最新怎么求一元二次函数的最大值和最小值备课讲稿
一元二次方程如何求最大值最小值
一元二次方程的最大值和最小值求解方法在数学中，一元二次方程是一个常见且重要的数学概念。
求解一元二次方程的最大值和最小值，通常可以通过求解方程的顶点来实现。
以下将介绍一元二次方程如何求取最大值和最小值的具体方法。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
在这个方程中，a控制抛物线的开口方向，b控制抛物线的位置，c控制抛物线的纵坐标。
二、求解一元二次方程的最大值和最小值步骤步骤1：将一元二次方程化为顶点形式首先，要将一元二次方程化为顶点形式，即完成平方的过程。
通过配方法可以将一元二次方程整理成标准的顶点形式：a(x−ℎ)2+k。
步骤2：确定最大值和最小值接下来，通过观察a的正负来确定顶点的位置。
若a>0，则抛物线开口朝上，此时方程的最小值为顶点值；若a<0，则抛物线开口朝下，此时方程的最大值为顶点值。
步骤3：计算顶点坐标通过$x=-\\frac{b}{2a}$计算出顶点的横坐标，再将其带入一元二次方程得出顶点的纵坐标。
步骤4：得出最大值和最小值根据步骤3计算出的顶点坐标，即可得出一元二次方程的最大值或最小值。
三、实例演示对于一元二次方程2x2−4x+1=0，首先将其化为顶点形式：2(x−1)2−1。
由a=2>0可知，此抛物线开口朝上，因此最小值为顶点值。
通过计算顶点坐标可知，顶点为(1,−1)，即此方程的最小值为−1。
四、总结通过以上步骤可以看出，求解一元二次方程的最大值和最小值并不复杂，只需转化为顶点形式并观察抛物线的开口方向即可轻松求解。
这对于数学问题的解决具有一定的实用性和重要性。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解一元二次方程的求最大值和最小值的方法，从而提升对数学理论的理解与运用能力。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
《一元二次函数》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《一元二次函数》教学设计1. 熟悉配方法,理解a,b,c (或a,h,k )对二次函数图象的作用.2．理解由y =ax 2到y =a(x −ℎ)2+k 的图象变换方法.3. 掌握二次函数的性质.4. 体会抽象概括的过程，加强直观想象素养的培养.重点：掌握一元二次函数的图象和性质．难点：体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中． 一、新课导入 回顾旧知：初中阶段，我们学习了一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0），请回顾认识这个函数的过程.答案：认识这个函数的过程是从y =x²开始的，是由简到繁的过程.如图所示：思考：对于二次函数y =a(x −ℎ)2+k (a ≠0)的图象，可以由函数y =ax²的图象，经过怎样的变换得到？师揭示本节课题：《一元二次函数》．设计意图：通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数形结合思想．二、新知探究探究一：一元二次函数．分析：一元二次函数的三种形式：（1）一般式：y =ax²+bx +c （a ≠0）（2）顶点式：y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程◆（3）两根式：y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)思考：如何把一元二次函数的一般式化为顶点式？答案：配方法.一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0）都可以通过配方化为y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ，若设 ℎ=−b 2a ，k =4ac−b 24a ，则有y =a(x 一ℎ)2+k （顶点式）通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.例如：一元二次函数y =2x 2+3x +5，通过配方可化为y =2(x +34)2+318，其图象为开口向上，以x =−34为对称轴，（−34，318）为顶点的抛物线.探究二：一元二次函数的图象变换规律．分析：如图所示，一元二次函数y =2(x −2)2的图象可以由y =2x 2的图象右移2个单位长度得到；y =2(x −2)2−1的图象可以由由y =2x 2的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到．知识点：一元二次函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象可以由y =ax 2的图象经过向左（或向右）平移|ℎ|个单位长度，再向上（或向下）平移|k|个单位长度而得到．探究三：一元二次函数y =a(x 一ℎ)2+k(a ≠0)的性质．知识点：（1） 函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k ），对称轴是直线x =ℎ．