高二数学数列习题
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.数列的通项，其前项和为，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，注意到数列的周期为3，并且【考点】1．三角恒等变换；2．数列求和2.设等比数列都在函数的图象上。
（1）求r的值；（2）当；（3）若对一切的正整数n，总有的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由已知可得，当时，是等比数列， 4分（2）由（1）可知，8分（3）递增，当时，取最小值为所以一切的 12分【考点】数列求通项求和点评：数列求和采用的错位相减法，此法适用于通项公式为关于n的一次式与指数式的乘积形式的数列，第三问不等式恒成立转化为求数列前n项和的最值，期间借助了数列的单调性}中，，试猜想这个数列的通项公式。
3.在数列{an【答案】【解析】因为，，所以，。
【考点】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的通项公式。
点评：简单题，考察数列要从多方面入手，如本题中，通过研究的特征，利用等差数列的知识，使问题得解。
4.对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是【答案】=-2n-1（n+2），所以，切线方程为：y+2n=-2n-1（n+2）（x-2），【解析】因为y'|x=2=（n+1）2n，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y=。
所以，则数列{}的前n项和Sn【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程，等比数列的求和公式。
点评：中档题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
最终转化成等比数列的求和问题。
5.在数列中，=1，，其中实数.（I）求；（Ⅱ）猜想的通项公式, 并证明你的猜想.【答案】（Ⅰ）(Ⅱ）猜想：应用数学归纳法证明。
【解析】（Ⅰ）由6分(Ⅱ）猜想：①当时，，猜想成立；②假设时，猜想成立，即:，则时，=猜想成立.综合①②可得对，成立. 12分【考点】本题主要考查归纳法及数学归纳法。
点评：中档题，“归纳，猜想，证明”是创造发明的良好方法。
利用数学归纳法证明命题的正确性，要注意遵循“两步一结”。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。
高二数学等差数列试题答案及解析
高二数学等差数列试题答案及解析1.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差等于（）A．3B．C．1D．-2【答案】D【解析】由等差数列前项和公式可知【考点】等差数列求和点评：等差数列求和公式的考查，，题目很简单2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖的块数是 .【答案】【解析】观察规律可知：第一个图形6块白砖，第二个图形10块白砖，第三个图形14块白砖，后一个比前一个多4块，白砖块数构成等差数列，首项为6，公差为4，所以第块有块【考点】归纳推理与数列点评：求解本题首先要根据题目中给定的图形找到其一般规律，即数列的通项，再由通项求得第个图案中有白色地面砖的块数3.在公差不为0的等差数列中，，且依次成等差数列.（Ⅰ）求数列的公差；（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值，并求出此时的值【答案】（1）2 （2）6或7.【解析】（Ⅰ）由依次成等差数列知即，整理得.因为，所以. 从而，即数列的公差为2 6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知因为且，所以当或7时，有最小值.因此，的最小值为，此时的为6或7.【考点】等差数列的通项公式和求和点评：解决的关键是熟练的借助于等差数列的公式来求解计算，属于基础题。
4.下列说法中正确的是（）A．满足方程的值为函数的极值点B．“”是“复数为纯虚数”的充要条件C．由“，”，推出“”的过程是演绎推理D．“若成等差数列，则”类比上述结论：若成等比数列，则【答案】D【解析】对于A、满足方程的值为函数的极值点，错误，比如y= ,在x=0处不是极值点。
B、“”是“复数为纯虚数”的充要条件故是充分不必要条件，错误。
C、由“，”，推出“”的过程是演绎推理，错误，这是类比推理。
D、“若成等差数列，则”类比上述结论：若成等比数列，则成立故选D.【考点】复数的概念，演绎推理，等差数列，等比数列点评：解决的关键是对于复数的概念，演绎推理，等差数列，等比数列概念的熟练运用，属于基础题。
江苏高二数学练习题
江苏高二数学练习题一、选择题1. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，其中n∈N*，则数列{an}的前6项和为多少？A. 12B. 15C. 18D. 212. 已知正项数列{an}满足an+1 = 2an + 1，若a1 = 3，则a2 + a3 + a4 + a5 = ？A. 119B. 120C. 135D. 1593. 已知正项等差数列{an}满足a1 = 3，an+1 - an = 2n，若S10表示前10项和，则S10 = ？A. 180B. 200C. 210D. 2204. 设等差数列{an}的公差为2，若a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 0，则数列的首项a1 = ？A. -25B. -20C. -15D. -10二、计算题1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求f(2) + f(4) + f(6) + f(8)的值。
2. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a和b为常数，且对于任意的实数x，f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 13。
求函数f(x)。
3. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + 1，对于任意的x，f(1) = 3，f(-1) = 5，并且f(x)的图像关于直线y = x 对称。
求函数f(x)。
4. 若2x^2 + 3ax + b可以被(x - 1)(2x + 3)整除，求实数a和b的值。
三、证明题1. 设集合A = {1, 2, 3, ..., n}，B = {n + 1, n + 2, ..., 2n}，证明集合A和B的并集与交集的元素个数之差为n。
2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且对于任意x，f(x) > 0。
证明函数f(x)的图像与x轴有且仅有一个交点。
3. 已知数列{an}满足an+1 = 2an，a1 = 1，证明数列{an}是一个等比数列。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.定义一种运算＆，对于，满足以下性质：（1）2＆2=1，（2）（＆2=（＆2）+3,则2008＆2的数值为【答案】-3008【解析】（＆2=（＆2）+3,即（＆2）=（＆2-3,则 2＆2，4＆2，6＆2，（＆2）构成等差数列，（＆2）=2＆2+（1004-1）*（-3）=-30082.已知等差数列｛an ｝的前n 项和Sn满足S3＝0，S5＝－5．（1）求｛an｝的通项公式；（2）求数列的前n 项和【答案】（1）;（2）【解析】（1）设等差数列的首项，公差分别是，代入公式；（2）将和代入通项公式，整理，第二步是裂项相消，整理．试题解析：（1）因为S3＝0，S5＝－5。
（6分）（2）所以数列的前n项和…+=…+=。
（6分）【考点】1．等差数列的前n项和；2．等差数列的通项公式；3．裂项相消法求和．3.已知数列是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为A．或B．或C．D．【答案】A【解析】显然，则，解得，则成等比数列，其公比为，则其前5项和为或．【考点】等比数列的求和公式．4.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为,，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）利用进行求解；（2）先利用点在直线上求得的通项，再利用求得，再利用错位相减法进行求和．试题解析：（Ⅰ）（1）（2）（2）-（1）得，即，成等比数列，公比为．．（Ⅱ）由题意得：，成等差数列，公差为．首项，，，当时，，当时，成立，．，令，只需．（3）（4）（3）-（4）得：．为递增数列，且 ,，实数的最大值为．【考点】1．的应用；（2）错位相减法．5.已知正项数列的前项和为，对任意，有．（1）求数列的通项公式；（2）令，设的前项和为，求证：【答案】（1）（2）证明见解析．【解析】第一问根据题中所给的条件，令取时，对应的式子写出，之后两式相减，可得相邻两项的差为常数，从而得到数列为等差数列，令，可得数列的首项，从而求得数列的通项公式，第二问对式子进行分母有理化，化简可得，再求和，中间项就消没了，从而证得结果．试题解析：（1）由可得，，两式相减得，整理得，根据数列是正项数列，所以有，且有，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有；（2）【考点】求数列的通项公式，数列求和问题．6.等差数列中，，则前7项的和（）A．B．28C．63D．36【答案】C【解析】由等差中项可得, ．故C正确．【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和．7.（本小题满分12分）已知是一个等差数列，且。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
高二数学数列极限专项训练_基础(含解析)
2
，
lim
n
2n1 t n 2n t n1
lim 2 2 ，成立。 n
17、 4 或 5 。
Sn
na1
1 n(n 1)d 2
lim n
Sn n2
1
lim
n
2a1n n 1
2n2 2
nd
a1 8
d 2
a1 8
a1
4d
得到
Sn
1 2
dn2
9 2
dn ，故 n
4 或 5 时，
Sn
取到最大值。
时 n 的值为
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
3/4
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
答案与解析
选择菁英高中，成就名校梦想
1、④
2、D
3、 3
5、 5 3
6、 2
9、 0 （数列的极限与数列的有限项无关）
7、 3 2
10、 27 4
12、
0,
3 2
3 2
,
3
。
a1
2 1 q ，
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
4/4
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
高二数学数列极限与各项和专项训练（基础）
1、有下列四个命题：
①
若
lim
n
an2
A2
，则
lim
n
an
A；
③
若 lnim(an
bn )
0
，则
lim
n
an
lim
n
bn
；
其中真命题有
②
若 an
高二数学等差数列试题答案及解析
高二数学等差数列试题答案及解析1.在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )．A．15B．18C．19D．23【答案】C【解析】由等差数列3，7，11，…，得=3，d=4,则=19.故选C.【考点】等差数列的通项公式.2.等差数列{an }中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，那么它的公差是( )．A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由a2＋a6＝8，得a3＋a5＝8，又a3＋a4＝3，两式相减得d=5.故选B.【考点】等差数列的性质.3.在等差数列{an }中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25【答案】B【解析】由可知，答案选B.【考点】等差数列的通项公式（或性质）与求和公式4.