距离的计算
2.6《距离的计算》,课件(北师大版选修2-1)
∠ACB=90°,侧棱AA1=2，D，E分别是C1C，A1B的中点，点E在
平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD夹角的大小;
(2)求点A1到平面AED的距离.
【解题提示】建立空间直角坐标系，利用向量运算进行 证明.
【解析】(1)连接BG，GE，则BG是BE在平面ABD上的射影，即 ∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立空间直角坐标 系，坐标原点为C，射线CA，CB，CC1分别为x轴,y轴，z轴的
ABCD折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、 BC间的距离为（ ）
（A） 2 （B） 3 （C） 3 （D）1 2 【解题提示】正确的比较两个图形. 【解析】选D.CE为公垂线段.E为CD中点，CE=1.
4.如图，ABCD—EFGH是边长为1的正方体，若P在正方体内部且
满足 则P到AB的距离为( )
2 a,d2= 3 a,d3=a. 2 3
答案：d2＜d1＜d3
6.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1 到平面MBD的距离是_________.
【解析】以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系. 则A1(a,0,a),A(a,0,0),M(a,0, B(a,a,0),D(0,0,0).
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·商丘高二检测)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量 AB，AD，AA1两两夹角均为60°,且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3， 则|AC1|=（ ）
两个坐标点距离计算公式
两个坐标点距离计算公式两个坐标点之间的距离计算公式是一个数学公式，用于计算两个点在平面上或空间中的距离。
这个公式在几何学、物理学、地理学等领域中都有广泛的应用。
在平面坐标系中，如果有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算。
根据勾股定理，两个点之间的距离等于两个点在x轴和y轴上的距离的平方和的平方根。
换句话说，我们可以使用以下公式来计算两个平面坐标点之间的距离：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这个公式可以解释为，两个点在x轴上的距离的平方加上两个点在y轴上的距离的平方，再开平方根，就得到了两个点之间的距离。
在空间坐标系中，如果有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以使用三维空间中的距离公式来计算。
根据三维空间中的距离公式，两个点之间的距离等于两个点在x轴、y轴和z 轴上的距离的平方和的平方根。
换句话说，我们可以使用以下公式来计算两个空间坐标点之间的距离：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)这个公式可以解释为，两个点在x轴上的距离的平方加上两个点在y轴上的距离的平方加上两个点在z轴上的距离的平方，再开平方根，就得到了两个点之间的距离。
在实际应用中，这个距离计算公式可以用于很多场景。
比如，在地理学中，可以使用这个公式来计算两个地理坐标点之间的距离，从而计算出两个地理位置之间的实际距离。
在物理学中，可以使用这个公式来计算两个物体之间的距离，从而计算出它们之间的相对位置关系。
在几何学中，可以使用这个公式来计算两个点之间的距离，从而确定它们在平面上的位置关系。
除了直接使用这个公式进行距离计算外，还可以通过对公式进行变形，得到其他有用的信息。
比如，可以通过将公式的平方项展开，得到两个点之间的距离的平方，从而得到两个点之间的距离的平方的表达式。
两点间距离计算公式
两点间距离计算公式在我们学习数学的道路上，有一个非常重要的知识点，那就是两点间距离计算公式。
这玩意儿听起来可能有点枯燥，但实际上它可有趣啦！咱先来说说这两点间距离计算公式到底是啥。
它呀，就是用来计算平面直角坐标系中两个点之间距离的一个神奇公式。
假设咱们有两个点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，那么它们之间的距离 d 就可以通过这个公式算出来：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 。
还记得我有一次去超市买东西，在货架之间穿梭，就突然想到了这个公式。
当时我站在零食区，想买一包薯片，眼睛盯着 A 货架上的番茄味薯片，心里又想着 B 货架上的烤肉味薯片。
这两个货架的位置就好像平面直角坐标系中的两个点。
我在心里默默用两点间距离计算公式算了一下，想着从 A 货架到 B 货架到底有多远，先迈几步才能拿到我心爱的烤肉味薯片。
哈哈，是不是觉得我有点走火入魔啦？但这恰恰说明这个公式在生活中也能找到它的影子。
在数学的世界里，这个公式的用处可大了。
比如在几何图形中，我们经常要计算两个顶点之间的距离。
如果没有这个公式，那可就麻烦喽！想象一下，画个三角形，要知道三条边的长度，没有这个公式，就得一点点测量，还不一定准呢。
有了它，只要知道顶点的坐标，就能轻松算出距离。
而且，在解决实际问题的时候，这个公式也能派上大用场。
比如说，规划城市道路的时候，工程师们要确定两个地点之间的距离，以便设计最合适的路线。
还有建筑师设计大楼，也得考虑不同部分之间的距离是否合理。
咱们再回到学习上来，要想真正掌握这个公式，可不能死记硬背。
得通过多做练习题，加深对它的理解。
就像我当年学习的时候，老师给我们布置了好多题目，一开始我也觉得头疼，但是做着做着就发现规律了，也越来越熟练。
学习两点间距离计算公式，就像是掌握了一把打开数学世界大门的钥匙。
它不仅能帮助我们解决数学问题，还能让我们在生活中变得更加聪明和有条理。
已知两个坐标点求距离的公式
已知两个坐标点求距离的公式介绍在几何学中，已知两个点的坐标，我们经常需要计算它们之间的距离。
