高考解析几何与立体几何复习的几点思考

高考解析几何与立体几何复习的几点思考北师大昆明附中 宋祖发第一部分解析几何解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“ 坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线，从而使代数和几何之间建立实质性的联系，可以说，解析几何是各种数学思想方法的综合点，是主干知识的交汇点。

一、解析几何命题的特点题型相对稳定，一般考查三个小题，一 个大题，文理科差异主要体现在小题上。

三个小题着重考查基本概念与性质，一般会出现一个较难的题目，但入口较容易。

二、解析几何的命题趋势（从内容上来看）1．直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题，其中要重视“对称问题”的解答方法；2．与圆的位置有关的问题，一是研究方程组，二是充分利用平面几何知识，后者是常用方法；3．求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题；4．直线与圆椎曲线的位置关系问题，如参数的取值范围、最值问题等，这是高考的重点内容之一；（学科内的小综合）5．以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系、注重应用，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。

（大综合） 三、需要突破的几个难点： （一）直线与圆的位置关系问题取值范围是的倾斜角的则直线的交点位于第一象限，与直线若直线例l y x kx y l 06323:. 1=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6D. 2,3C. 2,6B. 3,6A.ππππππππ 得到由的两侧必在与点点线性规划的另用方法旋转得出结果绕点让的直线系看成过点把直线直线旋转法方法再求倾斜角的范围的范围由交点的坐标解出求交点方法0)32)(3(-3k .l (0,2)(3,0) .:3.G l ,)3(0,-l ,:2.,k , :1<++∴G”做考场上才能有“小题巧小题大作”只有平时的“并概括解法特点一题多解”在高考复习中要重视“启示 , ,,:)(,2 (-2,0), ) (05 2.22的取值范围是其斜率有两个交点时与圆直线当过点已知直线全国例x y x l l =+)81,81(- D. )42,42(- C. )2,2(- B. )22,22.(-A （数形结合法）：法解；〉利用代入圆的方程，方程的把：法解半径；距离小于：利用与圆心到直线的解法 3 0 2 1 ∆l 问题。

度得思考识间的内在联系，多角在复习中要注意把握知显得简捷一些，因此，何性质，过充分利用图形和平面几而解法。

数转化为方程组的解的个位置关系把这种则是从代数的视角，解法；与圆的半径的大小比较直线的距离圆心到（即位置关系）转化为把直线与圆的交点个数是从几何的视角，评析：解法3 2 1 （二）求曲线的方程，讨论其几何性质解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门属性为学科，主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程，进而根据方程研究曲线性质。

11625)3( . 11625 . 11625)3( B. 11625x A.)( ,,O (-6,0), ,100, 3. 2222222222=-+=-=++=+=+y X D y x C y x y P P OM AM M A y x O 的轨迹方程是点则于点的垂直平分线交线段点上的任意一为圆为的坐标点的方程是已知如图例评析： 应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感。

12 y)P(x , 064）的轨迹方程是（，则点，为坐标原点，若轴对称，点关于与点两点，、轴的正半轴交于轴的正半轴和的直线分别与湖北）设过点、（例P AB OQ PA BP O y P Q B A y x =•=→→→→)0,1(1323D. )0,0(1323 C. 0)y 0,1(x y 23-3. )0,0(1233.A 22222222>>=+>>=->>=>>=+y x y x y x y x x B y x y x刃而解。

表示的形式，问题即迎的坐标转译成用点及表示，将来描述，由向量的坐标分析：本题以向量语言),(1 AB OQ PA 2 y x P BP =•=→→→→评析：向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。

本题需要应用向量的数量积进行等价转化，这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”，难度较小，但是，如果不能将“向量语言”准确转化为“坐标语言”，或在化简过程中不细心都会可能出现错误。

“细节决定成败”。

（三）直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题，它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。

9 . 8 .C 7 . 6 . ||||1)5(4)5(1169P 06 5 222222D B A PN PM y x y x N M y x ）的最大值为（上的点，则和分别是圆、的右支上一点，是双曲线江西）、（例-=+-=++=-.9363|||(|)1|(|)2|(|||||, . ,M , ,|PN ||PM |, |PN |-|PM | P, ,, !,, ,,:21212121=+=+-=--+=-PF PF PF PF PN PM F F PF N PF N M P 所以点恰好是双曲线的两个焦、由于两圆的圆心最大与圆的交点时所求的值是线段点的延长线上在线段点由平面几何性质知最小最大且仅当当且最大的值欲使暂时固定点从分析图形开始另辟新境行不通的是绝对最值若通过构建目标函数求圆上的独立的动点双曲线和分别是分析最大值。

