域设计方法，仅适用于一维平稳随机信号。
t 0
t
t 0
tt 0trss()E[s&(t)s(t
)]
E
lim
t 0
s(t
t) t
s(t
)
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rss&(
)
E[s(t)s&(t
)]
E
lim
t 0
s(t)
s(t
t) t
s(t
)
lim
t 0
rs
(
t) t
rs
(
)
r&s (
)
rs&s&(
a,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) E[(s(t)
as(0) as(0)
bs(T ))s(0)] bs(T ))s(T )]
0 0
rs
rs (t) (T
t)
ars (0) brs (T ) ars (T ) brs (0)
0
0
a rs (0)rs (t) rs (T )rs (T t) , b rs (0)rs (T t) rs (t)rs (T )
)
lim
t2 0
r&s (
t2 ) t2
r&s (
)
&r&s (
)
rs ( ) rs ( ) 为偶函数，其导数 r&s ( ) 为奇函数，故有 r&s () 0 r&s (0) 0
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.3 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（平滑）
sˆ(t) as(0) bs(T ) minimize E[(s(t) sˆ(t))2 ]
估计理论与信号检测
第六章 信号波形的估计
内容提要
6.1 引言 6.2 连续过程的维纳滤波 6.3 离散过程的维纳滤波 6.4 正交投影原理 6.5 离散卡尔曼滤波的信号模型 6.6 离散卡尔曼滤波 6.7 状态为标量时的离散卡尔曼滤波
6.1 引言
研究内容：
信号的波形估计(状态估计)
若被估计的量是随机过程或未知的非随机过程，则称这种 估计为信号的波形估计或状态估计。
a ,b
线性最小均方误差估计的正交性原理
E[(s(t ) as(t) bs&(t))s(t)] 0 E[(s(t ) as(t) bs&(t))s&(t)] 0 rs&s ( ) r&s ( ), rs&s&( ) &r&s ( ), r&s ( ) 0 0
a rs ( ) ,
卡尔曼滤波（庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划）
采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型； 可解决多输入多输出非平稳随机信号的估计问题； 采用递推算法非常适合于计算机处理，计算效率高。
6.1.2 信号波形估计的准则和方法
例6.1.1 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）
sˆ(t ) as(t)