这种距离计算在物理学、地理学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍两个坐标点之间距离计算的基本公式。
直角坐标系下的两点距离计算在直角坐标系中，我们可以通过两个点的坐标来计算它们之间的距离。
设两个点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
根据勾股定理，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离d：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中x2、x1、y2和y1分别代表点B和A的x坐标和y坐标。
示例假设点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(5, 7)，我们可以使用上述公式计算它们之间的距离。
将坐标代入公式中，可以得到：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5。
三维空间中的两点距离计算对于三维空间中的点，我们可以通过类似的方法计算它们之间的距离。
假设点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)，我们可以使用以下公式计算它们之间的距离：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)同样，我们可以通过将点A和点B的坐标代入公式来计算它们之间的距离。
总结已知两个坐标点，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。
根据坐标点所在的空间维度不同，我们可以使用二维或三维距离公式来计算距离。
这些公式在各种领域中都有着重要的应用，例如计算两个物体之间的距离、城市之间的距离等。
在实际应用中，我们可以使用计算机编程语言中提供的数学库函数来直接计算距离，这样可以更加方便和高效地进行坐标点距离的计算。
希望本文对你计算两个坐标点之间的距离有所帮助！。
平面内两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式在平面几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。
而平面内两点间的距离公式就是用来计算这个距离的工具。
在这篇文章中，我们将详细介绍平面内两点间的距离公式及其应用。
平面内两点间的距离公式可以用来计算两个点之间的直线距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式是根据勾股定理推导出来的。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
在平面几何中，我们可以将两点之间的距离看作是一个直角三角形的斜边，而两个点的坐标差值则可以表示直角边的长度。
这个距离公式在实际应用中非常常见。
比如，在地图上寻找最短路径时，我们可以通过计算两个地点之间的距离来确定最优路径。
又或者，在建筑设计中，我们可以使用这个公式来计算建筑物之间的距离，以便合理规划空间布局。
总之，平面内两点间的距离公式在各个领域都有着广泛的应用。
除了直线距离，我们还可以通过平面内两点间的距离公式来计算其他类型的距离。
例如，如果我们想计算两点之间的曲线距离，可以先将曲线分成若干小段，然后对每一小段分别计算距离，最后将所有小段距离相加。
这样就可以近似地计算出两点之间的曲线距离。
平面内两点间的距离公式还可以扩展到更高维度的空间中。
例如，在三维空间中，我们可以根据两点的坐标计算它们之间的距离。
公式形式与平面内两点间的距离公式类似，只是将平方和的维度增加到三维。
总结一下，平面内两点间的距离公式是一个非常有用的工具，可以用来计算两点之间的直线距离。
它可以应用于各个领域，帮助我们解决实际问题。
我们可以根据具体情况将这个公式进行扩展，以适应不同类型的距离计算。
通过深入理解和应用这个公式，我们可以更好地利用平面几何知识，提高问题解决能力。
根据坐标如何计算距离的公式
根据坐标如何计算距离的公式在日常生活中，我们经常需要计算两点之间的距离。
无论是导航系统、地图应用还是其他领域的计算，计算两点间距离的公式都是至关重要的。
本文将介绍几种常见的计算距离的公式，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
1. 直角坐标系中的距离计算直角坐标系是我们最为熟悉的坐标系，也是最常用于计算距离的坐标系。
对于直角坐标系中两点的计算，我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
假设直角坐标系中有两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，那么两点之间的距离可以用勾股定理表示：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这是最基本的计算距离的公式，适用于平面上任意两点之间的距离计算。
2. 极坐标系中的距离计算极坐标系是另一种常用的坐标系，它由极径和极角两个参数来表示点的位置。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中 r 是点到原点的距离，θ 是与极轴的夹角。
对于极坐标系中两点的计算，我们可以借助三角函数来计算两点之间的距离。
根据三角函数的性质，两点之间的距离可以表示为：距离= √(r1² + r2² - 2 * r1 * r2 * cos(θ2 - θ1))这个公式通过使用极径和极角的差值，考虑了两点之间的角度差异，可以准确计算极坐标系中两点之间的距离。
3. 球面坐标系中的距离计算球面坐标系是一个三维坐标系，常用于描述地球表面的点的位置。
在球面坐标系中，我们可以使用球面三角形的性质来计算两点之间的距离。
假设球面坐标系中有两点A(r1, θ1, φ1) 和B(r2, θ2, φ2)，其中 r 是到球心的距离，θ 是与经线的夹角，φ 是与纬线的夹角。
那么两点之间的距离可以用球面三角形的边长公式表示：距离 = r * arccos(si n(φ1) * sin(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(θ2 - θ1))这个公式适用于计算球面坐标系中两点之间的距离，例如地球上两个经纬度之间的距离。