（2）当a >0时，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =ℎ处有最小值，记作y min =k ．（3）当a <0时，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；函数在x =ℎ处有最大值，记作y max =k ．小结：二次函数y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向（a >0，图象开口向上，a 值越大，开口越小；a <0，图象开口向下，a 值越大，开口越大）﹔h 决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h 正左移，h 负右移”﹔k 决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.设计意图：从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解．三、应用举例例1： 已知一元二次函数y =12x ²+2x +5.（1）指出它的图象可以由y =12x ²的图象经过怎样的变换才能得到；（2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值．分析：因为题中给出了一元二次函数的一般形式y =12x ²+2x +5，所以我们直接利用配方，将它变成y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a的形式，然后通过结合图形，即可得出答案. 解：（1）配方,可得，y =12x 2+2x +5y =12(x 2+4x)+5y =12(x 2+4x +4−4)+5 y =12(x +2)²+3.所以，y =12x 2+2x +5的图象可以由y =12x ²的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.（2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线x =-2；在区间(−∞,−2]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小，在区间[−2,+∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =−2处取得最小值3，y min =3.例2：若函数y =(a −1)x 2+2x +5的图象恒在x 轴的上方,求实数a 的取值范围. 解：当a −1=0时，函数解析式为y =2x +5，此时函数图象为一条直线，不是恒在x 轴的上方，故a ≠1；当a −1≠0时，若函数图象恒在x 轴上方，则有{a -1>0,Δ=4-20(a -1)<0,解得a >65. 综上所述，实数a 的取值范围为a >65. 四、课堂练习1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.（1）二次函数y =3x 2的开口比y =x 2的开口要大.（2）要得到y =—(x—2)2的图象，需要将y =—x 2向左平移2个单位长度．（3）二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)一定有最小值.（4）二次函数y =x 2−2x +1的对称轴为x =—1.2.若抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上,求m的值.3. 若函数y=x2+2(2a−1)x＋2在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小，求实数a的取值范围.4. 求函数y=3+2x−x2（0≤x≤3）的最小值.参考答案：1. （1）×（2）×（3）×（4）×解析：由一元二次函数的图象和性质得知.2. m的值为2.解析：因为抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为−−(m−2)2×1=m−22=0，故m=2.3. (−∞，−3]解析：由一元二次函数的性质知，抛物线y在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小,可得−（2a−1）≥7，所以a的取值范围为(−∞，−3].4. 0解析：将一元二次函数y=3+2x−x2配方得y=−(x−1)2+4，因为（0≤x≤3），所以当x=3时，y min=3+6−9=0.故y的最小值为0.五、课堂小结1.一元二次函数的图象变换规律：h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”﹔k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.2. 一元二次函数图象的性质：（1）函数y=a(x−ℎ)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k），对称轴是直线x=ℎ．a决定了二次函数图象的开口大小及方向（a>0，图象开口向上，a值越大，开口越小；a<0，图象开口向下，a值越大，开口越大）﹔（2）当a>0，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而增大；函数在x=ℎ处有最小值，记作y min=k．（3）当a<0，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而减小；函数在x=ℎ处有最大值，记作y max=k．六、布置作业教材第33页练习第1、2题．。
