求解递归式
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。
在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。
本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。
一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。
它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。
通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。
例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。
我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。
将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。
接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。
继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。
当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。
利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。
因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。
二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。
它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。
其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。
主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。
主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。
1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
主方法求解递归式例题
主方法求解递归式例题主方法是求解递归式的一种常用方法。
它可以帮助我们推导出递归式的解析式，从而更加方便地理解和分析问题。
在本文中，我们将通过一个例题来详细介绍主方法的使用。
假设我们有一个递归式：T(n) = T(n/2) + O(1)我们想要求解这个递归式，得到其解析式。
首先，我们要确定递归式的初始条件，也就是基本情况。
在这个例子中，我们可以设定T(1) = O(1)作为递归式的基本情况。
接下来，我们使用主方法的第一步：比较递归式中的函数f(n)与f(n/b)的增长速度。
在这个例子中，f(n) = O(1)，而f(n/b) = O(1)。
由于它们的增长速度相同，我们无法通过比较它们来进行进一步的分析。
因此，我们需要使用主方法的第二步：计算函数g(n)。
在这个例子中，g(n) = O(1)。
我们可以看出，g(n)是一个常数函数。
接下来，我们使用主方法的第三步：根据函数g(n)和递归式T(n)的形式，确定递归式的解析式。
在这个例子中，递归式的形式为T(n) = T(n/2) + O(1)。
由于g(n) = O(1)，根据主方法的结论，当g(n) = O(1)时，递归式的解析式为T(n) = O(f(n)logb(n))。
将f(n)和g(n)的值代入解析式中，我们得到T(n) = O(1*log2(n)) = O(logn)。
经过上述分析，我们成功地使用主方法求解了给定的递归式。
最终得到的解析式是T(n) = O(logn)。
通过此例，我们可以看出主方法的求解过程。
首先，我们需要确定递归式的基本情况和计算函数g(n)。
然后，根据递归式的形式和函数g(n)的关系，得出递归式的解析式。
在实际使用主方法时，我们需要注意递归式的形式和基本情况的确定。
同时，我们也可以通过对不同情况的递归式进行分析，来更好地掌握主方法的应用。
综上所述，主方法是求解递归式的一种有效工具，能够帮助我们更好地理解和分析问题。
通过合理运用主方法，我们可以得到递归式的解析式，从而更好地解决问题。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
特征方程求解递归方程
特征方程求解递归方程
在计算机科学和算法设计中，递归方程是非常常见的数学模型。
通常情况下，它们被用来描述某些重复性的过程或者算法的运行时间。
例如，计算斐波那契数列、快速排序算法等都可以用递归方程来描述。
解决递归方程的一种常见方法是使用特征方程。
特征方程是一个与原方程形式相似的代数方程，通过求解它的根可以得到递归方程的通项公式。
特征方程的求解需要一些数学知识，包括线性代数和微积分等。
但是，对于一些简单的递归方程，我们可以使用一些基本的技巧来求解它们的特征方程。
例如，对于斐波那契数列的递归方程f(n) = f(n-1) + f(n-2)，我们可以将它转化为特征方程x^2 = x + 1，然后求解它的根为φ和1-φ（φ是黄金比例，约为1.618），从而得到斐波那契数列的通项
公式f(n) = (φ^n - (1-φ)^n) / √5。
特征方程可以帮助我们更加系统地理解递归方程，从而更好地设计和分析算法。
因此，学习特征方程的求解方法是非常有价值的。
- 1 -。
主定理求解递归式
主定理求解递归式主定理（Master Theorem）是一种用于求解具有特定形式的递归式的方法，它可以给出递归式的渐进复杂度的一个准确界限。
主定理通常用于分析分治算法的复杂度，例如在排序、搜索和图算法等领域中。
主定理的一般形式为：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，a ≥ 1，b > 1，f(n)是一个给定的函数，对于足够大的n，f(n) > 0。
T(n)表示问题规模为n的递归算法的运行时间。
根据主定理，我们可以将问题分为三种不同的情况：1. 如果 f(n) = O(n^c) ，其中 c < logb(a) ，那么 T(n) =Θ(n^logb(a))。
2. 如果f(n) = Θ(n^c log^k n) ，其中 c = logb(a) ，那么 T(n) =Θ(n^c log^(k+1) n)。
3. 如果f(n) = Ω(n^c) ，其中 c > logb(a) ，并且对于某个常数ε > 0和足够大的n，有af(n/b) ≤ kf(n)，其中 k < 1 ，那么 T(n) =Θ(f(n))。