已知数列的前n项和，那么数列（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】当时，，当时，，而也满足，所以的通项公式为；所以本题选B.【考点】数列的前项和与通项公式；5.已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则( ) A．2B．3C．5D．7【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由于成等差数列，整理的由于【考点】等差数列和等比数列的性质.6.已知数列的前项和，（1）写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？说明理由.（3）写出的通项公式.【答案】（1），，，，；（2）不是等差数列，理由详见解析；（3）.【解析】（1）题中条件给出了前项和的表达式，从而可以利用，可以写出数列的前项：，，，，；（2）若数列是等差数列，则须满足对所有的恒成立，而由（1）可知从而可以说明数列不是等差数列；（3）考虑到当时，，当时，，可得，，即数列的通项公式为.试题解析：（1）∵，∴，，，，；由（1）可知，，，∴，∴数列不是等差数列；（3）∵当时，，∴，，∴数列的通项公式为.【考点】1.等差数列的判断；2.数列通项公式.7.某体育馆第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，那么第十五排有（）个座位.A．27B．33C．45D．51【答案】B【解析】由题意，体育馆内从第一排起，每排的座位数构成首项为5,公差为2的等差数列，所以第十五排有个座位，故选B.【考点】等差数列的概念及通项公式.8.以下各数不能构成等差数列的是 ( )A．4,5,6B．1,4,7C．，，D．，，【答案】D【解析】显然A，B，C选项中，给出的三数均能构成等差数列，故选D.事实上，，，不能构成等差数列，证明如下：假设，，成等差数列，则2＝＋⇔12＝7＋2⇔5＝2⇔25＝40.这是不可能的．9.数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先由算出，当时，由得到，两式相减可得，从而可判断数列是一个等比数列，再由等比数列的通项公式可写出即可；（2）由（1）中求出的，计算出，这是一个关于的一次函数，故数列为等差数列，利用等差数列的前项和公式求和即可.试题解析：（1）当时，，∴ 2分当时，∴∴ 5分∴数列是首项为2，公比为2的等比数列∴ 7分（2） 9分11分∴ 13分.【考点】1.数列的通项公式；2.等比数列的定义及通项公式；3.等差数列的前项和公式.10.等差数列中，若，则等于（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】等差数列中，若，则，因此，所以【考点】等差数列性质11.已知等差数列中满足，.（1）求和公差；（2）求数列的前10项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】本题是等差数列基本量的计算问题.（1）将题中条件用首项与公差表示，可得，然后求解即可；（2）由（1）中计算得的，结合等差数列的前项和公式计算即可.试题解析：（1）由已知得 3分所以 5分（2）由等差数列前项和公式可得 8分所以数列的前10项的和为 10分.【考点】等差数列的通项公式及其前项和.12.在等差数列中，若，则数列的通项公式为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】公差，所以。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知等比数列的前项为，，，则= ．【答案】31【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式2.在数列中，已知等于的个位数，则的值是（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【解析】根据已知条件可知，，，，，，，，，因此次数列从第三项起，以循环，则为还余下，所以的值为.【考点】简单逻辑连接词.3.观察下列各式：，，则的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意得，，发现的末两位数字是49，的末两位数字是43，的末两位数字是01，，的末两位数字为43，故选B。
【考点】归纳推理4.数列{an }满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn =log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设，数列{bn }的前n项的和为Tn，求证：．【答案】（Ⅰ）证明如下；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明如下；【解析】（I）由已知可得，，利用构造法，令，则可得，从而可证数列为等比数列；（II）由（I）可先求数列，代入可求；（III）把（II）中的结果代入整理可得，，则代入相消可证；试题解析：（Ⅰ）由得，于是，即，因此是以2为公比的等比数列；（Ⅱ）又，于是，即，因此，即；（Ⅲ）因为，于是，又，即；【考点】•数列的求和 等比关系的确定 数列递推式5.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列，，满足．（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知条件变形可得,由等差数列的定义可知数列即数列是等差数列．由等差数列的通项公式可求得．（2）由已知可求得,分析的通项公式可知应用错位相减法求数列前项和．试题解析：（1）因为,,所以,即,所以数列是以首相,公差的等差数列,故．（2）由知,于是数列前项和两式相减可得所以【考点】1等差数列的定义,通项公式；2错位相减法求数列的和．6.已知数列满足条件，则．【答案】【解析】,可知数列是以为首相,以1为公差的等差数列．．．【考点】1构造法求数列的通项公式；2等差数列的定义；3等差数列的通项公式．7.设是等差数列的前n项和，若（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等差数列的首项为，由等差数列的性质得：，，∴．【考点】等差数列的性质．8.等差数列中，，则中的最大值是（）A．