坐标平面距离计算公式
坐标平面距离计算公式
在坐标平面中，两点之间的距离可以使用欧几里得距离公式来计算。
该公式基于勾股定理，将坐标平面的点视为直角三角形的两个顶点。
欧几里得距离公式的表达式如下：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
其中，(x1,y1)表示第一个点的坐标，(x2,y2)表示第二个点的坐标。
d表示两点之间的距离。
下面是一个示例，通过计算公式来计算两点之间的距离：
假设有两个点A(2,3)和B(-1,5)。
根据欧几里得距离公式，我们可以计算它们之间的距离：
d=√((-1-2)²+(5-3)²)
=√((-3)²+(2)²)
=√(9+4)
=√13
因此，点A和点B之间的距离是√13
这个方法适用于任何两个点之间的距离计算，无论它们在坐标平面上的位置如何。
只需将点的坐标带入公式中即可计算出它们之间的距离。
通过欧几里得距离公式，我们可以推导出更高维度的距离计算方法。
例如，在三维空间中，我们可以使用以下公式计算两点之间的距离：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别是两个点的坐标。
在高维度的情况下，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。
这表明，欧几里得距离公式可以在各种维度的坐标系统中使用。
总结起来，坐标平面中两点之间的距离计算公式是欧几里得距离公式。
这个公式基于勾股定理，并可以推广到高维度的情况下。
通过将点的坐标
代入公式中，我们可以计算出两点之间的距离。
中考物理运动中的距离与时间计算
中考物理运动中的距离与时间计算在物理学中，距离与时间计算是运动学的基本概念之一。
它们是为了描述物体在运动过程中的位置和时间关系而引入的工具。
在中考物理考试中，距离和时间计算是必考内容之一，掌握好它们的基本原理和计算方法对于解题至关重要。
1. 距离的计算方法在物理学中，距离指的是从起点到终点之间的直线距离，表示物体在空间中移动的长度。
在一维直线运动中，物体的位移就是它从起点到终点的距离。
在二维或三维的运动中，我们可以利用勾股定理来计算物体的距离。
例如，一辆汽车从A点出发，沿直线路线行驶到B点，我们可以通过以下公式计算两点之间的距离：距离= √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，(x₁, y₁)表示A点的坐标，(x₂, y₂)表示B点的坐标。
这个公式要求我们掌握平面坐标系的基本知识，以及如何计算平方根。
在中考物理中，这种计算方法经常会出现在运动分析和问题解决中。
2. 时间的计算方法时间是衡量运动持续的量度，用秒（s）作为单位。
在物理学中，时间是绝对的，不受物体运动状态的影响。
在计算时间时，我们可以利用速度和距离之间的关系来进行计算。
例如，当我们知道物体的速度和距离时，可以使用以下公式计算时间：时间 = 距离 ÷速度这个公式要求我们掌握速度的概念和计算方法，以及如何使用计算器进行简单的除法运算。
在中考物理中，时间的计算方法经常会出现在运动分析、速度计算和实验结论等问题中。
3. 实例分析下面通过一个具体的例子来进一步说明距离与时间的计算方法。
假设小明骑自行车从家到学校的距离为6公里，他以每小时20公里的速度骑行。
我们可以通过以下步骤计算他从家到学校所需要的时间：步骤一：确定所求量我们要计算的是小明从家到学校所需的时间。
步骤二：转换单位将距离单位统一转换成千米（km），速度单位转换成千米每小时（km/h）。
6公里 = 6 ÷ 1 = 6 km20公里/小时 = 20 ÷ 1 = 20 km/h步骤三：应用计算公式时间 = 距离 ÷速度时间 = 6 km ÷ 20 km/h步骤四：进行数值计算时间 = 0.3 h步骤五：结果表达小明从家到学校所需的时间为0.3小时，也就是18分钟。
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思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
BA BO
BO
AB• n
量的方向，可以得到点B到平面的距离为BO
。
n
3、因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三个步骤：（1）找 出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（2）求出该平 面的一个法向量；（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积 的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面距离。
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
Fu(u4ur,2,0)，G(0,u0uu,r2)．
xD
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2), uuur
F
BE (2, 0, 0)
设平面 r
EFG
的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
C
B
y
小结：向量法求点到平面的距离 要求一个点到平面的距离，可以分为以下三个步骤： （1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （2）求出该平面的一个法向量； （3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模，即可求出点到平面距离。
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
2、向量数量积公式
a • b a b cos (为a与b的夹角）
二、新课
向量法求点到平面的距 离
B
n
A
O
1、剖析：如图， BO 平面，垂足为 O,则点B到平面的距离就是
线段BO的长度。
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在RtBOA中，BO BA • cosABO
BA BA• BO BA• BO ,如果令平面的法向量为n,考虑到法向