递归模式
递归 设计模式
递归设计模式
递归是一种设计模式，它在编程和计算机科学领域中经常被使用。
递归指的是在解决问题时，将问题分解为一个或多个相似但规模较小的子问题，并通过在子问题上应用相同的方法来解决问题。
递归设计模式包括以下关键要点：
1.基本案例（Base Case）：递归算法必须有一个或多个基本案例，这些基本案例是递归的终止条件。
当问题达到基本案例时，递归停止，不再继续分解。
2.递归案例（Recursive Case）：在递归设计模式中，问题被分解为一个或多个子问题，这些子问题通常与原始问题相似但规模较小。
递归算法在子问题上使用相同的方法，以逐步解决问题。
3.递归调用（Recursive Call）：在递归算法中，函数或方法会调用自身，以处理子问题。
这是递归的核心部分。
递归设计模式通常应用于问题具有自相似性或可以被分解为相似子问题的情况。
经典的示例包括计算斐波那契数列、二叉树遍历、计算阶乘等。
递归设计模式可以使代码更加简洁和易于理解，但需要小心处理终止条件，以避免无限递归。
示例：计算斐波那契数列的递归实现
```python
def fibonacci(n):
if n<=0:
return0
elif n==1:
return1
else:
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)
```
在上述示例中，`fibonacci`函数通过递归方式计算斐波那契数列的值。
递归调用在处理子问题（n-1和n-2）上使用相同的方法。
递归终止条件为n=0和n=1，它们是基本案例。
chmod命令的几种用法
chmod命令的几种用法chmod命令是在Unix和类Unix操作系统中用于更改文件或目录的权限的命令。
它允许用户为文件或目录设置读取、写入和执行权限。
以下是chmod命令的几种常见用法：1. 符号模式，chmod命令可以使用符号模式来更改文件或目录的权限。
符号模式包括操作符（+、-、=）、权限部分（u、g、o、a）和权限（r、w、x）。
例如，使用chmod命令将文件file.txt的所有者（u）的写权限（w）设置为可读写，chmod u+w file.txt。
2. 数字模式，chmod命令也可以使用数字模式来更改文件或目录的权限。
每种权限（读取、写入、执行）都有一个对应的数字值，分别为4、2和1。
用户、用户组和其他用户的权限分别占据一个3位的数字。
例如，将文件file.txt的所有者的权限设置为可读写（4+2=6），用户组的权限设置为只读（4），其他用户的权限设置为无（0），chmod 640 file.txt。
3. 递归模式，使用chmod命令时，可以添加参数-R来递归地更改目录及其子目录中的文件权限。
这在需要同时更改目录和文件权限时非常有用。
4. 结合使用，chmod命令还可以结合使用符号模式和数字模式，以实现更复杂的权限设置。
例如，可以使用符号模式为文件添加执行权限，同时使用数字模式将所有者和用户组的权限设置为可读写，chmod u+w,go+x file.txt。
总之，chmod命令可以通过符号模式、数字模式、递归模式和结合使用等多种方式来灵活地更改文件或目录的权限，以满足用户对文件权限管理的不同需求。
简述递归思维模式
递归思维模式递归（recursion）是一种常见的问题解决思维模式，它可以将一个大问题划分为更小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归在计算机科学中具有广泛的应用，尤其在算法和数据结构中非常常见。
本文将介绍递归思维模式的定义、原理、应用场景、优缺点以及一些实例。
什么是递归思维模式在计算机科学中，递归是一种通过调用自身来解决问题的方法。
递归思维模式基于一个简单的原则：将一个大问题分解为更小的子问题的解决方案。
这种分而治之的思想使得解决问题变得更加简单和可理解。
递归思维模式通常包含两个关键要素： 1. 递归基（base case）：是递归过程中最简单的情况，不再需要递归调用，直接返回结果。
2. 递归步骤（recursive step）：将原始问题划分为更小的同类子问题，并通过递归调用来解决。
通过这两个要素的组合，递归可以将问题规模不断缩小，直到达到递归基，从而逐步解决问题。
递归原理递归的原理可以通过数学归纳法来理解。
假设我们要证明一个性质对于所有的自然数都成立，我们可以分为两步： 1. 证明基本情况下性质成立，比如证明对于自然数1时该性质成立。
2. 假设该性质对于某个自然数n成立，然后证明对于自然数n+1也成立。