B．或C．D．【答案】A【解析】因为是等差数列，，又，所以中的最大值是．【考点】等差数列的前项的和9.已知数列满足，，若，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A【考点】递推公式求数列各项10.已知数列满足，则．【答案】【解析】时，当时由得，两式相减得，经验证符合上式，因此通项公式为【考点】数列的通项公式求法11.（本小题满分为10分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的首项和公差表示，通过解方程组得到基本量，从而得到通项公式；（Ⅱ）将数列，的通项公式代入得到，根据特点采用错位相减法求和试题解析：（Ⅰ）由题意有，即，解得或，故或（Ⅱ）由知，故，于是，①∴②∴由①－②可得故【考点】1．等差等比数列通项公式；2．错位相减法求和【方法点睛】在等差等比数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，首项和公差公比表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和12.已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足．（1）求数列、的通项公式；（2）如果，设数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）详见解析．【解析】（1）由成等比数列可得成等比数列，将其转化为关于公差的方程即可求得公差，由等差数列的通项公式可求得．由公式即可求得与间关系式．由等比数列的定义可知为等比数列，从而可得．（2）由题意可知应用错位相减法求和．比较大小应用作差法即即可．试题解析：解：（1）设数列的公差为，依条件有，即，解得（舍）或，所以．由，得，当时，，解得，当时，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．（2）由（1）知，，所以①②得．又．所以，所以．【考点】1等差数列的通项公式；2等比数列的定义，通项公式；3错位相减法求和．13.在等比数列{bn }中，S4=4，S8=20，那么S12= ．【答案】84【解析】由等比数列性质可知成等比数列，所以代入已知数据得【考点】等比数列性质14.已知数列满足，．令．（1）求证：数列为等差数列；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）现将代入可得，再展开，两边同除以即可证数列为等差数列；（2）先由（1）可得数列的通项公式，进而可得的通项公式，再利用裂项法可得，进而可证明．试题解析：（Ⅰ），（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由于于是【考点】1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、数列的“裂项”求和；4、不等式的证明．15.已知数列是首项为的等比数列，其前项和为，且，则数列的前5项和为A．或B．或C．D．【答案】D【解析】由可知公比，数列是等比数列，公比为，首项为1，所以【考点】等比数列及求和16.（2015秋•宁德校级期中）已知公差不为零的等差数列{an }，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =2n，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an =1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）Sn=n2+2n+1﹣2．【解析】（1）通过a2=1+d、a5=1+4d，利用a1，a2，a5成等比数列计算可知公差d=2，进而可得结论；（2）分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算，相加即可．解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{an }的前n项和Pn==n2，∵bn=2n，∴数列{bn }的前n项和Qn==2n+1﹣2，∴Sn=n2+2n+1﹣2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．17.函数图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据平面几何切割线定理，从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项，原点做半圆的切线长为设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是，则，设，所以，所以，根据图像分析，或是分别得到或，只有不在范围内，故选B．【考点】1．等比数列的性质；2．切割线定理．18.已知等差数列的公差为，且，若，则（）A．8B．4C．6D．12【答案】A【解析】根据等差数列的性质可知，即，又，所以．【考点】等差数列的性质．19.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析，，，，，，，故选D．【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为等差数列；（3）每增加“”，就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知在的基础上多出了两项得出结论的．20.已知各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列且，则（）A．16B．8C．4D．2【答案】A【解析】【考点】等比数列等差数列性质21.（2015秋•滑县期末）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a1=﹣3，ak+1=，Sk=﹣12，则正整数k=（）A．10B．11C．12D．13【答案】D【解析】根据数列的概念直接求解．解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a1=﹣3，，∴解得k=13．故选：D．【考点】等差数列的性质．22.