二次函数最小值求法
二次函数最小值求法嘿，同学们！今天我要和你们好好唠唠二次函数最小值的求法，这可真是个神奇又有趣的事儿！你们想啊，二次函数就像是一个调皮的小精灵，总是在数轴上跳来跳去，让人捉摸不透。
但是呢，咱们只要掌握了它的小秘密，就能轻松找到它的最小值啦！比如说有个二次函数y = x² + 2x + 3 ，这看起来是不是有点复杂？别担心！咱们可以先把它变成顶点式。
就像我们搭积木一样，把它重新组合一下，变成y = （x + 1）² + 2 。
这下是不是清楚多啦？你们看，这个式子的顶点坐标就是（-1，2）。
这意味着当x = -1 的时候，函数就能取到最小值2 。
这是不是很神奇？就好像我们在寻宝，终于找到了那个藏着宝贝的地方！那如果是更复杂一点的二次函数呢？比如说y = 2x² - 4x + 5 ，这可怎么办？其实啊，方法还是一样的。
我们先提出前面的系数2 ，变成y = 2（x² - 2x）+ 5 ，然后再在括号里凑成完全平方的形式，就成了y = 2（x - 1）² + 3 。
哇塞！这下我们又找到了顶点（1，3），当x = 1 时，最小值就是3 。
再想想，如果二次函数的图像开口朝下，那又会怎么样呢？这就好比是一个倒着的碗，它的最大值在顶点，而最小值就没有啦！所以啊，求二次函数的最小值，就是要找到那个顶点的坐标。
这就像是在迷宫里找到出口一样，虽然过程可能有点曲折，但只要我们有耐心，有方法，就一定能成功！你们说，数学是不是特别有趣，特别神奇？咱们只要用心去探索，就能发现其中的好多奥秘！我的观点就是：掌握了求二次函数最小值的方法，就像是拥有了一把打开数学宝藏的钥匙，能让我们在数学的世界里畅游无阻！。
课题：求二次函数的最值
212=+-∴a a 解得：251±=a)(25110舍去又±=∴≤≤a a(3)当对称轴x=a>1 时，由图像知：222)1(max =-==a f y2a 1a 2=∴>=∴且满足a综上所述：a=-1 或 2。
点评：求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在闭区间[m,n]上的最值只有以下两种情况： 1．若[]n m a b ,2∈-，则在f(m),f(n),f(ab 2-)中，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
2．若[]n m ab,2∉-，则在f(m)与f(n)中，较大的一个为最大值，较小的一个为最小值。
三．二次函数与对数函数，指数函数的复合函数的最值问题。
（1）函数)(x f a y =(f(x)为二次函数)的最值主要是先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据指数函数的单调性求得函数)(x f a y =的最值。
（2）函数)(log x f a y =(f(x)为二次函数)的最值，在f(x)>0 的情况下同样先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据对数函数的单调性求得函数)(log x f a y =的最值。
四.随堂练习1．已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2,则 m 的取值范围是（ ） A.2m D.1 2m C. 2m 0 B. 1≤≤≤≤≤≥m 2.求函数]1,(,log )32(22-∞∈=+-x y x x的最小值。
3．设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 最大值和最小值。
课题：二次函数的最值（高三复习课）教学目标：1．掌握二次函数最值的求法。
2．并会运用它解决应用问题。
3．能运用数行结合、分类讨论思想解题。
教学重点、难点：重点：有限区间的二次函数最值及应用。
难点：含参数的有限区间的二次函数最值。
教学过程： 问题1 已知函数，求：⑴时，求最小值；⑵ 上的最值；⑶上的最值。
一元二次方程求最大值和最小值
一元二次方程求最大值和最小值大家好！今天我们要聊的是一元二次方程中的最大值和最小值。
听到这个词，很多人可能会觉得有点拗口，不过别担心，我们会用最简单的方式来搞定它。
大家放轻松，跟着我一步步走，保证你能轻松搞懂！1. 一元二次方程的基础知识在开始之前，我们先要了解一下什么是一元二次方程。
其实，它就是一个形如( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数，( x ) 是变量。
这个方程的图像是一条抛物线，像是上天撒下来的“小船”，左右对称的那种。
1.1 抛物线的开口方向首先要知道的是，这条抛物线的开口方向。
也就是说，它是向上还是向下。