这三种情况涵盖了大多数分治算法的复杂度分析。
我们可以根据给定的递归式直接套用主定理的公式来得到递归算法的复杂度的界限。
但需要注意的是，主定理对于所有递归式都成立是不一定的，因此在使用主定理之前，需要确保递归式满足主定理的条件。
在某些情况下，可能需要对递归式进行适当的转换或使用其他的方法来求解复杂度。
除了主定理，还有一些其他的方法可以用来求解递归式的复杂度，例如递归树、代入法、迭代法等。
这些方法可以作为主定理的补充，用于求解一些特殊的递归式或不满足主定理条件的递归式。
在算法分析领域，主定理是一个重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和分析分治算法的性能。
通过正确应用主定理，我们可以快速且准确地得到递归算法的渐进复杂度，从而更好地评估算法的效率和可行性。
尽管主定理是一个有力的工具，但在实际应用中，我们还需要考虑算法的具体实现细节、边界条件、问题规模的分布情况等因素，来综合评估算法的性能。
数列的递推与递归公式的求解与应用
数列的递推与递归公式的求解与应用数列是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在数列中，递推与递归公式是求解数列的重要方法。
本文将探讨数列的递推与递归公式的求解方法，并探讨其应用。
一、数列的基本概念数列是按照一定顺序排列的一系列数的集合。
数列中的每个数被称为数列的项，用a₁, a₂, a₃, ... 表示。
数列常用的表示方法有两种：显式表示和递推表示。
1. 显式表示显式表示是用一个公式直接给出数列的项与项之间的关系。
例如，数列1, 4, 9, 16, ... 可以用公式aₙ = n²来表示，其中n表示数列的项数。
2. 递推表示递推表示是用一个公式给出数列的首项和数列的递推关系，通过递推关系可以计算出数列的后续项。
例如，数列1, 1, 2, 3, 5, ... 可以用递推公式aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂来表示，其中a₀ = 1, a₁ = 1。
二、数列的递推公式的求解方法对于给定的数列，我们可以利用递推公式推导出数列的递推关系，进而求解数列的各个项。
1. 直接求解如果递推公式中的递推关系可以通过简单的计算直接得到，我们可以通过逐步计算数列的项来求解数列。
这种方法适用于递推关系比较简单的数列，但对于递推关系比较复杂的数列，这种方法可能会非常繁琐。
2. 递归求解递归是指函数调用自身的过程。
对于递推公式，我们可以利用递归的思想来求解数列。
具体方法是将数列的递推关系转化为递归函数的形式，通过递归函数的调用来计算数列的项。
三、数列递推与递归公式的应用递推与递归公式在实际问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍数列递推与递归公式的几个应用。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的递推关系是前两项之和等于后一项。
即aₙ = aₙ₋₁+ aₙ₋₂。
斐波那契数列的应用非常广泛，例如在金融领域中可以用于计算利息，计算股票价格等。
2. 几何数列几何数列是一个特殊的数列，它的递推关系是每一项都等于前一项乘以一个固定的数。
递归算法的经典例子
递归算法的经典例子
斐波那契数列：斐波那契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。
递归算法的核心思想是将一个问题的求解，转化为求解其子问题，以此达到解决原问题的目的，这正是斐波纳契数列求解过程中所采用的方法。
我们用函数fib(n)表示第n个斐波那契数：
def fib(n):。
if n == 0:。
return 0。
elif n == 1:。
return 1。
else:。
return (fib(n-1) + fib(n-2))。
递归函数的步骤：1、定义函数的结束条件；2、定义功能；3、以函数的形式调用自身，逐级求解问题。
解决斐波纳契数列的问题，本质上就是求解一系列递推关系式，这正是递归算法的典型应用场景。
斐波纳契数列有两种实现方案，一种是使用循环实现，一种是使用递归实现。
相比而言，采用递归实现来求解斐波纳契数列，更为简单，容易理解，更加贴近数学本质，也更容易使用。
主方法求解递归式
主方法求解递归式递归式是计算机科学中一个重要的概念，经常出现在算法和数据结构中。
而求解递归式的主方法是其中较为基础的解法之一，本文将为大家介绍主方法求解递归式的原理和具体步骤。
递归式的定义及分类递归式是一种层次化的定义方式，通常用于描述一个问题可以通过较小规模进行逐渐分解的过程。
递归式分为线性递归式和分治递归式两种类型，线性递归式在递归过程中只进行一次递归调用，而分治递归式则在递归过程中多次进行递归调用。
主方法的适用条件主方法适用于求解某些特定类型的递归式。
这些递归式应满足以下条件：①规模减半，即子问题的规模是原问题的一半；②子问题个数一定，即子问题的个数固定不变；③问题的代价公式是一样的，即在递归过程中每一步所需代价相同。
主方法的步骤主方法求解递归式的具体步骤如下：①确定递归式的形式；②计算递归式的基础情况；③根据递归式的形式计算出子问题的代价；④代入递归式，得到最终的时间复杂度公式；⑤验证时间复杂度公式，确定代价模型是否正确。
主方法的实例以归并排序为例，假设对一个长度为n的数组执行归并排序的时间复杂度为T(n)，则有递推式T(n)=2T(n/2)+O(n)。
根据主方法的步骤，我们可以将该递推式转化为时间复杂度公式：T(n)=O(nlogn)。
主方法的优缺点主方法求解递归式的优点是简单快捷，适合于求解某些特定类型递归式的时间复杂度。
但其缺点也显而易见，由于只能求解满足特定条件的递归式，因此只是解决了部分问题，对于其他类型的递归式需要使用其他方法进行求解。
总结递归式是计算机科学中一个重要的概念，了解求解递归式的各种方法对于算法和数据结构的学习至关重要。
主方法求解递归式是其中较为基础的解法之一，通过本文对主方法的介绍，希望能对大家对其原理和步骤有更深入的了解。
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求解
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递归树方法举例
求解
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算法设计与分析-求解递归式
例子:
T(n) = 4T(n/2) + n • [假设 T(1) = Θ(1).] • 猜测 O(n3). (分别证明 O 和 Ω.) • 假设 T(k) ≤ ck3 对于 k< n . • 通过推导证明 T(n) ≤cn3 .