（2007•山东）设数列{an }满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=，两式作差求出数列{an}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1an=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴bn=n•3n．∴Sn =3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3Sn =32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2Sn=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2Sn=n•3n+1﹣．∴．【考点】数列的求和；数列递推式．23.已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由利用能求出an=3n；（Ⅱ）先求出再求出中的最大值为,由此能求出实数m的取值范围试题解析：（Ⅰ）当时，，∴，又时，满足上式，所以．（Ⅱ），当时，，当时，，∴时，，时，，时，，∴中的最大值为．要使对于一切的正整数恒成立，只需，∴．【考点】1．数列的求和；2．数列递推式24.已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即；与的等差中项为，可得，得；所以，，得．故选C.【考点】等比数列的通项公式和前n项和公式；等差中项.25.已知等差数列中，等于（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】根据等差数列的性质，得，所以.故选A.【考点】等差数列的性质.26.已知满足，，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：，所以.试题解析：（1）证明：由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以.【考点】等比数列的定义；数列的通项公式.27.若数列满足，若数列的最小项为1，则的值为 .【答案】【解析】由题意得，数列，令，则，由，解得，此时函数单调递增；由，解得，此时函数单调递减，所以对于来说，最小值是或中的最小值，又，所以为的最小值，即，解得.【考点】利用导数研究函数的单调性及其极值（最值）.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，着重考查了转化与化归的思想方法和推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据给定的数列，转化为函数，利用导数研究函数的单调性，确定函数的单调性，得出数列的最小值，列出方程即可求解实数的值.28.已知等差数列中，．（1）求数列的通项公式及前项和的表达式；（2）记数列的前项和为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列的通项公式及前n项和的表达式；（2）由（1）得，由此利用裂项求和法能求出的值试题解析：（1）∵等差数列中，，∴，解得，∴．．（2）由（1）得，∴∴．【考点】数列的求和；等差数列的性质29.等差数列中，，则的值是（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】由题意，根据等差数列的性质得，所以，故选A．【考点】等差数列的性质．30.已知数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）利用当时，和时，，即可求解的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．试题解析：（1）由，得当时，；当时，，．所以，．（2）由（1）知，，．所以，，．故，．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．31.已知等差数列的公差为前n项的和为Sn，若则d = ,= ，Sn= .【答案】; ;.【解析】由题意，可知，可知，所以，.【考点】等差数列的通项公式和前项和.32.等差数列{an }中，，{bn}为等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为（）A．4B．2C．16D．8【答案】A【解析】由于是等差数列，所以，所以，或，又是等比数列，所以，．故选A．【考点】等差数列与等比数列的性质．33.已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）实数的最大值为．【解析】（1）利用的关系求出通项公式；（2）通过恒成立转化为求的最小值．试题解析：解：（1）当时，，又各项均为正数；数列是等差数列，；（2），若对于任意的恒成立，则法（一）：令，因，所以数的最大值为【考点】1．利用的关系求出通项公式；2．恒成立问题的转化．34.对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”．类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有”．【答案】【解析】由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是,则等比数列的商是,故应填答案.【考点】类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.35.已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】由是1和3的等差中项，得，则；由数列是等比数列，得.故选D.【考点】等差数列和等比数列的性质.36.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A．B．C．D．【解析】因为等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，所以，得，因此，故选A．【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比、等差数列的性质．37.在等差数列中，．（1）数列的前多少项和最大？（2）求数列的前项和；【答案】（1）数列的前项和最大；（2）．