就有与圆的交点，那么是线段的延长线上，点在线段什么位置，只要点在双曲线上论点某些不变的规律，即无，但在运动变化中却有和两个圆上独立的动点分别是双曲线整合，较为新颖。

的定义与圆的性质有机评析：此题将双曲线 |||| ,, 21PN PM PF N PF M P N M P -的方程。

，求直线为弦的中点两点，若、于交双曲线的直线过例AB M B A y x M 124 )1,1( . 622=-.M 求解”两端点坐标用“点差法的方程。

也可设出弦的的值，由此写出直线的中点，即可求得为弦，利用率。

为此可设其斜率为方程，只要求出它的斜的直线分析：求过定点AB k AB M k 012012 01212)2(4)2(124,2,2)1,1(,),( 3 2k ).1(1 12222=+-=+-=+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=----=-y x AB y x B A y x y x y x y x B M B A y x A x k y k x AB 的方程为符合题意，故直线所以，直线程。

的坐标也满足上面的方点满足上面的方程，同理的坐标即点消去平方项，得则）的坐标为（对称，所以关于点，由于设：解法：点差法。

解法的值可求出中点，即组成方程组，再利用弦由直线与双曲线方程则方程为，轴，设其斜率是不垂直于：显然直线解法条件的直线是否存在。

方程时，必须判断满足所以在求双曲线中点弦一定存在，，以定点为中点的弦不于双曲线不是封闭曲线解题过程比较简捷。

由程的关系”，性，并结合“曲线与方。

方法三巧妙利用对称种方法就是“点差法”及根与系数关系；第二）的二次方程，一般涉（或于是联立方程组，得到关方法：一。

解这类问题常用两种平分的弦所在直线方程问题；过定点且被定点；过定点的弦的中点平行弦的中点轨迹中点问题主要有三类：评析：有关弦的y x （四）适当交汇，注重联系圆锥曲线问题是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒体，常与函数、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透，题型新颖别致、自然流畅。

这类题综合性强、解题灵活、思维抽象。

因此在复习时要突出构建知识网络，从圆锥曲线整体的高度考虑问题，在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。

的面积的最小值）求四边形（，证明：点的坐标是）设（，垂足为两点，且、的直线交椭圆于，过两点、于的直线交椭圆过、的左右焦点分别全国）已知椭圆（例ABCD yx y x P PBD AC C A F D B F F F y x 2123),(1 ,12307 72020********<+⊥=+解:（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤ （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-= 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x xk -=+21221)32k BD x x k +=-==+g ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g ≥ 当21k =时，上式取等号（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =综上，四边形ABCD 9625评析：第一问实际上是证明点P 在椭圆的内部；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现。

在平面直角坐标系xOy 中，有一个以(10,F 和(2F 为焦点、圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r求：（Ⅰ）点M 的轨迹方程； （Ⅱ）OM u u u u r的最小值解: 椭圆方程可写为: y 2a 2 + x2b 2 =1 式中a>b>0 , 且 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2 =33a=32 得a 2=4,b 2=1,所以曲线C的方程为: x 2+ y 24 =1 (x>0,y>0) y=21－x 2 (0<x<1) y '=－2x1－x 2设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1, y 0=21－x 02 , y '|x=x0= － 4x 0y 0 ,得切线AB 的方程为:y=－ 4x 0y 0 (x －x 0)+y 0 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x 0 , y= 4y 0由OM →=OA → +OB →得M 的坐标为(x,y), 由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2)(Ⅱ)| OM→|2= x 2+y 2, y 2= 41－1x 2=4+4x 2－1, ∴| OM→|2= x 2－1+4x 2－1+5≥4+5=9 且当x 2－1=4x 2－1,即x=3>1时,上式取等号 故|OM→|的最小值为3 评析：与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大，解题时需要根据具体问题，灵活运用平面几何、函数、不等式、三角等知识，正确地构建圆锥曲线与其它数学知识的联系。