11.3探索全等三角形的条件(1)saa
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
两个全等三角形的条件
两个全等三角形的条件
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在数学中，我们可以通过不同的条件来判断两个三角形是否全等。
下面我将介绍两个常见的全等三角形的条件。
一、SSS（边边边）全等条件
SSS全等条件是指当两个三角形的三条边分别相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个三角形的边长分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
例如，我们有两个三角形，三边的边长分别是AB=BC=CA，而另一个三角形的三边的边长也分别是AB=BC=CA，那么我们就可以判断这两个三角形是全等的。
二、SAS（边角边）全等条件
SAS全等条件是指当两个三角形的一个边和两个夹角分别相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个三角形的一边长和两个夹角分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
例如，我们有两个三角形，其中一个三角形的一边的边长为AB，两个夹角分别是∠BAC和∠ABC，而另一个三角形的一边的边长也是AB，两个夹角也分别是∠BAC和∠ABC，那么我们就可以判断这两个三角形是全等的。
总结：
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
判断两个三角形是否全等，可以使用SSS全等条件或SAS全等条件。
SSS全等条件是指当两个三角形的三条边分别相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
SAS全等条件是指当两个三角形的一个边和两个夹角分别相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
通过使用这两个全等三角形的条件，我们可以在解决一些几何问题时判断两个三角形是否全等，从而得到准确的结论。
全等三角形的性质在几何学中有着广泛的应用，对于我们理解和研究空间形状具有重要的意义。
三角形全等的条件ASA
已知∠A=∠D AB=DE 补充： AC=DF (SAS) ∠B=∠E (ASA) ∠C=∠F (AAS)
C
如图,已知 ∠1=∠2,AC=AD,增加 下列条件:①AB=AE,②
E 1 A B D 2
BC=ED,③∠C=∠D,④
∠B=∠E,其中能使
∵∠1=∠2 (已知) ∴ ∠1+∠EAB =∠2+ ∠EAB,
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF， △ABC与△DEF全等吗？能利用刚才的方法证明你 的结论吗？
A D
C
E
F
B
结论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角 形全等，简写成“角角边”或“AAS”
想一想
1 、 如图，你能判断以下各组三角形全等吗 ? 为什么? A D
7
50º E
判定两个三角形全等的方法： 1.两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等，简写成“边角边”或 “SAS”
SAS
2.两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等，简写成“角边角”或 “ASA”
ASA
3.两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等，简写成“角角边”或 “AAS”
AAS
下课了，同学们再见
A
B
∠1＝∠2 （已证） AC=AC （公共边） ∠3＝∠4 （已证）
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）
2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、 D在同一直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF
证明：∵ AB∥CD （已知） ∴ ∠B=∠D（两直线平行，内错角相等） 在⊿ABE和⊿CDF中
求证： △DBO≌△ △ABE≌△ACD ECO
全等三角形的证明方法
全等三角形的证明方法全等三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何学中有着广泛的应用。
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角相等。
那么，如何证明两个三角形是全等的呢？下面将介绍几种常见的证明方法。
1. SSS全等定理。
SSS全等定理是指如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法很简单，只需分别比较两个三角形的三条边是否相等即可。
如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们就是全等的。
2. SAS全等定理。
SAS全等定理是指如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法也比较简单，首先比较两个三角形的一条边是否相等，然后再比较这条边对应的两个角是否相等。
如果满足这两个条件，那么这两个三角形就是全等的。
3. ASA全等定理。
ASA全等定理是指如果两个三角形的一条角和与其相邻的两条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法同样简单，首先比较两个三角形的一条角是否相等，然后再比较这个角对应的两条边是否相等。