【解析】（1）根据题设条件，列出方程组，求得，利用等差数列的通项公式，求得通项公式，令，得出当时，，当时，，即可得到结论；（2）当，时，求得，当，时，数列的前项和为，即可得出结论．试题解析：（1）由，得，∴，令，得，∴当，时，，当，时，，∴数列的前17项和最大；（2）当，时，；当，时，，∴当，时，数列的前项和为；当，时，数列的前项和为，故．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用、数列的求和，其中解答中着重考查了分类讨论的数学思想、函数与方程思想的应用，以及学生的推理与运算能力和分析问题、解答问题的能力，试题有一点的难度，属于中档试题，本题的解答中，求出数列的通项公式，根据通项公式判断出数列的正项与负项，合理分类讨论是解答的关键．38.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36…的值为（）A．B．C．D．【解析】试题分析:因为且,所以在第行,第个数,因此根据数表的数据的规律可知,应填.【考点】归纳猜想等合情推理及运用．【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为,然后再确定数列中的项是第行,第个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数.39.等差数列的前n项和为，若，则等于（）A．12B．18C．24D．42【答案】C【解析】等差数列的前n项和为，则也成等差数列，即，，有，选C.【考点】等差数列的性质40.在数列中，，，则的值为（）A．49B．50C．51D．52【答案】D【解析】由，得，故数列为首项为，公差为的等差数列，所以．故选 D．【考点】数列递推式．41.若是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有（）①；②；③（，为常数）；④．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等差数列的定义，对于①当时，不是等差数列；②是常数，故是等差数列；③是常数，故是等差数列；④是常数，故是等差数列．故选：C．【考点】等差关系的确定．【方法点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质以及等差数列的判定，注重强调对基础的考查，属于容易题；一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于一个常数,那么这个数列就是等差数列,通过定义逐个验证；或者由等差数列通项公式的性质：若数列为等差数列，也可得到结果．42.在等差数列中，已知，则=A．10B．18C．20D．28【答案】C【解析】由题意得，设等差数列的公差为，则，则，故选C．【考点】等差数列的通项公式．43.已知数列的前项和为，，等差数列中，，且，又成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，利用恒等式构造出两者作差得出，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，而，∴.∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，在等差数列中，∵，∴，又因为成等比数列，设等差数列的公差为，∴，解得或.∵，∴舍去，取，∴，∴.（2）由（1）知，，①，②①-②得，∴.【考点】1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.【方法点睛】本题主要考查的是等差数列的综合,等比数列的综合,错位相减法求数列前项和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于数列中给出的递推关系式求数列的通项公式，我们要熟练掌握常见的九种递推关系式求数列的通项公式的方法，只有求出了通项公式后面才能求数列前项和，另一方面凡是遇到等差数列和等比数列相乘做为一个数列，求这个数列的前项和，只有一个方法，错位相减的方法求解，因此正确求出数列的通项公式是解此类题目的关键.44.已知数列满足，前项和是，则满足不等式的最小正整数为______【答案】7【解析】根据题意，，化简可得；则是首项为，公比为的等比数列，进而可得，即；依题意，即，且n∈N*，分析可得n＞7；即满足不等式的最小正整数n是7【考点】数列的应用；数列的求和45.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的求和公式及性质，可得，所以，同理可得，所以，所以，对任意正整数，都有，则，故选D.【考点】等差数列的求和公式.46.已知函数满足且.（1）当时，求的表达式；（2）设，，求证：…；（3）设，，为的前项和，当最大时，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或时取得最大值．【解析】（1）令，则，得到，即，即可利用等比数列的通项公式，求的表达式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法求解数列的和，即可证明结论；（3）由（1）可得，得到数列是一个首项是，公差为的等差数列，判定出时，当时，当时，即可得出的值.试题解析：（1）令，则，∴，即，∴（3分）（2）证明：设，则（5分）∴∴即（8分）（3）由（1）可得，∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列，∴当时，当时，当时（10分）故或时取得最大值18. （12分）【考点】数列的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到抽象函数的性质的应用，等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键.47.在等比数列中，，则（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由等比数列的通项公式，令，解得，故选C．【考点】等比数列的通项公式．48.设数列前项和为，如果那么_____________．【答案】【解析】由，即，所以当时，，两式相减，可得，即，所以，又因为，所以．【考点】数列通项公式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到，进而得到是解答的关键．