这取决于常数 ( a ) 的符号：如果 ( a > 0 )，抛物线开口向上，就像微笑的脸，最低点就是它的最小值。
如果 ( a < 0 )，抛物线开口向下，就像苦瓜的脸，最高点就是它的最大值。
1.2 顶点的坐标抛物线的顶点就是最重要的地方，它决定了最大值或者最小值的位置。
顶点的坐标可以通过公式计算出来。
如果方程是 ( ax^2 + bx + c = 0 )，那么顶点的 ( x ) 坐标是( frac{b}{2a} )。
接下来，代入原方程就能找到 ( y ) 坐标，也就是最大值或最小值了。
2. 计算最大值和最小值的步骤知道了顶点的位置，我们就可以计算最大值或最小值了。
下面我们一步一步来：2.1 代入公式求顶点首先，找出顶点的 ( x ) 坐标。
比如说，如果你的方程是 ( 2x^2 4x + 1 = 0 )，那么( a = 2 )，( b = 4 )，所以顶点的 ( x ) 坐标是 ( frac{4}{2 cdot 2} = 1 )。
2.2 计算 ( y ) 坐标找到 ( x ) 坐标之后，把它代入原方程中。
我们刚刚得到的 ( x ) 坐标是 1，所以代入方程 ( 2x^2 4x + 1 ) 得到：[ y = 2(1)^2 4(1) + 1 = 2 4 + 1 = 1 ]。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
如何求一元二次方程的最大值与最小值
如何求一元二次方程的最大值与最小值一元二次方程是代数学中经常遇到的问题之一，求解一元二次方程的最大值与最小值是一项基本的数学技能。
在代数学中，最大值和最小值是函数的重要特征之一，它们不仅能够帮助我们了解函数的行为，还可以应用于各种实际问题的求解。
下面我们将介绍如何求解一元二次方程的最大值与最小值。
一、求解一元二次方程的最大值与最小值的基本思路对于一元二次方程ax2+bx+c，其中a、b、c是实数系数，求解它的最大值和最小值可以通过一些基本的代数方法来实现。
一般来说，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要找到二次函数的顶点，也就是最大值或最小值所在的点。
顶点的横坐标x0可以通过公式 $x_0 = -\\frac{b}{2a}$ 来求得。
2.然后，将x0代入原方程中，求得对应的纵坐标y0。
3.最后，根据二次函数的开口方向（即二次项的系数a的正负性），判断是求最大值还是最小值。
二、实例演示以一元二次方程y=x2−4x+5为例，我们来演示如何求解它的最大值与最小值。
1.首先，根据公式 $x_0 = -\\frac{b}{2a}$，我们计算得到 $x_0 =\\frac{4}{2} = 2$。
2.将x0=2代入方程y=x2−4x+5中，得到 $y_0 = 2^2 - 4 \\times2 + 5 = 1$。
3.由于二次项的系数a为正，所以我们可以得出结论：该二次函数的最小值为y=1，当x=2时取得。
三、总结通过以上实例的演示，我们可以看到，求解一元二次方程的最大值与最小值并不难，只需要按照一定的步骤和公式来进行处理就可以得到答案。
在实际应用中，掌握这一技能对于解决各种数学问题和实际应用问题都是非常有帮助的。
希望这篇文章可以帮助读者更深入地理解如何求解一元二次方程的最大值与最小值。
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怎么求一元二次函数的最大值和最小值
一般来说,如果这个一元二次函数的定义域是R的话：
（1）函数开口向上,即a>0时,则没有最大值,只有最小值,即函数的顶点,可用函数的顶点公式：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)来求.
（2）函数开口向上,即a<0时,则没有最小值,只有最大值,求法同上.
若该函数的定义域不是R的话：
（1）函数开口向上,即a>0时：
（2）①当-b/2a在定义域内时,有最小值,再看定义域区间
假设是闭区间[m,n],若-b/2a>(n+m)/2,则最大值精品文档
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精品文档是x=m时的函数值,若-b/2a<(n+m)/2,则相反,若两者相同,则最大值即是端点值。
（3）当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大值还有就是区间是半开半闭的情况时,即[m,n)或
(m,n]时,按上面闭区间的方法计算,但若x取不
到,则没有最大值。
（4）②当-b/2a不在定义域内时，
假设是闭区间[m,n],则最小值和最小值就是两
个端点值,算一下再比较大小就行，
当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大最小
值
当区间是半开半闭的情况,即[m,n)或(m,n]时,按
上面闭区间的方法计算,关键是看能不能取到,
但肯定是只有一个最值的
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精品文档至于函数开口向下,即a<0的情况,上面的看懂了就会了
其实最方便的还是画个草图,分情况讨论一下就行了,算二次函数的最值问题只要不弄错定义域,情况分清楚,不讨论错还是很简单的。