北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编：三角函数

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在ABC △中，若b =,1c =，tan B =，则a = . 【答案】3【解析】由tan 0B =>，知02B π<<，得sin B =，1cos 3B =，由余弦定理可得2221cos 23a c bB ac+-==，即218123a a+-=，整理得232210a a --=，解得3a =或73a =-（舍去）。

2.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．【答案】45-【解析】因为3sin 05α=-<，tan 0α>所以α为第三象限，所以cos 0α<，即4cos 5α==-。

3.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC的面积等于 .【答案】4,4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是 (A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+【答案】B【解析】由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2sin(2)288y f ππϕ==⨯+=，所以sin()14πϕ+=，即2,42k k Z ππϕπ+=+∈，所以24k πϕπ=+，所以2sin(2)4y x π=+，选B.5. 【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．【解析】由余弦定理得2222cos 60b a c ac =+- ，即2174222c c =+-⨯⨯整理得2230c c --=，解得3c =。

所以BC 边上的高为sin 3sin 60c B =⨯=6.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤6πf x f 对R ∈x 恒成立,且()ππf f <⎪⎭⎫⎝⎛2.则下列结论正确的是A.11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πfB.⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛5107ππf f C.()x f 是奇函数 D.()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ【答案】D7.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b ,则=a ,=c .【答案】2,38.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若2cos a b C =，由正弦定理得sin 2sin cos A B C =，即sin()2sin cos B C B C +=，所以sin()2sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +==+，即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以sin()0B C -=，即B C =，所以ABC ∆是等腰三角形。

若ABC ∆是等腰三角形，当A B =时，2cos a b C =不一定成立，所以“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的充分不必要条件，选A. 9. 【北京市西城区2013届高三上学期期末理】已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 【答案】1[,1]2-，[,]62ππ【解析】若63x ππ-≤≤，则2233x ππ-≤≤，52666x πππ-≤+≤，此时1πsin(2)126x -≤+≤，即()f x 的值域是1[,1]2-。

若6x a π-≤≤，则223x a π-≤≤，22666x a πππ-≤+≤+。

因为当266x ππ+=-或7266x ππ+=时，1sin(2)62x π+=-，所以要使()f x 的值域是1[,1]2-，则有72266a πππ≤+≤，即23a ππ≤≤，所以62a ππ≤≤，即a 的取值范围是[,]62ππ。

10.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知ABC ∆中，AB=，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．【解析】由sin C C =得tan 0C =>，所以3C π=。

根据正弦定理可得sin sin BC AB AC=，即12sin A==，所以1sin 2A =，因为AB BC >，所以A C <，所以6A π=，即2B π=，所以三角形为直角三角形，所以112ABC S ∆==二、解答题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.【答案】解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分 因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f2cos )cos 1x x x =-⋅+2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-， (6)分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝- …………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知函数2()sin cos cos1222x x x f x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.【答案】解：（Ⅰ）1cos ()sincos1222xxxf x +=+-111sin cos 222x x =+-…………………………………………2分1).42x π=+-……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分 由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+.函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………………9分(Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值. …………………13分3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．【答案】 解：（Ⅰ）1cos 2()22xf x x a +=++1sin(2)62x a π=+++.……………………………………………3分所以T =π．……………………………………………………………4分 由3222262k x k πππ+π≤+≤+π，得263k x k ππ+π≤≤+π． 故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππ+π+π（k ∈Z ）．…………………7分（Ⅱ）因为63x ππ-≤≤， 所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．…………………………………………………………10分因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113(1)()2222a a +++-++=，所以0a =．…………………………………………………………………………13分 4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.（Ⅰ）由cos 0x ≠ ………………1分得 ,2x k k ππ≠+∈Z………………3分所以函数)(x f 的定义域为 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈……………4分 （Ⅱ）sin 2cos 21()2cos x x f x x++==22sin cos 2cos 112cos x x x x+-+……………8分=sin cos )4x x π+=+……………10分())42f ππαα+=+=所以3cos sin()25παα=+=……………13分5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.【答案】解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得， 3cos 5α=， 12sin 13β=． ………………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………………3分∵β的终边在第二象限，∴ 5cos 13β=-．………………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB|=|OB OA - |, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分∴9224OA OB -⋅= ，∴18OA OB ⋅=- ．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………10分∴OA OB ⋅ =1||||cos 8OA OB AOB ∠=- ． ………………………………… 13分6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】已知函数21()coscos2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小. 【答案】解：（I）因为21()coscos2222xx x f x =+-cos 122cos 121x x x x=+-=++πsin()6x =+…………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈所以令πππ2π2π262k x k -<+<+解得2ππ2π2π 33k x k -<<+所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =……10分由正弦定理sin sin B A ba=把1a b ==代入，得到1sin 2B = ……………12分又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C = ………13分7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值． （Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin 2x x x x x =２-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当 时，即 时， 的最小值为 . ………13分8.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】已知函数 的最小正周期为 .(I)求 的值;(II)求函数 在区间 上的最大值和最小值.解:(I).………………………………………………………5分因为 是最小正周期为 ,所以 ,因此 .…………………………………………………………………7分(II)由(I)可知, ,因为 ,所以 .…………………………………………………9分于是当 ,即 时, 取得最大值 ;…………………11分当 ,即 时, 取得最小值 .……………13分9.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】已知函数 ．（Ⅰ）求 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 在 的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）由已知，得……………………2分，……………………4分所以 ，即 的最小正周期为 ；……………………6分（Ⅱ）因为 ，所以 ．……………… 7分于是，当 时，即 时， 取得最大值 ；…… 10分当 时，即 时， 取得最小值 ．……………13分10.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】在△ 中，已知 ．（Ⅰ）求角 的值；（Ⅱ）若 ， ，求△ 的面积．【答案】（Ⅰ）解法一：因为 ，所以 ．……………3分因为 ，所以 ，从而 ，………………5分所以 ．………………6分解法二：依题意得 ，所以 ，即 ．……………3分因为 ，所以 ，所以 ．…………5分所以 ．………………6分（Ⅱ）解法一：因为 ， ，根据正弦定理得 ，……………7分所以 ．……………8分因为 ，……………9分所以 ，………11分所以△ 的面积 ．………13分解法二：因为 ， ，根据正弦定理得 ，…………7分所以 ．…………8分根据余弦定理得 ，…………9分化简为 ，解得 ．…………11分所以△ 的面积 ．………13分。