2018北京市丰台区高三(上)期末数学(理)
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2018北京市丰台区高三（上）期末
数
学（理）
2018.1
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合1,0,1
A ，
2
1B x x
，则A B
U （）
A ．1,1
B ．
1,0,1 C
．
11x x D ．
1
x x 2．“
1x
”是“
2
1x
”的（
）
A ．充分而不必要条件 B
．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．在极坐标系Ox 中，方程
sin
表示的曲线是（
）
A ．直线 B
．圆 C
．椭圆 D
．双曲线
4．若
,x y 满足1,1,0,
x
y x
y x
则2z
x
y 的最大值是（
）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值在区间
2, 1.5内，那么输出的y 属
于（
）
A ．
0,0.5 B
．
0,0.5 C
．
0.5,1 D
．
0.5,1
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）
A ．2
B ．
5 C ．22 D
．3
7．过双曲线
22
2
2
10,0x y a b
a
b
的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直
线，垂足为,A O 为坐标原点，若1
2
OA
OF ，则此双曲线的离心率为（）
A ．
2 B
．
3 C ．2 D
．
5
8．全集,,U x y x y
Z Z ，非空集合S U ，且S 中的点在平面直角坐标系
xOy 内形成的图形关于
x 轴、
y 轴和直线y x 均对称.下列命题：
①若1,3S ，则1,3S ；
②若0,4S ，则S 中至少有8个元素；③若0,0
S ，则S 中元素的个数一定为偶数；
④若
,4,,x y x y
x
y
S Z Z ，则,4,,x y x y x y S Z Z .
其中正确命题的个数是（）A ．1 B
．2 C
．3 D
．4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．已知单位向量,a b r r 的夹角为120°，则a b a
r r r
．
10．若复数1i 1i z
a 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数
a
．
11．在
5
2x 的展开式中，3
x 项的系数是
（用数字作答）．
12．等差数列
n a 的公差为2，且248,,a a a 成等比数列，那么
1
a ，数列
n a 的前9项和
9
S ．
13．能够说明“方程
2
2
1313m x
m y
m m 的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是．
14．已知函数
sin ,0,
,,
x x x f x
x x
g x
f x
kx k
R .
①当
1k 时，函数g x 有
个零点；
②若函数
g x 有三个零点，则k 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
）
15．在
ABC 中，2
3sin 22sin B B ．
（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若
4a
，63ABC
S
，求b 的值.
16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.
根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.
（Ⅰ）求,a b的值；
（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；
（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E X.
17．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD，,E F分别是,
AB PC的中点，2
PA AD，2
CD.
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM平面EFD？若存在，求出BM
BC
的值；若不存在，请说明
理由.
18．已知函数22ln
f x x ax a x a R. （Ⅰ）求函数f x的单调区间；
（Ⅱ）若0
f x恒成立，求实数a的取值范围.