全等三角形(老师教案)

全等三角形（复习导学案）
证明全等的方法：
1：证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

2：证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

3：证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

4：证第三边对应相等，再用SSS证全等。

5：证直角三角形中的直角边，与斜边，再用HL证全等
全等三角形的运用：
1：角相等2：边相等3：截长补短4：大小关系
证明技巧：
怎样证明两个角相等？
[解答]
（1）利用两个三角形全等是证明两角相等的最基本的方法；
（2）利用两个角都与第三个角相等；
（3）利用等腰三角形两个底角相等；
（4）利用平行四边形对角相等；
（5）利用角平分线的性质；
（6）利用圆上同弦所对的优角相等，劣角相等．
怎样证明两条线段相等？
[解答]证明两条线段相等的常用方法有：
（1）利用两个三角形全等来证两条线段相等；
（2）利用等腰三角形两腰相等；
（3）利用第三条线段使两线段分别与之相等；
（4）利用平行四边形对边相等的性质．
A F
H D C
G B E
A D C
B E A F
D
C
B
E 全等三角形作辅助线的技巧：
全等三角形中常见辅助线的添加方法举例
一．
有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

（2）①过角平分线上一点作两边的垂线段
练习：如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分
别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．
②以角的平分线为对称轴构造对称图形
例6： 如图23，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．
分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，
我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了． ③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线
例7： 如图24，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．
例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：
BE ＋CF ＞EF 。

二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线
段，构造全等三角形。

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求
证：BE ＋CF ＞EF
三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三
角形。

A
B
C
D E
F
N
1
图1234
2
图A B
C
D
E
F
M
123
4A
B
C
D
E
例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。

图3练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为
直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。

四、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P
为AD 上任一点。

求证：AB －AC ＞PB －PC 。

五、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC
六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化
成为三角形来解决。

例如：如图7：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

A
B C D E F 4图A B C
D
N M
P 5
图12A
B
C
D
E
6
图O
A
B
C
D
7
图1
2
3
4
例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。

求证：BD ＝2CE 八、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。

九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。

十、平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．
证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC
=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ，
∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ，
∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ，
∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP
=AQ+OQ+BO=AQ+BQ ．
说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD ， 构造全等三角形，即“截长补短法”．
⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
① 如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ，
D C
B
A
1
10 图O 10
图D
C
B
A
M N
A B C
P Q D O O A
B
C
P Q D 图（2）
A B
C P
Q
D E 图（3）
O
则△ADO ≌△ABO 来解决．
② 如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ，
交AC 于E ，则△ADO ≌△AQO ，△ABO ≌△AEO 来解决． ③ 如图（4），过P 作PD ∥BQ 交AB 的延长线于D ，
则△APD ≌△APC 来解决． ④ 如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ， 则△ABP ≌△ADP 来解决． （本题作平行线的方法还很多，感兴趣
的同学自己研究）．
人人都说几何难，难就难在辅助线。

辅助线，如何添？构造全等很关键。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

三角形中有中线，延长中线造全等。

角平分线加平行，构造等腰三角形。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

A B C P
Q
图（4） D O
A B C P Q 图（5） D O。