递归的原理与上述过程类似。
首先，我们需要确定递归基，即最简单的情况。
然后，我们假设在解决一个规模为n的问题时，我们已经掌握了解决规模为n-1的子问题的方法。
接下来，我们使用这个假设来解决规模为n的问题。
最后，我们将问题的规模不断缩小，直到达到递归基。
递归的应用场景递归思维模式在很多问题中都有应用，特别是涉及到树结构（如二叉树、图）的问题。
以下是一些递归的应用场景：树的遍历对于树结构，我们可以使用递归思维模式来实现遍历操作，包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。
递归的方式非常直观，对于每一个节点，我们先处理它自身，然后递归地处理它的左子树和右子树。
组合和排列问题组合和排列问题在组合数学和算法中经常出现，例如给定一组元素，求出所有的组合或排列的情况。
递归和迭代的特点
递归和迭代的特点
递归和迭代是两种常见的编程技术，它们在解决问题和实现算法时都有各自的特点。
递归是一种通过自身不断调用自身来解决问题的方法。
它具有以下特点：
1. 简洁性：递归可以用简洁的代码表达复杂的问题，因为它利用了函数自身的定义来解决问题。
2. 可读性：递归代码通常比较容易理解，因为它遵循了一种自顶向下的方式来解决问题。
3. 递归调用：在递归过程中，函数会不断地调用自身，直到达到某个终止条件。
4. 栈的使用：递归在实现时会使用系统栈来保存调用信息，包括参数和返回地址。
迭代则是一种通过循环来重复执行一段代码的方法。
它具有以下特点：
1. 效率高：迭代通常比递归更高效，因为它不需要频繁地创建和销毁临时变量。
2. 内存消耗少：迭代不会像递归那样产生大量的栈空间消耗，因此对于处理大规模数据集更友好。
3. 控制流程清晰：迭代的控制流程更加明确，因为它是通过循环条件来控制代码的执行。
4. 适用范围广：迭代适用于各种类型的问题，无论是数值计算、数据处理还是其他领域。
总之，递归和迭代都有各自的优势和适用场景。
在选择使用哪种方法时，需要考虑问题的规模、复杂度以及对效率和内存的要求。
通常情况下，对于简单的问题，递归可能是一个直观的选择；而对于大型数据集或性能要求较高的情况，迭代可能更为合适。
递归算法知识点总结
递归算法知识点总结一、基本概念递归算法的基本概念是基于递归函数的思想。
递归函数是一个调用自身的函数。
递归算法通常可以分为两种类型：简单递归和复杂递归。
简单递归是指在递归函数中直接调用自身，而复杂递归则是指在递归函数中可能会有多个递归调用。
递归算法通常用于解决可以分解为若干子问题的问题，这种方法通常可以更加简洁地解决问题，但同时也可能会带来一些计算复杂度的问题。
递归算法的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定基本情况：在设计递归函数时，通常需要确定一个或多个基本情况。
基本情况通常是指在递归函数中不需要再次调用自身的情况。
2. 确定递归情况：在设计递归函数时，需要确定一个或多个递归情况。
递归情况通常是指在递归函数中需要调用自身的情况。
3. 确定递归方式：当确定了递归函数的基本情况和递归情况之后，就需要确定递归函数的调用方式。
通常有两种方式：直接递归和间接递归。
4. 编写递归函数：根据确定的基本情况、递归情况和递归方式，编写递归函数。
5. 测试递归函数：编写递归函数后，需要对递归函数进行测试，确保递归函数能够正确地解决问题。
二、递归算法的原理递归算法的原理是基于递归函数的调用。
当一个递归函数被调用时，它会将自身的执行环境保存到栈中，并且在栈中分配一些空间。
在递归函数中，如果有一些局部变量，这些变量会在栈中分配空间。
随着递归函数的深入调用，栈中的空间也会不断增加。
在递归函数的执行过程中，通常需要考虑递归栈的压栈和出栈操作。
在递归函数被调用时，会执行一些初始化操作，并将递归参数保存到栈中。
在递归函数中，如果遇到递归情况，会再次调用自身，并且将自身的执行环境保存到栈中。
在递归函数的执行过程中，如果遇到基本情况，就会结束当前递归调用，并且从栈中释放空间。
递归算法的原理是基于递归函数的深度调用的。
当递归函数被调用时，会执行一些初始化过程，并将递归参数保存到栈中。
当递归函数执行完毕后，会从栈中释放空间。
在递归函数的执行过程中，栈中的空间会不断增加和释放。
数据结构之递归
数据结构之递归Ⅲ递归的三⼤要素// 算 n 的阶乘(假设n不为0)int f(int n){if(n <= 2){return n;}}第三要素：找出函数的等价关系式第三要素就是，我们要不断缩⼩参数的范围，缩⼩之后，我们可以通过⼀些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。