5/13/2013 算法设计与分析-求解递归式 3
替代法举例
T(n) = 4T(n/2) + n ≤ 4c(n/2)3 + n = (c/2)n3 + n = cn3 –((c/2)n3 – n)← 期望 – 余项 ≤ cn3 ← 期望 (c/2)n3 – n ≥ 0, 例如,如果 c ≥ 2 且 n ≥ 1.
算法设计与分析-求解递归式
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
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递归树方法举例
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主方法的思路
情况2： (k=0)在logbn层中 每层的加权基本相同
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主方法的思路
情况3：权重从根到叶子几何级数 递减。根在整个权重中仅仅是常量 部分
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余项
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算法设计与分析-求解递归式
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例子（续）
• 我们必须要处理初始条件，也就是说，首先要 保证推导在初始情况成立。 • 初始：当n0为适当的常量时，对于所有n< n0 T(n) = Θ(1)都成立。
• 如果我们选择足够大的c，那么对于 1 ≤ n < n0, “Θ(1)” ≤ cn3.
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举例
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算法设计与分析-求解递归式
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举例
这时主方法不适用。
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主方法的思路
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算法设计与分析-求解递归式
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主方法的思路
情况1：加权从根到叶子几何级数 增长。叶子在总的权重仅仅占常量 部分
算法设计与分析
讲授内容：求解递归式 教 师：胡学钢、吴共庆
2013年5月13日
求解递归式
• 合并排序的分析需要求解一个递归式 • 求解递归式就像求解积分，微分方程一样。
。学会一些技巧
• 递归式的应用
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替代法
最通用的方法： 1. 猜测解的形式。 2. 通过推导验证。 3. 解出常数。
≤ c1n2–c2n 如果 c2≥1.
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选择足够大的 c1 使初始条件成立。
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递归树方法
• 递归树对算法递归执行的花费（时间）建 模 • 递归树方法可以用作替代法之前的猜想。 • 递归树方法可能不是很可靠 • 然而，递归树方法有启发的作用
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主方法
主方法适用于下面的递归形式
a 1, b 1, f 为正的渐进函数
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三种情况
比较 f ( n ) 和 n
log b
a
:
) O (n
f ( n )比多项式 n
a
-ε
),
0
n 倍）
log
增长的慢（慢
边界并不紧密 !
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更接近的上界？
我们要证明 T(n) = O(n2). 假设 对于k < n: T(k) ≤ ck2 T(n)= 4T(n/2) + n ≤ 4c(n/2)2 + n = cn2 + n = O (n2) 错误! = cn2 – (- n) [ 期望 – 余项] ≤ cn2 没有任何 c > 0满足. 失败!
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算法设计与分析-求解递归式
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更接近的上界？
思想: 加强推导的假设.
• 减一个低阶项
推导假设:对于 k < n , T(k) ≤ c1k2 – c2k.
T(n)= 4T(n/2) + n = 4(c1(n/2)2–c2(n/2))+ n = c1n2–2c2n+ n = c1n2–c2n–(c2n–n)
比较 f ( n ) 和 n
f (n) (n
log b
a
:
+ε
3.
log
a b
), 常量 0 n
log
a b
f ( n ) 增长比多项式
快（快 n 倍）
并且 f ( n ) 满足规定条件 af ( n / b ) cf ( n ), 常量 c 1。 解： T ( n ) ( f ( n )) 。
a
解： T ( n ) ( n
log
b
).
2.
f (n) (n f ( n )和 n
log
b
log
a b
lg n ), 常量 k 0。
k
a
增长速度相同
log
a b
解： T ( n ) ( n
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lg
k 1
n)
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算法设计与分析-求解递归式
三种情况（续）