49.在等差数列中,,,则的前项和（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，即，解得，所以的前项和，故选D.【考点】等差数列的前项和.50.给出下列命题：①是的内角，且，则;②是等比数列，则也为等比数列；③在数列中,如果前项和，则此数列是一个公差为的等差数列；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；则上述命题中正确的有（填上所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】①中，根据三角形的性质可得，再由正弦定理可得，所以是正确的；②中，当等比数列的公比为时，此时，此时数列不是等比数列，所以是错误的；③中，由，则此数列从第二项开始是一个公差为的等差数列，所以是错误的；④中，是所在平面上一定点，动点满足：，，则直线为角的平分线，所以一定通过的内心，所以是正确的，故选①④．【考点】命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到平面向量的运算、三角形的正弦定理、等比数列的定义、以及等差数列的判定及前项和公式，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，其中熟记数列的概念和向量的基本运算是解答的关键．51.在数列中，已知对任意，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，两式相减得，所以是以为首项，公比为的等比数列，其前项和为.【考点】等比数列.52.设为等差数列的前项和，若，则（）.A．13B．14C．15D．16【答案】C【解析】设等差数列的首项是、公差是，因为，所以，解得，则=-1+8×2=15【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和53.《张邱建算经》是我国古代数学著作，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了五尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加尺．（一月按30天计）【答案】【解析】由题意得，女子织布两构成一个等差等数列，设等差数列的公差为，则一个月的织布总量为，即，解得．【考点】等差数列的求和的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中等差数列数列的通项公式、等差数列的求和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，本题的解答中把实际问题转化为女子织布两构成一个等差等数列，再根据等差数列的求和公式，求出公差是解答的关键，属于基础题．54.设等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，由，，称等差数列，求解，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法，求解数列的和．试题解析：（1）设数列的公比为，∵，，称等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）设数列的前项和为，则，又，∴，，两式相减得w，∴．【考点】等比数列的通项公式；数列求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列求和，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、等知识点的综合考查，着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生转化与化归思想的应用，本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和，准确计算是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．55.已知数列中，，，其前项和满足．（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，求；（3）若对一切恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）利用等差数列的定义证明数列，并求数列的通项公式．（2）利用裂项法求数列的和．（3）将不等式条件转化为，进而求实数的最小值．试题解析：解：⑴由已知，，且，∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴…………3分⑵，………………6分⑶∵，∴，∴，又，∴的最小值为．【考点】1.数列的求和；2.等差数列的性质．56.已知是等差数列，是等比数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)借助题设条件运用等差数列等比数列的有关知识求解；(2)借助题设运用等差数列等比数列的求和公式探求.试题解析：（1）等比数列的公比，所以，，设等差数列的公差为，因为，，所以，即，所以……………………………………………………………………5分（2）由（1）知，，，因此，从而数列的前项和.…………………10分【考点】等差数列等比数列的通项及前项和公式等有关知识的综合运用.57.已知（为常数，且），设是首项为4，公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列是等比数列；(Ⅱ)若，记数列的前n项和为，当时，求；【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)【解析】（1）根据等差数列的通项公式可求得f（x）的解析式，进而求得，进而根据推断出数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）把（1）中的代入求得，把m代入，进而利用错位相减法求得．试题解析：(Ⅰ)由题意即∴∴∵且，∴为非零常数，∴数列是以为首项，为公比的等比数列(Ⅱ)由题意，当∴①①式乘以2，得②②－①并整理，得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。