例如，f(n) 这个范围⽐较⼤，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。
这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变⼩了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。
说⽩了，就是要找到原函数的⼀个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即f(n) = n * f(n-1)。
这个等价关系式的寻找，可以说是最难的⼀步了，如果你不⼤懂也没关系，因为你不是天才，你还需要多接触⼏道题，我会在接下来的⽂章中，找 10 道递归题，让你慢慢熟悉起来。
找出了这个等价，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数⾥。
如下：// 算 n 的阶乘(假设n不为0)int f(int n){if(n <= 2){return n;}// 把 f(n) 的等价操作写进去return f(n-1) * n;}⾄此，递归三要素已经都写进代码⾥了，所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。
这就是递归最重要的三要素，每次做递归的时候，你就强迫⾃⼰试着去寻找这三个要素。
还是不懂？没关系，我再按照这个模式讲⼀些题。
有些有点⼩基础的可能觉得我写的太简单了，没耐⼼看？少侠，请继续看，我下⾯还会讲如何优化递归。
当然，⼤佬请随意，可以直接拉动最下⾯留⾔给我⼀些建议，万分感谢！Ⅲ案例1：斐波那契数列斐波那契数列的是这样⼀个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34....，即第⼀项 f(1) = 1,第⼆项 f(2) = 1.....,第 n 项⽬为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
求第 n 项的值是多少。
递归算法步骤
递归算法步骤
递归算法是一种通过自身调用来解决问题的算法。
其步骤可以简述为以下几点：
1. 定义递归函数：首先需要定义一个递归函数，该函数负责解决具体的问题。
函数的参数通常包括输入数据和递归所需的其他参数。
2. 设定递归终止条件：在递归函数中，需要设定一个终止条件，当满足这个条件时，递归将停止并返回结果。
这是确保递归不会无限循环的重要部分。
3. 处理基本情况：在递归函数中，需要考虑到一些基本情况，这些情况通常可以直接求解，而不需要继续进行递归。
在这些情况下，可以直接返回结果，从而减少递归的次数。
4. 缩小问题规模：在递归函数中，需要将原始问题划分成更小的子问题。
通过缩小问题规模，可以将原始问题转化为更简单的形式，并且递归地解决这些子问题。
5. 调用递归函数：在递归函数中，需要调用自身来解决子问题。
通过递归调用，可以反复地将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件为止。
6. 整合子问题的解：在递归函数中，需要将子问题的解整合起来，得到原始问题的解。
这通常涉及到对子问题的解进行合并、计算或其他操作。
7. 返回结果：最后，递归函数需要返回结果。
这个结果可
以是最终的解，也可以是在每次递归调用中得到的中间结果。
需要注意的是，在使用递归算法时，要确保递归能够正确地终止，并且要注意避免出现无限递归的情况。
另外，递归算法的效率通常较低，因此在设计算法时要考虑到时间和空间复杂度的问题。
递归和复杂用户界面的设计模式
［ ｙｗ ｒ ｓ ｅｕｓ ｅｕｅ ｔｒ ｃ ； ｖｒ ｐｅ —ｏ ｉａｏ ａｅｎ ｃｄ ｅｅａｉｎ ｍｏ ｅ—ｒ ｅ ； ｅｉｎｐ ｔ ｒ Ｋｅ ｏ ｄ Ｉｒｃｒｉ ｓｒｎｅｌ ｅ ｏ ｅｌ ｐｄｃｍｂｎ ｔ ｎｐｔ ｒ；ｏ ｅｇｎ ｒｔ ； ｄｌ ｉ ｎ ｄｓ ａｔ ｎ ｖ ｉ ａ ａ ｉ ｔ ｏ ｄｖ ｇ ｅ
［ ｂ ｔａ ｔ Ａ ｓｒｃ］Ｃｕｒｎ ｕＩ ｅｉｎｐｔ ｒｓ ａｅｓｍｅｄｆ ｉ ｃｅ ｅｃｉｉｇｃ ｍｐｅ ｓｒｎｅｆｃ． ｉ ａ ｏ ｉ ｌ ｅｅａ ｃｎｅｄ ｎｏ ｅ ｒ ｔ ｓ ａｔ ｎ ｖ ｏ ｅｉ ｅ ｉｓｎｄ ｓｒ ｎ ｏ ｌｘｕｅ ｔｒ ｅ ｗｈｃ ｃｎｎ ｔ ｓ ａ ｓｖ ｒｌｏ ｔｎ ｓ ｎ ｅ ｄ ｇ ｅ ｈ ｃｎ ｉ ｂ ｉ ａ ｈ ｄ ｐｙ ｏ