如果满足这两个条件，那么这两个三角形就是全等的。
4. AAS全等定理。
AAS全等定理是指如果两个三角形的两条角和一条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法也很简单，首先比较两个三角形的两条角是否相等，然后再比较这两条角之间的一条边是否相等。
如果满足这两个条件，那么这两个三角形就是全等的。
总结起来，全等三角形的证明方法有SSS全等定理、SAS全等定理、ASA全等定理和AAS全等定理四种。
通过比较三角形的边和角是否相等，我们可以轻松地证明两个三角形是否全等。
在实际问题中，全等三角形的概念和证明方法经常被应用，因此掌握这些证明方法对于学习和理解几何学是非常重要的。
通过以上的介绍，相信大家对全等三角形的证明方法有了更清晰的认识。
希望大家能够在学习中多加练习，加深对全等三角形的理解，提高自己的数学水平。
同时，也希望大家能够在实际问题中灵活运用全等三角形的概念和证明方法，解决各种几何学问题。
全等三角形的条件.ppt
谢谢
全等三角形的条件.ppt
演讲人
三条边对应相等；两条边和它们的夹角对应相等；两角及其 一角的对边对应相等；两个角和它们的夹边对应相等；经过 翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三角形全等判定
全等三角形判定方 法一：SSS（边边 边），即三边对应 相等的两个三角形 全等。
全等三角形判定方 法二：SAS（边角 边），即三角形的 其中两条边对应相 等，且两条边的夹 角也对应相等的两 个三角形全等。
全等三角形判定方 法三：ASA（角边 角），即三角形的 其中两个角对应相 等，且两个角夹的 的边也对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形判定方 法四：AAS（角角 边），即三角形的 其中两个角对应相 等，且对应相等的 角所对应的边也对 应相等的两个三角 形全等。
三角形全等判定
全等三角形判定方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
判断三角形全等的条件
两个三角形全等条件共有五种：
1、边边边（SSS），三边相等。
即如果有两个三角形，它们三条边都相等，则可以判断为两个三角形全等。
2、边角边（SAS）两条边和它们间的夹角相等。
即如果有两个三角形，两条边相等，并且他们间的夹角也相等，可以判断为两个三角形全等。
3、角边角（ASA）两个角它们间夹边相等。
即如果有两个三角形，有两个角相等，并且他们间的夹边也相等，可以判断为两个三角形全等。
4、角角边（AAS）两个角和其中一角的边相等。
即如果有两个三角形，有两个角相等，并且他们任意一个角的一条边也相等，可以判断为两个三角形全等。
5、直角三角形斜边和一条直角边相等（HL）。
直角三角形比较特殊，它有一个角是90度的，所以只要它的斜边和一条直角边相等，可以判断为两个三角形全等。
以上五种情况，就是两个三角形全等的条件。
下面的图片直观说明：。
全等三角形的判定全等三角形的条件
全等三角形的判定全等三角形的条件全等三角形是指具有完全相同形状和大小的两个三角形。
在几何学中，我们可以通过比较两个三角形的边长和角度来确定它们是否全等。
下面将详细介绍全等三角形的条件。
1. SSS判定法（边边边）：当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的边长分别满足AB = DE，BC = EF，AC = DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
2. SAS判定法（边角边）：当两个三角形的一对边和夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF满足AB = DE，∠BAC =∠EDF，BC = EF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
3. ASA判定法（角边角）：当两个三角形的一对角度和夹边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF满足∠BAC = ∠EDF，BC = EF，∠CBA = ∠FED，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
4. RHS判定法（直角边斜边）：当两个直角三角形的一对直角边和斜边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF满足∠ABC = ∠DEF，AB = DE，AC = DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
需要注意的是，这些判定法都是基于几何定理的推导得出的。
在实际应用中，我们可以根据已知条件使用这些判定法来判断两个三角形是否全等。
除了以上判定法，还有一些特殊情况下的判定法，比如：- 两个等腰三角形的顶角相等时，可以判定它们全等；- 两个等腰直角三角形的斜边相等时，可以判定它们全等。
总之，全等三角形的判定主要基于边长和角度的相等性。
当我们已知一些边长和角度的关系时，可以利用上述判定法来判断两个三角形是否全等。
这在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
三角形全等的条件 要点全析
三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。
三角形全等的条件(1)
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形
2、全等三角形的性质？
A
D AB=DE,AC=DF,BC=EF
∠ A= ∠ D,
∠B= ∠E,
B
CE
F ∠C= ∠F.
全等三角形对应边相等，对应角相等.
3.寻找对应元素有哪些规律？
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，
D
C
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
思维花絮
B
D′ B′
O
A
C
O′
A′
C′
A
D
B
H
C
D
C
A
B
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分 别是AB，CD的中点，且DE=BF.
求证：①△ADE≌△CBF; ②∠A=∠C.
D
F
C
A
E
B
80 ° 30 ° 70 °
30 °
80 ° 70 °
结论:三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
A B
A＇
C
B＇
C＇
M
在△ABC与△ A′B′C′中 AB= A′B′ AC= A′C′ BC= B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
1.学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知道 这两块板是否全等，这两块板很重又固定在墙 上，小明只有刻度尺，你能帮小明想个办法吗？
A
D
B
E
三角形的全等条件
三角形的全等条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常重要的几何图形。
而判断两个三角形是否全等，有着特定的条件。
这些条件就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开三角形全等的神秘之门。
首先，让我们来了解一下什么是三角形的全等。
简单地说，如果两个三角形能够完全重合，那么它们就是全等的。
这意味着它们的三条边和三个角都分别相等。
全等三角形的第一个条件是“边边边”（SSS）。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
想象一下，我们有两个三角形，它们的三条边长度完全一样。
就好像我们用三根同样长度的木棍分别搭成了两个架子，这两个架子的形状肯定是一模一样的，能够完全重合。
接下来是“边角边”（SAS）条件。
当两个三角形的两条边及其夹角分别相等时，这两个三角形全等。
比如说，我们有两个三角形，其中两条边的长度相等，并且这两条边所夹的角也相等。
就像是一个固定了两条边和它们之间夹角的框架，无论怎么摆，形状都是确定的，所以这样的两个三角形也是全等的。
然后是“角边角”（ASA）条件。
如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。
可以这样理解，当我们确定了三角形的两个角和它们之间的那条边，就相当于确定了三角形的形状和大小，所以这样的两个三角形必然全等。
还有“角角边”（AAS）条件。
当两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等时，这两个三角形全等。
这就好比我们知道了三角形的两个角，以及其中一个角所对的边，也就能够确定这个三角形的形状和大小了。
除了以上这些常见的全等条件，还有一个特殊的情况，那就是直角三角形的全等条件。
对于直角三角形，除了可以使用上述的一般条件外，还有“斜边、直角边”（HL）条件。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
这些全等条件在解决实际问题中非常有用。
比如，在测量、建筑、制图等领域，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行精确的计算和设计。
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探索全等三角形的条件⑴练习
1.要使ΔABC ≌ΔA ′B ′C ′，需要满足的条件是（ ）
A. AB= A ′B ′ ∠B=∠B ′ AC= A ′C ′
B.AB= A ′B ′ ∠A=∠A ′ BC= B ′C
‘ C. AC= A ′C ′ ∠C=∠C ′ BC= B ′C ′ D.AC= A ′C ′ ∠B=∠B ′ BC= B ′C ‘
2.如图，ΔABC ≌ΔADE ，AB=AD ， AC=AE ，∠B=28º，∠E=95º，∠EAB=20º，则∠BAD 为（ ）
A.75º
B. 57º
C. 55º
D. 77º
3.如图，ΔABC ≌ΔBAD ，A 和B ，C 和D 是对应顶点，如果AB=6cm ，BD=5cm ，AD=4cm ，那么BC 等于（ ）
A ．6cm B.5cm C.4cm D.5cm 或4cm
第3题 第4题
4．如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′
全等，则∠A ′= °，∠A= °，
B ′
C ′= ，AD= 。
5.已知ΔABC ≌ΔDEF, ∠A=∠D, ∠C=∠F,
∠B=45°,EF=6 cm, 则∠E= BC= 。
6.如图，△AOC 旋转后能与△BOD 重合，则△AOC 与 全等。
A
7.如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAC=120°，∠DAE= .
8.如图，AC=DF ，∠A=∠D ，AE=DB ，那么BC 与EF 的大小关系如何？为什么？
第8题
9.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠EAB=∠DAC ，问：△ABD 与△ACE 是否全
等？∠D 与∠E 有什么关系？为什么？
10.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，（1）写出图中全等的三
角形；（2）AD 与BC 有什么关系？为什么？
C B A E
D。