圈 —Ｐｌ 分 ３ ｌ
递 归和 复 杂 用户 界 面 的设 计模 式
张小涛 ，万建成 ，侯金奎 ，冯仕 红
（ 山东大学计算机科学与技术学院 ，济南 ２ ０ ６ ） ５ ０ １
摘
要 ：当前界面设计模式难 以表达复杂界面结构 ，不能满足在 同一有 限区域展示多项内容或具有层 次结构 内容的需求 。为增强界面设计
１ 概 述
在模型驱动的软件开发 中有多种界面设计方法 。文献【】 １ 认为界 面由静态结构和动态行为构成 ，提到动态 行为的顺序
性 和层 次性 ，但 未 认 识静 态 结 构 的 有 序性 和层 次 性 ；Ｕ ｉ ＭＬ
域可能嵌套包含 另一 些子 区域 ，这些嵌套包含 的子 区域可 以 再包含子区域 ，形成递 归的嵌套层次。每层都是对完整界面
模 式对 复杂界面 的支持能力 ，按普通模式 、简单组合模 式和重叠组合模式 的划分方法总结和扩展界面设计模 式，提出一种递 归界 面设 计模
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递归模式
所谓递归，笼统地说，是指运用收集到的知识作为行动的基础去获得更多的知识。
由于这里所涉及往往是多个甚至是无穷多个未知量，因此，所谓的递归事实上也就是指知识的“不断扩张”：“在解题的每一个阶段，我们都把关于一个新的分量的知识加到已经得到的知识上去，在每一阶段，我们又都要用已经得到的知识去得出更多的知识。
我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国。
在每一个阶段，我们利用已被征服了的省份作为行动基地去征服下一个省份。
”
例 关于前n 个自然数的k 次幂的和k k k k k n S ++++= 321的计算，可以看成应用递归模式去解决问题的一个典型例子。
由于k 是任何一个自然数,因此我们在此所要计算的就是无穷多个未知量,它们排成了如下的序列:k S S S S ,,,,210 ···显然, S 0是十分容易求得的：
n S =++++=11110
进而,在此此基础上可得到如下的递推关系,它把上述序列中的每一个项k S 与它前面的各个项121,,,S S S k k --和0S 联系起来:
∵ 1)1(12111211111++++++=++-+-++++m C m C m C m C m m k k k k k k k k k k
∴ 1)1(12111211111+++++=-++-+-++++m C m C m C m C m m k k k k k k k k k k
令n m ,,3,2,1 =，得
111111************+++++=-+-+-++++k k k k k k k k k k C C C C
122222312111211111+++++=-+-+-++++k k k k k k k k k k C C C C
133333412111211111+++++=-+-+-++++k k k k k k k k k k C C C C
………………………………。
1)1(12111211111+++++=-++-+-++++n C n C m C n C n n k k k k k k k k k k
将上面n 个式子相加得
(n+1)k+1－1=(k+1) S k +21+k C S k-1+31+k C S k-2+···+ S 0。
由此，如果我们已经知道了121,,,S S S k k --和0S ，由所说的关系式便可以把S k 确定出来；又由于我们已经求得了S 0，因此，我们就可按照指定的次序，“一个接一个依次地”递推地把所有的项都找出来。
例如，在上述的递推公式中，如令k=1，
就有01221)1(S S n +=-+
由于0S =n ，因此就有：
1S =2
1)1(2n n --+=2)1(+n n 进而，在递推公式中令k =2，就有：
0123331)1(S S S n ++=-+。
由于我们已经求得了0S 和1S ，因此就有：
n n n S n +++=-+2
)1(331)1(23， 解得， S 2=
6
)12)(1(++n n n 一般地说，波利亚指出：“对于一个依次排列起来的序列（例如），我们可以去算它当中的任何一项的值。
每次算一个。
为此需要两个先决条件：首先，应当知道序列的第一项。
其次，应当有某个关系式将序列中的一项与它前面的那些项联系起来。
这样我们就可借助于前面的项，一个接一个依次地、递推地把所有的项都找出来。
这就是重要的递归模式。
”。